Fizika · Straipsnis

Nejudamieji taškai ir stabilumas

Būsena gali išlikti visiškai nekintama, nors artimos būsenos nuo jos tolsta. Naudodamiesi tiksliu kitimo spartos grafiku ir fazine tiese, atskirkite pusiausvyrą, išlikimą arti jos ir artėjimą prie pusiausvyros.

Ankstesnis straipsnis: Dinaminės sistemos ir faziniai portretai

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Rasti duoto skaliarinio tolydžiojo laiko modelio pusiausvyros būsenas.
Iš kitimo spartos grafiko ir fazinės tiesės nustatyti, kada būsenos vertė didėja, o kada mažėja.
Atskirti stabilumą nuo asimptotinio stabilumo ir sprendinio elgsenos, kai jo būsena tiksliai atitinka pusiausvyrą.
Skaliariniam modeliui taikyti išvestinės kriterijų, laikantis jo sąlygų, ir atpažinti, kada jis neleidžia padaryti išvados.

Pradėkite nuo dviejų artimų pradinių būsenų

Imkime bedimensį būsenos kintamąjį u, kuris kinta laikui t bėgant; laikas matuojamas sekundėmis. Tikslus mokomasis kitimo dėsnis yra du/dt = (u − u³)/T, o teigiamas laiko mastelis T = 1 s. Žymuo du/dt reiškia momentinę kitimo spartą; jos vienetai yra s⁻¹. Kai sparta teigiama, u didėja, o kai neigiama – mažėja. Šis išgalvotas modelis nėra iš matavimų gautas tikro įrenginio aprašas.

Kai u = 0.5, kitimo sparta yra (0.5 − 0.125)/(1 s) = 0.375 s⁻¹, todėl būsenos vertė didėja. Kai u = 0.9, ji yra 0.171 s⁻¹, taip pat teigiama. Iš abiejų pradinių būsenų artėjama prie u = 1, kur kitimo sparta lygi nuliui. Pradėjus tiksliai nuo u = 0, kitimo sparta taip pat lygi nuliui, tačiau pradėjus nuo mažos teigiamos vertės arti nulio nuo jo tolstama. „Čia kitimo sparta lygi nuliui“ ir „artimos pradinės būsenos išlieka arti“ yra skirtingi klausimai.

Tema „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia reikšmių įstatymui ir grafikų skaitymui. Jei išvestinės jums naujos, pirmiausia vadovaukitės ženklais. Skaitant paskutinius du skyrius, galima pasirinktinai grįžti prie temų „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis aproksimavimas“ bei „Paprastosios diferencialinės lygtys“; reikalingos kitimo spartos ir nuolydžio sąvokos pristatomos čia.

Raskite pastoviuosius sprendinius

Užrašykite f(u) = (u − u³)/T, tuomet kitimo dėsnis yra du/dt = f(u). Jis autonominis: kitimo sparta priklauso nuo esamos būsenos, o atskiro laiko argumento nėra. Pusiausvyros būsena, šiame tolydžiojo laiko modelyje dar vadinama nejudamuoju tašku, yra tokia būsena u*, kuriai pastovioji funkcija u(t) = u* yra sprendinys.

Prilyginkime f(u*) = 0. Kadangi T yra teigiamas, tai reiškia, kad u*(1 − u*²) = 0. Todėl u* = −1, 0 arba 1. Tai visos pusiausvyros būsenos leistinoje realiųjų būsenos verčių srityje. Žvaigždutė žymi pusiausvyros vertę, o ne daugybą.

Polinominė kitimo greičio funkcija yra tolydžiai diferencijuojama, todėl kiekvienai baigtinei pradinei būsenos vertei galioja lokalus sprendinio egzistavimas ir vienatis. Šiame modelyje sprendinys negali kirsti pusiausvyros būsenos ir tęstis už jos: tai prieštarautų vienaties savybei, nes per tą pačią būseną eina pastovus sprendinys. Šią savybę naudosime kartu su kitimo greičio ženklais. Vien glodumas ne kiekvienoje diferencialinėje lygtyje garantuotų sprendinio egzistavimą visą būsimą laiką.

Skaitykite kitimo greičio grafiką ir fazinę tiesę

Viršutiniame grafike pavaizduota f(u) priklausomybė nuo u. Jo horizontalioji koordinatė yra būsena, o ne laikas. Ten, kur kreivė yra virš grafiko nulinės linijos, būsenos vertė didėja, o žemiau tos linijos – mažėja. Trys kreivės susikirtimo su nuline linija taškai nurodo pusiausvyros būsenas. Apatinėje fazinėje tiesėje tos pačios pusiausvyros būsenos pažymėtos vienoje būsenos ašyje ir nurodyta tik kitimo kryptis tarp jų.

