Žinių pagrindai

Šilumos lygtį u-t−kappa Delta-u=f su nulinėmis Dirichlet kraštinėmis sąlygomis testuojant funkcija u, gaunamas balansas tarp pusės L2 normos kvadrato išvestinės laiko atžvilgiu, gradiento lemiamos disipacijos ir šaltinio nario poveikio.

Virš algebriškai uždaro lauko k daugianarių nulių aibės V(I) koordinačių žiedas yra k[x1,...,xn]/I(V(I)).

Afininė schema Spec(R) sujungia pirminių idealų erdvę su struktūriniu pluoštu.

Žiedas yra redukuotasis, jei jame nėra nenulinių nilpotentinių elementų.

Fundamentaliąją grupę pi1(X,x0) sudaro kilpų su baziniu tašku klasės pagal homotopijas, nekeičiančias galinių taškų; grupės operacija yra kilpų sujungimas.

Grandinių kompleksas turi krašto atvaizdžius, kurių kvadratas lygus 0, o homologija yra ciklai modulo kraštai.

Glodžiosioms kompleksinėms algebrinėms daugdaroms analizinė topologija, algebrinė koordinačių struktūra ir glodžioji de Rhamo teorija suteikia vienas kitą papildančių invariantų.

Neaprėžtasis operatorius nusakomas tiesine apibrėžimo sritimi D(T) Hilberto erdvėje ir atvaizdžiu T:D(T)→H.

Uždaro tankiai apibrėžto simetrinio operatoriaus T defekto indeksai n-plius ir n-minus yra erdvių ker(T*−iI) ir ker(T*+iI) matmenys.

Savaime jungtinis operatorius turi projekcijomis reikšmes įgyjantį spektrinį matą E aibėje R ir gali būti išreikštas integralu lambda dE(lambda).

Jei P yra m eilės elipsinis diferencialinis operatorius su pastoviais koeficientais erdvėje Rⁿ, o u yra skirstinys atviroje aibėje U, tai iš Pu priklausymo lokaliajai H^s erdvei išplaukia u priklausymas lokaliajai H^(s+m) erdvei.

Glodus elipsinis operatorius kompaktiškoje daugdaroje be krašto atvaizduoja H^(s+m) į H-s, turi baigtinio matmens branduolį bei kobranduolį ir uždarą vaizdą.

Nespūdaus klampaus tekėjimo atveju pradiniai duomenys, kurių divergencija lygi nuliui, ir slėgis užtikrina suvaržymo tenkinimą lygtyje u-t+(u·grad)u=nu Delta-u−grad p+f.

Kategoriją sudaro objektai, komponuojami morfizmai, asociatyvi kompozicija ir kiekvieno objekto tapatybės morfizmas.

Natūralioji transformacija eta:F⇒G kiekvienam objektui priskiria morfizmą eta-X:F(X)→G(X) taip, kad G(f) eta-X=eta-Y F(f).

Lokaliai mažai kategorijai C, funktoriui F:C→Set ir objektui c natūraliosios transformacijos iš Hom(c,−) į F bijektyviai atitinka F(c) elementus, transformaciją įvertinant ties objekto c tapatybės morfizmu.

Adjunkcija, kurioje F yra kairysis adjunktas funktoriui U, yra natūrali bijekcija Hom-D(FX,Y)≅Hom-C(X,UY).

Intensionaliojoje priklausomųjų tipų teorijoje termas x:A priklauso tipui, priklausomosios sandaugos koduoja funkcijas ir įrodymus, kurių rezultatų tipai priklauso nuo kintamųjų, o tapatybės tipai koduoja sutapatinimus.

Univalentiškumo principas teigia, kad kanoninis atvaizdis iš visatos tipų tapatumo į jų ekvivalentiškumą pats yra ekvivalentiškumas.

Kai Re(s)>1, zeta(s)=sum n^(−s)=sandauga pagal pirminius skaičius (1−p^(−s))^(−1); eilutė ir sandauga konverguoja absoliučiai.

Užbaigtoji funkcija xi(s)=½ s(s−1) pi^(−s/2) Gamma(s/2) zeta(s) pratęsiama iki sveikosios funkcijos, tenkinančios xi(s)=xi(1−s).

Charakteris moduliu q yra dauginamasis apverčiamųjų liekanų moduliu q charakteris, pratęstas nuline reikšme sveikiesiems skaičiams, kurie nėra tarpusavyje pirminiai su q.

Pirminių skaičių skaičiavimo funkcija tenkina pi(x)~x/log x.

Rymano hipotezė teigia, kad kiekvieno netrivialiojo dzeta funkcijos nulio realioji dalis lygi vienai antrajai.

Baigtinis Dirichlė polinomas D-N(t)=suma nuo N iki 2N iš b-n n^(it), kurio koeficientai aprėžti, leidžia aritmetinius klausimus suvesti į t reikšmių aibės, kurioje |D-N(t)| yra didelis, įverčius.

Gutho ir Maynardo darbas, paskelbtas žurnale „Annals of Mathematics“ 2026 m. kovo 1 d., pagerina didelių reikšmių įverčius ties N^(3/4) režimu.

Integruojamos Hamiltono sistemos su n laisvės laipsnių judėjimą reguliarioje kompaktiškoje jungioje n nepriklausomų komutuojančių integralų bendro lygio aibėje aprašo lokalūs kanoniniai veiksmo kintamieji I_i ir kampai θ_i; ši aibė yra toras.

Kai H=H₀(I)+εH₁(I,θ), sveikųjų skaičių rezonansas k·ω(I)=0 neleidžia tos Furjė modos pašalinti įprastu nerezonansiniu būdu.

Nepriklausomi antrosios rūšies ryšiai φ_a=0 turi apgręžiamą Puasono matricą C_ab={φ_a,φ_b}.

Kai Hamiltonianas H=pᵀM⁻¹p/2+V(q) yra atskiriamas, fiksuoto žingsnio Verle metodas pagal schemą „impulso pokytis–poslinkis–impulso pokytis“ yra antrosios eilės, grįžtamasis ir simplektinis.