GLOBAL KNOWLEDGE ARK

Žinynas

Žinių pagrindai

Tyrinėkite sąvokas, dėsnius, lygtis ir metodus, jų taikymą ir šaltinius. Pasirinkite pažinimo sritį arba raskite konkretų žinyno įrašą.

Daugiau filtrų

Žinyno įrašai

Rodoma įrašų: 1–30 iš 1709

Matematika ir logikaPavyzdžiai ir kontrpavyzdžiai

Mokykitės išsiaiškinti, kokius atvejus apima teiginys, paaiškinti jo pagrindą ir atpažinti sąlygas atitinkantį atvejį, dėl kurio teiginį reikia keisti.

MetodasMatematika ir logikaSkaičiavimas ir nulis

Suskaičiuokite kiekvieną daiktą vieną kartą, paaiškinkite paskutinio skaičiaus reikšmę ir atskirkite kiekį, eilės vietą bei daikto numerį. Aiškiai nusakykite, ką reiškia nulis.

ApibrėžimasMatematika ir logikaSkaičių tiesė ir tvarka

Pagal vietas tiesėje palyginkite neneigiamus sveikuosius skaičius. Perskaitykite mastelį, atpažinkite lygias reikšmes ir skaičiuokite vieneto ilgio tarpus, atskirdami skaitinį atstumą nuo piešinio dydžio.

ApibrėžimasMatematika ir logikaSudėtis ir atimtis

Sujunkite atskirus kiekius, pašalinkite dalį, raskite skirtumą ar nežinomą dalį. Susiekite daiktus, lygybes ir žingsnius skaičių tiesėje, tada pergrupuokite dešimtis bei vienetus, išlaikydami tą pačią reikšmę.

ApibrėžimasMatematika ir logikaDaugyba ir dalyba

Suskaičiuokite vienodas grupes, atskirkite dalijimą po lygiai nuo grupių sudarymo ir tikrinkite daugyba. Skaidykite skaičiavimus; nulį ir liekaną paaiškinkite pagal uždavinio sąlygas.

ApibrėžimasMatematika ir logikaTrupmenos

Pasirinkite visumą, skaičiuokite vienodo dydžio trupmenines dalis ir susiekite dalijimą po lygiai su dalyba. Pažymėkite trupmenas skaičių tiesėje, įskaitant didesnes už vienetą, ir paaiškinkite skaitiklio bei vardiklio prasmę.

ApibrėžimasMatematika ir logika · Fizika · MatavimasSantykiai ir spartos

Atskirkite dalių tarpusavio santykius, visumos dalis ir spartas su matavimo vienetais. Keiskite dydžių mastelį kartu, palyginkite vienetines spartas ir paaiškinkite, kada priklausomybė proporcinė. Patikrinkite nulio atvejus, pradinius kiekius ir atsakymo tinkamumą kontekstui.

ApibrėžimasMatematika ir logika · Fizika · MatavimasDydžiai ir vienetai

Dydį aprašykite skaitine verte su matavimo vienetu ir atskirkite jo rūšį nuo dimensijos. Sudarykite ilgio, ploto, tūrio bei spartos vienetus, tikrinkite prasmingus derinius ir atskirkite tikslius vienetų ryšius nuo matavimo neapibrėžties.

ApibrėžimasMatematika ir logika · Fizika · MatavimasVienetų keitimas

Keiskite dydžių vienetus naudodami tikslius vienetų santykius, sekite vienetų susiprastinimą ir taikykite tinkamus laipsnius plotui bei tūriui. Atskirkite temperatūros rodmenis nuo skirtumų, tikrinkite dimensijas bei kontekstą ir pateikdami rezultatą išlaikykite matavimo neapibrėžtį.

MetodasMatematika ir logika · Fizika · MatavimasĮverčiai ir neapibrėžtis

Atskirkite tikslias modelio vertes, apvalintus artinius ir iš matavimų gautus įverčius. Nurodykite apvalinimo taisyklę, išlaikykite informaciją skaičiuodami bei keisdami vienetus ir aiškinkite skyrą, glaudumą, tikslumą bei neapibrėžties rūšį, nepaversdami rezultato skaitmenų garantuotomis ribomis.

