GLOBAL KNOWLEDGE ARK

Žinynas

Žinių pagrindai

Tyrinėkite sąvokas, dėsnius, lygtis ir metodus, jų taikymą ir šaltinius. Pasirinkite pažinimo sritį arba raskite konkretų žinyno įrašą.

Daugiau filtrų

Žinyno įrašai

Rodoma įrašų: 31–60 iš 1709

Fizika · MatavimasCezio-133 apibrėžiamasis dažnis

ΔνCs žymi netrikdomo cezio-133 atomo pagrindinės būsenos hipersmulkiosios sandaros šuolio dažnį. Jo skaitinė vertė SI vienetais yra tiksliai fiksuota.

ApibrėžimasMatematika ir logika · InformacijaKlasikiniai teiginiai ir loginės jungtys

Klasikinė logika jungia tiesos vertes turinčius teiginius apibrėžtomis loginėmis jungtimis.

ApibrėžimasMatematika ir logikaAksiomos, dedukcija ir matematinis įrodymas

Matematiniu įrodymu išvada išvedama remiantis nurodytomis prielaidomis ir taisyklėmis.

MetodasMatematika ir logika · InformacijaAibės, priklausymas ir pagrindinės operacijos

Aibė nusako elementų priklausymą, neatsižvelgiant į pakartotinį tų pačių elementų išvardijimą.

ApibrėžimasMatematika ir logika · InformacijaFunkcijos, apibrėžimo sritis ir kodomenas

Funkcija kiekvienam savo apibrėžimo srities elementui priskiria lygiai vieną reikšmę.

ApibrėžimasMatematika ir logika · InformacijaMatematinė indukcija

Indukcijos bazė ir bendrasis indukcijos žingsnis leidžia įrodyti, kad predikatas teisingas visiems neneigiamiems sveikiesiems skaičiams.

MetodasMatematika ir logika · MatavimasEuklidiniai statieji trikampiai ir Pitagoro teorema

Euklidinio stačiojo trikampio statinių ilgių kvadratų suma lygi įžambinės ilgio kvadratui.

Matematinis teiginysMatematika ir logika · FizikaSinusas, kosinusas ir vienetinis apskritimas

Sinusas ir kosinusas yra vienetinio apskritimo taško koordinatės, kurių kvadratų suma lygi vienetui.

Matematinis teiginysMatematika ir logika · InformacijaKompleksiniai skaičiai

Kompleksinis skaičius turi realiąsias koordinates a ir b bei menamąjį vienetą, tenkinantį lygybę i²=−1.

ApibrėžimasMatematika ir logika · Informacija · FizikaTiesiniai atvaizdžiai ir jų matricinis vaizdavimas

Tiesinis atvaizdis išsaugo tiesinius darinius ir, pasirinkus bazes, turi matricą.

ApibrėžimasMatematika ir logikaRealiųjų reikšmių funkcijos riba

Baigtinė riba leidžia kontroliuoti funkcijos reikšmės paklaidą, kai argumento atstumas yra pakankamai mažas.

ApibrėžimasMatematika ir logika · FizikaIšvestinė taške

Išvestinė yra baigtinė vietinių skirtuminių santykių riba.

ApibrėžimasMatematika ir logika · FizikaApibrėžtinis integralas ir kaupimas su ženklu

Apibrėžtinis integralas yra mažų įnašų kaupimo su ženklu ribinė vertė.

ApibrėžimasMatematika ir logika · FizikaPagrindinė matematinės analizės teorema

Tolydumas susieja diferencijavimą ir integravimą.

Matematinis teiginysMatematika ir logika · InformacijaTikimybinė erdvė ir aksiomos

Tikimybė įvykiams priskiria neneigiamus, normuotus svorius; poromis nesutaikomų įvykių skaičiosios sąjungos svoris yra tų įvykių svorių suma.

ApibrėžimasMatematika ir logika · InformacijaSąlyginė tikimybė ir nepriklausomumas

Sąlygojant apsiribojama teigiamos tikimybės įvykiu.

ApibrėžimasMatematika ir logika · InformacijaDiskrečiojo atsitiktinio dydžio matematinė viltis

Matematinė viltis – tai galimų reikšmių suma, kurioje kiekvienos reikšmės svoris yra jos tikimybė.

