Fizika · Straipsnis

Artutiniai metodai ir perturbacinis mąstymas

Gauti naudingą įvertį, palyginti pataisą su nurodytu atskaitos masteliu ir patikrinti, kas prarandama praleidus narį.

Ankstesnis straipsnis: Hipotezės, dėsniai, principai ir teorijos

Perskaitę galėsite

Paaiškinti, į ką artinys atsižvelgia ir ko nepaiso.
Nusakyti mastelį dešimties laipsniais, išlaikant matavimo vienetus.
Atskirti absoliutųjį pokytį nuo santykinio.
Naudojant kvadrato ploto modelį, sudaryti pradinį artinį su pirmąja pataisa.
Palyginti praleistą narį su nurodyta leistinąja paklaida ir paaiškinti modelio ribas.

Tikslingas įvertinimas

Artinys pakeičia vertę ar skaičiavimą kuo nors paprastesniu, siekiant nurodyto tikslo. Galima suapvalinti ilgį, netaisyklingos formos objektą laikyti paprastos formos kūnu arba nepaisyti poveikio, kuris atrodo mažas. Naudingas įvertis sujungia svarbią informaciją su pagrįstu modeliu; tai nėra atsitiktinai pasirinktas skaičius.

Pirmiausia nuspręskite, ką reikia sužinoti. Norint nustatyti, ar rietuvės aukštis yra maždaug metras, reikia mažiau detalių nei sprendžiant, ar ji tilps po lentyna, kai lieka tik nedidelis tarpas. Apytikslę lygybę žymėkite ≈, o lygybę pagal nurodytą modelį – =. Nurodykite, kurių detalių nepaisote.

Mastelio nustatymas dešimties laipsniais

Standartinė skaičiaus išraiška atskiria skaičiaus mastelį nuo jo daugiklio. Pavyzdžiui, 400 m = 4 × 10^2 m ir 4000 m = 4 × 10^3 m: 10^2 = 100 ir 10^3 = 1000. Antrasis ilgis yra dešimt kartų didesnis už pirmąjį. Dešimties kartų skirtumas atitinka vieną dydžio eilę, o šimto kartų skirtumas – dvi.

Dydžio eilės įvertis nusako apytikrį mastelį dešimties laipsniais, o ne kiekvieną skaitmenį. Čia pasakymas „šimtai metrų“ apibūdina 400 m mastelį; jis nepakeičia 400 m tikslia 100 m verte. Nurodykite matavimo vienetą ir įverčio apytikslumą. Mastelio patikra gali atskleisti didelę aritmetinę ar matavimo vienetų klaidą.

Mažas, palyginti su kuo?

Absoliutusis pokytis išlaiko savo matavimo vienetą: pridėjus 1 mm, bet kurio objekto ilgis padidėja tiek pat. Santykinis pokytis gaunamas padalijus šį pokytį iš nurodyto nenulinio atskaitos dydžio. Kai pradinis ilgis yra L, o pridėtas ilgis – d, naudokite r = d/L. Abu ilgiai turi būti išreikšti tuo pačiu matavimo vienetu. Jų vienetai susiprastina, todėl r yra bedimensis dydis – skaičius be matavimo vieneto.

Pridėjus 1 mm prie 2 mm, santykinis pokytis yra r = 1/2 = 0.5, arba 50%. Pridėjus 1 mm prie 1000 mm, santykinis pokytis yra r = 1/1000 = 0.001, arba 0.1%. Norėdami dalį išreikšti procentais, padauginkite ją iš 100%. Tas pats absoliutusis pokytis gali turėti labai skirtingą santykinį dydį. Tai iš anksto apibrėžti palyginimai, o ne matavimo rezultatai.

Vien maža skaitinė vertė nepateisina dydžio nepaisymo. Svarbūs ir atskaitos mastelis, ir prognozuojamas dydis, ir reikiamas tikslumas. Pereinant nuo metrų prie milimetrų, skaičiai pasikeičia, tačiau tų pačių dviejų ilgių santykis nesikeičia.