ApibrėžimasMatematika ir logikaKintamieji ir reiškiniai

Simboliais įvardykite skaičius ar dydžius, aprašykite leidžiamas jų reikšmes ir apskaičiuokite reiškinių reikšmes visur nuosekliai įstatydami tą pačią vertę. Išlaikykite skliaustus, ženklus, trupmenas bei vienetus ir skirkite apskaičiuotą vertę nuo lygties sprendimo ar dviejų taisyklių lygiavertiškumo įrodymo.

ApibrėžimasMatematika ir logikaLygybė ir lygtys

Supraskite lygybę kaip ryšį, raskite leidžiamas reikšmes, su kuriomis lygtis tampa teisinga, ir pagrįskite vieno žingsnio sprendimus abiem pusėms atliekamais grįžtamaisiais veiksmais. Tiksliai skaičiuokite su neigiamais skaičiais bei trupmenomis, atpažinkite atvejus, kai tinka visos leidžiamos reikšmės arba sprendinių nėra, tikrinkite pradinę lygtį, vienetus ir sąlygas.

ApibrėžimasMatematika ir logika · FizikaKoordinatės ir lentelės

Pagal sutvarkytąją porą raskite tašką, perskaitykite įvardytas ašis bei jų mastelį ir tas pačias reikšmes susiekite žodžiais, lentelėmis bei schemomis. Tiksliai išlaikykite ženklus, trupmenas ir vienetus, skirkite ašies tašką nuo ketvirčio taško, o prieš jungdami taškus atskirkite pasirinktus stebėjimus nuo nurodytos taisyklės ir jos leidžiamų reikšmių srities.

ApibrėžimasMatematika ir logika · FizikaNuolydis ir tiesės

Tiesę skaitykite kaip nurodytą ryšį, jos nuolydį apskaičiuokite iš nuoseklių koordinačių pokyčių su ženklu ir aiškinkite sankirtas su ašimis. Skirkite horizontaliąsias, vertikaliąsias ir sutampančių taškų porų situacijas, modeliuose išlaikykite vienetus bei leidžiamų reikšmių sąlygas ir ryšio pokytį vertinkite pagal skaitinį mastelį, o ne vien vaizdą.

ApibrėžimasMatematika ir logika · Fizika · MatavimasGrafikų skaitymas

Prieš vertindami vaizdo įspūdį, perskaitykite grafiko dydžius, vienetus, padalas ir situaciją. Iš vaizduojamų reikšmių apskaičiuokite skirtumus, procentus pagal nurodytą atskaitą bei intervalų vidutinius pokyčio tempus, skirkite aiškiai pažymėtą priartinimą nuo iškreiptų tarpų ir atskirai laikykite atrinktus stebėjimus, interpoliavimą, trūkstamą informaciją, neapibrėžtį bei priežastinius paaiškinimus.

MetodasFizika · MatavimasStebimieji dydžiai ir matavimas

Pasirinkite fizikinį dydį, kurį norite tirti, nurodykite susijusį tašką, įvykį ar vietą ir paaiškinkite, kaip rodmuo siejasi su tuo dydžiu.

MetodasFizikaSistemos ir ribos

Pasirinkite, ką tirsite, apibūdinkite pasirinktos sistemos būseną nurodytu laiko momentu ir nustatykite jos sąveikas su tuo, kas yra už jos ribos.

MetodasFizikaModeliai ir prielaidos

Pasirinkite, ką modelis vaizduoja, aiškiai įvardykite jo supaprastinimus ir patikrinkite, ar jo prognozės atsako į fizikinį klausimą, kurį iš tiesų uždavėte.

MetodasFizikaHipotezės, dėsniai ir teorijos

Nustatykite mokslinio teiginio paskirtį, išnagrinėkite jį pagrindžiančius duomenis ir jo galiojimo sąlygas, o jo pavadinimo nelaikykite tikrumo įverčiu.

MetodasMatematika ir logika · FizikaArtiniai

Gauti naudingą įvertį, palyginti pataisą su nurodytu atskaitos masteliu ir patikrinti, kas prarandama praleidus narį.

ArtinysMatematika ir logika · FizikaSimetrija ir invariantiškumas

Nurodyti transformaciją, nustatyti, kas lieka nepakitę, ir atskirti objekto simetriją nuo fizikinio modelio invariantiškumo.

Matematinis teiginysFizikaTvermės dėsniai

Apibrėžkite sistemą ir įvardykite dydį, kad galėtumėte sekti jo perdavimą, atskirti kintančias dalis nuo išliekančių bendrųjų dydžių ir patikrinti energijos bei judesio kiekio balansų sąlygas.