ApibrėžimasMatematika ir logika · MatavimasPopuliacijos vidurkio pasikliautinasis intervalas

Pasikliovimo lygmuo nusako, kokia dalis pakartotinai sudaromų imčių intervalų, gautų taikant intervalų sudarymo procedūrą, apima parametrą.

MetodasInformacija · Matematika ir logikaBitai ir dvejetainis kodavimas be ženklo

Bitas turi dvi galimas būsenas; fiksuoto ilgio dvejetainis žodis be ženklo koduoja sveikąjį skaičių.

ApibrėžimasInformacija · Matematika ir logikaDiskrečiojo skirstinio Šenono entropija

Šenono entropija matuoja neapibrėžtį nurodytame tikimybių skirstinyje.

ApibrėžimasInformacijaAlgoritmas ir sprendimo procedūra

Algoritmas nusako efektyviai įvykdomus žingsnius; sprendimo procedūra turi baigti darbą su kiekviena leistina įvestimi.

MetodasInformacija · Matematika ir logikaSustojimo problemos neišsprendžiamumas

Bendrajame skaičiavimo modelyje nėra visur apibrėžto algoritmo, kuris nustatytų, ar programa sustos, kiekvienai programai ir įvesčiai.

Matematinis teiginysInformacija · Matematika ir logikaAsimptotiniai viršutiniai rėžiai ir didysis O

Didysis O nusako augimo viršutinį rėžį: nuo tam tikro įvesties dydžio nagrinėjama funkcija neviršija pastoviu daugikliu padaugintos palyginamosios funkcijos.

ApibrėžimasMatavimasPagrindiniai SI vienetai

Septyni pavadinimus turintys pagrindiniai vienetai sudaro SI dydžių sistemos pagrindą.

ApibrėžimasMatavimasSI dešimtainiai priešdėliai

Priešdėlių simboliai nurodo dešimtainius mastelio daugiklius.

ApibrėžimasMatavimasMetrologinė sietis

Susieti rezultatą su atskaitos pagrindu per dokumentuotus kalibravimus.

ApibrėžimasMatavimas · Matematika ir logikaPirmosios eilės neapibrėžties sklidimas

Sujungti įėjimo dydžių neapibrėžtis taikant matavimo modelį.

MetodasMatavimas · Fizika · Matematika ir logikaDimensijų suderinamumas

Naudokite dimensijas neįmanomoms fizikinių dydžių lygtims aptikti.

MetodasFizika · Žemė ir kosmosasNiutono gravitacija

Taškinių masių trauką modeliuoja jėga, atvirkščiai proporcinga atstumo kvadratui.

ModelisFizikaDažnis, bangos ilgis ir fazinis greitis

Susieti periodinės bangos pasikartojimą erdvėje ir laike.

Apibrėžimas
ApibrėžimasPatikrinta pagal šaltinius

Tiesiniai atvaizdžiai ir jų matricinis vaizdavimas

Matematika ir logikaInformacijaFizika

Tiesinis atvaizdis išsaugo tiesinius darinius ir, pasirinkus bazes, turi matricą.

Esminės žinios

Realusis tiesinis atvaizdis T:ℝⁿ→ℝᵐ tenkina lygybę T(αu+βv)=αT(u)+βT(v). Pasirinkus įvesties erdvės ℝⁿ ir tikslinės erdvės ℝᵐ bazes, jis vaizduojamas m×n matrica A: išvesties koordinatės yra y=Ax, kur yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿaᵢⱼxⱼ.

Vertės ir lygtys

T(αu+βv)=αT(u)+βT(v); yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿ aᵢⱼxⱼ

T
Tiesinis atvaizdis iš ℝⁿ į ℝᵐ
α, β
Realieji skaliarai
u, v
Įvesties vektoriai
aᵢⱼ
Matricos A elementas i eilutėje ir j stulpelyje
xⱼ
Įvesties koordinatė j
yᵢ
Išvesties koordinatė i
n, m
Teigiamos įvesties ir išvesties dimensijos

Sąlygos ir taikymo ribos

  • α ir β yra realieji skaliarai, o u,v yra įvesties vektoriai.
  • Matrica priklauso nuo pasirinktų bazių; x ir y yra koordinačių vektoriai stulpeliai tose bazėse.
  • Matricos ir vektoriaus matmenys turi būti suderinti; iš n įvesties koordinačių gaunama m išvesties koordinačių.
Šaltiniai · 4

Šaltiniai

Šaltiniai išlaiko savo taikymo ribas. Vien nuoroda nepatvirtina kiekvieno teiginio patikrinimo.