Išskaidymas dauginamaisiais leidžia nustatyti ženklus keturiuose atviruosiuose intervaluose: teigiamas, kai u < −1, neigiamas, kai −1 < u < 0, teigiamas, kai 0 < u < 1, ir neigiamas, kai u > 1. Todėl apatinės rodyklės nukreiptos į dešinę, į kairę, į dešinę ir į kairę. Jos nukreiptos link −1 ir 1 bei nuo 0. Vienodas nubrėžtų rodyklių ilgis žymi tik kryptį; kitimo greičio dydį rodo viršutinis grafikas.

Lentelėje pateikti tikslūs rezultatai, gauti įstačius pasirinktas reikšmes. Visa kreivė gaunama iš pateikto polinomo, o ne priderinant ją prie septynių stebėtų reikšmių. Brėžinyje parodyta −1.5 ≤ u ≤ 1.5; tai tik vaizdavimo intervalas, o modelyje leidžiama bet kuri baigtinė realioji pradinės būsenos vertė.

du/dt = (u − u³)/T; T = 1 s

Užpildyti kvadratai: asimptotiškai stabilūs

Tuščiaviduriai apskritimai: nestabilūs

Virš nulio: u didėja

Žemiau nulio: u mažėja

Rodyklės rodo tik kryptį

Viršutinis grafikas: 240 px vienam būsenos vienetui ir 105 px vienam s⁻¹; apatinėms rodyklėms kitimo spartos mastelis netaikomas

Vaizduojamas intervalas −1.5 ≤ u ≤ 1.5; modelis leidžia bet kurią baigtinę realiąją pradinę būseną

Vienas tikslus skaliarinis tolydaus laiko modelis; alternatyvios būsenos, o ne laiko imtys ar matavimų duomenys

Tikslus kitimo spartos grafikas ir jo fazinė tiesė aprašo tą patį pateiktą modelį. Užpildyti kvadratai žymi dvi asimptotiškai stabilias pusiausvyros būsenas; tuščiaviduriai apskritimai žymi nestabiliąją. Kitimo spartos dydį nustatykite pagal viršutinio grafiko ordinatę; apatinės rodyklės nurodo tik kryptį. Greta esančioje lentelėje pateiktos tikslios pasirinktų būsenų vertės.

Tikslios pasirinktų būsenų vertės ir vietiniai kitimo greičiai pateiktame tolydžiojo laiko modelyje. Eilutės žymi alternatyvias būsenas, o ne vieną po kito einančius laiko mėginius.
Būsena u (bedimensė)	du/dt (s⁻¹)	Vietinė kitimo kryptis
−1.5	1.875	Didėja
−1	0	Pusiausvyra
−0.5	−0.375	Mažėja
0	0	Pusiausvyra
0.5	0.375	Didėja
1	0	Pusiausvyra
1.5	−1.875	Mažėja

Apibrėžkite, ką reiškia išlikti arti

Pusiausvyros būsena yra stabili, jei, pasirinkus bet kokią leistiną nuokrypio ribą, galima užtikrinti, kad ji nebus viršyta visą tolesnį laiką, parenkant pakankamai artimą pradinę būseną. Simboliais: kiekvienam ε > 0 egzistuoja δ > 0, toks, kad iš |u(0) − u*| < δ išplaukia |u(t) − u*| < ε visiems t ≥ 0. Vertikalūs brūkšniai žymi absoliutų atstumą. Čia tiek ε, tiek δ yra bedimensiai.

Pusiausvyros būsena yra asimptotiškai stabili, jei ji yra stabili ir visos trajektorijos, prasidedančios pakankamai arti jos, taip pat prie jos artėja, kai t artėja į begalybę. Vien stabilumas reiškia išlikimą arti, bet nebūtinai artėjimą. Nestabili pusiausvyros būsena neatitinka išlikimo arti sąlygos. Nė vienas iš šių apibrėžimų nereikalauja, kad pats tikslus pusiausvyros sprendinys nukryptų nuo pusiausvyros.

Tai lokalūs teiginiai apie pradinės būsenos trikdžius nurodytame deterministiniame modelyje. Jie negarantuoja atsparumo nuolatiniam išoriniam poveikiui, matavimo paklaidai ar pakeistai evoliucijos taisyklei.

