Hamiltono–Jakobio ir veikimo bei kampo metodai

Pradėkime nuo laisvosios dalelės

Imkime taškinę dalelę, kurios pastovi masė m = 2 kg ir kurios neveikia jokia jėga. Naudokime tiesinę koordinatę q fiksuotoje inercinėje atskaitos sistemoje; teigiama kryptis – į dešinę. Impulsas yra p = mv, kur v = dq/dt yra greitis su ženklu. Pasirinkime q(0) = −1 m ir p(0) = 4 kg m/s. Gautas greitis yra 2 m/s, todėl intervale 0 ≤ t ≤ 2 s padėtis yra q(t) = −1 m + (2 m/s)t.

Šiame modelyje hamiltonianas yra energijos vertę turinti funkcija H(q, p) = p²/(2m), o potencinė energija lygi nuliui. Hamiltono lygtys yra dq/dt = ∂H/∂p ir dp/dt = −∂H/∂q. Skaičiuojant dalinę išvestinę keičiamas nurodytas argumentas, o kitas laikomas pastoviu. Čia iš šių dviejų lygčių gauname dq/dt = p/m ir dp/dt = 0; energija yra 4 J.

Hamiltono–Jakobio teorijoje klausiama, ar viena funkcija gali užkoduoti judėjimą. Pasiruoškite pasitelkdami pamokas „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ bei „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“. Pirmiausia sekite pateiktą laisvosios dalelės judėjimo eigą, osciliatoriaus formules, diagramą ir lentelę. Jei norėsite grįžti prie patikrų naudojant dalines išvestines ir sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę, pasitelkite pamoką „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“; veikimo integralui – pamoką „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“. Prieš taikydami metodo sąlygas išvestinėms, čia pat pristatome hamiltonianą ir fazės apibrėžimo susitarimus.

Patikrinkime veikimo funkciją

Tarkime, S(q, t; α) = αq − α²t/(2m), kur α yra pastovus parametras, kurio matavimo vienetai yra impulso vienetai. Laikykite q ir t nepriklausomais kintamaisiais; skaičiuodami dalines išvestines jų atžvilgiu, laikykite α pastoviu. S matavimo vienetai yra J s: tokius vienetus turi ir impulso bei padėties sandauga, ir energijos bei laiko sandauga. Tai funkcijų šeima, o ne konkreti dalelės judėjimo eiga.

Pažymėkime S_q = ∂S/∂q ir S_t = ∂S/∂t. Diferencijuodami pateiktą funkcijų šeimą, gauname S_q = α ir S_t = −α²/(2m). Taigi šiame laisvosios dalelės modelyje H(q, S_q) + S_t = α²/(2m) − α²/(2m) = 0 bet kuriems q, t ir baigtiniam α. Ši lygtis yra vienos koordinatės Hamiltono–Jakobio lygtis: H(q, ∂S/∂q, t) + ∂S/∂t = 0.

Tai diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis, nes S priklauso nuo daugiau nei vieno nepriklausomo kintamojo. Šiame pavyzdyje jos išvestinė padėties atžvilgiu duoda impulsą, o išvestinė laiko atžvilgiu kompensuoja Hamiltonianą. Šių išvestinių matavimo vienetai skiriasi: S_q turi impulso, o S_t – energijos vienetus. Sudėtingesniam Hamiltonianui rasti tinkamą S gali būti sunku.

Atkurti judėjimo eigą iš dviejų konstantų

Diferencijuokite S parametro α atžvilgiu, laikydami q ir t pastoviais: S_α = q − αt/m. Prilyginkite šį reiškinį konstantai β, kurios matavimo vienetai yra ilgio vienetai. Iš p = S_q = α ir β = S_α kartu gauname q(t) = β + αt/m. Pasirinkite α = 4 kg m/s ir β = −1 m, kad atkurtumėte pradinę judėjimo eigą.

Čia α parenka impulsą, o β – pradinę padėtį. Viena energijos vertė neparinktų abiejų: priešingi impulsai atitinka tą pačią laisvosios dalelės energiją, o skirtingos pradinės padėtys gali atitikti tą pačią energiją. Pradinės sąlygos parenka abi konstantas.