ModelisFizikaEmergencija ir aprašymo lygmenys

Pasirinkite aprašymo lygmenį, susiekite kolektyvinius dydžius su sistemos komponentų elgsena ir patikrinkite, kada paprastesnis fizikinis aprašymas leidžia atsakyti į konkretų klausimą.

ModelisMatematika ir logika · FizikaVektoriai

Aprašyti poslinkį komponentėmis fiksuotų ašių atžvilgiu, atlikti veiksmus su suderinamais vektoriais ir pasitelkus nedidelius pavyzdžius su tiksliomis vertėmis supažindinti su tiesiniu apvalkalu, tiesiniu nepriklausomumu, baze ir realiosiomis vektorinėmis erdvėmis.

ApibrėžimasFizika · Informacija · MatavimasMokslinių tyrimų įrašai

Sukurkite patikrinamą fizikos tyrimo įrašą, patikrinkite ir patikslinkite vežimėlio modelį su apibrėžtomis ribomis, išsaugokite duomenų apdorojimo istoriją ir suplanuokite, kaip užtikrinti duomenų surandamumą bei tinkamas dalijimosi sąlygas.

MetodasFizikaPadėtis, greitis ir pagreitis

Aprašyti taško judėjimą pasirinkta tiesia ašimi, tada susieti pokyčius su ženklu, momentines kitimo spartas ir vieną tikslų padėties, greičio bei pagreičio grafikų rinkinį.

ApibrėžimasFizikaNiutono dėsniai ir jėgos

Pasirinkite vieną kūną, nustatykite jį veikiančias jėgas ir pagal jų vektorinę sumą atskirkite pagreitį, judėjimą esant jėgų pusiausvyrai ir tarpusavio sąveikas.

ModelisFizikaDarbas, energija ir galia

Susiekite jėgą ir poslinkį su judėjimo pokyčiais, sekite spyruoklėje sukauptą energiją ir atskirkite energijos perdavimą nuo jo spartos.

ModelisFizika · MatavimasŠviesos greitis vakuume

c žymi šviesos greitį vakuume. Jo skaitinė vertė SI vienetais yra tiksliai nustatyta.

ApibrėžimasFizika · MatavimasPlanko konstanta

h žymi Planko konstantą. Jos skaitinė vertė SI vienetais yra tiksliai nustatyta.

Apibrėžimas
ApibrėžimasPatikrinta pagal šaltinius

Kompleksiniai skaičiai

Matematika ir logikaInformacija

Kompleksinis skaičius turi realiąsias koordinates a ir b bei menamąjį vienetą, tenkinantį lygybę i²=−1.

Esminės žinios

Kompleksinis skaičius užrašomas z=a+bi, kur a ir b yra realieji skaičiai, o i²=−1. Jo realioji dalis yra a, o menamoji dalis – b. Kompleksinėje plokštumoje jis vaizduojamas tašku (a,b); sudedant atitinkami komponentai sudedami, o dauginant naudojama lygybė i²=−1.

Vertės ir lygtys

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

a, b, c, d
Realieji koeficientai
i
Menamasis vienetas, kuriam i²=−1

Sąlygos ir taikymo ribos

  • Menamoji dalis yra realusis koeficientas b, o ne sandauga bi.
  • Kai b=0, skaičius yra realusis; kai a=b=0, jis lygus nuliui.

Faktiškai atlikta pasirinkto NCERT skyriaus patikra yra matematikos ir informacijos autoriaus tęstinio darbo įrodymas; šis redaktorius susieja būtent tą pasiūlymą. Tai neįrodo naujos viso skyriaus patikros ar visos kompleksinės analizės peržiūros.

Šaltiniai · 3

Šaltiniai

Šaltiniai išlaiko savo taikymo ribas. Vien nuoroda nepatvirtina kiekvieno teiginio patikrinimo.

  1. Matematika, 11 klasė (2026–2027 m. pakartotinis leidimas), 4.2–4.3 ir 4.5 skyriai: kompleksiniai skaičiai, algebra ir Argando plokštumaNational Council of Educational Research and Training (NCERT), IndiaVadovėlio skyrius · PDFncert.nic.inSkaityti šaltinį
  2. Precalculus 2e, §3.1: Complex-plane representation and component operationsOpenStax, Rice UniversityVadovėlio skyriusopenstax.orgSkaityti šaltinį
  3. MAM1000W Calculus notesJonathan Shock, University of Cape TownMokomoji medžiagaopen.uct.ac.zaSkaityti šaltinį

Pagrindimas ir peržiūra

Kompleksinių skaičių koordinatės, lygybė, sudėtis ir daugyba.