Nustatykite dvi traukiančiąsias pusiausvyros būsenas

Arti u* = 1 sprendinys, kurio pradinė reikšmė mažesnė už 1, bet didesnė už 0, didėja, o sprendinys, kurio pradinė reikšmė didesnė už 1, mažėja. Jis negali kirsti 1, todėl jo atstumas nuo 1 niekada nedidėja. Bet kuriam ε > 0 pasirinkus δ = min(ε, 1/2), kiekvienas sprendinys, kurio pradinė reikšmė tenkina |u(0) − 1| < δ, visą tolesnį laiką lieka mažesniu nei ε atstumu nuo pusiausvyros. Į šią aplinką nepatenka nestabili pusiausvyra ties nuliu.

Toks sprendinys yra monotoniškas ir aprėžtas tarp savo pradinės reikšmės ir 1, todėl turi ribą. Toje riboje kitimo greitis turi būti lygus nuliui: nenulinis tolydus kitimo greitis arti numanomos ribos ir toliau keistų būseną tam tikru nenuliniu dydžiu per sekundę. Vienintelė pusiausvyra šioje aplinkoje yra 1. Taigi sprendinys artėja prie 1, ir tai įrodo asimptotinį stabilumą.

Toks pat samprotavimas su priešingais ženklais įrodo asimptotinį stabilumą ties −1. Apskritai kiekviena teigiama pradinė būsena artėja prie 1, kiekviena neigiama – prie −1, o būsena, lygi tiksliai nuliui, lieka nulinė. Sprendiniai lieka aprėžti tarp savo pradinės būsenos ir atitinkamos pusiausvyros. Todėl šiame konkrečiame modelyje lokalus egzistavimas ir pratęsimo savybė aprėžtuose uždaruose būsenos reikšmių intervaluose užtikrina, kad sprendiniai egzistuoja visiems t ≥ 0.

Pusiausvyra gali būti nestabili

Ties u* = 0 tiksli pradinė reikšmė u(0) = 0 duoda pastovų nulinį sprendinį. Tačiau sprendinys su bet kuria teigiama pradine reikšme intervale (0, 1) didėja link 1, o sprendinys su neigiama pradine reikšme intervale (−1, 0) mažėja link −1. Šie sprendiniai tolsta nuo nulio net tada, kai pradinis atstumas yra labai mažas.

Norėdami patikrinti apibrėžimą, fiksuokime ε = 1/2. Kad ir koks δ > 0 būtų pasiūlytas, pasirinkime u(0) = min(δ/2, 1/4). Ši reikšmė yra teigiama, o jos atstumas nuo nulio mažesnis už δ. Kadangi sprendinys artėja prie 1, galiausiai jis viršija 1/2. Joks teigiamas δ neužtikrina pasirinktos ε sąlygos visam tolesniam laikui, todėl nulinė pusiausvyra yra nestabili.

Šis argumentas susijęs su gretimomis pradinėmis būsenomis. Jis nereiškia, kad tiksliai nulinis sprendinys savaime ima kisti, o baigtinis kelių nekintančių atrinktų reikšmių atvaizdavimas neįrodytų stabilumo sąlygos visam tolesniam laikui.

Nenulinio nuolydžio taikymo sąlygos

Išvestinė f′(u*) yra lokalus kitimo greičio grafiko nuolydis, o ne pats kitimo greitis f(u*). Ji palygina mažą kitimo greičio pokytį su mažu būsenos pokyčiu. Skaliarinei autonominei lygčiai, kurios funkcija f yra tolydžiai diferencijuojama pusiausvyros aplinkoje, f′(u*) < 0 reiškia lokalų asimptotinį stabilumą, o f′(u*) > 0 – nestabilumą. Šis kriterijus taikomas tolydžiajam laikui, kai tenkinama nurodyta reguliarumo sąlyga ir nuolydis yra nenulinis.

Ženklai paaiškina šį kriterijų. Kai grafiko nuolydis ties nulio kirtimo tašku yra neigiamas, f yra teigiama iškart į kairę nuo jo ir neigiama iškart į dešinę: abi kryptys nukreiptos į vidų. Teigiamas nuolydis šias kryptis apverčia. Išvestinės tolydumas išsaugo šį lokalų vaizdą pakankamai mažoje aplinkoje; ši išvada nedaroma iš tolimų taškų reikšmių.

