Tiesiniai atvaizdžiai ir jų matricinis vaizdavimas
Matematika ir logikaInformacijaFizika
Tiesinis atvaizdis išsaugo tiesinius darinius ir, pasirinkus bazes, turi matricą.
Esminės žinios
Realusis tiesinis atvaizdis T:ℝⁿ→ℝᵐ tenkina lygybę T(αu+βv)=αT(u)+βT(v). Pasirinkus įvesties erdvės ℝⁿ ir tikslinės erdvės ℝᵐ bazes, jis vaizduojamas m×n matrica A: išvesties koordinatės yra y=Ax, kur yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿaᵢⱼxⱼ.
Vertės ir lygtys
T(αu+βv)=αT(u)+βT(v); yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿ aᵢⱼxⱼ
T
Tiesinis atvaizdis iš ℝⁿ į ℝᵐ
α, β
Realieji skaliarai
u, v
Įvesties vektoriai
aᵢⱼ
Matricos A elementas i eilutėje ir j stulpelyje
xⱼ
Įvesties koordinatė j
yᵢ
Išvesties koordinatė i
n, m
Teigiamos įvesties ir išvesties dimensijos
Sąlygos ir taikymo ribos
α ir β yra realieji skaliarai, o u,v yra įvesties vektoriai.
Matrica priklauso nuo pasirinktų bazių; x ir y yra koordinačių vektoriai stulpeliai tose bazėse.
Matricos ir vektoriaus matmenys turi būti suderinti; iš n įvesties koordinačių gaunama m išvesties koordinačių.
Šaltiniai · 4
Šaltiniai
Šaltiniai išlaiko savo taikymo ribas. Vien nuoroda nepatvirtina kiekvieno teiginio patikrinimo.
Baigtinių dimensijų realiųjų erdvių tiesiškumas, priklausomybė nuo bazės ir matricos daugyba iš vektoriaus.
2026-10-10 · Tiesinio darinio taisyklė ir bazės sudarymas patikrinti pagal MIT, o matmenų suderinamumas ir elementų skaičiavimas — pagal OpenStax.
Pagrindinių žinių peržiūra
2026-10-10 · Fresh primary-source inspection of the complete compact record, including every statement, equation, quantity and material condition, followed by independent AI editorial review. This check does not certify all linked lessons or every passage of every cited publication.
Šaltiniai iš kitų vietų
Skiriasi taikymo ribos ar susitarimas
Linearity preserves sums and scaling; real matrix maps act on coordinate columns.
The inspected matrix examples use standard coordinates; arbitrary-basis representation is a broader repository statement.
Realusis tiesinis atvaizdis T:ℝⁿ→ℝᵐ tenkina lygybę T(αu+βv)=αT(u)+βT(v). Pasirinkus įvesties erdvės ℝⁿ ir tikslinės erdvės ℝᵐ bazes, jis vaizduojamas m×n matrica A: išvesties koordinatės yra y=Ax, kur yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿaᵢⱼxⱼ.
Realusis tiesinis atvaizdis T:ℝⁿ→ℝᵐ tenkina lygybę T(αu+βv)=αT(u)+βT(v). Pasirinkus įvesties erdvės ℝⁿ ir tikslinės erdvės ℝᵐ bazes, jis vaizduojamas m×n matrica A: išvesties koordinatės yra y=Ax, kur yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿaᵢⱼxⱼ.
Tiesiniam atvaizdžiui T:V→W, kai V yra baigtinio matmens, galioja dim V = dim ker T + dim im T. Rangas yra vaizdo matmuo, o defektas – branduolio matmuo.
Kiekviena realioji m×n matrica A turi skaidinį A=UΣVᵀ, kuriame U,V yra ortogonaliosios matricos, o Σ – stačiakampė diagonalinė matrica su neneigiamais elementais. Šios singuliariosios reikšmės yra matricos AᵀA tikrinių reikšmių kvadratinės šaknys, prireikus papildžius nuliais.
