Fizika · Straipsnis

Kanoninės transformacijos

Peržymėkite vieną padėties ir impulso būseną, išsaugokite kanoninį sąryšį ir perrašykite Hamiltono funkciją naudodami atvirkštinį atvaizdį. Tiksli šlyties transformacija parodo, kodėl apgręžiamumo ir nepakitusių energijos verčių nepakanka patikrai.

Ankstesnis straipsnis: Puasono skliaustai

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Atvaizduoti būseną ir atkurti jos pradinę padėtį bei impulsą naudojant suderintus matavimo vienetus.
Patikrinti kanoninius skliaustus atsižvelgiant į kintamųjų tvarką ir atskirti kanoninį atvaizdį nuo vien tik apgręžiamo.
Perrašyti pateiktą Hamiltono funkciją ir patikrinti atitinkamus momentinius kitimo greičius.
Tai pačiai šlyties transformacijai naudoti antrojo tipo generuojančiąją funkciją ir aiškiai nurodyti jos apibrėžimo sritį bei prielaidas dėl laiko.

Peržymėkite būseną nieko nejudindami

Tarkime, klasikinė 3 kg masės dalelė juda viena fiksuota tiese. Jos padėties koordinatė su ženklu yra q, matuojama metrais; jos mechaninis impulsas yra p = m v, matuojamas kg·m/s. Vienoje galimoje būsenoje B koordinatė q = 1 m, o impulsas p = −3 kg·m/s, todėl greitis yra −1 m/s.

Dabar tą pačią būseną žymėkite Q = q ir P = p + c q, kur c = 3 kg/s. Būsenoje B gauname Q = 1 m ir P = 0 kg·m/s. Kūnas nesustojo: naujojoje impulso koordinatėje P yra nuo padėties priklausantis priedas. Atkūrus p, gaunamas toks pat greitis kaip ir anksčiau.

Ruošdamiesi naudokitės tema „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“, kad patikrintumėte vienetų suderinamumą, ir tema „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“, kad pasipraktikuotumėte taikyti kintamųjų pakeitimo ir atvirkštinio atvaizdžio taisykles. Atliekant toliau pateiktas patikras išvestinėmis, naudinga grįžti prie temos „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“. Reikalingi Hamiltono funkcijos ir Puasono skliaustų susitarimai pristatomi čia.

Apibrėžkite modelį ir dviejų rūšių koordinates

Šiai pamokai pasirinkite masę m = 3 kg ir teigiamą standumą k = 12 N/m. Idealaus vienmačio osciliatoriaus Hamiltono funkcija yra H(q,p) = p²/(2m) + kq²/2. Čia H yra jo visa mechaninė energija, kurios kinetinė dalis yra p²/(2m), o spyruoklės potencinė energija – kq²/2. Kintamieji q ir p nepriklausomai vienas nuo kito gali įgyti bet kokias realiąsias vertes; modelis neturi išreikštinės priklausomybės nuo laiko.

Padėties ir impulso pora nusako būseną fazinėje erdvėje. Taškas jos diagramoje nėra vieta įprastame dvimačiame kambaryje: vienoje ašyje atidedamas ilgis, o kitoje – impulsas. Mūsų paveiksle lyginamos pasirinktos būsenos, o ne vaizduojama, kaip viena būsena kinta laikui bėgant.

Šio modelio Hamiltono lygtys yra q̇ = ∂H/∂p = p/m; ṗ = −∂H/∂q = −kq. Taškas žymi išvestinę fizikinio laiko atžvilgiu. Dalinė išvestinė nusako kitimą keičiant vieną koordinatę, o kitą laikant pastovia. Pirmojo kitimo greičio vienetai yra m/s, antrojo – N.

Apgręžiamam atvaizdžiui būtina kanoniškumo patikra

Mūsų šlyties transformacija yra Q = q; P = p + cq, kur c yra konstanta. Jos atvirkštinė transformacija yra q = Q; p = P − cQ. Šios taisyklės galioja kiekvienai realiųjų skaičių porai, todėl šiame pavyzdyje transformacija yra globaliai apgręžiama. Vienetai svarbūs: c q vienetai yra kg·m/s, todėl šį dydį galima pridėti prie p.