Argando plokštuma nagrinėjama 4.5 skyriuje; 4.4 skyriuje aptariami modulis ir jungtinis skaičius. Galiojančias nuorodas į PDF puslapius išsaugoti. Keičiami tik citavimo metaduomenys: kompleksinių skaičių teiginiai, lygtys, taikymo sąlygos ir nuorodų adresai su puslapių fragmentais lieka nepakitę.

2026-10-10 · Palyginti apibrėžimai ir veiksmai; išlaikytas NCERT menamosios dalies kaip koeficiento apibrėžimas ir pašalinti klaidinantys dalybos apribojimai abiejų vadovėlių aptarimuose.

2026-10-11 · Tęstinio autoriaus ir redaktoriaus šaltinių patikros ribos: Argando plokštuma nagrinėjama 4.5 skyriuje; 4.4 skyriuje aptariami modulis ir jungtinis skaičius. Galiojančias nuorodas į PDF puslapius išsaugoti. Keičiami tik citavimo metaduomenys: kompleksinių skaičių teiginiai, lygtys, taikymo sąlygos ir nuorodų adresai su puslapių fragmentais lieka nepakitę. Tikrosios pasirinktos NCERT skyriaus dalies patikros įrodymai priklauso šio tęsinio matematikos ir informacijos autoriui; redaktorius susieja būtent tą pasiūlymą. Iš to nesprendžiama, kad įrodyti visi skyriaus teiginiai ar patikrinta visa kompleksinės analizės medžiaga. Nepriklausoma tikslaus pakeitimo priėmimo peržiūra dar neatlikta; ankstesnių peržiūrų datos ir ribos išsaugomos.

Pagrindinių žinių peržiūra

2026-10-11 · Historical approval retained from its original dated scope: Fresh primary-source inspection of the complete compact record, including every statement, equation, quantity and material condition, followed by independent AI editorial review. This check does not certify all linked lessons or every passage of every cited publication. Continuation 2026-10-11: math-complex-numbers: The Argand plane is §4.5; §4.4 covers modulus and conjugation. Preserve the valid page-fragment citations. Citation metadata only: complex-number statements, equations, conditions and page-fragment URLs remain unchanged. Unchanged claim and inventory decisions are carried forward; this delta is not a new whole-field, whole-document or human certification.

Šaltiniai iš kitų vietų

Sutampa nurodytose ribose

Complex numbers have real components, imaginary coefficient, plane representation and algebra using i squared equals minus one.

The imaginary part is the coefficient, not its product with i. math-complex-numbers: The Argand plane is §4.5; §4.4 covers modulus and conjugation. Preserve the valid page-fragment citations. Citation metadata only: complex-number statements, equations, conditions and page-fragment URLs remain unchanged. The earlier independent complex-number comparison is retained; this delta corrects the NCERT reference locator/edition, not its algebra.

  • University of Cape Town, Department of Mathematics and Applied Mathematics

Susiję žinyno įrašai

Tyrinėkite ryšius šioje pažinimo srityje ir jos sąsajas su kitomis sritimis.

Rodomi 1–11 iš 11 ryšių

Mokslinių žinių ryšiai · 11 / 11

Ryšio tipas nusako santykį. Susieti teiginiai, šaltiniai ir sąlygos apibrėžia jo taikymo ribas.

