Apibrėžtinis integralas yra mažų įnašų kaupimo su ženklu ribinė vertė.
Esminės žinios
Tolydžiai realiųjų reikšmių funkcijai intervale [a,b] apibrėžtinis integralas yra sumų f(xᵢ*)Δx riba, intervalą vis smulkiau dalijant į vienodas dalis. Jis matuoja kaupimą su ženklu; neigiami įnašai atimami, o ne tampa teigiamu plotu.
Vertės ir lygtys
∫ₐᵇ f(x) dx = limₙ→∞ Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ*)Δx
f
Tolydi realiųjų reikšmių funkcija intervale [a,b]
a, b
Baigtinės integravimo ribos, kai a < b
n
Vienodų dalinių intervalų skaičius
xᵢ*
Pasirinktas taškas daliniame intervale i
Δx
Dalinio intervalo plotis (b−a)/n
Sąlygos ir taikymo ribos
Čia a < b, o f yra tolydi; tolydumas yra pakankama integruojamumo sąlyga.
Kiekviename daliniame intervale pasirinkite xᵢ*, o Δx=(b−a)/n.
Šis įrašas neapima netikrinių integralų ar visų integruojamų netolydžių funkcijų.
Šaltiniai · 3
Šaltiniai
Šaltiniai išlaiko savo taikymo ribas. Vien nuoroda nepatvirtina kiekvieno teiginio patikrinimo.
Rymano suma tolydžios funkcijos atvejui ir plotas su ženklu.
2026-10-10 · Patikrintas padalijimas į dalinius intervalus ir ženklų susitarimai; tolydumas nurodytas kaip pakankama, o ne būtina sąlyga.
Pagrindinių žinių peržiūra
2026-10-10 · Fresh primary-source inspection of the complete compact record, including every statement, equation, quantity and material condition, followed by independent AI editorial review. This check does not certify all linked lessons or every passage of every cited publication.
Šaltiniai iš kitų vietų
Skiriasi taikymo ribos ar susitarimas
Sampled subdivisions approach a Riemann integral in the positive-area construction.
The inspected construction is narrower than the repository signed continuous-function statement.
Universidade de São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística
Tolydžiai realiųjų reikšmių funkcijai intervale [a,b] apibrėžtinis integralas yra sumų f(xᵢ*)Δx riba, intervalą vis smulkiau dalijant į vienodas dalis. Jis matuoja kaupimą su ženklu; neigiami įnašai atimami, o ne tampa teigiamu plotu.
Jei f yra tolydi intervale [a,b], kaupimo funkcija F(x)=∫ₐˣf(t)dt tenkina F′(x)=f(x), kai a<x<b. Bet kuriai f pirmykštei funkcijai G galioja ∫ₐᵇf(x)dx=G(b)−G(a).
Aprėžtai realiajai funkcijai f intervale [a,b] apatinės ir viršutinės Darbu sumos sudaromos naudojant kiekvieno dalinio intervalo infimumą ir supremumą. Rymano integralas egzistuoja, kai apatinių sumų supremumas lygus viršutinių sumų infimumui; lygiavertiškai, kiekvienam ε>0 egzistuoja toks skaidinys, kad U(f,P)−L(f,P)<ε.
Jei f yra teigiama, tolydi ir mažėjanti intervale [1,∞), tai Σₙ₌₁∞f(n) ir ∫₁∞f(x)dx arba abu konverguoja, arba abu diverguoja. Todėl Σn⁻ᵖ konverguoja tada ir tik tada, kai p>1.
Padalijus intervalą į n lygių dalinių intervalų, kurių h=(b−a)/n, trapecijų metodo įvertis yra T=h[f(a)/2+Σᵢ₌₁ⁿ⁻¹f(a+ih)+f(b)/2]. Jei f baigtiniame intervale priklauso C² klasei, šio įverčio paklaida yra O(h²), kai h→0.
Reguliariosios C¹ klasės plokštumos arba erdvės kreivės r(t), a≤t≤b, ilgis yra ∫ₐᵇ‖r′(t)‖dt. Reguliariosios C² klasės erdvės kreivės kreivumas yra κ=‖r′×r″‖/‖r′‖³, arba, lygiaverčiai, ‖dT/ds‖, kur T yra vienetinis liestinės vektorius, o s – lanko ilgis.