Norėdami patikrinti diferencijuojamą vienos poros atvaizdį, naudokite Puasono skliaustą su nurodyta argumentų tvarka: {A,B} = (∂A/∂q)(∂B/∂p) − (∂A/∂p)(∂B/∂q). Išvestinės skaičiuojamos pradinių q ir p atžvilgiu. Konkrečiai, {q,p} = 1. Tvarka svarbi: {p,q} = −1.

Kanoninis atvaizdis išlaiko šį sąryšį: {Q,P} = 1, o {Q,Q} = {P,P} = 0. Šlyties transformacijai ∂Q/∂q = 1, ∂Q/∂p = 0, ∂P/∂p = 1 ir ∂P/∂q = c. Taigi {Q,P} = 1 × 1 − 0 × c = 1. Ši patikra nepriklauso nuo konkrečios būsenos ar nuo mūsų pasirinktų skaitinių masės ir standumo verčių.

Tai vienos poros simplektiškumo sąlyga: ji išlaiko kanoninę padėties ir impulso struktūrą. Jei atvaizdžiai yra tolydžiai diferencijuojami atviroje srityje, nelygus nuliui Jakobio determinantas taip pat užtikrina vietinio atvirkštinio atvaizdžio egzistavimą. Vien vietinė išvestinių patikra neįrodo, kad bet kuris atvaizdis yra globaliai vienareikšmis abiem kryptimis; čia turime aiškiai užrašytą globalų atvirkštinį atvaizdį.

Tos pačios būsenos dviejuose koordinačių grafikuose

Lentelėje ir diagramoje pažymėtos penkios atskirai pasirinktos būsenos A, B, C, D ir O. Pavyzdžiui, A koordinatės iš (q,p) = (−1 m, −3 kg·m/s) virsta (Q,P) = (−1 m, −6 kg·m/s), o B koordinatės virsta (1 m, 0 kg·m/s). Sutampančios raidės ir žymeklių formos abiejuose grafikuose žymi tą pačią fizikinę būseną.

Kontūru pažymėtas stačiakampis yra savavališkai pasirinkta fazinės erdvės sritis. Jo plotis yra 2 m, o aukštis impulso ašyje – 6 kg·m/s, todėl jo plotas yra 12 J·s. Šlyties transformacija jį atvaizduoja į tokio pat ploto lygiagretainį. Fazinės erdvės ploto vienetai yra veikimo vienetai J·s; tai nėra nei erdvinis plotas, matuojamas m², nei energija, matuojama J.

Visose keturiose viršūnėse H = 7.5 J, tačiau tiesios daugiakampio kraštinės nėra osciliatoriaus orbita ar energijos kontūras. Pavyzdžiui, pradinio stačiakampio apatinės kraštinės vidurio taške q = 0 ir p = −3 kg·m/s, todėl H = 1.5 J. Čia nenurodoma nei praėjusi laiko trukmė, nei taškų aplankymo tvarka, nei judėjimas šiomis kraštinėmis.

Q = q; P = p + (3 kg/s)q.

A: apskritimas; B: kvadratas; C: rombas; D: trikampis; O: kryželis. Vienodos figūros žymi tą pačią būseną.

Pasirinktos fazinės sritys užbrūkšniuotos; kiekvienas kontūras apima 12 J·s.

Kiekviena būsena – atskiras pasirinkimas. Daugiakampio kraštinės žymi pasirinktą sritį, o ne judėjimo trajektoriją ar energijos kontūrą.

Abiejuose grafikuose horizontaliai naudojama 140 pikselių vienam metrui, o vertikaliai – 18 pikselių vienam kg·m/s.

B būsenos P = 0, bet p = −3 kg·m/s, o greitis −1 m/s.

A–D: H = 7.5 J; O: H = 0 J.

Šlyties transformacija apibrėžta visoms realiosioms q ir p vertėms. Matomose ašyse parodyti intervalai nuo −1.25 iki +1.25 m ir nuo −7.5 iki +7.5 kg·m/s.