  1. Massachusetts Institute of Technology2 šaltiniai
    1. 18.06 Linear Algebra, Lecture 30 transcript: Linearity and matrix constructionGilbert Strang, Massachusetts Institute of TechnologyPaskaitų medžiaga · PDFocw.mit.eduSkaityti šaltinį
    2. 18.06 Linear Algebra, Lecture 30: Linear transformations and their matrices (transcript)Gilbert Strang / MIT OpenCourseWarePaskaitų medžiaga · PDFocw.mit.eduSkaityti šaltinį
  2. Precalculus 2e, 9.5: Matrices and operationsOpenStaxVadovėlio skyriusopenstax.orgSkaityti šaltinį
  3. MATH1231 Algebra · Chapter 7: Linear mapsDaniel Chan, UNSW SydneyMokomoji medžiaga · PDFweb.maths.unsw.edu.auSkaityti šaltinį

Pagrindimas ir peržiūra

Baigtinių dimensijų realiųjų erdvių tiesiškumas, priklausomybė nuo bazės ir matricos daugyba iš vektoriaus.

2026-10-10 · Tiesinio darinio taisyklė ir bazės sudarymas patikrinti pagal MIT, o matmenų suderinamumas ir elementų skaičiavimas — pagal OpenStax.

Pagrindinių žinių peržiūra

2026-10-10 · Fresh primary-source inspection of the complete compact record, including every statement, equation, quantity and material condition, followed by independent AI editorial review. This check does not certify all linked lessons or every passage of every cited publication.

Šaltiniai iš kitų vietų

Skiriasi taikymo ribos ar susitarimas

Linearity preserves sums and scaling; real matrix maps act on coordinate columns.

The inspected matrix examples use standard coordinates; arbitrary-basis representation is a broader repository statement.

Susiję žinyno įrašai

Tyrinėkite ryšius šioje pažinimo srityje ir jos sąsajas su kitomis sritimis.

Rodomi 1–23 iš 23 ryšių

Mokslinių žinių ryšiai · 23 / 23

Ryšio tipas nusako santykį. Susieti teiginiai, šaltiniai ir sąlygos apibrėžia jo taikymo ribas.

