Ištisinės terpės aproksimacija

Pradėkite nuo vieno kūnelio ir jo kaimynų

Įsivaizduokite vienodos masės kūnelius, išdėstytus tiesėje, ir spyruoklę tarp kiekvienos gretimų kūnelių poros. Kiekvieno kūnelio masę imkite m = 0.5 kg, atstumą tarp kūnelių ramybės būsenoje a = 0.25 m, o spyruoklės standumo koeficientą K = 8 N/m. Tiesė yra begalinė abiem kryptimis. Darome prielaidas, kad judėjimas yra išilginis, spyruoklių jėgos yra tiesinės, atskaitos sistema yra inercinė ir nėra trinties ar kitų išorinių jėgų. Tai modelio sąlygos, o ne išmatuoti medžiagos duomenys.

Kiekvieną kūnelį pažymėkite sveikuoju skaičiumi j. Jo atskaitinė padėtis yra x = ja. Jo išilginis poslinkis su ženklu yra u_j(t), teigiamas x didėjimo kryptimi; tikroji jo padėtis yra ja + u_j(t). Taikant ištisinės terpės aproksimaciją, atskiros u_j vertės bus pakeistos vienu glodžiu lauku u(x,t). Atskaitinė koordinatė ir toliau bus žyma, naudojama jiems palyginti.

Pasirengimui naudokitės temomis „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“, „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ ir „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“. Pradėkite nuo gretimų kūnelių sąveikos jėgų, bangos ilgių palyginimo ir paveikslo. Prie temos „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ galima pasirinktinai grįžti nagrinėjant liekamojo nario įvertį; temos „Klasikinė bangos lygtis“ ir „Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“ suteikia papildomų žinių, tačiau nėra būtinos. Reikalingi jėgų ir bangų sąryšiai pristatomi čia.

Sudėkite abiejų spyruoklių jėgų projekcijas

Dešiniosios spyruoklės ilgio pokytis yra u_(j+1) − u_j, todėl jos jėgos, veikiančios kūnelį j, projekcija yra +K[u_(j+1) − u_j]. Kairiosios spyruoklės ilgio pokytis yra u_j − u_(j−1), o jos traukos jėgos projekcija turi priešingą ženklą: −K[u_j − u_(j−1)]. Sudėję gauname F_j = K[u_(j+1) − 2u_j + u_(j−1)].

Pagreitį apibrėžkite kaip antrąją išvestinę laiko atžvilgiu d²u_j/dt². Pateiktas masės dėsnis yra m d²u_j/dt² = F_j. Taigi d²u_j/dt² = (K/m)[u_(j+1) − 2u_j + u_(j−1)]. Laužtiniuose skliaustuose yra antrosios eilės skirtumas: jis palygina vieną poslinkį su dviem gretimais poslinkiais, o ne matuoja vien patį poslinkį.

Jei visi trys poslinkiai vienodi, antrosios eilės skirtumas lygus nuliui. Jis taip pat lygus nuliui, kai vienodais atstumais išdėstytų taškų poslinkius lokaliai aprašo afininė funkcija u(x) = sx + b. Tačiau jei teigiamas vidurinio taško poslinkis didesnis už abu gretimus poslinkius, jėga yra neigiama. Šios patikros paaiškina ženklą dar prieš įvedant tolydžiąją išvestinę.

Pateikite dvi sklindančių modų šeimas

Pasirinkite amplitudę U = 0.001 m. Diskrečioji sklindanti moda yra u_j(t) = U cos(qj − ω_D t), kur q yra fazės pokytis tarp gretimų atskaitos padėčių. Apibrėžkite kampinį erdvinį bangos skaičių k = q/a, matuojamą m⁻¹. Ir qj, ir ω_D t yra fazių skaitinės vertės radianais; ω_D vienetas yra s⁻¹, todėl sukauptas kampas yra (ω_D t) rad.

Kosinusų sudėties formulė duoda u_(j+1) − 2u_j + u_(j−1) = −4 sin²(q/2)u_j. Antroji poslinkio išvestinė laiko atžvilgiu yra −ω_D²u_j. Todėl iš jėgos dėsnio gauname ω_D = 2√(K/m) sin(q/2) mūsų pasirinktoje teigiamoje šakoje 0 < q ≤ π. Čia √(K/m) = 4 s⁻¹.

Pateikite kontinuumo modą u_C(x,t) = U cos(kx − ω_C t), kur ω_C = q√(K/m). Jos pradinis poslinkis ties x = ja sutampa su diskrečiosios modos poslinkiu: abu yra U cos(qj). Jų pradiniai greičiai skiriasi: grandinės greitis yra Uω_D sin(qj), o kontinuumo – Uω_C sin(qj). Lyginame jų sklindančių modų sąryšius, o ne dvi evoliucijas su visiškai vienodais pradiniais duomenimis.