Kai Hamiltonianas ir veikimo funkcijų šeima yra pakankamai glotnūs, šiuo metodu naudojami sąryšiai p = S_q ir β = S_α, kad sprendinys būtų atkurtas lokaliai ten, kur sąryšį galima apgręžti. Vienos koordinatės atveju nenulinė mišrioji išvestinė S_qα užtikrina reikiamą lokalią sąlygą. Mūsų atveju S_qα = 1, o apgręžimas yra išreikštinis. Tai negarantuoja globaliai apgręžiamo sprendinio kiekvienam Hamiltonianui ar kiekvienam kraštiniam uždaviniui.

Atskirkite du kitimo laike tipus

Kai α = 4 kg m/s, S_t = −4 J: ši dalinė išvestinė apskaičiuojama laikant q pastoviu. Judėjimo eigoje kinta ir q. Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę dS/dt = S_q(dq/dt) + S_t = (4 kg m/s)(2 m/s) − 4 J = 4 J. Taigi minuso ženklas išraiškoje S_t nereiškia, kad S šio judėjimo metu mažėja.

Šios laisvosios dalelės Lagranžo funkcija yra L = mv²/2 = 4 J. Integruojant ją nuo 0 iki 2 s, gaunamas 8 J s veikimas. Lentelės duomenys sutampa: S(q(2), 2; α) − S(q(0), 0; α) = 4 J s − (−4 J s) = 8 J s. Pasirinkta S funkcija išilgai šio sprendinio nuo sukaupto veikimo skiriasi pradine konstanta.

Judėjimo eigoje sukauptas veikimas, sprendinių šeima S(q, t; α) ir pagal galinių taškų duomenis nustatyta veikimo vertė yra susiję aprašai, kurių argumentai skiriasi. Uždaviniui su fiksuotais galiniais taškais reikia atskirų kraštinių duomenų ir tinkamos sprendinio šakos. Vien mūsų laisvosios dalelės sprendinių šeimos patikrinimas nei išsprendžia visus tokius uždavinius, nei įrodo, kad stacionarus veikimas visada yra minimalus.

Pasirinkite periodinį osciliatorių

Dabar apibrėžkime atskirą idealų neslopinamą osciliatorių, judantį fiksuota tiesia inercinės atskaitos sistemos q ašimi. Jo pastovi masė yra m = 1 kg, o standumas – k = 9 N/m. Naudokite H = p²/(2m) + kq²/2 ir pasirinkite energiją E = 2 J. Teigiama kitimo sparta ν = √(k/m) = 3 s⁻¹ nusakys skaitinės fazės vertės radianais kitimą.

Apibrėžkite fazės kampą kaip θ = φ rad: φ yra bedimensė skaitinė kampo vertė radianais, todėl ji gali būti sinuso ir kosinuso argumentas. Pasirinkite φ = νt su nuline pradine faze. Tuomet q = A cos φ ir p = −P sin φ, kur A = √(2E/k) = 2/3 m, o P = √(2mE) = 2 kg m/s. Šios pateiktos formulės tenkina dq/dt = p/m ir dp/dt = −kq.

Vienas visas modeliuojamas ciklas trunka T = 2π/ν = (2π/3) s. Braižome tik intervalą 0 ≤ t ≤ T. Fizikinis kampinis dažnis yra 3 rad/s; ν yra atitinkama skaitinės fazės vertės radianais kitimo sparta, o ne ciklų dažnis. Fazinės erdvės kreivė kartu vaizduoja padėtį ir impulsą. Jos vertikalioji kryptis atitinka impulsą, o ne kitą fizinės erdvės kryptį.

Apskaičiuokite normuotąjį veikimą

Šiai teigiamos energijos periodinei orbitai pasirinkime veikimo apibrėžimą I = (1/(2π))∮p dq. Uždarojo kontūro integralo ženklas ∮ reiškia, kad integruojama vieną kartą apeinant visą uždarą fazinę kreivę didėjančio φ kryptimi. Mūsų q–p ašyse tai yra kryptis pagal laikrodžio rodyklę. Integralas sumuoja impulso ir kiekvieno padėties pokyčio su jo ženklu sandaugas; jo matavimo vienetas yra kg m²/s = J s.

Naudokime q = A cos φ, tuomet dq = −A sin φ dφ. Kai p = −P sin φ, jų sandauga yra p dq = AP sin²φ dφ. Integruojant nuo 0 iki 2π, sin²φ integralas lygus π: užrašykite sin²φ = (1 − cos 2φ)/2, integruokite pastovųjį narį ir atkreipkite dėmesį, kad kosinuso narys apima pilnus periodus, todėl jo integralas lygus nuliui. Taigi ∮p dq = πAP = (4π/3) J s ir I = AP/2 = 2/3 J s.