  1. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Realusis tiesinis atvaizdis T:ℝⁿ→ℝᵐ tenkina lygybę T(αu+βv)=αT(u)+βT(v). Pasirinkus įvesties erdvės ℝⁿ ir tikslinės erdvės ℝᵐ bazes, jis vaizduojamas m×n matrica A: išvesties koordinatės yra y=Ax, kur yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿaᵢⱼxⱼ.
  2. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Realusis tiesinis atvaizdis T:ℝⁿ→ℝᵐ tenkina lygybę T(αu+βv)=αT(u)+βT(v). Pasirinkus įvesties erdvės ℝⁿ ir tikslinės erdvės ℝᵐ bazes, jis vaizduojamas m×n matrica A: išvesties koordinatės yra y=Ax, kur yᵢ=Σⱼ₌₁ⁿaᵢⱼxⱼ.
  3. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Tiesiniam atvaizdžiui T:V→W, kai V yra baigtinio matmens, galioja dim V = dim ker T + dim im T. Rangas yra vaizdo matmuo, o defektas – branduolio matmuo.
  4. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kiekviena realioji m×n matrica A turi skaidinį A=UΣVᵀ, kuriame U,V yra ortogonaliosios matricos, o Σ – stačiakampė diagonalinė matrica su neneigiamais elementais. Šios singuliariosios reikšmės yra matricos AᵀA tikrinių reikšmių kvadratinės šaknys, prireikus papildžius nuliais.
  5. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Tarkime, f:U⊂Rⁿ→Rᵐ, kur U yra atviroji aibė. Funkcija f yra diferencijuojama taške a, jei egzistuoja toks tiesinis atvaizdis B, kad ‖f(a+h)−f(a)−Bh‖/‖h‖→0, kai h→0. Šis B yra pilnoji išvestinė Df(a).
  6. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Pastoviai realiajai n×n matricai A uždavinys x′=Ax su x(0)=x₀ turi vienintelį globalų sprendinį x(t)=eᵗᴬx₀, kur eᵗᴬ=Σₖ₌₀∞ tᵏAᵏ/k! konverguoja kiekvienam realiajam t.
  7. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • LU skaidymas išreiškia A=LU, kur L yra apatinė trikampė matrica su vienetais pagrindinėje įstrižainėje, o U – viršutinė trikampė matrica. Kai U pagrindinės įstrižainės elementai nelygūs nuliui, išsprendus Ly=b, o tada Ux=y, gaunamas Ax=b sprendinys.
  8. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Realioji ortogonalioji kvadratinė matrica Q tenkina QᵀQ=I ir išsaugo euklidinius ilgius. Kai A∈Rᵐˣⁿ, m≥n, o jos stulpeliai tiesiškai nepriklausomi, plonajame QR skaidinyje A=QR matricos Q stulpeliai yra ortonormuoti, o R yra neišsigimusi viršutinė trikampė matrica.
  9. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kai A yra apgręžiama ir naudojama indukuotoji matricos norma, κ(A)=‖A‖‖A⁻¹‖. Jei A(x+Δx)=b+Δb ir b≠0, tai ‖Δx‖/‖x‖≤κ(A)‖Δb‖/‖b‖.
  10. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Eilučių sukeitimas, eilutės dauginimas iš nenulinio skaliaro ir kitos eilutės kartotinio pridėjimas nekeičia tiesinių lygčių sistemos sprendinių aibės. Suvedus matricą į laiptuotąjį pavidalą ir tada atlikus atgalinį įstatymą, nustatomi pagrindiniai elementai, laisvieji kintamieji ir prieštaringos lygtys 0=c≠0.
  11. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kai Aᵢⱼ sudaroma išbraukus i eilutę ir j stulpelį, skleidžiant pagal algebrinius papildinius gaunama det A=Σⱼ(−1)ⁱ⁺ʲaᵢⱼdet Aᵢⱼ, pradedant nuo det[a]=a. Galioja det(AB)=det A det B; A yra apverčiama tada ir tik tada, kai det A≠0.
  12. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Tiesinės lygties Ly=f bet kurio vieno atskirojo sprendinio yₚ ir bendrojo vienalytės lygties sprendinio y_c suma duoda visus sprendinius y=y_c+yₚ. Neapibrėžtųjų koeficientų metodu parenkamos bandomosios polinominės, eksponentinės ar trigonometrinės išraiškos pagal lygties dešiniąją pusę; kai bandomoji išraiška sutampa su vienalytės lygties sprendinio komponente, ji dauginama iš pakankamo laipsnio t.
  13. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Grandinė tenkina P(Xₙ₊₁=j|X₀,…,Xₙ)=Pᵢⱼ, kai Xₙ=i; matricos P elementai yra neneigiami, o kiekvienos eilutės elementų suma lygi vienetui. Jei pradinis skirstinys yra eilutės vektorius μ, po n žingsnių skirstinys yra μPⁿ.
  14. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Virš F₂ imkime H=[A|Iₘ] ir G=[Iₙ₋ₘ;A]. Pranešimo x kodavimas c=Gx yra injektyvus, HG=0, o kodas yra tiksliai ker H. Pirmosios n−m koordinatės saugo informaciją, o paskutinės m yra skirtos lyginumo patikroms.
  15. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Jei apverčiamosios matricos P stulpeliai yra sutvarkytosios bazės B vektoriai standartinėmis koordinatėmis, tai v=P[v]B. Tiesinio operatoriaus, kurio matrica standartinėje bazėje yra A, matrica bazėje B yra [T]B=P⁻¹AP. Naujas matricinis pavidalas keičia koordinates, o ne patį atvaizdį.
  16. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Apgręžiama afininė erdvės ℝⁿ transformacija yra pavidalo T(x)=Ax+b, kur A yra apgręžiama. Ji išsaugo afininius derinius, kurių svorių suma lygi vienetui, kolinearumą, lygiagretumą ir tiesės parametro reikšmę su ženklu. Bendrosios afininės transformacijos nebūtinai išsaugo euklidinius ilgius ar kampus.
  17. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Turint N kompleksinių koeficientų aⱼ, apibrėžiama yₖ=Σ_(j=0)^(N−1)aⱼωᴶᴷ, kur ω=e²πⁱ⁄ᴺ. Atvirkštinė transformacija yra aⱼ=N⁻¹Σ_(k=0)^(N−1)yₖω⁻ᴶᴷ. Taip daugianario koeficientai paverčiami jo reikšmėmis N-ojo laipsnio šaknyse iš vieneto.
  18. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Baigtinio dydžio kvadratinės matricos A virš lauko charakteristinis daugianaris p(t)=det(tI−A)=tⁿ+cₙ₋₁tⁿ⁻¹+⋯+c₀ tenkina tapatybę p(A)=Aⁿ+cₙ₋₁Aⁿ⁻¹+⋯+c₀I=0. Dalyba iš daugianario p leidžia bet kurį matricos A daugianarį pakeisti mažesnio nei n laipsnio daugianariu; kai c₀≠0, ši tapatybė taip pat leidžia išreikšti A⁻¹ kaip matricos A daugianarį.
  19. Susiję su
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Lokaliai plokščiam sluoksniui, kurio tikrasis kritimo kampas yra δ, horizontaliąją x ašį nukreipkite sluoksnio kritimo kryptimi, o aukščio z ašį – aukštyn. Jo plokštuma tenkina lygtį z=z₀−x tanδ. Vertikaliame pjūvyje, kurio horizontalioji kryptis su sluoksnio tįsos kryptimi sudaro kampą β, tariamojo kritimo kampo modulis α tenkina lygtį tanα=tanδ|sinβ|. Pjūvyje, statmename sluoksnio tįsos krypčiai, matomas tikrasis kritimo kampas; pjūvyje išilgai tįsos krypties nevertikalus sluoksnis nerodo kritimo.