Kai j yra sveikasis skaičius, pakeitus q į q + 2πn, kur n yra sveikasis skaičius, erdvinė fazė mazguose nepasikeičia. Paliekame pirmiau pasirinktą teigiamą pirmosios zonos reikšmių sritį; kai q = π, vien moda mazguose neleidžia atskirti dviejų sklidimo krypčių. Riba q = 0 šioje šeimoje atitinka statinį vienodą poslinkį ir nagrinėjama atskirai nuo teigiamų dažnių palyginimų.

Pakeiskite skirtumą esant glodumo sąlygai

Laukui, kuris per vieną atstumą tarp gretimų taškų kinta lėtai, antrosios eilės skirtumą galima apytiksliai pakeisti a²u_xx, kur u_xx yra antroji jo erdvinė išvestinė. Įstatę gauname u_tt = c²u_xx, kur c = a√(K/m) = 1 m/s. Apatiniai indeksai žymi išvestines laiko arba atskaitos padėties atžvilgiu. Tai šio vienalyčio tiesinio modelio kontinuumo bangų lygtis.

Šis artinys turi patikrinamą sąlygą. Jei u turi tolydžią ketvirtąją erdvinę išvestinę intervale [x−a,x+a], tegu M₄ yra jos absoliučiosios vertės viršutinė riba tame intervale pasirinktu laiko momentu. Teiloro skleidiniuose abiejose pusėse nelyginės eilės nariai panaikinami ir gaunama |u(x+a) − 2u(x) + u(x−a) − a²u_xx| ≤ a⁴M₄/12. Padauginę iš K/m, gauname pagreičio liekanos ribą; vien ji neapriboja visos vėlesnės trajektorijos.

Harmoniniam profiliui M₄ = Uk⁴ yra globali viršutinė riba. Liekanos riba tampa (K/m)Uq⁴/12, o kontinuumo pagreičio amplitudė yra (K/m)Uq². Šios ribos ir amplitudės santykis yra q²/12, kai q ≠ 0. Mažesnis q leidžia kontroliuoti būtent šį artinį. Išvestinės įrodymą rasite grįžę į pamoką apie Teiloro skleidinį; toliau pateiktas tikslus dažnių palyginimas suteikia antrą būdą pamatyti šį poveikį.

Bendras amplitudės santykis U/a = 0.004 užtikrina, kad nurodyti judesiai būtų maži, palyginti su atstumu tarp gretimų taškų, o gretimos masės išliktų atskirtos bent atstumu a − 2U = 0.248 m. Ši amplitudės patikra neužtikrina, kad kiekvienos bangos ilgis būtų didelis. Abiejų pasirinktų bangų U yra tas pats mažas dydis, tačiau q skiriasi.

Palyginkite du bangos ilgius tuo pačiu laiko momentu

Bangos ilgis yra λ = 2π/k = 2πa/q. Kai q = π/10, jis lygus 20 grandinės žingsnių, arba 5 m. Kai q = π/2, jis lygus keturiems grandinės žingsniams, arba 1 m. Paveiksle lyginamos dvi modų šeimos laiko momentu t = 0.5 s: mėlyna ištisinė kreivė vaizduoja ištisinės terpės modą, nesujungti apskritimai – ilgesnės bangos grandinės modą, o nesujungti rombai – trumpesnės bangos grandinės modą.

Visose paveikslo dalyse naudojami tie patys atskaitinės padėties ir poslinkio masteliai. Nors poslinkis vaizduojamas vertikaliai, fizinis judėjimas yra išilginis, išilgai grandinės. Tai poslinkio su ženklu priklausomybės nuo atskaitos žymos grafikas, o ne skersinis vaizdas ar masės judėjimo trajektorija. Baigtinis 0 ≤ x ≤ 5 m vaizdavimo intervalas nesukuria galų begalinėje grandinėje.

Santykis ω_D/ω_C = 2 sin(q/2)/q taip pat lygus diskrečiojo modelio fazinio greičio ir c santykiui. Ilgesnės bangos dažnis yra maždaug 0.41% mažesnis už jo vertę ištisinės terpės modelyje; trumpesnės bangos dažnis – maždaug 9.97% mažesnis. Tai modelių dažnių skirtumai, o ne išmatuotos medžiagos paklaidos procentais. Lentelėje išlaikytos tikslios išraiškos, kuriomis pagrįsti suapvalinti aprašymai.

Skaitykite žymas neišgalvodami diskrečiosios kreivės

Atskaitos mazguose grandinės vertės yra tikslios nurodytai diskrečiajai modai. Grandinė pateikia poslinkio vertes ties sveikaisiais indeksais j; diskrečiojo poslinkio lauko ties nesveikuoju atskaitos indeksu neapibrėžėme. Paveiksle sujungti tik kontinuumo sprendinio taškai. Juos jungiančios baigtinės atkarpos aproksimuoja analizinę kreivę.

