Žinių pagrindai

Padalijus intervalą į n lygių dalinių intervalų, kurių h=(b−a)/n, trapecijų metodo įvertis yra T=h[f(a)/2+Σᵢ₌₁ⁿ⁻¹f(a+ih)+f(b)/2].

Eulerio metodo žingsnis lygčiai y′=f(t,y) apskaičiuojamas pagal formulę yₖ₊₁=yₖ+hf(tₖ,yₖ).

Apibrėžkime k₁=hf(t,y), k₂=hf(t+h/2,y+k₁/2), k₃=hf(t+h/2,y+k₂/2), k₄=hf(t+h,y+k₃); tuomet y_next=y+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6.

Lygties y′=f(t)g(y) srityje, kurioje g(y)≠0, integruojant dy/g(y)=f(t)dt gaunamas neišreikštinis sprendinys.

Kai p ir q yra tolydžios funkcijos, μ(t)=exp(∫p(t)dt) lygtį y′+p(t)y=q(t) paverčia lygtimi (μy)′=μq.

Lygties ay″+by′+cy=0, kai a≠0, sprendinių pavidalus nusako lygties ar²+br+c=0 šaknys: skirtingas realiąsias šaknis atitinka eʳ¹ᵗ,eʳ²ᵗ; kartotinę šaknį atitinka eʳᵗ,teʳᵗ; jungtines šaknis α±iβ atitinka eᵅᵗcos βt,eᵅᵗsin βt.

Tiesinės lygties Ly=f bet kurio vieno atskirojo sprendinio yₚ ir bendrojo vienalytės lygties sprendinio y_c suma duoda visus sprendinius y=y_c+yₚ.

C¹ klasės plokštuminėje autonominėje sistemoje pusiausvyros yra vektorinio lauko nuliai.

2L periodinei dalimis glodžiai realiajai funkcijai f: aₙ=L⁻¹∫₋ᴸᴸf(t)cos(nπt/L)dt ir bₙ=L⁻¹∫₋ᴸᴸf(t)sin(nπt/L)dt.

Vienpusė Laplaso transformacija yra F(s)=∫₀∞e⁻ˢᵗf(t)dt.

Lygties u_t=κu_xx intervale 0<x<L, kai temperatūra intervalo galuose lygi nuliui, kintamųjų atskyrimas duoda modas sin(nπx/L)e⁻κ⁽ⁿπ/L⁾²ᵗ.

Lygties u_tt=c²u_xx intervale [0,L], kai poslinkis galuose lygus nuliui, pradinį poslinkį f ir greitį g pratęskite iki nelyginių 2L periodo funkcijų F,G.

Maišos lentelė priskiria raktus lizdams, o kolizijas sudarančius raktus saugo grandinėje.

AVL dvejetainiame paieškos medyje kiekvienos viršūnės pomedžių aukščiai skiriasi ne daugiau kaip vienetu.

Dvejetainė maksimumo krūva masyve saugo dvejetainį medį, kurio visi lygiai, išskyrus galbūt paskutinį, užpildyti, o paskutinio lygio viršūnės išdėstytos iš kairės į dešinę be tarpų; kiekvienos tėvinės viršūnės raktas yra ne mažesnis už jos vaikų raktus.

Sudarykite maksimumo krūvą, sukeiskite jos šaknį su paskutiniu aktyviu elementu, sumažinkite aktyvią krūvą ir atkurkite krūvos tvarką; kartokite.

Dinaminio programavimo metu apibrėžiami daliniai uždaviniai ir rekurentiniai sąryšiai, tikrinama aciklinė priklausomybių tvarka ir baziniai atvejai, o kiekvienas reikalingas dalinis uždavinys sprendžiamas vieną kartą, įsimenant rezultatus arba sprendžiant nuo mažesnių uždavinių prie didesnių.

Teigiamiems sveikiesiems skaičiams a₁,…,aₙ ir tikslinei sumai T≥0 galioja D(i,t)=D(i−1,t) arba [t≥aᵢ ir D(i−1,t−aᵢ)], kur D(0,0)=tiesa, o kitos pradinės būsenos yra klaidingos.

Pradžioje nustatoma d(s)=0, o kiti atstumai prilyginami begalybei; tada kiekviena orientuota briauna relaksuojama per |V|−1 iteracijų.

Jei C¹ atvaizdžio f:U⊆Rⁿ→Rⁿ išvestinė taške a∈U yra apverčiama, tai jo apribojimas yra C¹ bijekcija tarp taškų a ir f(a) aplinkų, turinti C¹ atvirkštinį atvaizdį, ir D(f⁻¹)(f(a))=[Df(a)]⁻¹.

Jei C¹ atvaizdis F:U⊆Rⁿ×Rᵐ→Rᵐ tenkina F(a,b)=0, o dalinė išvestinė D_yF(a,b) yra apverčiama, tai netoliese esančius nulius vienareikšmiškai nusako y=g(x), kur g yra C¹ ir g(a)=b.

Sigma algebra apima visą erdvę ir yra uždara papildinių bei skaičiųjų sąjungų atžvilgiu.

Atvaizdis tarp mačiųjų erdvių yra matusis, kai kiekvienos mačiosios aibės reikšmių erdvėje pirmavaizdis yra matusis.

Sigma baigtinių matų erdvėse neneigiamosios funkcijos, mačiosios sandaugos sigma algebros atžvilgiu, integralas sandaugos erdvėje ir kartotiniai integralai yra lygūs ir gali būti begaliniai.

Topologinė erdvė yra jungioji, jei jos negalima padalyti į dvi netuščias, nesikertančias atvirąsias aibes.

Metrinė erdvė yra pilnoji, jei kiekviena Koši seka turi ribą toje erdvėje.

Netuščios pilnosios metrinės erdvės atvaizdis T į save, tenkinantis d(Tx,Ty)≤k d(x,y), 0≤k<1, turi vienintelį fiksuotąjį tašką.

Kvadratu integruojamiems realiesiems atsitiktiniams dydžiams X,Y galioja Var X=E[(X−EX)²] ir Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)].

Bendroji tikimybių funkcija arba bendrasis tankis aprašo vienalaikes reikšmes; marginalieji skirstiniai gaunami sumuojant arba integruojant pagal kitas koordinates.

E[X|Y=y] yra X vidurkis, apskaičiuotas pagal jo sąlyginį skirstinį.