Tarkime, f:U⊂Rⁿ→Rᵐ, kur U yra atviroji aibė. Funkcija f yra diferencijuojama taške a, jei egzistuoja toks tiesinis atvaizdis B, kad ‖f(a+h)−f(a)−Bh‖/‖h‖→0, kai h→0. Šis B yra pilnoji išvestinė Df(a).
Pastoviai realiajai n×n matricai A uždavinys x′=Ax su x(0)=x₀ turi vienintelį globalų sprendinį x(t)=eᵗᴬx₀, kur eᵗᴬ=Σₖ₌₀∞ tᵏAᵏ/k! konverguoja kiekvienam realiajam t.
LU skaidymas išreiškia A=LU, kur L yra apatinė trikampė matrica su vienetais pagrindinėje įstrižainėje, o U – viršutinė trikampė matrica. Kai U pagrindinės įstrižainės elementai nelygūs nuliui, išsprendus Ly=b, o tada Ux=y, gaunamas Ax=b sprendinys.
Realioji ortogonalioji kvadratinė matrica Q tenkina QᵀQ=I ir išsaugo euklidinius ilgius. Kai A∈Rᵐˣⁿ, m≥n, o jos stulpeliai tiesiškai nepriklausomi, plonajame QR skaidinyje A=QR matricos Q stulpeliai yra ortonormuoti, o R yra neišsigimusi viršutinė trikampė matrica.
Eilučių sukeitimas, eilutės dauginimas iš nenulinio skaliaro ir kitos eilutės kartotinio pridėjimas nekeičia tiesinių lygčių sistemos sprendinių aibės. Suvedus matricą į laiptuotąjį pavidalą ir tada atlikus atgalinį įstatymą, nustatomi pagrindiniai elementai, laisvieji kintamieji ir prieštaringos lygtys 0=c≠0.
Kai Aᵢⱼ sudaroma išbraukus i eilutę ir j stulpelį, skleidžiant pagal algebrinius papildinius gaunama det A=Σⱼ(−1)ⁱ⁺ʲaᵢⱼdet Aᵢⱼ, pradedant nuo det[a]=a. Galioja det(AB)=det A det B; A yra apverčiama tada ir tik tada, kai det A≠0.
Tiesinės lygties Ly=f bet kurio vieno atskirojo sprendinio yₚ ir bendrojo vienalytės lygties sprendinio y_c suma duoda visus sprendinius y=y_c+yₚ. Neapibrėžtųjų koeficientų metodu parenkamos bandomosios polinominės, eksponentinės ar trigonometrinės išraiškos pagal lygties dešiniąją pusę; kai bandomoji išraiška sutampa su vienalytės lygties sprendinio komponente, ji dauginama iš pakankamo laipsnio t.
Grandinė tenkina P(Xₙ₊₁=j|X₀,…,Xₙ)=Pᵢⱼ, kai Xₙ=i; matricos P elementai yra neneigiami, o kiekvienos eilutės elementų suma lygi vienetui. Jei pradinis skirstinys yra eilutės vektorius μ, po n žingsnių skirstinys yra μPⁿ.
Virš F₂ imkime H=[A|Iₘ] ir G=[Iₙ₋ₘ;A]. Pranešimo x kodavimas c=Gx yra injektyvus, HG=0, o kodas yra tiksliai ker H. Pirmosios n−m koordinatės saugo informaciją, o paskutinės m yra skirtos lyginumo patikroms.
Jei apverčiamosios matricos P stulpeliai yra sutvarkytosios bazės B vektoriai standartinėmis koordinatėmis, tai v=P[v]B. Tiesinio operatoriaus, kurio matrica standartinėje bazėje yra A, matrica bazėje B yra [T]B=P⁻¹AP. Naujas matricinis pavidalas keičia koordinates, o ne patį atvaizdį.
Apgręžiama afininė erdvės ℝⁿ transformacija yra pavidalo T(x)=Ax+b, kur A yra apgręžiama. Ji išsaugo afininius derinius, kurių svorių suma lygi vienetui, kolinearumą, lygiagretumą ir tiesės parametro reikšmę su ženklu. Bendrosios afininės transformacijos nebūtinai išsaugo euklidinius ilgius ar kampus.
