Žinių pagrindai

Sigma baigtinių matų erdvėse neneigiamosios funkcijos, mačiosios sandaugos sigma algebros atžvilgiu, integralas sandaugos erdvėje ir kartotiniai integralai yra lygūs ir gali būti begaliniai.

Topologinė erdvė yra jungioji, jei jos negalima padalyti į dvi netuščias, nesikertančias atvirąsias aibes.

Metrinė erdvė yra pilnoji, jei kiekviena Koši seka turi ribą toje erdvėje.

Netuščios pilnosios metrinės erdvės atvaizdis T į save, tenkinantis d(Tx,Ty)≤k d(x,y), 0≤k<1, turi vienintelį fiksuotąjį tašką.

Kvadratu integruojamiems realiesiems atsitiktiniams dydžiams X,Y galioja Var X=E[(X−EX)²] ir Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)].

Bendroji tikimybių funkcija arba bendrasis tankis aprašo vienalaikes reikšmes; marginalieji skirstiniai gaunami sumuojant arba integruojant pagal kitas koordinates.

E[X|Y=y] yra X vidurkis, apskaičiuotas pagal jo sąlyginį skirstinį.

Jei X yra integruojamas kvadratu, Var(X)=E[Var(X|Y)]+Var(E[X|Y]).

M_X(t)=E[eᵗˣ] yra momentus generuojanti funkcija (MGF), jei ji yra baigtinė atvirame intervale, apimančiame nulį.

Taikant formos ir intensyvumo parametrizaciją, Gamma(α,β) tankis yra βᵅxᵅ⁻¹e⁻ᵝˣ/Γ(α), kai x>0, α,β>0.

Parametro θ įvertinio T poslinkis yra EθT−θ, o vidutinė kvadratinė paklaida (MSE) yra Eθ[(T−θ)²]=Varθ(T)+bias².

Įvertinių seka Tₙ yra pagrįsta parametro θ atžvilgiu, kai Pθ(|Tₙ−θ|>ε)→0 kiekvienam ε>0.

Diferencijuojamame vienmačiame nepriklausomų ir vienodai pasiskirsčiusių stebinių modelyje, kurio skoro funkcija yra sθ=∂θlog fθ(X), Fišerio informacija yra I(θ)=Eθ[sθ²].

Kai X yra fiksuota matrica, kurios stulpelių rangas pilnas, ir Y=Xβ+ε, kur Eε=0 ir Cov ε=σ²I, mažiausiųjų kvadratų metodu gaunama β̂=(XᵀX)⁻¹XᵀY, Eβ̂=β ir Cov β̂=σ²(XᵀX)⁻¹.

Kai Yᵢ yra nepriklausomi Bernulio atsitiktiniai dydžiai, logistinėje regresijoje daroma prielaida log[pᵢ/(1−pᵢ)]=xᵢᵀβ.

Tolydžiajai realiajai funkcijai f, kai f(a)f(b)<0, patikrinkite intervalo vidurio tašką ir palikite tą intervalo pusę, kurios galuose funkcijos reikšmių ženklai priešingi, nebent vidurio taškas yra šaknis.

Skirtinguose mazguose t₀,…,tₙ daugianaris p(x)=Σyₖℓₖ(x), ℓₖ(x)=∏_(i≠k)(x−tᵢ)/(tₖ−tᵢ), yra vienintelis ne aukštesnio kaip n laipsnio interpoliacinis daugianaris.

Diferencijuojamos funkcijos gradientas vidiniame lokaliojo ekstremumo taške yra lygus nuliui.

C¹ klasės realiosioms funkcijoms f,g lokalusis sąlyginis f ekstremumas, kai g(x)=c, taške, kuriame ∇g≠0, turi tenkinti ∇f=λ∇g kartu su g=c.

Atviroje iškiloje srityje diferencijuojama funkcija yra iškiloji tada ir tik tada, kai visiems srities taškams galioja f(y)≥f(x)+∇f(x)·(y−x).

Kai f₀,fᵢ yra diferencijuojamos iškilosios funkcijos erdvėje Rⁿ, o lygybiniai apribojimai Ax=b yra afininiai, leistinasis x yra optimalus, jei λ≥0, λᵢfᵢ(x)=0 ir ∇f₀(x)+Σλᵢ∇fᵢ(x)+Aᵀν=0.

Glodžiai sparčiai mažėjančiai funkcijai f, kurios išvestinės taip pat mažėja sparčiau už bet kurį laipsnį, apibrėžkime f̂(ξ)=∫Rⁿe⁻ⁱˣ·ξf(x)dx.

Lygties y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) atveju naudokite tiesiškai nepriklausomus homogeninės lygties sprendinius y₁,y₂ ir pasirinkite yₚ=u₁y₁+u₂y₂.

n elementų aibė turi 2ⁿ poaibių; jos k elementų poaibiai atitinka n ilgio dvejetaines sekas, turinčias k vienetų.

Kai aₙ=saₙ₋₁+taₙ₋₂ ir t≠0, skirtingos charakteristinio daugianario r²−sr−t šaknys r₁,r₂ duoda aₙ=Ar₁ⁿ+Br₂ⁿ; kartotinė šaknis r duoda aₙ=(A+Bn)rⁿ.

Liekanos eᵢ=yᵢ−f(xᵢ;β̂) palygina stebėtas ir modeliu įvertintas atsako reikšmes.

Grandinė tenkina P(Xₙ₊₁=j|X₀,…,Xₙ)=Pᵢⱼ, kai Xₙ=i; matricos P elementai yra neneigiami, o kiekvienos eilutės elementų suma lygi vienetui.

Stacionarusis skirstinys yra eilutės vektorius π su neneigiamais elementais, tenkinantis Σπᵢ=1 ir πP=π.

λ intensyvumo Puasono skaičiavimo procesas prasideda nuo nulio, turi nepriklausomus prieaugius, o N(t+s)−N(s) turi Puasono skirstinį su parametru λt.

Standartiniam Brauno judėjimui galioja B(0)=0; jo trajektorijos beveik tikrai tolydžios, o prieaugiai nepriklausomi ir tenkina B(t)−B(s)∼N(0,t−s), kai 0≤s<t.