Smūginės bangos, solitonai ir netiesinės bangos

Pradėkite nuo trūkio ir impulso

Pradiniu laiko momentu pateikto lauko vertė į kairę nuo x = 0 yra 3 m/s, o į dešinę – 1 m/s. Po vienos sekundės jo trūkis pasislenka į x = 2 m. Atskirame modelyje glodus 1 aukščio impulsas per tą patį laiką pasislenka iš x = 0 į x = 3 m. Abu profiliai juda, tačiau juos aprašo skirtingos lygtys, o vertikaliosiose ašyse vaizduojami skirtingi dydžiai.

Pirmasis laukas yra skaliaras u, kurio vertės turi greičio matmenį. Antrasis laukas yra bedimensė amplitudė w. Nė vienas jų nepateiktas kaip išmatuotas dujų slėgis ar vandens paviršiaus aukštis. Abu greičius apskaičiuosime pagal atitinkamas jų taisykles, užuot iš jų formų sprendę apie bendrą fizikinį mechanizmą.

„Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ parengia dydžių žymėjimui. „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia reikšmių įstatymui ir eksponentinėms funkcijoms. Impulsui reikalingas apibrėžimas eksponentinėmis funkcijomis pateiktas toliau.

Pradėkite nuo profilių ir baigtinių skaičiavimų. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis ir Grino funkcijos“ yra paskelbta medžiaga, prie kurios galima pasirinktinai grįžti tikrinant glodų sprendinį išvestinėmis. „Klasikinė bangos lygtis“ leidžia atskirai palyginti su tiesiniu modeliu; nelaikoma, kad ji numato šiuos netiesinius atvejus.

Tvermė ties trūkiu

Tegu x yra padėtis metrais, o teigiama kryptis nukreipta į dešinę; t yra laikas sekundėmis. Visiems realiesiems x ir t ≥ 0 užduokime neklampųjį Burgerso tvermės dėsnį ∂u/∂t + ∂f(u)/∂x = 0, kur f(u) = u²/2. Čia u matuojamas m/s, todėl srautas f matuojamas m²/s². „Neklampusis“ reiškia, kad šioje užduotoje lygtyje nėra klampos nario.

Tvermės dėsnį galima suprasti kaip balansą ties intervalo ribomis. Kai a < b yra fiksuoti, u integralo intervale [a,b] kitimo laike greitis lygus f(u(a,t))−f(u(b,t)), naudojant atitinkamas ribines reikšmes. Integralą matuojame m²/s; jis nėra įvardytas kaip masė. Mūsų judančio trūkio atveju šis balansas galioja beveik visais laiko momentais, taip pat ir tuose laiko intervaluose, kai frontas yra intervalo [a,b] viduje.

Ten, kur u yra glodi funkcija, pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę gauname ∂u/∂t+u∂u/∂x = 0. Trūkio vietoje įprasta erdvinė išvestinė neegzistuoja. Silpnasis sprendinys tenkina tvermės dėsnį, kai jis integruojamas su glodžiomis bandomosiomis funkcijomis; išvestinė taikoma bandomajai funkcijai. Taigi trūkis gali tenkinti balansą nelaikant jo diferencijuojamu.

Tarkime, nenulinis šuolis skiria pastovias būsenas u_L kairėje ir u_R dešinėje ir juda greičiu s. Iš balanso ties ribomis gaunama Rankine’o–Hugoniot’o sąlyga s(u_R−u_L) = f(u_R)−f(u_L). Srauto šuolis ir judantis u šuolis turi derėti, išlaikant jų ženklus.

Patikrinkite greitį ir leistinumą

Kai u_L = 3 m/s ir u_R = 1 m/s, srautai yra 9/2 ir 1/2 m²/s². Taigi s = (−4 m²/s²)/(−2 m/s) = 2 m/s. Fronto padėtis yra x_s(t) = st; profilio vertė yra 3 m/s, kai x < x_s(t), ir 1 m/s, kai x ≥ x_s(t).

