Dinaminės sistemos ir faziniai portretai

Pradėkime nuo dviejų temperatūrų skirtumų

Nagrinėkime du kūnus, kurių kiekvieno temperatūra visame tūryje vienoda. Kiekvienas kūnas keičiasi šiluma su savo rezervuaru, kurio temperatūra palaikoma lygi T₀ = 300 K. Kūnų temperatūras pažymėkime T₁ ir T₂. Apibrėžkime x = T₁ − T₀ ir y = T₂ − T₀; šie skirtumai matuojami kelvinais. Pirmuoju atveju abu kūnai iš pradžių yra 4 K šiltesni už savo rezervuarus: pradinė būsena yra sutvarkytoji pora (x₀, y₀) = (4, 4) K.

Duoti kitimo greičio dėsniai dx/dt = −x/(2 s) ir dy/dt = −y/(1 s), kai t ≥ 0; čia nagrinėjama tik tokia fizinė raida, kai temperatūros perviršiai yra neneigiami. Išvestinė čia reiškia nurodyto dydžio momentinį kitimo greitį laiko atžvilgiu; kiekvieno kitimo greičio vienetai yra K/s. Dėl minuso ženklų teigiamas temperatūros perviršis mažėja. Vardikliai yra tiksliai duotos laiko konstantos, o ne išmatuotos vėsimo trukmės.

Modelyje daroma prielaida, kad kiekvieno kūno temperatūra visame tūryje vienoda, kiekvieno rezervuaro temperatūra išlieka 300 K, kūnai vienas kito neveikia, o koeficientai nekinta. Proporcingas vėsimas yra supaprastintas fizikinis modelis, kurio taikymą realiai sistemai būtina patikrinti. Šioje pamokoje iš anksto nustatytos modelio lygtys naudojamos būsenoms ir jų raidai mokyti, o ne neapibrėžto eksperimento rezultatams prognozuoti.

Pasiruoškite pasitelkdami temas „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ ir „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Pirmiausia sekite kitimo greičių ženklus, lentelėje pateiktas tikslias reikšmes ir fazinį portretą. Vėliau grįždami prie patikrų naudojant išvestines, pasitelkite temas „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ ir „Paprastosios diferencialinės lygtys“. Reikalingus būsenos ir kitimo greičio žymenis pristatome čia pat, prieš juos naudodami.

Atskirkite būseną nuo jos kitimo greičio

Dinaminė sistema nusako, kaip kinta apibrėžta būsena. Šiame modelyje būsena yra z = (x, y), o kitimo taisyklė nusako jos kitimo greitį F(z) = (−x/(2 s), −y/(1 s)). Pora yra sutvarkyta: pirmasis komponentas atitinka kūną 1, o antrasis – kūną 2. Būsena ir jos kitimo greitis nėra tas pats dydis.

Kai rezervuarai ir koeficientai nekinta, šie kitimo greičiai priklauso nuo esamos būsenos, o laikas nėra atskiras taisyklės argumentas. Tokia sistema yra autonominė. Kai (x, y) = (2, 1) K, kitimo greitis yra (−1, −1) K/s, nesvarbu, ar ši būsena nurodyta kaip pradinė sąlyga, ar pasiekta vėliau. Būsenų erdvės vektorinis laukas yra toks kitimo greičio vektoriaus priskyrimas kiekvienai leistinai būsenai.

Čia visa pora lemia visą kitimo eigą. A ir B atvejais x gali būti vienodas, o y – skirtingas. Kadangi kūnai nesusieti, šiame specialiame modelyje vien x iš tiesų tenkina uždarą savo kitimo lygtį, tačiau jis vis tiek neapibrėžia kūno 2 būsenos. Renkantis kintamuosius kitai sistemai, reikia patikrinti, ar šių kintamųjų ir pateiktų parametrų pakanka numatytai uždarai kitimo taisyklei sudaryti.

Susiekite tikslias būsenas su laiku

Pateiktų dėsnių sprendiniai yra x(t) = x₀ exp[−t/(2 s)] ir y(t) = y₀ exp[−t/(1 s)]. Žymėjimas exp(a) reiškia e, pakeltą laipsniu a, kur e yra natūraliojo logaritmo pagrindas. Argumentai t/(2 s) ir t/(1 s) yra bedimensiai. Diferencijuojant abi eksponentines funkcijas gaunami būtent pateikti kitimo greičiai, o kai t = 0, abu daugikliai lygūs 1.

Pasirinkite Δ = 2 ln(2) s, kur ln yra natūralusis logaritmas, o exp[ln(2)] = 2. Per vieną intervalą Δ x padauginamas iš 1/2, o y – iš 1/4. Taigi A atveju būsena iš (4, 4) K pereina į (2, 1) K, o paskui į (1, 1/4) K laiko momentais 0, Δ ir 2Δ.