Lentelėje naudojamas santykis u/U, todėl joje pateiktos poslinkio vertės yra bedimensės. Norėdami gauti vertes metrais, padauginkite iš U = 0.001 m. Lentelėje atrinkti pirmieji penki abiejų paveikslo dalių atskaitos mazgai; paveiksle taip pat parodyti kiti mazgai iki j = 20. Išraiškos su nuliais yra tikslios trigonometrinės vertės, nors skaitmeniškai skaičiuojant sinusą ar kosinusą ribotu tikslumu gali likti labai maža apvalinimo liekana.

Trumpesniuoju atveju ties j = 1 kontinuumo lentelėje pateiktas nulis, tačiau tikslioji grandinės vertė yra sin(2√2), maždaug 0.308. Todėl jų poslinkiai ten skiriasi maždaug 0.308 mm. Tai iliustruoja pasirinktos modos palyginimą; tai nėra universali paklaidos riba esant bet kokioms pradinėms grandinės sąlygoms.

Atskirkite fazės įvertį nuo teiginio apie trajektoriją

Kai q yra fiksuotas ir teigiamas, fazių skirtumas δ(t) = (ω_C − ω_D)t didėja tiesiškai laikui bėgant. Laiko momentu 0.5 s jis yra maždaug 0.002581 rad ilgesniajai bangai ir 0.313166 rad trumpesniajai bangai. Padvigubinus laiką, šis fazių skirtumas padvigubėja, nors amplitudė U išlieka tokia pati.

Kosinusų skirtumo tapatybė duoda poslinkių skirtumo mazguose įvertį |u_C(ja,t) − u_j(t)| ≤ 2U|sin[δ(t)/2]| ≤ min(2U,Uδ(t)), kai t ≥ 0. Parodytame mazge ši viršutinė riba nebūtinai pasiekiama. Įvertis taikomas šioms dviem pasirinktoms modoms, įskaitant skirtingus jų pradinius greičius. Jis neaprašo visų grandinės sprendinių.

Kai 0 < q ≤ π, sinuso liekamasis narys taip pat duoda 0 ≤ 1 − ω_D/ω_C ≤ q²/24. Tai pagrindžia dažnių palyginimą esant mažam q ir fiksuotiems parametrams. Tačiau tai neužtikrina tolygaus artumo neribotai ilgą laiką. Jei a mažinamas išlaikant fiksuotą baigtinį c, K/m turi atitinkamai keistis; jei vietoj to K ir m išlaikomi fiksuoti, c = a√(K/m) artėja prie nulio.

Atskirai nagrinėkite prielaidas apie medžiagą

Ištisinės terpės apraše tokie laukai kaip poslinkis ar tankis laikomi dydžiais, kurių vertės kinta priklausomai nuo padėties. Vietiniam vidurkinimui reikia pakankamai didelio mastelio, kad būtų išvengta atskirų dalelių fliuktuacijų, tačiau pakankamai mažo, kad išliktų dominanti makroskopinė kaita. Ar toks naudingas mastelių atskyrimas egzistuoja, yra fizikinis klausimas; ši supaprastinta grandinė nesuteikia jokios universalios skaitinės ribos.

Mūsų koeficientai yra vienodi, nes visos m, a ir K vertės buvo pasirinktos vienodos. Vienalytė medžiaga reiškia, kad jos savybės nepriklauso nuo padėties; tai papildoma prielaida, o ne ištisinės terpės apibrėžimas. Ištisinės terpės modelyje savybės gali ir glodžiai kisti.

Ištisinė terpė taip pat nebūtinai yra nespūdi. Šiame vienmačiame glodžiame atskaitos atvaizdyje faktinė padėtis yra x + u(x,t). Jei 1 + u_x > 0, iš masės tvermės gaunamas dabartinis ilginis tankis μ = μ₀/(1 + u_x), kur μ₀ = m/a = 2 kg/m. Nenulinė kintanti deformacija u_x gali pakeisti šį tankį. Tai ilginio tankio sąryšis, o ne trimatis skysčio tankio modelis.

Atitinkamas ašinis standumas Ka = 2 N nėra Jungo modulis, išreikštas paskaliais, jei nėra papildomų geometrinių duomenų. Realiai medžiagai reikia tinkamo konstitucinio sąryšio ir kalibruotų parametrų. Tikslus grandinės skaičiavimas iliustruoja kontroliuojamą aproksimaciją; jis nepatvirtina tikslumo nevienalytėms terpėms, kristalams, šiluminiam judėjimui ar kiekvienam mikroskopiniam sprendiniui.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Naudokite išnagrinėto pavyzdžio vietinę būseną u_(j−1) = 0.0004 m, u_j = 0.0007 m, u_(j+1) = 0.0002 m. Ar pakeitus visų trijų poslinkių ženklus į priešingus pasikeičia ir jėgos bei pagreičio ženklai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taip. Pakeitus poslinkių ženklus, gaunama F_j = +0.0064 N ir pagreitis = +0.0128 m/s².