Apgręžiamasis atvaizdis P_bad = 2p padvigubintų šios srities plotą iki 24 J·s.

O: nulinė padėtis ir nulinis judesio kiekis.

Dviejuose padėties ir impulso koordinačių grafikuose pavaizduotas pradinis stačiakampis ir šlyties būdu iš jo gautas lygiagretainis. A, B, C ir D yra keturios viršūnės; O yra nulinė būsena. Abiejuose grafikuose atitinkamoms ašims naudojami tie patys, matavimo vienetais išreikšti masteliai, o kiekvienos pasirinktos srities fazinis plotas yra 12 J·s.

Tiksli impulso šlytis pakreipia pasirinktą fazinės erdvės sritį, išsaugodama jos 12 J·s plotą. Tos pačios raidės ir figūros žymi tas pačias penkias būsenas; lentelėje pateiktos jų koordinatės ir energijos.

Penkios pasirinktos būsenos taikant tikslią šlyties transformaciją; energijos apskaičiuotos pagal pradinį modelį.
Būsena	q (m)	p (kg·m/s)	Q (m)	P (kg·m/s)	H (J)
A	−1	−3	−1	−6	7.5
B	1	−3	1	0	7.5
C	1	3	1	6	7.5
D	−1	3	−1	0	7.5
O	0	0	0	0	0

Išreikškite hamiltonianą per atvirkštinį atvaizdį

Šio nuo laiko nepriklausančio kanoninio atvaizdžio naujasis hamiltonianas gaunamas senąjį išreiškus per atvirkštinį atvaizdį: H′(Q,P) = (P − cQ)²/(2m) + kQ²/2. Pradinėje išraiškoje negalima tiesiog pakeisti raidės p raide P. B būsenoje teisinga kinetinė energija yra 1.5 J, o potencinė energija – 6 J, taigi bendra energija yra 7.5 J; tiesiog pakeitus raidę būtų gauta tik 6 J.

Skaitinė išraiška koordinatėmis pasikeičia, tačiau konkrečios būsenos energijos vertė lieka ta pati. Kanoninėse lygtyse P dabar yra koordinatė, kanoniškai jungtinė su Q. Šios šlyties atveju ji nėra mechaninis impulsas m Q̇.

Transformuotos lygtys yra Q̇ = (P − cQ)/m; Ṗ = (c/m)(P − cQ) − kQ. Jos sutampa su rezultatu, gaunamu diferencijuojant atvaizdį: Q̇ = q̇ ir Ṗ = ṗ + c q̇. B būsenoje Q̇ = −1 m/s ir Ṗ = −15 N, o fizinio impulso kitimo sparta ṗ yra −12 N. Naujosios koordinatės kitimo sparta Ṗ nebūtinai lygi mechaninei jėgai.

Apgręžiamas atvaizdis gali būti nekanoninis

Palyginkite su kita taisykle Q = q; P_bad = 2p. Ji yra globaliai apgręžiama, o jos atvirkštinė išraiška yra p = P_bad/2, tačiau {Q,P_bad} = 2. Todėl, naudojant tą patį fizinį laiką ir nurodytą skliaustų konvenciją, ji neatitinka kanoniškumo kriterijaus. Ji padvigubintų pasirinktos srities fazinės erdvės plotą nuo 12 J·s iki 24 J·s.

Įstatę vis tiek gauname teisingą skaliarinę energijos funkciją H_bad(Q,P_bad) = P_bad²/(8m) + kQ²/2. Vien teisingų energijos verčių nepakanka, kad šioms koordinatėms būtų pagrįsta taikyti standartines kanonines lygtis.

Pradinėje B būsenoje P_bad = −6 kg·m/s. Taikant standartinę taisyklę H_bad, būtų gauta Q̇ = P_bad/(4m) = −0.5 m/s, o ne tikroji vertė −1 m/s. Taip pat būtų gauta P_baḋ = −kQ = −12 N, o ne tikroji vertė 2ṗ = −24 N. Abu neatitikimai atskleidžia, kad trūksta kanoninės struktūros.