Turint N kompleksinių koeficientų aⱼ, apibrėžiama yₖ=Σ_(j=0)^(N−1)aⱼωᴶᴷ, kur ω=e²πⁱ⁄ᴺ. Atvirkštinė transformacija yra aⱼ=N⁻¹Σ_(k=0)^(N−1)yₖω⁻ᴶᴷ. Taip daugianario koeficientai paverčiami jo reikšmėmis N-ojo laipsnio šaknyse iš vieneto.
Baigtinio dydžio kvadratinės matricos A virš lauko charakteristinis daugianaris p(t)=det(tI−A)=tⁿ+cₙ₋₁tⁿ⁻¹+⋯+c₀ tenkina tapatybę p(A)=Aⁿ+cₙ₋₁Aⁿ⁻¹+⋯+c₀I=0. Dalyba iš daugianario p leidžia bet kurį matricos A daugianarį pakeisti mažesnio nei n laipsnio daugianariu; kai c₀≠0, ši tapatybė taip pat leidžia išreikšti A⁻¹ kaip matricos A daugianarį.
Lokaliai plokščiam sluoksniui, kurio tikrasis kritimo kampas yra δ, horizontaliąją x ašį nukreipkite sluoksnio kritimo kryptimi, o aukščio z ašį – aukštyn. Jo plokštuma tenkina lygtį z=z₀−x tanδ. Vertikaliame pjūvyje, kurio horizontalioji kryptis su sluoksnio tįsos kryptimi sudaro kampą β, tariamojo kritimo kampo modulis α tenkina lygtį tanα=tanδ|sinβ|. Pjūvyje, statmename sluoksnio tįsos krypčiai, matomas tikrasis kritimo kampas; pjūvyje išilgai tįsos krypties nevertikalus sluoksnis nerodo kritimo.
Projection uses a coordinate representation of a plane.
Trikomponentės sudėtys vaizduojamos normuotame trikampyje: x_A+x_B+x_C=1, o dalys yra neneigiamos. Esant trijų fazių pusiausvyrai, bendroji sudėtis yra x₀=f₁x₁+f₂x₂+f₃x₃, kur f₁+f₂+f₃=1. Neneigiamos fazių dalys išreiškia bendrosios sudėties tašką konodžių trikampio baricentrinėmis koordinatėmis. Dvifazių mišinių sudėties taškai yra jų konodėje.
Independent component equations determine the phase fractions.
Tiesinis atvaizdis T:X→Y tarp normuotųjų erdvių yra tolydus tada ir tik tada, kai ||Tx|| ≤ C||x|| su tam tikra baigtine konstanta C. Jo operatoriaus norma yra ||Tx|| supremumas, imamas per visus vienetinius vektorius. Tolydžiąją dualiąją erdvę X* sudaro aprėžtieji tiesiniai funkcionalai; begalinio matmens erdvėse bet kurie algebriniai funkcionalai nebūtinai yra tolydūs. Jei Y yra Banacho erdvė, tai aprėžtieji operatoriai X→Y su šia norma sudaro Banacho erdvę.
Finite-dimensional linear maps are the bounded special case.
Kovektorius yra tiesinis funkcionalas liestinės erdvės vektoriams, o tenzorius yra daugialinijinis liestinių ir koliestinių argumentų atžvilgiu. Glodaus atvaizdžio F:M→N liestinis atvaizdis dF perkelia vektorius taške pirmyn, o kovektoriai ir diferencialinės formos atitraukiami sudarant kompoziciją su dF. Koordinačių transformavimo taisyklė yra esminė; vien komponenčių lentelė nėra invariantinis tenzorius.
Baigtinės grupės G reprezentacija yra homomorfizmas G→GL(V). Jei kūno charakteristika nedalija |G|, kiekvienas baigtinmatės reprezentacijos invariantinis poerdvis turi invariantinį papildinį: pakanka suvidurkinti bet kurią projekciją visos grupės atžvilgiu. Kai charakteristika p dalija |G|, šio vidurkinimo vardiklio negalima apversti, todėl visiškas redukuojamumas gali negalioti.