Kitais atvejais taikomi tie patys kitimo greičio dėsniai, o pradinės poros yra B = (4, 2) K ir C = (2, 4) K. Tikslios jų vertės pateiktos toliau. Pirmajame stulpelyje laikas dalijamas iš Δ, todėl jo įrašai yra bedimensiai šių intervalų skaičiai; kiekvienoje likusioje antraštėje temperatūrų skirtumas dalijamas iš K. Tai nustatytos modelio vertės, o ne matavimo rodmenys su numanomu matavimo glaudumu.

Interpretuokite būsenų kreives ir kitimo spartos rodykles

Atidėkite x horizontaliojoje, o y vertikaliojoje ašyje. Dabar taškas vaizduoja du temperatūros skirtumus vienu laiko momentu. Laikui didėjant, sprendinio eiga brėžia kreivę per šias būsenas. Fazinis portretas vaizduoja būsenų erdvės sritį su būdingomis sprendinių kreivėmis, jų kitimo kryptimi ir pusiausvyros būsenomis. Šios ašys nusako temperatūras, o ne dvi fizines kryptis, kuriomis juda kūnas.

Diagramoje pavaizduotos tik trys sprendinių eigos atkarpos nuo t = 0 iki 4 ln(2) s. Apskritimai žymi A atvejį ištisinėje kreivėje, kvadratai – B atvejį brūkšninėje kreivėje, o trikampiai – C atvejį brūkšninėje-taškinėje kreivėje. Kiekvienam atvejui skirti trys žymekliai, atitinkantys laiko lentelę. Abiejose ašyse naudojamas toks pat mastelis kelvinais; laikas pateikiamas lentelėje, o ne kurioje nors fazinėje ašyje.

Šešiolika pilkų rodyklių rodo momentines kitimo spartas pasirinktose būsenose. Kiekvienos rodyklės kotas vaizduoja F(z), padaugintą iš bendro 0.1 s daugiklio ir ašies mastelio. Šis daugiklis leidžia matyti santykines kitimo spartas; neteigiama, kad rodyklės smaigalys žymi tikslią būseną po 0.1 s. Sprendinio kreivės liestinė sutampa su kitimo spartos kryptimi ten, kur ši sparta nelygi nuliui. Būsenos taškas slenka į apačią ir į kairę, nes abu temperatūros perviršiai mažėja; tai atitinka rodyklių ženklus.

Tikrindami pusiausvyrą, įvertinkite kiekvieną kitimo spartą

Šios autonominės sistemos pusiausvyra yra būsena, kurioje abi kitimo spartos lygios nuliui. Čia tam reikia, kad x = 0 K ir y = 0 K: abiejų kūnų temperatūra yra 300 K. Atskiras rombas žymi šį pastovų sprendinį. Jis nevaizduoja kūnų, kurių temperatūra lygi absoliučiajam nuliui.

Būsenoje (0, 2) K pirmoji kitimo sparta lygi nuliui, tačiau antroji yra −2 K/s. Būsena kinta, todėl ji nėra pusiausvyros būsena. Taip pat maža rodyklė nėra kriterijus, leidžiantis nustatyti, ar kitimo sparta tiksliai lygi nuliui. Tai tikrinama pagal lygtis, įvertinant kiekvieną komponentę.

Kai pradiniai temperatūros perviršiai teigiami, eksponentinės funkcijos išlieka teigiamos bet kuriuo baigtiniu laiko momentu ir artėja prie nulio tik tada, kai t didėja be galo. Todėl trys pavaizduotos kreivės ties savo galiniais žymekliais nepasiekia pusiausvyrą žyminčio rombo. Jos artėja prie tos pačios ribinės būsenos, bet nesusitinka joje per baigtinį laiką.

Nesikirtimui būtina sprendinio vienatinumo sąlyga. Viena pakankama lokali sąlyga yra tokia: autonominės sistemos kitimo spartos komponenčių pirmosios dalinės išvestinės turi būti tolydžios atviroje srityje aplink būseną. Mūsų tiesinis laukas turi šią savybę, kai yra matematiškai pratęstas į atvirą plokštumą, ir turi aiškiai išreikštą vienintelį sprendinį. Dvi skirtingos integralinės orbitos ten negali susikirsti ir paskui tęstis skirtingai. Pasirinkus skirtingas laiko atskaitos pradžias, galima aprašyti tą pačią orbitą; projekcija, kurioje praleidžiama viena būsenos komponentė, taip pat gali paslėpti sprendinių eigos skirtumus.

