Puasono integralas skrituliui
Kai kraštiniai duomenys g yra tolydūs, realieji ir 2π periodiniai, u(r,θ)=(2π)⁻¹∫₋π^π[(1−r²)/(1−2r cos(θ−α)+r²)]g(α)dα yra harmoninė funkcija srityje 0≤r<1 ir tolydžiai pratęsiama iki u(1,θ)=g(θ).
Esminės žinios
Kai kraštiniai duomenys g yra tolydūs, realieji ir 2π periodiniai, u(r,θ)=(2π)⁻¹∫₋π^π[(1−r²)/(1−2r cos(θ−α)+r²)]g(α)dα yra harmoninė funkcija srityje 0≤r<1 ir tolydžiai pratęsiama iki u(1,θ)=g(θ). Tai vienintelis toks harmoninis sprendinys uždarame vienetiniame skritulyje.
Vertės ir lygtys
u(r,θ)=(1/(2π))∫₋π^π ((1−r²)/(1−2r cos(θ−α)+r²)) g(α) dα
- g
- Tolydūs realieji 2π periodiniai kraštiniai duomenys
- r,θ
- Poliarinis spindulys 0≤r<1 ir kampas
- α
- Integravimo išilgai krašto kampas
- u
- Harmoninis sprendinys srities viduje su nurodytu tęsiniu į kraštą
Sąlygos ir taikymo ribos
- Kraštiniai duomenys yra tolydūs; netolydiems duomenims reikia atskiro teiginio apie ribą krašte su atitinkamomis išlygomis.
- Formulėje naudojamas vienetinis skritulys ir polinio kampo susitarimas.
Šaltiniai · 3
Šaltiniai
Šaltiniai išlaiko savo taikymo ribas. Vien nuoroda nepatvirtina kiekvieno teiginio patikrinimo.
- Notes on Diffy Qs: Dirichlet problem in the circle and the Poisson integralJiří LeblVadovėlio skyrius
- Math 120B (Spring 2020), Lecture 19: Harmonic functions and the Poisson kernelJames McKernan / University of California, San DiegoPaskaitų medžiaga · PDF
- Complex Analysis (Spring 2026), Lecture 7: The Poisson integral formulaUniversity of California, BerkeleyPaskaitų medžiaga
Pagrindimas ir peržiūra
Lebl skyrius 4.10.3: tiksli Puasono integralo formulė; UCSD 19 paskaita, teorema 19.1 ir lema 19.2: branduolys; Berkeley 7 paskaita, 1 skyrius: egzistavimo teorema tolydiems kraštiniams duomenims (įrodymas praleistas, pateiktoje formulėje esanti kampo laipsnio rodiklio spaudos klaida neįtraukta).
2026-10-10 · Nepriklausoma DI redakcinė peržiūra: perskaityti visi glaustai suformuluoti teiginiai (241), hipotezės, pateiktos lygtys ir susitarimai bei visos kilmės semantinės sąsajos (596); peržiūrėta visa autoriaus sudaryta 241 įrašo tikslių šaltinių patikros matrica ir deklaruoti apribojimai. Siekiant aprėpti visą įrašų rinkinį, perskaityti 105 ankstesni faktiškai paveldėti matematikos ir informacijos įrašai. Toliau išvardyti tikslingai ir nepriklausomai peržiūrėti pirminių šaltinių skyriai; tuo NETEIGIAMA, kad kiekvieno cituojamo šaltinio visas tekstas ar kiekvienas įrodymas buvo nepriklausomai perskaitytas iš naujo. Tai DI atlikta informacinio turinio peržiūra, o ne žmogaus eksperto patvirtinimas atitinkamoje mokslo srityje, išsamus vadovėlio atkūrimas ar eksperimentinis pakartojimas. Peržiūros įrašas: mathematics-information-independent-content-review.1.
Įrašo informacija
Nuolatinė nuoroda į šį įrašą ↗- Įrašo identifikatorius
- math-poisson-disk-dirichlet
- Versija
- university-core.1
- Struktūruotas žinyno įrašas
- Universitetinių pagrindų plėtra