Mūsų polinomo išvestinė yra f′(u) = (1 − 3u²)/T. Jos reikšmės taškuose −1, 0 ir 1 yra atitinkamai −2 s⁻¹, +1 s⁻¹ ir −2 s⁻¹. Jos atitinka fazinės tiesės argumentus. Išsamesnė linearizacijos analizė yra vėlesnė tema; čia pateikta skaliarinio nuolydžio taisyklė neklasifikuoja bet kokių sistemų, turinčių kelis būsenos komponentus.

Kai nuolydis lygus nuliui

Dabar atskirai nagrinėkime du kitus pateiktus skaliarinius modelius: du/dt = −u³/T ir du/dt = +u³/T, kuriuose taip pat T = 1 s. Abiejų pusiausvyros būsena yra u* = 0, o išvestinė joje lygi nuliui. Modelyje su minuso ženklu neigiamos būsenų vertės didėja, o teigiamos mažėja, artėdamos prie nulio. Modelyje su pliuso ženklu abiejų ženklų būsenų vertės tolsta nuo nulio. Vien nulinė išvestinė neleidžia nustatyti nė vieno iš šių rezultatų.

Modelyje su minuso ženklu atstumas iki nulio mažėja, o riba lygi nuliui, todėl pusiausvyros būsena yra asimptotiškai stabili. Modelyje su pliuso ženklu kiek norima mažos nenulinės pradinės vertės didėja pagal modulį, tolsta nuo nulio ir išeina iš nustatytos mažos jo aplinkos, todėl pusiausvyros būsena yra nestabili. Samprotaujant pagal kitimo kryptis nagrinėjami tikrieji netiesiniai nariai, o ne priskiriama stabilumo kategorija nuliniam nuolydžiui.

Su kiekviena išvada išlaikykite lygtį, leistinas būsenas, laiko kryptį ir trikdžio prasmę. Mūsų grafikas paaiškina vieną tolydųjį skaliarinį modelį, o trumpas palyginimas – vieno kriterijaus taikymo ribą. Skaitiniams laiko žingsniams, kelių komponentų sistemoms ir nuolat veikiantiems trikdžiams reikia atskiros analizės.

Dvi atskiros netiesinės taisyklės, kurių nuolydis pusiausvyros būsenoje vienodas ir lygus nuliui. T yra teigiamas laiko mastelis 1 s.
Taisyklė	f′(0) (s⁻¹)	Kitimo kryptys šalia nulio	Išvada ties nuliu
du/dt = −u³/T	0	Abiejose pusėse – nulio link	Asimptotiškai stabili
du/dt = +u³/T	0	Abiejose pusėse tolstama nuo nulio	Nestabili

Išnagrinėti pavyzdžiai

Raskite pusiausvyros būsenas, tada – kitimo kryptis

Kai du/dt = (u − u³)/T ir T = 1 s, raskite visas realiąsias pusiausvyros vertes. Patikrinkite dvi kitimo kryptis, kai u = −0.5 ir u = 1.5.

Išskaidžius dauginamaisiais, u(1 − u²) = 0 duoda −1, 0 ir 1. Pastovus sprendinys, lygus bet kuriai iš šių verčių, tenkina diferencialinę lygtį.
Kai u = −0.5, u³ = −0.125, todėl f(u) = (−0.5 + 0.125)/(1 s) = −0.375 s⁻¹. Būsenos vertė mažėja ir artėja prie −1.
Kai u = 1.5, u³ = 3.375, todėl f(u) = (1.5 − 3.375)/(1 s) = −1.875 s⁻¹. Būsenos vertė mažėja ir artėja prie 1; mažėjimas nebūtinai reiškia artėjimą prie nulio.

Pusiausvyros vertės yra −1, 0 ir 1. Abu pasirinkti kitimo greičiai yra neigiami, tačiau pradėjus nuo pirmosios vertės artėjama prie −1, o nuo antrosios – prie 1.

Išlaikykite leistiną nuokrypį nuo 1

Pagrindiniame modelyje imkite u(0) = 0.9 ir leistiną nuokrypį ε = 0.2 nuo u* = 1. Paaiškinkite, kodėl šis konkretus sprendinys neperžengia leistino nuokrypio ribų ir artėja prie 1.