Lygiavertiškai šiam osciliatoriui I = E/ν. Uždarojo kontūro integralas yra orientuotas fazinės erdvės plotas, turintis veikimo matavimo vienetus, o ne fizinis plotas kvadratiniais metrais ar ekrano pikseliais matuojamas plotas. Fiksavome ir jo orientaciją, ir daugiklį 1/(2π). Susitarus veikimu vadinti patį ∮p dq, taikomas kitoks skaitinis normavimas ir atitinkama fazės skalė.

Palyginkite tas pačias būsenas dviejose diagramose

Viršutinėje diagramoje pavaizduota tiksli padėties ir impulso elipsė, kai E = 2 J. Keturios skirtingos žymeklių formos nurodo pagrindines fazes. Apskritimas ties φ = 0 ir 2π yra bendras, nes pradinė ir galutinė fizinės būsenos sutampa. Trumpa liestinės rodyklė apačioje, nukreipta į kairę, rodo fazės didėjimo kryptį; tai nėra jėgos rodyklė ar greičio skalė.

Apatinėje diagramoje išvyniota fazė φ vaizduojama horizontaliai, o I – vertikaliai. I = 2/3 J s linija lieka horizontali, o φ didėja nuo 0 iki 2π. Penki jos žymekliai apima abu galinius taškus. Kitaip nei elipsėje, šiame pasirinktame fazės intervale pavaizduoti du galiniai taškai; tai vieno ciklo atvaizdavimas, o ne antras judėjimas erdvėje.

Matavimo vienetus ir kiekvienos ašies skalę vertinkite atskirai. Viršutinės diagramos ašyse matuojami skirtingų rūšių dydžiai, todėl jų pavaizduoti masteliai neprivalo būti vienodi. Abiejose diagramose ir lentelėje naudojamos tikslios modelio vertės, nenumatant jokios matavimo neapibrėžties. Apatinėje diagramoje parodyta tik ši teigiamo veikimo orbita; jos nulinė padala nėra pusiausvyros būsenai priskirta fazė.

Naudokite veikimo ir kampo koordinates lokaliai

Leiskite I kisti teigiamų verčių srityje, o m ir ν laikykite pastoviais. Užrašykite q = √(2I/(mν)) cos φ ir p = −√(2mνI) sin φ. Lokalioje fazės šakoje tai yra kanoninis koordinačių keitimas: jis išsaugo Hamiltono lygčių formą. Vienos koordinatės atveju tai patvirtina q_φp_I − q_Ip_φ = 1, kur apatiniai indeksai žymi dalines išvestines.

Norėdami patikrinti šią sąlygą, pažymėkite A = √(2I/(mν)) ir P = √(2mνI). Tuomet q_φ = −A sin φ, q_I = A cos φ/(2I), p_φ = −P cos φ ir p_I = −P sin φ/(2I). Skirtumas lygus [AP/(2I)](sin²φ + cos²φ) = 1, nes AP = 2I. Šiai lokaliai patikrai būtina I > 0.

Transformuotas hamiltonianas yra H = νI ir nepriklauso nuo φ. Šiose koordinatėse Hamiltono lygtys įgyja pavidalą dφ/dt = ∂H/∂I = ν ir dI/dt = −∂H/∂φ = 0. Tai ir yra supaprastinimas: pastovus veikimas ir tolygiai kintanti fazė leidžia atkurti kintančius q ir p. I ir S matuojami veikimo vienetais, tačiau I žymi periodinę orbitą, o S yra veikimo funkcija, naudojama Hamiltono–Jakobio lygtyje.

Fazė suprantama moduliu 2π, todėl jokia viena realiųjų verčių fazės šaka neapima visos uždaros orbitos be pjūvio. Kai E = I = 0, q = p = 0, o fazė neapibrėžta. Kitoms Hamiltono sistemoms reikia atskirai patikrinti reguliarumą, apverčiamumą ir orbitų periodiškumą; šis osciliatoriaus skaičiavimas neįrodo, kad bet kokiam judėjimui egzistuoja globalios veikimo ir kampo koordinatės. Kitoje pamokoje „Standieji kūnai ir klasikinių laukų lagranžianai“ pereinama prie kitokių aprašomų sistemų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Palikite laisvosios dalelės modelio m = 2 kg ir β = −1 m, bet pasirinkite α = −2 kg m/s. Raskite greitį, q, kai t = 1 s, energiją ir S tame įvykyje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   v = −1 m/s, q(1 s) = −2 m, H = 1 J ir S = 3 J s.