   Antrosios eilės skirtumas tiesiškai priklauso nuo trijų poslinkių, todėl jo vertė pasikeičia iš −0.0008 m į +0.0008 m. Nurodytos teigiamos K ir m vertės išlaiko šį ženklo pasikeitimą.

2. Kai a = 0.25 m ir q = π/10, raskite λ/a ir λ. Ar vien maža amplitudė užtikrina ilgosios bangos sąlygą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   λ/a = 20 ir λ = 5 m. Vien maža amplitudė neužtikrina didelio bangos ilgio.

   λ = 2πa/q. Abiem paveiksle parodytais atvejais U/a = 0.004, tačiau bangos ilgio santykiai yra 20 ir 4.

3. Kai q = π/2, raskite ω_D/ω_C. Ar kūnelis būtinai juda išilgai tiesės tuo faziniu greičiu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ω_D/ω_C = 2√2/π ≈ 0.900316. Kūnelis nebūtinai juda faziniu greičiu.

   Dažniai yra 4√2 s⁻¹ ir 2π s⁻¹. Fazinis greitis nusako pastovios svyravimo fazės judėjimą, o kūnelio greitis yra jo paties poslinkio išvestinė laiko atžvilgiu.

4. Vienodais atstumais išsidėsčiusiuose atskaitos mazguose netoli vieno taško užduokite u(x) = 0.002x, kur x ir u matuojami metrais. Kokį antrosios eilės skirtumą ir atstojamąją spyruoklių jėgą duoda šis vietinis afininis poslinkių pasiskirstymas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Antrosios eilės skirtumas yra 0 m, todėl tame mazge atstojamoji spyruoklių jėga yra 0 N.

   Poslinkių pokyčiai taškuose x+a ir x−a vienas kitą panaikina: 0.002(x+a) − 2(0.002x) + 0.002(x−a) = 0. Atskirų spyruoklių jėgos nebūtinai lygios nuliui. Neteigiama, kad šis vietinis poslinkių pasiskirstymas yra aprėžta harmoninė moda visoje begalinėje grandinėje.

5. Ar ilgesnės bangos modai padvigubinus laiką nuo 0.5 s iki 1 s padvigubėja δ? Ar tai įrodo, kad tikrasis poslinkių skirtumas kiekviename mazge padvigubėja?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   δ padvigubėja, tačiau tai neįrodo, kad poslinkių skirtumas kiekviename mazge padvigubėja.

   δ = (ω_C − ω_D)t tiesiškai priklauso nuo laiko. Tikslus kosinusų skirtumas taip pat priklauso nuo svyravimo fazės; Uδ yra viršutinis įvertis, o poslinkių skirtumo absoliučiąją vertę riboja ir 2U; tai nėra lygybė visuose mazguose.

6. Kitame vienalyčiame modelyje pakeiskite kiekvieno kūnelio masę į 1 kg, palikdami a = 0.25 m ir K = 8 N/m. Koks gaunamas greitis tolydžiosios terpės modelyje? Ar tolydžiosios terpės prielaida reikalauja, kad judant tankis išliktų pastovus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   c = (√2/2) m/s ≈ 0.707107 m/s. Tolydžiosios terpės prielaida nereikalauja, kad judant tankis išliktų pastovus.

   c = a√(K/m) = 0.25√8 m/s. Taip vienodai pakeičiamos visos masės, o ne vienas nevienalytis defektas. Glodžios ištisinės terpės ilginis tankis μ₀/(1+u_x) gali kisti, kai keičiasi jos atskaitinė deformacija.

Ką verta įsidėmėti

• Ištisinės terpės artinys pakeičia diskrečiąsias vertes lauku, remiantis aiškiai nurodytomis mastelio ir glodumo prielaidomis.
• Antrosios eilės skirtumas nusako gretimų kūnelių sąveikos atstojamąją jėgą su jos ženklu; šiame modelyje jo glodusis artinys duoda bangos lygtį.
• Mažą amplitudę ir didelį bangos ilgį reikia tikrinti nepriklausomai, o modos fazinis greitis skiriasi nuo terpės dalelių greičio.
• Šių dviejų pasirinktų sklindančių modų pradinis poslinkis yra vienodas, tačiau pradiniai greičiai skiriasi; jų fazių neatitikimas laikui bėgant gali didėti.
• Atskaitinės padėtys, baigtiniai vaizduojami intervalai ir nesujungti diskretieji žymekliai užtikrina, kad diagrama nebūtų klaidinanti. Ištisinė terpė savaime nereiškia vienalytės ar nespūdžios terpės.