Pradėkite nuo pradinio atvejo ir pridėkite pataisą

Perturbacinis mąstymas prasideda nuo paprastesnio atvejo ir klausimo, kaip jį pakeičia nurodytas pokytis. Parametras apibūdina šį pokytį; bedimensis santykis, pavyzdžiui, r, leidžia jį palyginti su pradiniu atveju. Formalūs perturbacijų metodai šį požiūrį plėtoja toliau. Šioje pamokoje naudojamas vienas baigtinis algebrinis pavyzdys, kuriam nereikia diferencialinio ir integralinio skaičiavimo ar begalinės eilutės.

Imkime idealų kvadratą, kurio pradinis kraštinės ilgis L yra didesnis už nulį. Kiekvieną kraštinę pailginkite tuo pačiu ilgiu d. Naujas jo plotas yra (L + d)^2, kur pakėlimas kvadratu reiškia dydžio dauginimą iš savęs. Sudauginkite abu daugiklius: (L + d)(L + d) = L^2 + Ld + dL + d^2 = L^2 + 2Ld + d^2. Ši tapatybė kvadrato modeliui yra tiksli. Kiekvienas narys turi ploto matavimo vienetus, pavyzdžiui, m².

Pradinis plotas yra L². Palikus pataisą 2Ld, gaunama A_first = L^2 + 2Ld, praleidžiant d². Tai vadinama pirmosios eilės artiniu, nes pataisoje d yra pirmojo laipsnio; praleistas narys yra antrosios eilės, nes jame d dauginamas iš savęs. Padalijus iš L², gaunamas lygiavertis tikslus sąryšis A/L^2 = 1 + 2r + r^2.

Trys lygiai iš anksto apibrėžtam kvadrato modeliui
Skaičiavimas	Ploto išraiška	Kas praleidžiama
Bazinis artinys	L²	2Ld ir d²
Pirmoji pataisa	L² + 2Ld	d²
Visa kvadrato formulė	L² + 2Ld + d²	Nė vieno šios kvadrato formulės algebrinio nario

Patikrinkite praleistą narį

Pagal šią kvadrato formulę skirtumas tarp tikslaus modelio ploto ir A_first yra lygiai d². Kai L = 1.00 m ir d = 0.02 m, bazinis artinys yra 1.0000 m², pirmoji pataisa yra 0.0400 m², o praleistas narys yra 0.0004 m². Taigi A_first yra 1.0400 m², o tikslus modelio plotas yra 1.0404 m².

Palyginkite šį skirtumą su užduoties kriterijumi. Jei leidžiamas absoliutusis ploto skirtumas yra 0.001 m², praleistas 0.0004 m² dydis šios ribos neviršija. Jei leidžiamas skirtumas yra 0.0001 m², jis yra per didelis. Ta pati aproksimacija gali tikti vienai užduočiai ir netikti kitai.

Norėdami čia nurodyti santykinį aproksimacijos nuokrypį, padalykite jo modulį iš nurodyto atskaitos dydžio – tikslaus modelio ploto: 0.0004/1.0404 ≈ 0.0003845, arba maždaug 0.03845 %. Tai skiriasi nuo 2 % kraštinės ilgio pokyčio. Santykinis įvesties dydžio pokytis ir santykinė rezultato paklaida yra skirtingi palyginimai.

Visi šie matmenys pateikti kaip tikslūs išgalvotam mokomajam pavyzdžiui. Papildomi skaitmenys leidžia pamatyti praleistą narį; jie nenusako tikro ilgio ar ploto matavimo tikslumo.

Kartu nurodykite galiojimo sąlygas

Ploto modelyje kraštinių ilgiai turi išlikti vienodi ir teigiami, taigi L ir L + d turi būti teigiami. Pirmoji pataisa naudinga pagal nurodytą absoliučiosios paklaidos ribą tik tada, kai praleistas d² jos neviršija. Jei kriterijus santykinis, apskaičiuokite atitinkamą santykinį skirtumą. Nėra universalios procentinės ribos, žemiau kurios būtų galima nepaisyti bet kokio poveikio.