Generuokite tą pačią šlytį viena funkcija

Antrojo tipo generuojančiosios funkcijos nepriklausomi argumentai yra senoji padėtis q ir naujasis impulsas P. Pasirinkite F₂(q,P) = qP − cq²/2. Jos vienetai yra J·s. Diferencijuodami pagal q, laikykite P pastoviu, o diferencijuodami pagal P, laikykite q pastoviu.

Taisyklės p = ∂F₂/∂q = P − cq; Q = ∂F₂/∂P = q atkuria mūsų atvirkštinį atvaizdį, taigi ir tą pačią šlytį. Dėl mišriosios išvestinės ∂²F₂/(∂q∂P) = 1 šios konkrečios lygtys yra reguliarios ir jas galima išspręsti išreikštiniu būdu. Generuojančioji funkcija turi turėti tinkamą vietinį atvirkštinį sąryšį; užrašius bet kokią funkciją, viena globali koordinačių sistema nėra garantuojama.

Minuso ženklas yra būtinas šiam pasirinktam atvaizdžiui. Prieš cq²/2 parašius pliuso ženklą, būtų gauta P = p − cq, o tai yra kita kanoninė šlytis. Prie F₂ pridėjus konstantą, nė viena išvestinė nepasikeičia, todėl nepasikeičia ir atvaizdis.

Aiškiai nurodykite apibrėžimo sritį, laiką ir paskirtį

Šlytis apibrėžta visoms realiosioms būsenoms; matomas grafikas yra ribotas langas. Už šio lango esantis taškas nėra už atvaizdžio matematinės apibrėžimo srities ribų. Patogi kanoninė koordinatė nebūtinai yra tiesiogiai matuojamas ilgis ar mechaninis impulsas, o kanoninis kintamųjų keitimas nebūtinai supaprastina kiekvieną uždavinį.

Kai yra kelios nepriklausomos padėties ir impulso poros, reikia patikrinti visus pagrindinius Puasono skliaustus: kiekvienos atitinkamos poros {Qᵢ,Pᵢ} skliaustas lygus 1, o skirtingų porų kintamųjų skliaustai lygūs 0. Vien vienetinio determinanto nepakanka. Mūsų vienos poros šlyčiai šių papildomų indeksų nereikia, tačiau prieš apibendrinant šis skirtumas svarbus.

Nuo laiko priklausančioms transformacijoms reikia papildomai pakoreguoti Hamiltono funkciją. Reguliariosios antrojo tipo generuojančiosios funkcijos F₂(q,P,t) atveju pridedamas narys yra ∂F₂/∂t; jis kartu su pradine Hamiltono funkcija išreiškiamas naujosiomis koordinatėmis. Jo matavimo vienetas yra J. Mūsų F₂ neturi išreikštinio laiko argumento, todėl šis narys lygus nuliui; čia naudojamo nuo laiko nepriklausančio kintamųjų pakeitimo pakanka.

Grįžkite prie paskelbtos pamokos apie išvestines, jei jums neįprasta vieną kintamąjį laikyti pastoviu. Pagrindinį rezultatą jau galite paaiškinti remdamiesi taškų atvaizdavimu, atvirkštiniu atvaizdžiu ir lentele; Puasono skliaustų ir generuojančiosios funkcijos skaičiavimai parodo, kodėl toks peržymėjimas išsaugo standartines Hamiltono lygtis.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Atkurkite mechaninę būseną iš naujųjų koordinačių

Pateikto osciliatoriaus ir šlyties atveju būsenos koordinatės yra Q = −0.5 m ir P = 1.5 kg·m/s. Atkurkite q ir p, tada raskite jos fizinį greitį ir energiją.

Atvirkštinis atvaizdis duoda q = Q = −0.5 m ir p = P − cQ = 1.5 kg·m/s − (3 kg/s)(−0.5 m) = 3 kg·m/s.
Naudokite pradinį mechaninį sąryšį: v = p/m = (3 kg·m/s)/(3 kg) = 1 m/s.
Kinetinė energija yra p²/(2m) = 1.5 J, o potencinė energija yra kq²/2 = 1.5 J. Jų suma yra 3 J.

q = −0.5 m, p = 3 kg·m/s, v = 1 m/s ir H = H′ = 3 J. Teigiamas naujasis P nėra tiesiogiai naudojamas kaip m v.

