Žinių pagrindai

Kiekviena netriviali baigtinė Abelio grupė yra ciklinių grupių, kurių eilės yra pirminių skaičių laipsniai, tiesioginė sandauga.

Bet kurioje grupėje G daugyba iš kairės λg(x)=gx yra aibės G perstata.

Nenulinė holomorfinė funkcija jungioje srityje Ω kiekvieno nulio a aplinkoje išskaidoma kaip f(z)=(z−a)ᵐh(z), kur m yra sveikasis skaičius, m≥1, o h yra holomorfinė funkcija ir h(a)≠0.

Jei f yra holomorfinė srityje 0<|z−a|<R, jos Lorano eilutės pagrindinė dalis nusako taško a tipą: jei nėra neigiamų laipsnių, tai pašalinamasis ypatingasis taškas; jei jų yra baigtinis skaičius ir mažiausias rodiklis yra −m, tai m eilės polius; jei jų yra be galo daug, tai esminis ypatingasis taškas.

Jei f yra holomorfinė uždarojo skritulio |z−a|≤R aplinkoje ir jo krašte |f|≤M, tai |f⁽ⁿ⁾(a)|≤n!M/Rⁿ.

Jei |f| įgyja lokalųjį maksimumą jungios srities, kurioje f yra holomorfinė, vidiniame taške, tai f yra pastovi.

Ties m-osios eilės poliumi funkcija H(z)=(z−a)ᵐf(z) pratęsiama holomorfiškai ir Res(f,a)=H⁽ᵐ⁻¹⁾(a)/(m−1)!.

Realiųjų reikšmių C² klasės funkcija u yra harmoninė, kai Δu=uₓₓ+uᵧᵧ=0.

Harmoninės funkcijos u reikšmė lygi jos vidurkiui kiekviename apskritime, kurio uždaras skritulys yra jos apibrėžimo srityje.

Taške a, kuriame f′(a)≠0, holomorfinis atvaizdis lokaliai išlaiko orientuotus kampus: liestinės vektoriai dauginami iš f′(a), pasukant juos kampu arg f′(a) ir keičiant jų ilgį |f′(a)| kartų.

T(z)=(az+b)/(cz+d), ad−bc≠0, pratęsiamas iki aibės C∪{∞} bijekcijos, kur T(−d/c)=∞ ir T(∞)=a/c, kai c≠0.

Kiekvieną netuščią vienajungį atvirą tikrinį C poaibį galima bijektyviai holomorfiškai atvaizduoti į vienetinį skritulį taip, kad atvirkštinis atvaizdis būtų holomorfinis.

Meromorfinei funkcijai f teigiamai orientuotas paprastasis uždaras dalimis C¹ kontūras γ, neinantis per jos nulius ir polius, duoda (2πi)⁻¹∮γf′/f dz=N−P=Ind(f∘γ,0), kur viduje esantys nuliai ir poliai skaičiuojami atsižvelgiant į jų kartotinumą.

Jei f ir h yra holomorfinės paprastojo uždaro kontūro γ vidaus uždarinio aplinkoje ir ant γ galioja |h(z)|<|f(z)|, tai f ir f+h turi vienodą skaičių viduje esančių nulių, skaičiuojamų atsižvelgiant į kartotinumą.

Kai kraštiniai duomenys g yra tolydūs, realieji ir 2π periodiniai, u(r,θ)=(2π)⁻¹∫₋π^π[(1−r²)/(1−2r cos(θ−α)+r²)]g(α)dα yra harmoninė funkcija srityje 0≤r<1 ir tolydžiai pratęsiama iki u(1,θ)=g(θ).

Kai n≥2 yra lyginis ir h=(b−a)/n, Sₙ=(h/3)[f(a)+f(b)+4Σ_{nelyginiai i} f(a+ih)+2Σ_{lyginiai i} f(a+ih)], sumuojant pagal vidinius indeksus.

Kai Simpsono artiniai skaičiuojami glodiems duomenims, naudojant N ir 2N vienodų dalinių intervalų, (S_(2N)−S_N)/15 ekstrapoliacijos būdu įvertina S_(2N) pataisą.

Lygčiai y′=λy, kai h>0 yra fiksuotas, vieno žingsnio metodas y_(k+1)=R(hλ)y_k su nenuline pradine verte yra absoliučiai stabilus tada ir tik tada, kai |R(hλ)|≤1; griežtoji nelygybė lemia slopimą.

Neišreikštinis Eulerio metodas apibrėžiamas lygtimi y_(k+1)=y_k+h f(t_(k+1),y_(k+1)), kurią paprastai reikia spręsti kaip neišreikštinę lygtį.

Uždavinys vadinamas standžiu, kai dėl stabilumo, o ne dėl pageidaujamo tikslumo, metodui tenka rinktis itin mažus žingsnius.

Kai A yra diagonalizuojama, |λ₁|>|λ₂|≥… ir pradinio vektoriaus koeficientas prie λ₁ atitinkančio tikrinio vektoriaus yra nenulinis, kartojama iteracija x_(k+1)=Ax_k/‖Ax_k‖₂ artėja prie dominuojančios tikrinės krypties, nepaisant fazės arba ženklo skirtumo.

Turint n įrašų su sveikaisiais raktais 0≤k<U, pagal raktą pridėti įrašus į U krepšelių galus, išlaikant įterpimo tvarką, tada sujungti krepšelius raktų didėjimo tvarka.

Neneigiamus sveikuosius raktus išreikškite d skaitmenų B pagrindo sistemoje ir stabiliai rikiuokite pagal kiekvieną skaitmenį nuo mažiausiai iki labiausiai reikšminio.

Baigtinio orientuotojo grafo viršūnes galima išdėstyti taip, kad kiekvienai briaunai u→v viršūnė u eitų prieš v, tada ir tik tada, kai grafas yra aciklinis.

Baigtiniame orientuotajame acikliame grafe (DAG) su sveikaisiais briaunų svoriais nustatykite d(s)=0, o kitoms viršūnėms – d(v)=∞, apdorokite viršūnes topologine tvarka ir relaksuokite kiekvieną išeinančią briauną u→v pagal d(v)←min(d(v),d(u)+w(u,v)).

Eilučių sufiksų A[i:],B[j:] ilgiausio bendro posekio ilgį pažymėkime L(i,j).

Kai T(n)=aT(n/b)+f(n), T(1)=Θ(1), pažymėkime q=log_b a.

Monotoninė realiųjų skaičių seka konverguoja į baigtinę ribą tada ir tik tada, kai ji yra aprėžta.

Kiekviena aprėžta realiųjų skaičių seka turi konverguojantį posekį.

Konverguojančių realiųjų skaičių sekų xₙ→x, yₙ→y sumos ir sandaugos konverguoja atitinkamai į x+y ir xy; dalmenys artėja prie x/y, jei y≠0.