Įtraukus d², šiame konkrečiame pavyzdyje atkuriama tiksli kvadrato ploto formulė. Tai nerodo, kad papildomi nariai visada pagerina bet kurią aproksimaciją. Kituose uždaviniuose paklaidas reikia tikrinti atskirai; vien mažas parametras nepatvirtina, kad aproksimacija galioja bet kurioje vietoje ar bet kuriame laiko intervale.

Algebrinis patikrinimas taip pat priklauso nuo fizikinio modelio. Jei tikra plokštė tampa stačiakampė ar išlinksta, kvadrato ploto formulė gali jos nebeaprašyti. Patikrinkite modelyje neįtrauktą narį, tada patikrinkite, ar modelis ir pradinė informacija tinka objektui. Kruopščiai taikant aproksimaciją, nurodomi abiejų rūšių ribotumai.

Pradinė vertė, pataisa ir patikra

1. Pradinė vertė: L²
Pradėkite nuo pradinio kvadrato ploto: 1.0000 m².
2. Pirmoji pataisa: 2Ld
Pridėkite 0.0400 m², kad gautumėte A_first = 1.0400 m².
3. Praleistas narys: d²
Įtraukus praleistą 0.0004 m² narį, gaunamas tikslus kvadrato modelio plotas: 1.0404 m².
4. Patikrinkite nurodytą leistiną paklaidą
0.0004 m² skirtumas neviršija 0.001 m² leistinos paklaidos, bet viršija 0.0001 m² leistiną paklaidą. Ta pati aproksimacija tenkina vieną kriterijų, bet netenkina kito.

Sugalvoto idealaus kvadrato pavyzdyje L = 1.00 m ir d = 0.02 m yra duoti kaip tikslūs dydžiai. Papildomi skaitmenys parodo praleistą narį; jie nepatvirtina realaus matavimo tikslumo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Įvertinkite rietuvę prieš tikslindami detales

Išgalvotame mokomajame pavyzdyje 120 tarpiklių sukrauti vienas ant kito be tarpų ir nesuspausti. Skaičiuokite laikydami, kad apytikris vieno tarpiklio storis yra 8 mm. Jei pavyzdžio sąlygose nurodyta, kad kiekvieno tarpiklio storis yra nuo 7 mm iki 9 mm, koks apytikris rietuvės aukštis ir kokios jo ribos?

Padauginkite apytikrį storį iš tarpiklių skaičiaus: 120 × 8 mm = 960 mm.
Naudokite 1000 mm = 1 m, taigi apytikris aukštis yra 0.960 m, arba suapvalinus – 1 m.
Pagal pavyzdyje nurodytas storio ribas mažiausias ir didžiausias bendras aukštis yra 120 × 7 mm = 840 mm ir 120 × 9 mm = 1080 mm, arba 0.840–1.080 m.

Apytikris įvertis yra 1 m, o pagal pateiktas prielaidas modelio ribos yra 0.840–1.080 m. Tai neišsprendžia klausimo, ar rietuvė tilps po lentyna, kai lieka tik nedidelis tarpas. Dėl tikrųjų tarpų, suspaudimo ar kitokių duomenų apie storį reikėtų peržiūrėti modelį.

Palyginti absoliutųjį pokytį su dviem pradiniais dydžiais

Du nurodyti ilgiai yra 2 mm ir 1000 mm. Prie kiekvieno pridėkite po 1 mm. Ar pokytis vienodai mažas, palyginti su pradiniais ilgiais?

Absoliutusis pokytis abiem atvejais yra 1 mm.
Kai pradinis ilgis yra 2 mm, santykinis pokytis yra 1 mm / 2 mm = 0.5 = 50%.
Kai pradinis ilgis yra 1000 mm, santykinis pokytis yra 1 mm / 1000 mm = 0.001 = 0.1%.

Ne. Palyginti su pradiniais ilgiais, pokyčiai yra 50% ir 0.1%. Ar kurio nors iš jų galima nepaisyti, vis tiek priklauso nuo to, ką skaičiuojate ir kokio tikslumo reikia.

Palyginti pirmąją pataisą su tiksliu modelio rezultatu

Duotas idealaus kvadrato kraštinės ilgis L = 1.00 m. Kiekvieną kraštinę pailginkite d = 0.02 m. Raskite pradinį plotą, plotą su pirmąja pataisa, tikslų plotą pagal kvadrato modelį ir praleistą narį. Ar rezultatas su pirmąja pataisa atitinka leidžiamą 0.001 m² absoliutųjį skirtumą?