Pradinis atstumas yra |0.9 − 1| = 0.1 < 0.2. Pradinis kitimo greitis yra (0.9 − 0.729)/(1 s) = 0.171 s⁻¹.
Visame intervale (0.9, 1) kitimo greitis yra teigiamas. Dėl sprendinio vienatinumo jis negali kirsti pusiausvyros taško 1, todėl lieka tarp savo pradinės reikšmės ir 1, o atstumas neviršija 0.1.
Monotoniškumas ir aprėžtumas užtikrina ribos egzistavimą, o šiame intervale kitimo greitis lygus nuliui tik taške 1. Visoms pakankamai artimoms pradinėms reikšmėms tas pats argumentas, kad sprendinys lieka aprėžtas, pasirinkus δ = min(ε, 1/2), įrodo visą lokaliojo stabilumo sąlygą.

Bet kuriuo vėlesniu laiko momentu šio sprendinio atstumas nuo 1 lieka mažesnis už 0.2, o sprendinys artėja prie 1. Išvada remiasi kitimo greičiu visame intervale ir sprendinio vienatinumu, o ne vien pradiniu kitimo greičiu.

Palyginkite dvi nulinio nuolydžio taisykles

Abiejuose atskiruose modeliuose du/dt = −u³/T ir du/dt = +u³/T galioja f′(0) = 0. Ar pagal šią išvestinę galima nustatyti stabilumą? Patikrinkite modelį su minuso ženklu, kai pradinė reikšmė yra u(0) = 0.5, laiko momentu t = 6 s.

Abiejuose modeliuose išvestinė lygi nuliui, todėl nenulinio nuolydžio kriterijus neleidžia padaryti išvados. Minuso ženklas lemia kryptis pusiausvyros link, o pliuso ženklas – kryptis nuo pusiausvyros.
Modelyje su minuso ženklu u(t) = u(0)/√(1 + 2u(0)²t/T) tenkina taisyklę, kaip galima patikrinti diferencijuojant, ir turi nurodytą pradinę reikšmę. Pošakninė išraiška yra teigiama, kai t ≥ 0.
Įstatykite u(0) = 0.5 ir t/T = 6. Vardiklis yra √(1 + 2 × 0.25 × 6) = √4 = 2, todėl u(6 s) = 0.25. Pagal šią formulę sprendinys artėja prie nulio esant bet kuriai pradinei reikšmei; modeliui su pliuso ženklu reikia atskiro argumento, paremto kryptimis nuo pusiausvyros.

Vien nulinis nuolydis neleidžia padaryti išvados. Nulis yra asimptotiškai stabilus modelyje su minuso ženklu ir nestabilus modelyje su pliuso ženklu. Pasirinkta modelio su minuso ženklu būsena po 6 s yra 0.25.