   Naudokite v = α/m ir q = β + αt/m. Pakėlę judesio kiekį kvadratu, gauname H = α²/(2m) = 1 J; tada S = (−2 kg m/s)(−2 m) − (1 J)(1 s) = 3 J s.

2. Nagrinėdamas pagrindinę laisvosios dalelės judėjimo trajektoriją, besimokantysis teigia, kad S_t = −4 J reiškia, jog dalelei judant S mažėja. Kokio nario trūksta ir kokia yra teisinga kitimo sparta išilgai judėjimo trajektorijos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trūkstamas narys yra S_q(dq/dt) = +8 J; kitimo sparta judėjimo eigoje yra +4 J.

   S_t apskaičiuojama laikant padėtį pastovią. Judėjimo eigoje padėtis keičiasi, todėl pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę prie −4 J pridedama (4 kg m/s)(2 m/s).

3. Kai pagrindinio osciliatoriaus φ = π/2, nurodykite q, p, H ir I. Ar dalelė yra rimties būsenoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   q = 0 m, p = −2 kg m/s, H = 2 J ir I = 2/3 J s. Dalelė nėra rimties būsenoje.

   cos(π/2) = 0 ir sin(π/2) = 1. Greitis yra p/m = −2 m/s, taigi koordinačių pradžios kirtimas čia nereiškia, kad greitis lygus nuliui.

4. Integruokite p dq išilgai tos pačios pagrindinio osciliatoriaus elipsės, šįkart φ mažėjimo kryptimi. Kam lygus šis orientuotasis integralas? Ar juo galima pakeisti integralą fazės didėjimo kryptimi nekeičiant nurodyto susitarimo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Integralas priešinga kryptimi lygus −(4π/3) J s. Juo negalima pakeisti integralo fazės didėjimo kryptimi nekeičiant susitarimo.

   Pakeitus apėjimo kryptį į priešingą, kreivinio integralo ženklas pasikeičia. Mūsų teigiamas normuotasis I apibrėžtas aiškiai pasirinkus fazės didėjimo kryptį; fizinės orbitos energija netapo neigiama.

5. Palikite m = 1 kg ir k = 9 N/m, bet pasirinkite kitą idealiojo osciliatoriaus orbitą, kurios E = 4 J. Raskite jos normuotąjį veikimą ir periodą. Ar pradinėje diagramoje pavaizduota ši nauja orbita?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   I = 4/3 J s ir T = (2π/3) s. Pradinėje diagramoje pavaizduota tik orbita, kurios E = 2 J.

   Kadangi ν = 3 s⁻¹ nepakito, I = E/ν ir T = 2π/ν. Padvigubinus orbitos energiją, jos veikimas pasikeičia, o šio idealiojo tiesinio modelio periodas lieka toks pat.

6. Kam lygūs H ir I osciliatoriaus pusiausvyros būsenoje q = p = 0? Ar ši būsena gali vienareikšmiškai apibrėžti fazę φ?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   H = 0 J ir I = 0 J s. Fazė nėra vienareikšmiškai parenkama.

   Abu energijos dėmenys lygūs nuliui. Išraiškose q = √(2I/(mν)) cos φ ir p = −√(2mνI) sin φ amplitudės lygios nuliui, kai I = 0, kad ir kokia būtų φ; teigiamam veikimui skirtas lokalus fazės koordinačių aprašas čia nebegalioja.

Ką verta įsidėmėti

• Hamiltono–Jakobio sprendinyje naudojamos dalinės išvestinės pagal nurodytus nepriklausomus kintamuosius; jo pastovieji parametrai leidžia atkurti judėjimą ten, kur galima atlikti reikiamą inversiją.
• Dalinė S išvestinė laiko atžvilgiu skiriasi nuo išvestinės išilgai judėjimo eigos.
• Skaičiuodami veikimo integralą uždaru kontūru, nurodykite kontūro orientaciją ir normavimą.
• Pasirinktam teigiamos energijos osciliatoriui H = νI reiškia pastovų veikimą ir tolygiai kintančią radianais išreikštos fazės skaitinę vertę.
• Fazinės erdvės diagrama nėra trajektorija fizinėje erdvėje, o periodinei fazei reikia vietinių šakų ir atskiro patikrinimo, kai veikimas lygus nuliui.