  1. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kompleksinis skaičius užrašomas z=a+bi, kur a ir b yra realieji skaičiai, o i²=−1. Jo realioji dalis yra a, o menamoji dalis – b. Kompleksinėje plokštumoje jis vaizduojamas tašku (a,b); sudedant atitinkami komponentai sudedami, o dauginant naudojama lygybė i²=−1.
  2. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kiekvienas nekonstantinis daugianaris su kompleksiniais koeficientais turi kompleksinę šaknį. Pakartotinai skaidant dauginamaisiais, n-tojo laipsnio daugianaris išreiškiamas kaip vyriausiojo koeficiento ir n tiesinių dauginamųjų sandauga, atsižvelgiant į šaknų kartotinumą.
  3. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Funkcija yra holomorfinė atviroje aibėje, kai ji yra kompleksiškai diferencijuojama kiekviename tos aibės taške. Kai f=u+iv ir realiosios komponentės yra C¹ klasės, holomorfiškumas yra ekvivalentus sąlygoms uₓ=vᵧ ir uᵧ=−vₓ.
  4. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Vienpusė Laplaso transformacija yra F(s)=∫₀∞e⁻ˢᵗf(t)dt. Dalimis tolydžiai eksponentinio tipo a funkcijai f šis integralas absoliučiai konverguoja, kai Re s>a; esant atitinkamiems f′ rėžiams, L{f′}=sF(s)−f(0).
  5. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Glodžiai sparčiai mažėjančiai funkcijai f, kurios išvestinės taip pat mažėja sparčiau už bet kurį laipsnį, apibrėžkime f̂(ξ)=∫Rⁿe⁻ⁱˣ·ξf(x)dx. Tuomet f̂ turi tą pačią savybę ir f(x)=(2π)⁻ⁿ∫Rⁿeⁱˣ·ξf̂(ξ)dξ.
  6. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kai aₙ=saₙ₋₁+taₙ₋₂ ir t≠0, skirtingos charakteristinio daugianario r²−sr−t šaknys r₁,r₂ duoda aₙ=Ar₁ⁿ+Br₂ⁿ; kartotinė šaknis r duoda aₙ=(A+Bn)rⁿ. Nustatykite A,B pagal a₀,a₁ ir patikrinkite, ar tenkinamas rekurentinis sąryšis ir pradinės reikšmės.
  7. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Turint N kompleksinių koeficientų aⱼ, apibrėžiama yₖ=Σ_(j=0)^(N−1)aⱼωᴶᴷ, kur ω=e²πⁱ⁄ᴺ. Atvirkštinė transformacija yra aⱼ=N⁻¹Σ_(k=0)^(N−1)yₖω⁻ᴶᴷ. Taip daugianario koeficientai paverčiami jo reikšmėmis N-ojo laipsnio šaknyse iš vieneto.
  8. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Taške a, kuriame f′(a)≠0, holomorfinis atvaizdis lokaliai išlaiko orientuotus kampus: liestinės vektoriai dauginami iš f′(a), pasukant juos kampu arg f′(a) ir keičiant jų ilgį |f′(a)| kartų. Egzistuoja lokalusis atvirkštinis atvaizdis; nulinės išvestinės gali panaikinti konformiškumą.
  9. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • T(z)=(az+b)/(cz+d), ad−bc≠0, pratęsiamas iki aibės C∪{∞} bijekcijos, kur T(−d/c)=∞ ir T(∞)=a/c, kai c≠0. Jis atvaizduoja apibendrintuosius apskritimus (tieses arba apskritimus) į apibendrintuosius apskritimus. Pavyzdžiui, (z−i)/(z+i) bijektyviai atvaizduoja viršutinę pusplokštumę į vienetinį skritulį.
  10. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Lygties y′=λy atveju, kai h>0 yra fiksuotas, vieno žingsnio metodas y_(k+1)=R(hλ)y_k su nenuline pradine reikšme yra absoliučiai stabilus tada ir tik tada, kai |R(hλ)|≤1; griežta nelygybė lemia slopimą. Išreikštinio Eulerio metodo R(z)=1+z, o stabilumo sritis yra |1+z|≤1, todėl realiajam λ<0 būtina h≤2/|λ|.
  11. Remiasi apibrėžimu
    Ryšio šaltiniai · 1

    Susieti teiginiai

    • Kompleksinei 2π-periodinei, Rymano prasme integruojamai funkcijai f koeficientai cₙ=(2π)⁻¹∫₋π^πf(x)e⁻ⁱⁿˣdx ir dalinės sumos s_N=Σ|n|≤N cₙeⁱⁿˣ tenkina ∫|f−s_N|²→0. Parsevalio lygybė duoda (2π)⁻¹∫₋π^π|f|²=Σₙ∈Z|cₙ|². Tai yra konvergavimas vidutine kvadratine prasme, kuris nereiškia taškinio konvergavimo visur.
Įrašo informacijaNuolatinė nuoroda į šį įrašą ↗
Įrašo identifikatorius
math-complex-numbers
Versija
core.1.continuation-20261011.1
Struktūruotas žinyno įrašas
Esminiai pagrindai · pirmasis rinkinys