Vien tvermės dėsnis neleidžia atrinkti visų leistinų trūkių. Šiai griežtai iškilai srauto funkcijai f′(u) = u yra charakteristikos greitis: greitis, kuriuo pernešama glodaus lauko vertė. Gniuždančiajam šuoliui būtina f′(u_L) > s > f′(u_R). Mūsų vertės tenkina 3 m/s > 2 m/s > 1 m/s: charakteristikų kryptys iš abiejų pusių artėja prie fronto.

Tai skaliarinės lygties entropinė leistinumo sąlyga. Čia ji yra matematinė atrankos taisyklė, o ne dujų temperatūros ar termodinaminės entropijos gamybos skaičiavimas. Sukeitus būsenas, iš srauto balanso vis tiek būtų gauta s = 2 m/s, tačiau šis gniuždymo kriterijus nebūtų tenkinamas. Atitinkamas besiplečiantis charakteristikų vėduoklinis sprendinys išvedamas toliau.

Vertės u_R priskyrimas fronto taške yra braižymo susitarimas, pagal kurį profilis yra tolydus iš dešinės. Pakeitus šį vieną tašką, silpnasis sprendinys nepasikeičia. Tai neaprašo fizinės smūginės bangos storio ar vidinės sandaros; šio pavyzdžio pradiniai duomenys jau turi trūkį.

Apibrėžkite glodų pavienės bangos profilį

Atskiram bedimensiam laukui w, esant visiems realiesiems x ir t ≥ 0, užduokime ∂w/∂t + c₀∂w/∂x + αw∂w/∂x + β∂³w/∂x³ = 0. Koeficientai yra c₀ = 1 m/s, α = 6 m/s ir β = 1/2 m³/s. Kiekvieno nario matavimo vienetai yra 1/s. Šiame pastoviųjų koeficientų Kortewego–de Vrieso, arba KdV tipo, modelyje nėra užduoto išorinio poveikio ar slopinimo.

Pasirinkite pradinį profilį w(x,0) = A sech²(κx), kur A = 1 ir κ = 1 m⁻¹. Apibrėžkite sech(z) = 2/(exp(z)+exp(−z)), kai z yra bedimensis realusis argumentas. Didžiausia profilio vertė yra 1 ir tolstant nuo jo centro jis artėja prie nulio; kiekvienoje baigtinėje padėtyje jis yra teigiamas.

Išbandykime slenkantį profilį w(x,t) = A sech²(κ(x−Vt)), kur V yra nežinomas jo greitis. Įstatę, kaip patikrinama toliau, gauname dvi būtinas sąlygas: V = c₀+4βκ² ir αA = 12βκ². Mūsų duomenys tenkina antrąją sąlygą ir duoda V = 3 m/s. Bangos viršūnės padėtis yra Vt, o ne lauko vertė w.

Ši konkreti pateikta lygtis ir profilis nėra kalibruotas vandens bangų ar akustinis modelis. Nenurodytas nei vandens gylis, nei slėgio mastelis, nei mažumo parametras. Lygtis tuo pačiu pavadinimu gali būti gaunama taikant fizikinius artinius su papildomais apribojimais; šiuos apribojimus būtina patikrinti konkrečiai terpei.

Išnagrinėkite tris momentinius vaizdus

Dviejuose viršutiniuose grafikuose parodytas šuolis, kai t = 0 ir t = 1 s. Ištisinės mėlynos horizontalios atkarpos baigiasi atskirais žymekliais: neužpildytas apskritimas žymi ribą iš kairės, o užpildytas kvadratas – fronte priskirtą dešiniosios būsenos vertę. Brūkšninė vertikali pagalbinė linija žymi šuolio vietą; ji nepriskiria tarpinių lauko verčių. Horizontalių atkarpų nejungia jokia vertikali kreivė. Kai t = 0, pagalbinė linija sutampa su nulinės padėties ašimi; kai t = 1 s, ji yra atskirai ir aiškiai matyti, kad ji brūkšninė.