    Projection uses a coordinate representation of a plane.

  20. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Trikomponentės sudėtys vaizduojamos normuotame trikampyje: x_A+x_B+x_C=1, o dalys yra neneigiamos. Esant trijų fazių pusiausvyrai, bendroji sudėtis yra x₀=f₁x₁+f₂x₂+f₃x₃, kur f₁+f₂+f₃=1. Neneigiamos fazių dalys išreiškia bendrosios sudėties tašką konodžių trikampio baricentrinėmis koordinatėmis. Dvifazių mišinių sudėties taškai yra jų konodėje.

    Independent component equations determine the phase fractions.

  21. Susiję su
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Tiesinis atvaizdis T:X→Y tarp normuotųjų erdvių yra tolydus tada ir tik tada, kai ||Tx|| ≤ C||x|| su tam tikra baigtine konstanta C. Jo operatoriaus norma yra ||Tx|| supremumas, imamas per visus vienetinius vektorius. Tolydžiąją dualiąją erdvę X* sudaro aprėžtieji tiesiniai funkcionalai; begalinio matmens erdvėse bet kurie algebriniai funkcionalai nebūtinai yra tolydūs. Jei Y yra Banacho erdvė, tai aprėžtieji operatoriai X→Y su šia norma sudaro Banacho erdvę.

    Finite-dimensional linear maps are the bounded special case.

  22. Susiję su
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kovektorius yra tiesinis funkcionalas liestinės erdvės vektoriams, o tenzorius yra daugialinijinis liestinių ir koliestinių argumentų atžvilgiu. Glodaus atvaizdžio F:M→N liestinis atvaizdis dF perkelia vektorius taške pirmyn, o kovektoriai ir diferencialinės formos atitraukiami sudarant kompoziciją su dF. Koordinačių transformavimo taisyklė yra esminė; vien komponenčių lentelė nėra invariantinis tenzorius.

    The derivative is a pointwise linear map.

  23. Susiję su
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Baigtinės grupės G reprezentacija yra homomorfizmas G→GL(V). Jei kūno charakteristika nedalija |G|, kiekvienas baigtinmatės reprezentacijos invariantinis poerdvis turi invariantinį papildinį: pakanka suvidurkinti bet kurią projekciją visos grupės atžvilgiu. Kai charakteristika p dalija |G|, šio vidurkinimo vardiklio negalima apversti, todėl visiškas redukuojamumas gali negalioti.

    Group elements act by invertible linear maps.

Įrašo informacijaNuolatinė nuoroda į šį įrašą ↗
Įrašo identifikatorius
math-linear-maps-matrices
Versija
core.1
Struktūruotas žinyno įrašas
Esminiai pagrindai · pirmasis rinkinys