Atskirkite laiką nuo kreivės

Kai x₀ > 0 K, pažymėkite u = exp[−t/(2 s)]. Tuomet x = x₀u ir y = y₀u², todėl pašalinę u gauname y = y₀(x/x₀)². Santykis x/x₀ yra bedimensis. Šis sąryšis aprašo orbitos geometriją, bet nepasako, kaip greitai būsena juda išilgai jos.

Atskirame modelyje padvigubinkime abu kitimo greičius: dx/dt = −x/(1 s) ir dy/dt = −2y/(1 s). Pradėjus nuo (4, 4) K, gaunamas tas pats geometrinis ryšys y = (4 K)[x/(4 K)]². Būsena (2, 1) K pasiekiama laiku ln(2) s, o ne 2 ln(2) s. Pirmojo modelio rodyklės ir laiko lentelė neaprašo šios spartesnės laiko eigos.

Temperatūros kitimo greičio rodyklių vienetai prieš pritaikant vaizdavimo mastelį yra K/s. Jos nėra judėjimo erdvėje greičiai, matuojami m/s, ir nerodo jėgų. Kai faziniai kintamieji yra skirtingų rūšių dydžiai, pavyzdžiui, padėtis ir judesio kiekis, kiekvienai ašiai reikia atskirai nurodyti vienetą ir mastelį; vien vienodi atstumai ekrane neapibrėžtų fizinio greičio.

Atpažinti išreikštinę priklausomybę nuo laiko

Dabar palyginimui pateikime atskirą modelį su išoriniu poveikiu: dx/dt = −x/(2 s) + (1 K/s) sin[t/(1 s)], o dy/dt = −y/(1 s). Sinuso argumentas yra bedimensė skaitinė fazės radianais vertė t/(1 s). Šioje lygtyje, be būsenos, yra ir išreikštinis nuo laiko priklausantis poveikis; ji yra neautonominė. Tai nėra faziniame portrete naudojamas modelis.

Esant nurodytai būsenai (2, 1) K ir t = 0, kitimo greičiai yra (−1, −1) K/s. Esant tai pačiai nurodytai būsenai ir t = (π/2) s, sinuso vertė yra 1, o kitimo greičiai yra (0, −1) K/s. Tai du momentiniai įvertinimai, o ne teiginys, kad vienas sprendinys pasiekia tą būseną abiem laiko momentais. Vienas nekintamas rodyklių priskyrimas tik pagal būseną neįtrauktų kintančio išorinio poveikio.

Kuriant platesnį evoliucijos aprašą, prie kintamųjų galima pridėti išorinio poveikio fazę arba laikrodį, tačiau taip pat būtina nurodyti šio kintamojo evoliuciją ir pradinę vertę. Vien pridėjus žymą, uždaras fizikinis modelis nesukuriamas. Čia pakanka išlaikyti išreikštinį nuo laiko priklausantį poveikį.

Atskirti diskretų stebėjimą nuo tolydžios evoliucijos

Stebėkime pradinį modelį laiko momentais tₙ = nΔ, kur Δ = 2 ln(2) s, o n yra neneigiamas sveikasis skaičius. Užrašykime xₙ = x(tₙ) ir yₙ = y(tₙ). Tikslusis stebėjimų atvaizdis yra xₙ₊₁ = xₙ/2 ir yₙ₊₁ = yₙ/4. Šis diskretusis atvaizdis susieja pasirinktus tolydžiai kintančios būsenos stebėjimus; tai nėra Eulerio aproksimacija.

Lentelėje ir žymekliais parodyti tik n = 0, 1 ir 2, o pateikti matematiniai dėsniai galioja, kai t ≥ 0. Diskretus stebėjimas nereiškia, kad tarp stebėjimų nieko nevyksta. Kita vertus, diskretųjį dinaminį modelį galima apibrėžti kaip savarankišką būsenos atnaujinimo taisyklę; jis nebūtinai turi būti išvestas iš tolydžiosios lygties.

Naudingame faziniame portrete turi būti išlaikyta būsenos kintamųjų prasmė, evoliucijos taisyklė, jos parametrai ir galiojimo sritis, taip pat bet koks rodyklių kalibravimas. Čia pateiktos baigtinės kreivės neleidžia nustatyti jokios bendros stabilumo klasifikacijos ar chaotinio elgesio. Kitoje pamokoje „Fiksuotieji taškai ir stabilumas“ nagrinėjama, kaip sistemingiau aprašyti elgesį arti pusiausvyros būsenų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar pradiniame modelyje (0, 2) K yra pusiausvyros būsena? Nurodykite jos kitimo spartą ir paaiškinkite patikrinimo kriterijų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jos kitimo sparta yra (0, −2) K/s.

