Žinių pagrindai

Fischer, Lynch ir Paterson įrodo, kad deterministinis konsensuso protokolas jų visiškai asinchroniniame pranešimų perdavimo modelyje gali turėti leidžiamą vykdymą be sprendimo, kai įvyksta ne daugiau kaip vienas sustojimo gedimas.

Raft naudoja numeruotomis kadencijomis grindžiamus lyderio rinkimus, daugumos balsavimą ir žurnalų atitiktį būsenų mašinai replikuoti esant mazgų sustojimo gedimams.

Linearizuojamo objekto veikimą galima aprašyti nuoseklia operacijų seka, kurioje kiekviena užbaigta operacija atrodo įsigaliojanti tarp jos iškvietimo ir atsakymo, išlaikant laike nepersidengiančių operacijų pirmumo tvarką realiuoju laiku.

Gilberto ir Lynch asinchroniniame skaitymo ir rašymo modelyje realizacija negali užtikrinti ir atominio nuoseklumo, ir kiekvienos užklausos užbaigimo pateikiant atsakymą kiekviename nesugedusiame mazge, kai tinklas gali būti skaidomas bet kaip.

Sinchroniniame Bizantijos generolų modelyje su žodiniais pranešimais, kai yra ne daugiau kaip f klaidingai veikiančių dalyvių, susitarimui reikia bent 3f+1 dalyvių; siuntėjai turi būti atpažįstami, o pristatymas – patikimas, tačiau nėra perduodamos nesuklastojamų parašų grandinės.

Normuotoji realioji arba kompleksinė vektorinė erdvė yra Banacho erdvė, jei kiekviena Koši seka normos atžvilgiu konverguoja toje erdvėje.

Tiesinis atvaizdis T:X→Y tarp normuotųjų erdvių yra tolydus tada ir tik tada, kai ||Tx|| ≤ C||x|| su tam tikra baigtine konstanta C.

Hilberto erdvė yra pilna realiosios arba kompleksinės skaliarinės sandaugos indukuotos normos atžvilgiu.

Kai M yra uždaras tiesinis Hilberto erdvės H poerdvis, kiekvienas x turi vienintelį skaidinį x=P-M x+z, kuriame P-M x priklauso M, o z yra ortogonalus M.

Kiekvienas tolydusis tiesinis funkcionalas ell Hilberto erdvėje turi vienintelį jį vaizduojantį vektorių y, kuriam ell(x)=<x,y> ir ||ell||=||y||.

Silpnasis konvergavimas x-n→x Hilberto erdvėje reiškia, kad <x-n,y>→<x,y> kiekvienam fiksuotam y.

Skirstinys atviroje R-n aibėje U yra tolydus tiesinis funkcionalas, apibrėžtas glodžiųjų bandomųjų funkcijų su kompaktiška laikmena erdvėje.

Skirstinių išvestinės perkelia diferencijavimą bandomajai funkcijai su integravimo dalimis nulemtu ženklu.

Glodžioji n-matė daugdara turi lokaliai euklidinius žemėlapius su glodžiais apgręžiamais perėjimo atvaizdžiais, o jos topologija yra Hausdorfo ir turi skaičiąją bazę.

Kovektorius yra tiesinis funkcionalas liestinės erdvės vektoriams, o tenzorius yra daugialinijinis liestinių ir koliestinių argumentų atžvilgiu.

Diferencialinės k-formos yra glodūs alternuojantys kovariantiniai tenzoriai.

Kompaktiškoje orientuotoje glodžioje n-matėje daugdaroje su kraštu glodžios (n−1)-formos omega išorinės išvestinės d-omega integralas lygus omega integralui per kraštą su indukuota orientacija.

De Rhamo kohomologija yra uždarųjų k-formų erdvės faktorerdvė tiksliųjų k-formų erdvės atžvilgiu.

Kompaktiškoje glodžioje Rymano daugdaroje be krašto kiekviena de Ramo klasė turi vienintelį harmoninį atstovą.

Virš nulinės charakteristikos lauko daugianaris yra išsprendžiamas radikalais tada ir tik tada, kai jo skaidymo lauko Galua grupė yra išsprendžiamoji.

Polinomo x³−2 virš Q skaidymo laukas yra Q(kubinė šaknis iš 2,zeta-3); jo laipsnis yra šeši, o Galois grupė – S3.

Primityviajai n-tojo laipsnio vieneto šakniai zeta-n grupė Gal(Q(zeta-n)/Q) yra izomorfiška apverčiamųjų liekanų modulo n grupei pagal atvaizdį a↦(zeta-n↦zeta-n^a), o plėtinio laipsnis yra Eulerio phi(n).

Baigtinės grupės G reprezentacija yra homomorfizmas G→GL(V).

Kompleksinėms baigtinių grupių reprezentacijoms chi(g)=tr rho(g) yra pastovus jungtinumo klasėse, o neredukuojamieji charakteriai yra ortonormuoti pagal grupės vidurkiu apibrėžtą skaliarinę sandaugą.

Kai X yra integruojamas, o G yra σ-poalgebris, E[X|G] yra G-matus integruojamas atsitiktinis dydis, kurio integralas per kiekvieną G įvykį lygus X integralui per tą įvykį.

Diskretusis martingalas M-n yra adaptuotas didėjančios sigma algebrų F-n sekos atžvilgiu, yra integruojamas kiekvienu laiko momentu ir tenkina E[M-(n+1)|F-n]=M-n.

Diskrečiojo laiko neneigiamas supermartingalas konverguoja beveik tikrai į baigtinę integruojamą ribą. Jo matematiniai vidurkiai taip pat konverguoja, tačiau jų riba gali skirtis nuo to ribinio atsitiktinio dydžio matematinio vidurkio.

Martingalui ir aprėžtiems stabdymo momentams S≤T galioja E[M-T|F-S]=M-S.

W^(k,p)(Omega) sudaro L-p funkcijos, kurių skirstinių (apibendrintų funkcijų) prasme apibrėžtos išvestinės iki k eilės imtinai taip pat priklauso L-p; H^k žymi atvejį p=2.

Aprėžtoje srityje Puasono lygties uždavinyje su homogenine Dirichlė kraštine sąlyga ieškoma u iš H0^1, tokio, kad grad-u·grad-v integralas srityje būtų lygus <f,v> kiekvienam v iš H0^1, kai f priklauso H−1.