Patikrinkite mastelio keitimą atvirkštiniais koeficientais

Atskirame, nuo laiko nepriklausančiame to paties osciliatoriaus atvaizdyje imkime S = 2q ir T = p/2, kur S matuojamas metrais, o T – kg·m/s. Ar šis atvaizdis kanoninis? Patikrinkite energiją ir kitimo spartas, kai q = 1 m, p = −3 kg·m/s.

Atvirkštinis atvaizdis yra q = S/2 ir p = 2T. Nurodyta tvarka apskaičiuotas skliaustas yra {S,T} = 2 × (1/2) − 0 = 1, todėl šis globaliai apgręžiamas mastelio keitimas yra kanoninis.
Įstatę atvirkštinio atvaizdžio išraiškas, gauname H_new(S,T) = 2T²/m + kS²/8. Kai S = 2 m ir T = −1.5 kg·m/s, kinetinės ir potencinės energijos nariai yra 1.5 J ir 6 J.
Standartinės kanoninės kitimo spartos yra Ṡ = 4T/m = −2 m/s ir Ṫ = −kS/4 = −6 N. Jos lygios 2q̇ ir ṗ/2, kaip ir turi būti diferencijuojant atvaizdį.

Taip. Energija yra 7.5 J, o transformuotos kitimo spartos atitinka tą pačią fizikinę evoliuciją. Tai atskiras algebrinis palyginimas, o ne paveiksle pavaizduota šlytis.

Nulinę vertę turinčios generuojančiosios funkcijos išvestinės gali būti nenulinės

Naudokite F₂(q,P) = qP − cq²/2, kur c = 3 kg/s. Kai q = 2 m ir P = 3 kg·m/s, raskite F₂, p ir Q. Ar F₂ = 0 reiškia, kad šioje būsenoje dalelė nejuda?

Abu veikimo nariai yra qP = 6 J·s ir cq²/2 = 6 J·s, todėl F₂ = 0 J·s.
Diferencijuokite prieš įstatydami būsenos vertes: p = P − cq = 3 kg·m/s − 6 kg·m/s = −3 kg·m/s, o Q = q = 2 m.
Esant nurodytai masei, fizikinis greitis yra p/m = −1 m/s. Ši būsena nepatenka į diagramoje rodomą horizontalųjį intervalą, tačiau patenka į globaliojo atvaizdžio apibrėžimo sritį.

F₂ = 0 J·s, p = −3 kg·m/s ir Q = 2 m. Nulinė funkcijos vertė nereiškia, kad jos išvestinės yra nulinės ar kad dalelė sustoja.