Jei baigtiniame intervale [a,b] pagal Riemanną integruojamos funkcijos fₙ tolygiai konverguoja į f, tai f yra integruojama pagal Riemanną ir ∫ₐᵇfₙ dx→∫ₐᵇf dx.
Kai kraštiniai duomenys g yra tolydūs, realieji ir 2π periodiniai, u(r,θ)=(2π)⁻¹∫₋π^π[(1−r²)/(1−2r cos(θ−α)+r²)]g(α)dα yra harmoninė funkcija srityje 0≤r<1 ir tolydžiai pratęsiama iki u(1,θ)=g(θ). Tai vienintelis toks harmoninis sprendinys uždarame vienetiniame skritulyje.
Kai n≥2 yra lyginis ir h=(b−a)/n, Sₙ=(h/3)[f(a)+f(b)+4Σ_{nelyginiai i} f(a+ih)+2Σ_{lyginiai i} f(a+ih)], sumuojant pagal vidinius indeksus. Kai f∈C⁴[a,b], |∫ₐᵇf−Sₙ|≤(b−a)h⁴ max|f⁽⁴⁾|/180. Taisyklė yra tiksli ne aukštesnio kaip trečiojo laipsnio polinomams.
Kai S yra Saulės spinduliuotės srauto tankis statmenai spinduliams esamu orbitiniu atstumu, geografinė platuma φ ir deklinacija δ lemia cosZ=sinφsinδ+cosφcosδcosh. Integruojant teigiamą apšvietimą per vieną apsisukimą, gaunamas vidurkis Q=(S/π)[h₀sinφsinδ+cosφcosδsinh₀]. Įprasto saulėtekio ir saulėlydžio atveju h₀=arccos(−tanφtanδ); poliarinės dienos ir nakties ribiniais atvejais, atsižvelgiant į atitinkamą geometriją, naudojama h₀=π arba 0.
Rotation-average energy is the stated finite integral.
Plokščiam šlyties lūžio židiniui, kurio šlyties modulis μ yra vienodas, o poslinkio dydis D atitinka vienodą slydimo kryptį, skaliarinis momentas yra M₀=μAD̄, arba lygiaverčiai μ∫_A D dA. Momentinė magnitudė apskaičiuojama pagal Mw=(2/3)[log₁₀(M₀/(1N m))−9.1]. Židinio momentas apibūdina slydimo lūžiu mastą ir nėra nei išspinduliuota energija, nei intensyvumas konkrečioje vietoje.
The area-weighted source sum is a bounded integral.
Aukšto dažnio spindulių modelyje sklidimo trukmė išilgai trajektorijos γ yra t=∫_γ ds/v. Ties nejudančia plokščia terpių riba fazių suderinimas išilgai ribos sklindančioms šakoms duoda sinθ₁/v₁=sinθ₂/v₂; kampai matuojami nuo normalės. Kai v₂>v₁, praėjusi banga sklinda išilgai ribos, kai sinθ_c=v₁/v₂. Atspindėtoms ir konvertuotoms elastinių bangų šakoms reikia jų pačių greičių ir kraštinių sąlygų.
Begalinės linijos, lygiagrečios y krypčiai, esančios horizontaliojoje koordinatėje x₀ ir gylyje b>0, kurios perteklinė masė ilgio vienetui su ženklu yra m_l, žemyn nukreipta paviršiaus anomalija yra Δg=2Gm_lb/[(x−x₀)²+b²]. Integruojant linijas nuo x₁ iki x₂ gaunamas plonos juostos modelis Δg=2GΔρH[arctan((x₂−x)/b)−arctan((x₁−x)/b)]. Didesnis gylis išplatina pastovios linijinės masės anomaliją ir sumažina jos didžiausią modulį.
Kai gylis z teigiamas žemyn, šilumos laidumas k pastovus, o tūrinis šilumos išsiskyrimas H vienodas, stacionarus šilumą laidantis sluoksnis tenkina kT_zz+H=0. Jei T(0)=T_s, o paviršiaus šilumos srautas į išorę ir aukštyn yra q_s=kT_z(0), tuomet T(z)=T_s+(q_s/k)z−Hz²/(2k). Kai H=0, gradientas pastovus; šiame modelyje dėl vidinio šilumos išsiskyrimo aukštyn nukreiptas srautas mažėja didėjant gyliui.
Integrating a constant-coefficient second-order equation fixes the geotherm.