Žinių pagrindai

Sąlygotumas nusako tikslaus atsakymo jautrumą duomenų trikdžiams.

Tiesioginė paklaida nusako apskaičiuoto atsakymo skirtumą nuo tikslaus atsakymo.

Niutono iteracijoje naudojama formulė xₖ₊₁=xₖ−f(xₖ)/f′(xₖ).

LU skaidymas išreiškia A=LU, kur L yra apatinė trikampė matrica su vienetais pagrindinėje įstrižainėje, o U – viršutinė trikampė matrica.

Taikant dalinį pagrindinio elemento parinkimą, prieš eliminuojant po juo esančius elementus sukeičiamos eilutės, kad pagrindinio elemento stulpelyje būtų pasirinktas didžiausio modulio prieinamas elementas.

Realioji ortogonalioji kvadratinė matrica Q tenkina lygybę QᵀQ=I ir išsaugo euklidinius ilgius.

Kai A yra apgręžiama ir naudojama indukuotoji matricos norma, κ(A)=‖A‖‖A⁻¹‖.

Baigtinei grupei G ir jos pogrupiui H galioja |G|=[G:H]|H|.

Grupių homomorfizmo φ:G→H branduolys ker φ yra normalusis pogrupis, o G/ker φ yra izomorfiška im φ pagal atvaizdį g ker φ↦φ(g).

Eilučių sukeitimas, eilutės dauginimas iš nenulinio skaliaro ir kitos eilutės kartotinio pridėjimas nekeičia tiesinių lygčių sistemos sprendinių aibės.

Kai Aᵢⱼ sudaroma išbraukus i eilutę ir j stulpelį, skleidžiant pagal algebrinius papildinius gaunama det A=Σⱼ(−1)ⁱ⁺ʲaᵢⱼdet Aᵢⱼ, pradedant nuo det[a]=a.

Kai x,y∈Rⁿ, ⟨x,y⟩=Σxᵢyᵢ ir ‖x‖=√⟨x,x⟩.

‖Ax−b‖₂² minimizuojantys sprendiniai tenkina Aᵀ(Ax−b)=0, todėl jų liekana yra ortogonali stulpelių erdvei.

Interpoliuojant parenkama p, kad p(tᵢ)=yᵢ nurodytuose skirtinguose mazguose.

Padalijus intervalą į n lygių dalinių intervalų, kurių h=(b−a)/n, trapecijų metodo įvertis yra T=h[f(a)/2+Σᵢ₌₁ⁿ⁻¹f(a+ih)+f(b)/2].

Eulerio metodo žingsnis lygčiai y′=f(t,y) apskaičiuojamas pagal formulę yₖ₊₁=yₖ+hf(tₖ,yₖ).

Apibrėžkime k₁=hf(t,y), k₂=hf(t+h/2,y+k₁/2), k₃=hf(t+h/2,y+k₂/2), k₄=hf(t+h,y+k₃); tuomet y_next=y+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6.

Lygties y′=f(t)g(y) srityje, kurioje g(y)≠0, integruojant dy/g(y)=f(t)dt gaunamas neišreikštinis sprendinys.

Kai p ir q yra tolydžios funkcijos, μ(t)=exp(∫p(t)dt) lygtį y′+p(t)y=q(t) paverčia lygtimi (μy)′=μq.

Lygties ay″+by′+cy=0, kai a≠0, sprendinių pavidalus nusako lygties ar²+br+c=0 šaknys: skirtingas realiąsias šaknis atitinka eʳ¹ᵗ,eʳ²ᵗ; kartotinę šaknį atitinka eʳᵗ,teʳᵗ; jungtines šaknis α±iβ atitinka eᵅᵗcos βt,eᵅᵗsin βt.

Tiesinės lygties Ly=f bet kurio vieno atskirojo sprendinio yₚ ir bendrojo vienalytės lygties sprendinio y_c suma duoda visus sprendinius y=y_c+yₚ.

C¹ klasės plokštuminėje autonominėje sistemoje pusiausvyros yra vektorinio lauko nuliai.

2L periodinei dalimis glodžiai realiajai funkcijai f: aₙ=L⁻¹∫₋ᴸᴸf(t)cos(nπt/L)dt ir bₙ=L⁻¹∫₋ᴸᴸf(t)sin(nπt/L)dt.

Vienpusė Laplaso transformacija yra F(s)=∫₀∞e⁻ˢᵗf(t)dt.

Lygties u_t=κu_xx intervale 0<x<L, kai temperatūra intervalo galuose lygi nuliui, kintamųjų atskyrimas duoda modas sin(nπx/L)e⁻κ⁽ⁿπ/L⁾²ᵗ.

Lygties u_tt=c²u_xx intervale [0,L], kai poslinkis galuose lygus nuliui, pradinį poslinkį f ir greitį g pratęskite iki nelyginių 2L periodo funkcijų F,G.

Jei C¹ atvaizdžio f:U⊆Rⁿ→Rⁿ išvestinė taške a∈U yra apverčiama, tai jo apribojimas yra C¹ bijekcija tarp taškų a ir f(a) aplinkų, turinti C¹ atvirkštinį atvaizdį, ir D(f⁻¹)(f(a))=[Df(a)]⁻¹.

Jei C¹ atvaizdis F:U⊆Rⁿ×Rᵐ→Rᵐ tenkina F(a,b)=0, o dalinė išvestinė D_yF(a,b) yra apverčiama, tai netoliese esančius nulius vienareikšmiškai nusako y=g(x), kur g yra C¹ ir g(a)=b.

Sigma algebra apima visą erdvę ir yra uždara papildinių bei skaičiųjų sąjungų atžvilgiu.

Atvaizdis tarp mačiųjų erdvių yra matusis, kai kiekvienos mačiosios aibės reikšmių erdvėje pirmavaizdis yra matusis.