Pabandykite patys

Kodėl koeficientas išraiškoje P = p + cq negali būti tiesiog bedimensis 3, kai q yra ilgis, o p – judesio kiekis? Nurodykite reikiamus vienetus.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
c matavimo vienetai turi būti kg/s. Vien tik bedimensis 3 reikštų, kad cq yra ilgio dimensijos dydis, kurio negalima pridėti prie impulso.
Reikiamą impulso vienetą kg·m/s padalykite iš padėties vieneto m. Gauname kg/s, o (kg/s)m = kg·m/s.
Apskaičiuokite {P,Q} duotajai šlyčiai. Ar sukeitus skliaustų argumentus vietomis išlieka vertė +1?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
{P,Q} = −1. Sukeitus argumentus vietomis, ženklas pasikeičia į priešingą.
P_q = c, Q_p = 0, P_p = 1 ir Q_q = 1. Pagal apibrėžtį, laikantis argumentų tvarkos, gauname c × 0 − 1 × 1 = −1.
Duotojo osciliatoriaus būsenos Q = 0.5 m ir P = 0 kg·m/s. Raskite jo mechaninį impulsą, greitį ir energiją.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
p = −1.5 kg·m/s, v = −0.5 m/s ir H′ = 15/8 J = 1.875 J.
Iš p = P − cQ gauname −1.5 kg·m/s. Norėdami rasti greitį, padalykite iš 3 kg. Kinetinės energijos indėlis yra 0.375 J, o potencinės energijos indėlis – 1.5 J; P = 0 nereiškia, kad kinetinė energija išnyksta.
Atskiro pasirinkto pradinio stačiakampio ribos yra 0 ≤ q ≤ 1 m ir 0 ≤ p ≤ 4 kg·m/s. Koks jo plotas fazinėje erdvėje prieš tą pačią šlytį ir po jos? Ar jo kraštinės nusako nustatytą judėjimo trajektoriją?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Plotas fazinėje erdvėje yra 4 J·s tiek prieš šlytį, tiek po jos. Jo kraštinės nenusako judėjimo trajektorijos.
Plotį padauginę iš aukščio impulso ašyje gauname (1 m)(4 kg·m/s) = 4 J·s. Kanoninė šlytis išsaugo šį plotą fazinėje erdvėje. Nebuvo nurodyta nei evoliucija pagal pradines sąlygas, nei taškų lankymo tvarka.
Pakeiskite F₂ į G₂(q,P) = qP + cq²/2, palikdami c = 3 kg/s. Kokį atvaizdį ji generuoja? Kai q = 1 m, p = −3 kg·m/s, raskite naująjį P ir nustatykite, ar šis atvaizdis yra nekanoninis.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ji generuoja Q = q, P = p − cq. Šios būsenos P = −6 kg·m/s, o ši kitokia šlytis vis tiek yra kanoninė.
p = ∂G₂/∂q = P + cq ir Q = ∂G₂/∂P = q. Išsprendę gauname P = p − cq. Imant kintamuosius nurodyta tvarka, jos Puasono skliaustas vėl yra 1 × 1 − 0 × (−c) = 1; ženklas pakeičia atvaizdį, bet nepanaikina jo kanoniškumo.
Dviem nepriklausomoms kanoninėms poroms imkime Q₁ = 2q₁, P₁ = p₁, Q₂ = q₂ ir P₂ = p₂/2. Visi mastelio koeficientai yra bedimensiai. Šio atvaizdžio diagonaliosios Jakobio matricos determinantas yra 1. Ar šis atvaizdis kanoninis?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Atitinkamų porų Puasono skliaustai yra {Q₁,P₁} = 2 ir {Q₂,P₂} = 1/2, o ne 1 kiekvienai porai.
Determinantas yra 2 × 1 × 1 × (1/2) = 1, tačiau pagal visą kanoniškumo kriterijų turi išlikti kiekvienos atitinkamos poros Puasono skliaustas ir nuliniai skliaustai tarp skirtingų porų kintamųjų. Priešingi abiejų porų ploto mastelio pokyčiai determinante gali vienas kitą kompensuoti, nors šis kriterijus pažeidžiamas.

Ką verta įsidėmėti

Kanoninis koordinačių peržymėjimas išsaugo padėties ir impulso Puasono skliaustą bei standartines Hamiltono lygtis, kai Hamiltono funkcija transformuojama teisingai.
Naudokite atvirkštinį atvaizdį ir suderintus matavimo vienetus; naujoji impulso koordinatė nebūtinai lygi mechaniniam impulsui.
Atskirai vertinkite vietinį apgręžiamumą, globalią apibrėžimo sritį, išreikštinę priklausomybę nuo laiko ir fazinės erdvės vaizdo paskirtį.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

Classical DynamicsDavid Tong — University of CambridgePaskaitų medžiagaClassical Dynamics The Hamiltonian Formalism, §§4.4 and 4.4.3davidtong.org
Apuntes de Mecánica ClásicaFernando O. MinottiPaskaitų medžiaga · PDFApuntes de Mecánica Clásica (1er cuatrimestre de 2013)Transformaciones canónicas y corchetes de Poisson, pp. 37–38 Corchetes de Poisson, pp. 42 and 46materias.df.uba.ar
Structure and Interpretation of Classical MechanicsGerald Jay Sussman and Jack Wisdom — The MIT PressVadovėlio skyriusTypes of Generating Functionsmitp-content-server.mit.edu