Kompleksinis skaičius turi realiąsias koordinates a ir b bei menamąjį vienetą, tenkinantį lygybę i²=−1.
Esminės žinios
Kompleksinis skaičius užrašomas z=a+bi, kur a ir b yra realieji skaičiai, o i²=−1. Jo realioji dalis yra a, o menamoji dalis – b. Kompleksinėje plokštumoje jis vaizduojamas tašku (a,b); sudedant atitinkami komponentai sudedami, o dauginant naudojama lygybė i²=−1.
Menamoji dalis yra realusis koeficientas b, o ne sandauga bi.
Kai b=0, skaičius yra realusis; kai a=b=0, jis lygus nuliui.
Faktiškai atlikta pasirinkto NCERT skyriaus patikra yra matematikos ir informacijos autoriaus tęstinio darbo įrodymas; šis redaktorius susieja būtent tą pasiūlymą. Tai neįrodo naujos viso skyriaus patikros ar visos kompleksinės analizės peržiūros.
Šaltiniai · 3
Šaltiniai
Šaltiniai išlaiko savo taikymo ribas. Vien nuoroda nepatvirtina kiekvieno teiginio patikrinimo.
Kompleksinių skaičių koordinatės, lygybė, sudėtis ir daugyba.
Argando plokštuma nagrinėjama 4.5 skyriuje; 4.4 skyriuje aptariami modulis ir jungtinis skaičius. Galiojančias nuorodas į PDF puslapius išsaugoti. Keičiami tik citavimo metaduomenys: kompleksinių skaičių teiginiai, lygtys, taikymo sąlygos ir nuorodų adresai su puslapių fragmentais lieka nepakitę.
2026-10-10 · Palyginti apibrėžimai ir veiksmai; išlaikytas NCERT menamosios dalies kaip koeficiento apibrėžimas ir pašalinti klaidinantys dalybos apribojimai abiejų vadovėlių aptarimuose.
2026-10-11 · Tęstinio autoriaus ir redaktoriaus šaltinių patikros ribos: Argando plokštuma nagrinėjama 4.5 skyriuje; 4.4 skyriuje aptariami modulis ir jungtinis skaičius. Galiojančias nuorodas į PDF puslapius išsaugoti. Keičiami tik citavimo metaduomenys: kompleksinių skaičių teiginiai, lygtys, taikymo sąlygos ir nuorodų adresai su puslapių fragmentais lieka nepakitę. Tikrosios pasirinktos NCERT skyriaus dalies patikros įrodymai priklauso šio tęsinio matematikos ir informacijos autoriui; redaktorius susieja būtent tą pasiūlymą. Iš to nesprendžiama, kad įrodyti visi skyriaus teiginiai ar patikrinta visa kompleksinės analizės medžiaga. Nepriklausoma tikslaus pakeitimo priėmimo peržiūra dar neatlikta; ankstesnių peržiūrų datos ir ribos išsaugomos.
Pagrindinių žinių peržiūra
2026-10-11 · Historical approval retained from its original dated scope: Fresh primary-source inspection of the complete compact record, including every statement, equation, quantity and material condition, followed by independent AI editorial review. This check does not certify all linked lessons or every passage of every cited publication. Continuation 2026-10-11: math-complex-numbers: The Argand plane is §4.5; §4.4 covers modulus and conjugation. Preserve the valid page-fragment citations. Citation metadata only: complex-number statements, equations, conditions and page-fragment URLs remain unchanged. Unchanged claim and inventory decisions are carried forward; this delta is not a new whole-field, whole-document or human certification.
Šaltiniai iš kitų vietų
Sutampa nurodytose ribose
Complex numbers have real components, imaginary coefficient, plane representation and algebra using i squared equals minus one.
The imaginary part is the coefficient, not its product with i. math-complex-numbers: The Argand plane is §4.5; §4.4 covers modulus and conjugation. Preserve the valid page-fragment citations. Citation metadata only: complex-number statements, equations, conditions and page-fragment URLs remain unchanged. The earlier independent complex-number comparison is retained; this delta corrects the NCERT reference locator/edition, not its algebra.