Apatiniame grafike parodytas glodus impulsas tais pačiais dviem laiko momentais; profiliai atskiriami violetiniais neužpildytais apskritimais ir oranžiniais neužpildytais rombais. Jų centrai yra 0 ir 3 m. Visų grafikų horizontalusis padėties mastelis vienodas, tačiau viršutinių grafikų ordinatė yra u, matuojama m/s, o apatinio grafiko ordinatė – bedimensis w. Vienodi aukščiai šiuose grafikuose nereiškia vienodų fizikinių dydžių.

Paveiksle parodytas intervalas −3 ≤ x ≤ 7 m. Lygtys ir profiliai apibrėžti visoje tiesėje; vaizdo kraštai nėra sienos ar ribos, kuriose nustatytos nulinės vertės. Momentiniai vaizdai dviem laiko momentais yra lauko profiliai, o ne stebimų dalelių trajektorijos.

Patikrinkite sklindančios bangos formą

Pirmą kartą skaitant, toliau pateiktą patikrinimą naudojant išvestines galima praleisti. Tegul ξ = x−Vt, matuojamas metrais, o F(ξ) = A sech²(κξ). Toliau brūkšneliai žymi išvestines ξ atžvilgiu. Diferencijuodami gauname F″ = 4κ²F−6κ²F²/A. Sklindančios bangos lygtis yra (c₀−V)F′+αFF′+βF‴ = 0.

Integruodami ξ atžvilgiu gauname (c₀−V)F+(α/2)F²+βF″ = C. Kadangi F ir reikiamos jo išvestinės artėja prie nulio, kai ξ artėja į teigiamą arba neigiamą begalybę, C = 0. Įstatę F″ išraišką, gauname koeficientus c₀−V+4βκ² ir α/2−6βκ²/A. Kadangi F kinta tolydžiai, abu koeficientai turi būti lygūs nuliui. Taip vėl gaunamos abi greičio ir pločio sąlygos.

Pateikto profilio poslinkius ξ = −1, 0 ir 1 m atitinka tikslios amplitudės sech²(1), 1 ir sech²(1). Čia sech²(1) yra maždaug 0.419974. Lentelėje naudojamas analitinis profilis, o ne iš pikselių įvertintos reikšmės.

Atskirkite pavienę bangą nuo solitono

Pavienė sklindanti banga turi lokalizuotą profilį, kuris išlaiko formą kartu su banga judančioje atskaitos sistemoje. Mūsų patikrintas glodus profilis pasižymi šia vienos bangos savybe. Solitonui taikomas stipresnis teiginys apie sąveiką: idealiajame modelyje gerai atskirtos bangos po sąveikos išlaiko savo asimptotinius profilius ir greičius, nors jų padėtys gali pasikeisti dėl fazės poslinkių.

Idealioji KdV lygtis turi solitoninių sprendinių, pasižyminčių šia sąveikos savybe. Čia pateiktos kreivės vaizduoja vieną impulsą dviem laiko momentais, todėl jos nei parodo, nei įrodo sąveiką. Sąveikos metu bendras profilis nebūtinai atrodo kaip du nepakitę izoliuoti impulsai.

Nevadinkite „solitonu“ kiekvieno, regis, ilgai išliekančio iškilimo. Medžiagos modelyje gali būti disipacija, papildoma dispersija, ribos arba koeficientų apribojimai, keičiantys rezultatą. Formos išlaikymas modelyje ir stebima ilgai išliekanti banga yra skirtingo pobūdžio duomenys.

Modelį siekite su klausimu

Staigus frontas ir glodus impulsas kelia skirtingus matematinius klausimus. Ties frontu patikrinkite silpnąją balanso sąlygą ir leistinumą. Glodžiajam impulsui patikrinkite lygtį, artėjimą prie nulio erdvinėje begalybėje ir amplitudės, pločio bei greičio suderinamumą. Prieš lygindami skaitines vertes, išsaugokite lauko dydžio matavimo vienetus.