Pradinis plotas yra L^2 = 1.0000 m².
Pirmoji pataisa yra 2Ld = 2 × 1.00 m × 0.02 m = 0.0400 m², todėl gaunamas 1.0400 m² plotas.
Praleistas narys yra d^2 = (0.02 m)^2 = 0.0004 m². Pridėkite jį, kad gautumėte tikslų modelio plotą 1.0404 m².
Palyginkite 0.0004 m² su nurodytu 0.001 m² leidžiamuoju nuokrypiu.

Taip: skirtumas nuo tikslaus kvadrato modelio rezultato yra 0.0004 m² ir neviršija 0.001 m². Taip patikrinamas algebrinio reiškinio narių atmetimas duotajam kvadratui, bet nenustatomas tikros plokštės matavimo tikslumas.

Pabandykite patys

Duoti ilgiai yra 400 m ir 4000 m. Koks jų santykis ir keliomis dydžio eilėmis jie skiriasi?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Antrasis ilgis yra dešimt kartų didesnis už pirmąjį; jie skiriasi viena dydžio eile.
Padalykite tais pačiais vienetais išreikštus dydžius: 4000 m / 400 m = 10. Jų standartinės išraiškos laipsniai yra 10² ir 10³. Daugiklis 4 yra toks pat.
Duotas ilgis padidėja nuo 100 mm iki 101 mm. Koks jo santykinis pokytis pradinio ilgio atžvilgiu? Ar vien šis procentinis dydis rodo, kad pokyčio galima nepaisyti?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
1%. Ne; dar reikia žinoti užduotį ir reikalaujamą tikslumą.
Ilgis padidėjo 1 mm, todėl 1 mm / 100 mm = 0.01 = 1%. Tai apibūdina pradinio dydžio pokytį, o ne kiekvieno iš jo apskaičiuoto dydžio paklaidos ribą.
Idealiajam kvadratui L = 1.00 m ir d = 0.50 m. Raskite A_first ir tikslų plotą. Ar A_first atitinka 0.01 m² leidžiamąjį absoliutųjį skirtumą?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
A_first = 2.00 m²; tikslus plotas = 2.25 m². Ne: skirtumas yra 0.25 m².
Pradinis plotas yra 1.00 m², o 2Ld = 1.00 m². Atmestas narys d² = 0.25 m² yra didesnis už nurodytą 0.01 m² leidžiamąjį nuokrypį. Vien tai, kad skaičiavimas vadinamas pirmosios eilės skaičiavimu, negarantuoja, kad jis pakankamai tikslus.
Išnagrinėtame mažo kvadrato pavyzdyje d/L yra 2%, o plotas su pirmosios eilės pataisa nuo tikslaus modelio ploto skiriasi maždaug 0.03845%. Kodėl šie procentiniai dydžiai skiriasi ir ar nario d² išlaikymas įrodytų, kad tikros plokštės plotas žinomas tiksliai?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jie lygina skirtingus dydžius su skirtingomis atskaitos vertėmis. Įtraukus d², tikslus rezultatas gaunamas tik pateikto kvadrato modelio ribose.
2% santykis lygina kraštinės ilgio prieaugį su pradiniu kraštinės ilgiu. 0.03845% santykis lygina neįtrauktą plotą su tiksliu modelio plotu. Vis tiek reikia įvertinti realius matmenis, formą ir matavimo ribotumus.

Ką verta įsidėmėti

Prieš supaprastindami, pasirinkite tikslą ir reikiamą tikslumą.
Dydžių masteliui įvertinti naudokite dešimties laipsnius ir išlaikykite matavimo vienetus.
Pokytį vertinkite pagal aiškiai nurodytą atskaitos vertę, o ne vien pagal jo skaitinę vertę.
Sudarykite pradinės vertės ir pataisos sumą ir nustatykite, kuris narys praleistas.
Patikrinkite tą narį pagal užduoties kriterijų ir aiškiai nurodykite fizikinio modelio ribas.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.