   Tik kūno 1 perviršis ir kitimo sparta lygūs nuliui. Kūnas 2 vis dar kinta. Pusiausvyrai būtina, kad visų komponenčių kitimo spartos būtų lygios nuliui.

2. Kai t = 2 ln(2) s, ir A, ir B atveju x = 2 K. Ar jų visos būsenos sutampa ir ar x vis dar aprašomas uždara lygtimi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Būsenos skiriasi: A būsena yra (2, 1) K, o B – (2, 1/2) K. Čia x vis dar aprašomas uždara lygtimi.

   Jų pradinės x vertės ir x kitimo spartos dėsniai sutampa, tačiau pradinės y vertės skiriasi. Nesusietoji x lygtis leidžia numatyti tik x; ji nenusako abiejų kūnų būsenos.

3. Kodėl A atveju lygtis y = (4 K)[x/(4 K)]² yra suderinta pagal matavimo vienetus? Ar vien jos geometrinis sąryšis leistų atskirti pradinį ir padvigubintos kitimo spartos laikrodžius?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Santykio kvadratas yra bedimensis, todėl y matavimo vienetas lieka K. Vien šis sąryšis neleidžia atskirti šių dviejų laikrodžių.

   Abu modeliai iš tos pačios pradinės poros juda ta pačia orbita, tačiau (2, 1) K pasiekia skirtingu laiku. Laikui nustatyti reikia kitimo spartos dėsnio arba kalibruotos laiko lentelės.

4. A atveju (1, 1/4) K pasiekiama laiku t = 4 ln(2) s. Kokia pagal pateiktą modelį bus kita stebima būsena po vieno Δ intervalo? Ar ši būsena pavaizduota paveiksle?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (1/2, 1/16) K laiku t = 6 ln(2) s. Šis stebėjimas yra už pavaizduoto laiko intervalo ribų.

   Tikslusis diskretizavimo atvaizdis dalija x iš 2, o y – iš 4. Modelio apibrėžimo sritis t ≥ 0 leidžia atlikti šį skaičiavimą, tačiau diagrama baigiasi ties 4 ln(2) s.

5. Ar A atveju ties paskutiniu pavaizduotu žymekliu pasiekiamas pusiausvyrą žymintis rombas? Ką šis rombas reiškia fizinėms temperatūroms?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: paskutinė pavaizduota būsena yra (1, 1/4) K. Rombas žymi atskirą būseną T₁ = T₂ = 300 K.

   Teigiami eksponentiniai daugikliai per baigtinį laiką niekada netampa lygūs nuliui. Nulinis temperatūros perviršis reiškia lygybę su šiluminio rezervuaro temperatūra, o ne absoliutųjį nulį.

6. Pradėdami nuo (4, 4) K, padvigubinkite abu pradinius kitimo spartos koeficientus. Kada būsena pasieks (2, 1) K ir ar galima pakartotinai naudoti pradinę laiko lentelę jos nekeičiant?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Laiku ln(2) s. Pradinės laiko lentelės negalima pakartotinai naudoti jos nekeičiant.

   Padvigubinus kitimo spartas, laikas iki kiekvienos atitinkamos būsenos sutrumpėja perpus. Šios orbitos geometrija išlieka, tačiau pasikeičia jos parametrizacija laiku ir kitimo spartos rodyklių dydžiai.

Ką verta įsidėmėti

• Būsena nurodo modelio kintamuosius; evoliucijos taisyklė nusako jų kitimo spartas arba jų atnaujinimus, nurodant parametrus ir apibrėžimo sritis.
• Fazinis portretas vaizduoja būsenas ir reprezentatyvias raidos trajektorijas. Jo ašys nebūtinai atitinka fizines erdvės kryptis.
• Momentinės kitimo spartos rodyklės, baigtinės sprendinių kreivės ir diskrečiais laiko momentais pažymėti taškai perteikia skirtingą informaciją. Būtina nurodyti rodyklių kalibravimą.
• Pusiausvyrai būtina, kad visų komponenčių kitimo spartos būtų lygios nuliui. Šiame modelyje teigiami perviršiai prie pusiausvyros artėja tik asimptotiškai.
• Vien orbitos geometrija nenusako laiko eigos. Išorinis poveikis, aiškiai priklausantis nuo laiko, ir neįtraukti būsenos kintamieji gali pakeisti tai, ką gali vaizduoti fazinis portretas.
• Tikslusis stebėjimo atvaizdis su pusės ir ketvirčio daugikliais atrenka pateikto tolydaus sprendinio reikšmes; tai nėra nei skaitinis artinys, nei empirinis aušimo rezultatas.