Pabandykite patys

Pagrindiniame modelyje f(0) = 0, o sprendinys, kurio pradinė reikšmė lygi nuliui, lieka lygus nuliui. Ar tai reiškia, kad pusiausvyra yra stabili?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Nulis yra nestabili pusiausvyra.
Stabilumas tikrinamas visoms pakankamai artimoms pradinėms būsenoms visais būsimais laiko momentais. Kad ir kokia maža būtų teigiama pradinė būsena intervale (0, 1), jos atstumas nuo nulio ilgainiui viršija 1/2, o tiksliai nulinis sprendinys išlieka pastovus.
Pagrindinio modelio pradinė būsena yra u = −1.5. Raskite jos vietinį kitimo greitį. Ar didėjanti būsena būtinai tolsta nuo pusiausvyros ties −1?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jos kitimo greitis yra +1.875 s⁻¹. Ji didėja artėdama prie −1.
u³ = −3.375, todėl u − u³ = 1.875. Didėjant būsenai, mažesnei už −1, jos atstumas nuo −1 mažėja. Koordinatės kitimo kryptis ir atstumas nuo pasirinktos pusiausvyros yra skirtingi dydžiai.
Pagrindiniam modeliui ties u* = −1 parinkite δ, kai leistinas nuokrypis ε = 0.1. Kas nutinka pradinėms būsenoms, kurioms |u(0) + 1| < δ?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Pasirinkite δ = 0.1. Visų tokių pradinių būsenų atstumas nuo −1 išlieka mažesnis už 0.1 visiems t ≥ 0, ir jos artėja prie −1.
Pasirinkus min(ε, 1/2), gaunama 0.1, todėl pradinės būsenos yra intervale (−1.1, −0.9), atokiau nuo nulio. Abiejose pusėse kryptys nukreiptos į −1, o sprendinio vienatinumas neleidžia kirsti šios pusiausvyros, todėl atstumas nedidėja. Vienintelė galima ribinė pusiausvyra šiame intervale yra −1.
Apatinių rodyklių ilgiai vienodi. Ar jos rodo, kad visos būsenos kinta vienodai greitai, ar kad būsena pasiekia kitą pusiausvyrą per tą patį laiką?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Nei viena, nei kita. Jos rodo tik kitimo ženklą.
Apatinė ašis žymi būseną u, o ne laiką. Kitimo greičio dydį rodo viršutinė ordinatė f(u), matuojama s⁻¹. Pavyzdžiui, viršutinėje lentelėje nurodyta 0.375 s⁻¹, kai u = 0.5, ir 1.875 s⁻¹, kai u = −1.5, nors fazinėje tiesėje abiem atvejais kryptis yra į dešinę.
Skaliarinė tolydžiai diferencijuojama kitimo greičio funkcija tenkina f(0) = 0 ir f′(0) = 0. Ar pusiausvyra būtinai stabili? Remkitės dviem atskirais kubiniais modeliais.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Kubinis modelis su minuso ženklu ties nuliu yra asimptotiškai stabilus, o kubinis modelis su pliuso ženklu – nestabilus.
Abiejų išvestinių vertės ties nuliu lygios nuliui, tačiau netiesinių išraiškų ženklai rodo kitimą nulio link arba nuo jo. Kai nuolydis lygus nuliui, išvestinės kriterijus neduoda galutinio atsakymo; šiais konkrečiais atvejais jį lemia kitimo spartos ženklai gretimuose taškuose.
Pateikite atskirą dėsnį du/dt = 0, galiojantį visiems realiesiems u, kurio visi sprendiniai būtų pastovūs. Ar u* = 0 yra stabilus? Ar jis asimptotiškai stabilus?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jis stabilus, bet ne asimptotiškai stabilus.
Bet kuriam ε > 0 pasirinkite δ = ε. Kiekviena pradinė būsena, nutolusi mažiau nei δ, visada išlieka tuo pačiu atstumu. Bet kuri nenulinė pradinė būsena, kad ir kiek arti nulio ji būtų, išlaiko savo vertę, o ne artėja prie nulio, todėl reikalaujamos konvergencijos nėra. Šis atskiras nulinės kitimo spartos modelis iliustruoja skirtumą tarp dviejų apibrėžčių.

Ką verta įsidėmėti

Pusiausvyros būsena yra pastovus sprendinys; nagrinėjant stabilumą klausiama, kas nutinka artimoms pradinėms būsenoms.
Stabilumas reiškia, kad pakankamai artimos pradinės būsenos išlieka artimos visą tolesnį laiką; asimptotinis stabilumas papildomai reikalauja konvergencijos.
Pateiktam kubiniam dėsniui fazinės kryptys rodo asimptotiškai stabilias pusiausvyros būsenas ties −1 ir 1 bei nestabilią pusiausvyros būseną ties 0.
Nenulinio nuolydžio kriterijui reikia skaliarinės, tolydžiai diferencijuojamos tolydaus laiko kitimo spartos funkcijos; nulinis nuolydis galutinio atsakymo neduoda.
Aiškiai nurodykite modelių apibrėžimo sritis ir matavimo vienetus: kitimo spartos priklausomybės nuo būsenos grafikas nėra trajektorija laike, o krypties rodyklės neparodo kitimo spartos dydžio.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

18.03SC Differential EquationsMIT OpenCourseWare — 18.03SC course; Arthur Mattuck, Haynes Miller, Jeremy Orloff and John Lewis listed as course instructors; Fall 2011Paskaitų medžiaga18.03SC Differential Equations First Order Autonomous DEs’: Introduction Phase Linesocw.mit.edu
Geometrical Theory of Dynamical SystemsNils Berglund — ETH Zürich course notes, Winter 2000–2001; version 14 November 2001, arXiv v1 submitted 15 November 2001Paskaitų medžiagaGeometrical Theory of Dynamical Systems 2.1.1 Orbits and Flows — existence and uniqueness 2.2.2 Stability and Liapunov Functions — Definition 2.2.7arxiv.org
Ordinary Differential Equations and Dynamical SystemsGerald Teschl — University of Vienna; AMS Graduate Studies in Mathematics 140, 2012; author’s online preliminary versionVadovėlio skyrius · PDFOrdinary Differential Equations and Dynamical Systems 6.5 Stability of fixed points — scalar criteria and zero slope Problem 6.15 — nonzero scalar derivativemat.univie.ac.at