University of Cape Town, Department of Mathematics and Applied Mathematics
Kompleksinis skaičius užrašomas z=a+bi, kur a ir b yra realieji skaičiai, o i²=−1. Jo realioji dalis yra a, o menamoji dalis – b. Kompleksinėje plokštumoje jis vaizduojamas tašku (a,b); sudedant atitinkami komponentai sudedami, o dauginant naudojama lygybė i²=−1.
Kiekvienas nekonstantinis daugianaris su kompleksiniais koeficientais turi kompleksinę šaknį. Pakartotinai skaidant dauginamaisiais, n-tojo laipsnio daugianaris išreiškiamas kaip vyriausiojo koeficiento ir n tiesinių dauginamųjų sandauga, atsižvelgiant į šaknų kartotinumą.
Funkcija yra holomorfinė atviroje aibėje, kai ji yra kompleksiškai diferencijuojama kiekviename tos aibės taške. Kai f=u+iv ir realiosios komponentės yra C¹ klasės, holomorfiškumas yra ekvivalentus sąlygoms uₓ=vᵧ ir uᵧ=−vₓ.
Vienpusė Laplaso transformacija yra F(s)=∫₀∞e⁻ˢᵗf(t)dt. Dalimis tolydžiai eksponentinio tipo a funkcijai f šis integralas absoliučiai konverguoja, kai Re s>a; esant atitinkamiems f′ rėžiams, L{f′}=sF(s)−f(0).
Glodžiai sparčiai mažėjančiai funkcijai f, kurios išvestinės taip pat mažėja sparčiau už bet kurį laipsnį, apibrėžkime f̂(ξ)=∫Rⁿe⁻ⁱˣ·ξf(x)dx. Tuomet f̂ turi tą pačią savybę ir f(x)=(2π)⁻ⁿ∫Rⁿeⁱˣ·ξf̂(ξ)dξ.
Kai aₙ=saₙ₋₁+taₙ₋₂ ir t≠0, skirtingos charakteristinio daugianario r²−sr−t šaknys r₁,r₂ duoda aₙ=Ar₁ⁿ+Br₂ⁿ; kartotinė šaknis r duoda aₙ=(A+Bn)rⁿ. Nustatykite A,B pagal a₀,a₁ ir patikrinkite, ar tenkinamas rekurentinis sąryšis ir pradinės reikšmės.
Turint N kompleksinių koeficientų aⱼ, apibrėžiama yₖ=Σ_(j=0)^(N−1)aⱼωᴶᴷ, kur ω=e²πⁱ⁄ᴺ. Atvirkštinė transformacija yra aⱼ=N⁻¹Σ_(k=0)^(N−1)yₖω⁻ᴶᴷ. Taip daugianario koeficientai paverčiami jo reikšmėmis N-ojo laipsnio šaknyse iš vieneto.
Taške a, kuriame f′(a)≠0, holomorfinis atvaizdis lokaliai išlaiko orientuotus kampus: liestinės vektoriai dauginami iš f′(a), pasukant juos kampu arg f′(a) ir keičiant jų ilgį |f′(a)| kartų. Egzistuoja lokalusis atvirkštinis atvaizdis; nulinės išvestinės gali panaikinti konformiškumą.
T(z)=(az+b)/(cz+d), ad−bc≠0, pratęsiamas iki aibės C∪{∞} bijekcijos, kur T(−d/c)=∞ ir T(∞)=a/c, kai c≠0. Jis atvaizduoja apibendrintuosius apskritimus (tieses arba apskritimus) į apibendrintuosius apskritimus. Pavyzdžiui, (z−i)/(z+i) bijektyviai atvaizduoja viršutinę pusplokštumę į vienetinį skritulį.
Lygties y′=λy atveju, kai h>0 yra fiksuotas, vieno žingsnio metodas y_(k+1)=R(hλ)y_k su nenuline pradine reikšme yra absoliučiai stabilus tada ir tik tada, kai |R(hλ)|≤1; griežta nelygybė lemia slopimą. Išreikštinio Eulerio metodo R(z)=1+z, o stabilumo sritis yra |1+z|≤1, todėl realiajam λ<0 būtina h≤2/|λ|.