Pradinis laiptuotas profilis skaliarinėje lygtyje neparodo, kaip susidaro tikra akustinė smūginė banga, o vieno impulso sprendinys neparodo solitonų susidūrimų realiame pasaulyje. Norėdami pateikti fizikinę prognozę, nurodykite terpę, lauko dydžio prasmę, pradinius ir kraštinius duomenis, koeficientų galiojimo ribas ir modelyje neįtrauktus reiškinius.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kokia yra pagrindinio šuolio nuo 3 iki 1 m/s fronto padėtis ir kokia lauko vertė priskirta tiksliai fronte, kai t = 1 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x_s = 2 m; priskirta vertė yra u_R = 1 m/s.

   Padėtis nustatoma pagal greitį s = 2 m/s. Tolydumo iš dešinės susitarimas nustato vienintelę vertę fronte; riba iš kairės lieka 3 m/s.

2. Pagrindinio šuolio atveju palyginkite u integralą intervale [−3 m,7 m], kai t = 0 ir t = 1 s. Ar jis turėtų išlikti pastovus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iš pradžių jis lygus 16 m²/s, o po 1 s – 20 m²/s; jis padidėja 4 m²/s.

   Kol frontas yra intervalo viduje, kairiosios ir dešiniosios dalių indėliai duoda (3 m/s)(3 m+st)+(1 m/s)(7 m−st) = 16 m²/s+(4 m²/s²)t. Padidėjimą lemia nevienodi srautai per intervalo ribas; tai nėra teiginys apie uždaros sistemos masę.

3. Tai pačiai srauto funkcijai f(u)=u²/2 imkite u_L = 2 m/s ir u_R = −2 m/s. Raskite šuolio greitį ir patikrinkite jo leistinumą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   s = 0 m/s, o nelygybė 2 m/s > 0 m/s > −2 m/s leidžia stacionarų suspaudimo šuolį.

   Abu srautai yra lygūs 2 m²/s², o u šuolis yra −4 m/s. Nulinis greitis tenkina tvermės sąlygą, taip pat tenkinama atskirai tikrinama entropijos sąlyga.

4. Pagrindinio glodaus impulso atveju, kai t = 1 s, raskite taškų, kurių pasirinkti poslinkiai yra ξ = −1 m ir ξ = 1 m, padėtis ir nurodykite jų amplitudes.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jų padėtys yra x = 2 m ir x = 4 m; abiejuose taškuose w = sech²(1).

   Centras yra ties 3 m, o x = 3 m+ξ. Kadangi sech² yra lyginė funkcija, abi bedimensės amplitudės yra vienodos.

5. Kai A = 1/4 ir naudojami pradiniai KdV koeficientai, paliekama κ = 1 m⁻¹ ir keičiamas tik greitis. Ar šis profilis gali tenkinti lygtį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. αA = 3/2 m/s, o 12βκ² = 6 m/s.

   Amplitudės ir pločio suderinamumo sąlyga netenkinama, nepriklausomai nuo siūlomo greičio. Suderinamas teigiamas atvirkštinis plotis yra 1/2 m⁻¹.

6. Dviejuose momentiniuose vaizduose matomas vienas glodus impulsas, slenkantis nekintant jo aukščiui. Ar šie vaizdai patvirtina solitonų sąveikos savybę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jie neparodo ir neįrodo, kaip dvi bangos elgiasi po sąveikos.

   Patikrintas pavienės bangos profilis slinkdamas išlaiko savo formą. Stipresnis teiginys apie solitonus susijęs su po sąveikos asimptotiškai atsiskyrusiomis bangomis ir gali apimti fazės poslinkius; vieno profilio grafikas tokio patikrinimo nesuteikia.

Ką verta įsidėmėti

• Trūkio sklidimo greitį nustato tvermės dėsniai; entropijos sąlygos tenkinimas tikrinamas atskirai.
• Pateiktas Burgerso lygties šuolis turi greičio dimensiją, o atskiras glodus KdV impulsas yra bedimensis.
• Erdvinėje begalybėje prie nulio artėjančiam sech² profiliui reikia suderintų amplitudės, pločio ir greičio, o ne vien greičio formulės.
• Vienas pavienės bangos profilis nepatvirtina nei solitonų sąveikos, nei fizikinės terpės tinkamumo.