Žinių pagrindai

Lokalus Lipšico tolydumas užtikrina vienintelę lokalią trajektoriją.

Matricos eksponentė išsprendžia baigtinę tiesinę sistemą.

Dalinė diferencialinė lygtis tampa sprendimo uždaviniu tik nurodžius sritį ir duomenis.

Lygties y′=f(t)g(y) srityje, kurioje g(y)≠0, integruojant dy/g(y)=f(t)dt gaunamas neišreikštinis sprendinys.

Kai p ir q yra tolydžios funkcijos, μ(t)=exp(∫p(t)dt) lygtį y′+p(t)y=q(t) paverčia lygtimi (μy)′=μq.

Lygties ay″+by′+cy=0, kai a≠0, sprendinių pavidalus nusako lygties ar²+br+c=0 šaknys: skirtingas realiąsias šaknis atitinka eʳ¹ᵗ,eʳ²ᵗ; kartotinę šaknį atitinka eʳᵗ,teʳᵗ; jungtines šaknis α±iβ atitinka eᵅᵗcos βt,eᵅᵗsin βt.

Tiesinės lygties Ly=f bet kurio vieno atskirojo sprendinio yₚ ir bendrojo vienalytės lygties sprendinio y_c suma duoda visus sprendinius y=y_c+yₚ.

C¹ klasės plokštuminėje autonominėje sistemoje pusiausvyros yra vektorinio lauko nuliai.

2L periodinei dalimis glodžiai realiajai funkcijai f: aₙ=L⁻¹∫₋ᴸᴸf(t)cos(nπt/L)dt ir bₙ=L⁻¹∫₋ᴸᴸf(t)sin(nπt/L)dt.

Vienpusė Laplaso transformacija yra F(s)=∫₀∞e⁻ˢᵗf(t)dt.

Lygties u_t=κu_xx intervale 0<x<L, kai temperatūra intervalo galuose lygi nuliui, kintamųjų atskyrimas duoda modas sin(nπx/L)e⁻κ⁽ⁿπ/L⁾²ᵗ.

Lygties u_tt=c²u_xx intervale [0,L], kai poslinkis galuose lygus nuliui, pradinį poslinkį f ir greitį g pratęskite iki nelyginių 2L periodo funkcijų F,G.

Glodžiai sparčiai mažėjančiai funkcijai f, kurios išvestinės taip pat mažėja sparčiau už bet kurį laipsnį, apibrėžkime f̂(ξ)=∫Rⁿe⁻ⁱˣ·ξf(x)dx.

Lygties y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) atveju naudokite tiesiškai nepriklausomus homogeninės lygties sprendinius y₁,y₂ ir pasirinkite yₚ=u₁y₁+u₂y₂.

Lygties −(py′)′+qy=λwy intervale [a,b], esant vienalytėms Dirichlet’o kraštinėms sąlygoms, kai realiosios funkcijos p,p′,q,w yra tolydžios, p,w>0 ir q≥0, tikrinės reikšmės didėja iki begalybės, o tikrinės funkcijos yra vienintelės iki dauginimo pastoviu daugikliu.

Nurodytam reguliariajam Šturmo–Liuvilio uždaviniui ir tolydžiai, dalimis glodžiai funkcijai f koeficientai cₙ=∫f yₙw dx/∫yₙ²w dx duoda f=Σcₙyₙ vidiniuose taškuose.

Kai kraštiniai duomenys g yra tolydūs, realieji ir 2π periodiniai, u(r,θ)=(2π)⁻¹∫₋π^π[(1−r²)/(1−2r cos(θ−α)+r²)]g(α)dα yra harmoninė funkcija srityje 0≤r<1 ir tolydžiai pratęsiama iki u(1,θ)=g(θ).

Kai f yra kompleksinė 2π periodinė funkcija, integruojama Rymano prasme, cₙ=(2π)⁻¹∫₋π^πf(x)e⁻ⁱⁿˣdx ir s_N=Σ|n|≤N cₙeⁱⁿˣ tenkina ∫|f−s_N|²→0.

Jei Nʳ=0 ir A=λI+N, tai eᵗᴬ=e^(λt)Σₖ₌₀ʳ⁻¹tᵏNᵏ/k!.

Lygties i u-t=−Delta-u−lambda|u|^alpha u erdvėje R-n, kai lambda realusis ir 0<alpha<4/n, kiekvieniems pradiniams duomenims iš L2 egzistuoja vienintelis lokalus mild tipo sprendinys erdvių C([0,T];L2) ir L-q(0,T;L^(alpha+2)) sankirtoje, kur q=4(alpha+2)/(n alpha).

Kompaktiškoje glodžioje Rymano daugdaroje be krašto kiekviena de Ramo klasė turi vienintelį harmoninį atstovą.

Šilumos lygtį u-t−kappa Delta-u=f su nulinėmis Dirichlet kraštinėmis sąlygomis testuojant funkcija u, gaunamas balansas tarp pusės L2 normos kvadrato išvestinės laiko atžvilgiu, gradiento lemiamos disipacijos ir šaltinio nario poveikio.

Neaprėžtasis operatorius nusakomas tiesine apibrėžimo sritimi D(T) Hilberto erdvėje ir atvaizdžiu T:D(T)→H.

Uždaro tankiai apibrėžto simetrinio operatoriaus T defekto indeksai n-plius ir n-minus yra erdvių ker(T*−iI) ir ker(T*+iI) matmenys.

Savaime jungtinis operatorius turi projekcijomis reikšmes įgyjantį spektrinį matą E aibėje R ir gali būti išreikštas integralu lambda dE(lambda).

Jei P yra m eilės elipsinis diferencialinis operatorius su pastoviais koeficientais erdvėje Rⁿ, o u yra skirstinys atviroje aibėje U, tai iš Pu priklausymo lokaliajai H^s erdvei išplaukia u priklausymas lokaliajai H^(s+m) erdvei.

Glodus elipsinis operatorius kompaktiškoje daugdaroje be krašto atvaizduoja H^(s+m) į H-s, turi baigtinio matmens branduolį bei kobranduolį ir uždarą vaizdą.

Nespūdaus klampaus tekėjimo atveju pradiniai duomenys, kurių divergencija lygi nuliui, ir slėgis užtikrina suvaržymo tenkinimą lygtyje u-t+(u·grad)u=nu Delta-u−grad p+f.