Ribiniai ciklai ir netiesiniai osciliatoriai

Būsena gali sugrįžti nestovėdama vietoje

Įsivaizduokite modelį, kurio būseną nusako dvi koordinatės – x ir y. Abi yra normalizuoti skaičiai be fizikinio matavimo vieneto. Pradėkite taške (2, 0). Po ketvirčio apsisukimo būsena yra (0, 2); po viso apsisukimo ji grįžta į (2, 0). Jos spindulys išlieka 2, o koordinatės nuolat kinta.

Vienas tikslus šiomis savybėmis pasižymintis judėjimas yra x(t) = 2 cos(2t/T), y(t) = 2 sin(2t/T), kur t yra praėjęs laikas, o T = 1 s. Kampas 2t/T matuojamas radianais ir didėja prieš laikrodžio rodyklę. Viso apsisukimo kampas yra 2π, todėl mažiausias teigiamas grįžimo periodas yra πT = π s. T yra laiko mastelis, o ne pats periodas.

Periodinis sprendinys po teigiamo periodo pakartoja visą būsenos judėjimą, o ne vien sutampa dviem atskirais užfiksuotais laiko momentais. Fiksuotasis taškas išlieka tos pačios būsenos. Ribinis ciklas – tai nekonstantinė periodinė orbita, izoliuota nuo kitų netoliese esančių periodinių orbitų. Orbita yra judant nubrėžiama uždara būsenų aibė; sprendinys taip pat nurodo, kada pasiekiama kiekviena būsena.

Reikšmių įstatymas ir grafikų skaitymas – pagrindiniai pasirengimo įgūdžiai; prie jų galima grįžti skaitant „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Koordinačių ir radianų sąvokos iš „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ – neprivalomas pasirengimas. Pirmą kartą skaitydami sekite toliau pateiktas būsenas ir kitimo spartų ženklus; prie tikslios formulės grįžkite vėliau, prireikus remdamiesi „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ arba „Paprastosios diferencialinės lygtys“.

Nusakykite, kaip kinta visa būsena

Vien apskritimo brėžinys modelio neapibrėžia. Pateikiame tokią autonominę kitimo greičių taisyklę: dx/dt = [(1 − (x² + y²)/4)x − 2y]/T ir dy/dt = [(1 − (x² + y²)/4)y + 2x]/T, kur T = 1 s. Autonominė reiškia, kad dešiniosios pusės priklauso nuo dabartinės būsenos ir pastovių parametrų, bet tiesiogiai nuo laiko nepriklauso.

Simboliai dx/dt ir dy/dt reiškia momentinius kitimo greičius. Kadangi x ir y yra bedimensiai, šių greičių matavimo vienetai yra s⁻¹. Jie sudaro visą kitimo greičių vektorių (dx/dt, dy/dt). Įstačius (1, 0), gaunama (3/4, 2) s⁻¹: judant kinta abi koordinatės.

Šios polinominės dešiniosios pusės yra tolydžiai diferencijuojamos. Todėl glodžiam kitimo greičių laukui taikomas lokaliojo sprendinio egzistavimo ir vienaties rezultatas užtikrina vienintelį lokalųjį sprendinį kiekvienai baigtinei pradinei būsenai. Vien šis lokalusis teiginys negarantuoja, kad sprendinys egzistuos visą laiką. Šio konkretaus modelio elgseną ateityje patikrinsime tiesiogiai.

Visos čia pateiktos vertės yra sutartinės, skirtos mokymui. Koordinatės nėra atstumai metrais, o taisyklė nėra priderinta prie mechaninio ar biologinio osciliatoriaus matavimų.

Radialinio kitimo atskyrimas nuo sukimosi

Apibrėžkime r = √(x² + y²) – neneigiamą atstumą nuo koordinačių pradžios normuotoje būsenų plokštumoje. Kai r > 0, rašome x = r cos θ ir y = r sin θ. Radialinis kitimo greitis nusako, kaip kinta šis atstumas; kampinis greitis nusako sukimąsi aplink koordinačių pradžią.

Pagal šią pateiktą taisyklę dr/dt = r(1 − r²/4)/T ir dθ/dt = 2/T. Radialinei lygčiai patikrinti naudokite r dr/dt = x dx/dt + y dy/dt; abu sukimosi nariai susiprastina. Kampinei lygčiai patikrinti naudokite dθ/dt = (x dy/dt − y dx/dt)/r²; radialiniai nariai susiprastina. Kampinis greitis yra 2 rad/s, kai T = 1 s.

Kai r = 0, kampas neapibrėžtas, todėl formulės, kuriose dalijama iš r, čia negali būti taikomos. Tiesiogiai įstačius (0, 0) į pradinę taisyklę Dekarto koordinatėmis, abu kitimo greičiai lygūs nuliui. Koordinačių pradžia yra fiksuotasis taškas.

Lentelėje naudojama T = 1 s. Nulinis radialinis kitimo greitis nebūtinai reiškia, kad visas kitimo greičių vektorius yra nulinis.

Nagrinėkite judėjimą orbita ir radialinio kitimo greičio grafiką

Kai 0 < r < 2, radialinio kitimo greitis yra teigiamas; kai r > 2, jis yra neigiamas. Kai r = 2, jis lygus nuliui, tačiau kampinis greitis išlieka 2/T. Taigi apskritimas r = 2 yra periodinė orbita, kuria judama, o ne nejudamųjų taškų apskritimas. Pradžioje pateiktas tikslus trigonometrinis judėjimas yra visos judėjimo taisyklės sprendinys.

Viršutinėje diagramos dalyje x ir y masteliai yra vienodi. Keturios rodyklės rodo visą momentinį kitimo greitį keturiose ciklo būsenose. Jų smaigaliai nėra vėlesnės būsenos. Apatinėje dalyje pavaizduota skaliarinio radialinio kitimo greičio priklausomybė nuo spindulio. Jos horizontalioji ašis žymi spindulį, o ne laiką, o vertikalusis kitimo greičio mastelis skiriasi nuo rodyklių mastelio.

Bet kuris kitas teigiamas spindulys kinta monotoniškai artėdamas prie 2, kaip patvirtins toliau pateikta tiksli formulė. Tokio judėjimo metu spindulys negali grįžti į pradinę vertę praėjus teigiamam periodui. Todėl pakankamai mažoje šio apskritimo aplinkoje nėra kitų periodinių orbitų: tai ribinis ciklas.

Artėjimas prie orbitos nenustato fazės

Atstumas iki apskritiminės orbitos yra |r − 2|. Orbitinis stabilumas reiškia, kad pradinė būsena, esanti pakankamai arti orbitos, ateityje išlieka kiek norima arti jos. Asimptotiniam orbitiniam stabilumui papildomai reikia, kad pakankamai artimų pradinių būsenų atveju šis atstumas artėtų prie nulio.

Čia spindulio kitimo greitis abiejose pusėse nukreiptas link 2. Teigiamas pradinis spindulys lieka toje pačioje 2 pusėje ir artėja prie šios reikšmės; atstumas |r − 2| niekada nedidėja. Tai užtikrina orbitinį stabilumą, o kitame skyriuje pateikta tiksli formulė būsimiems laiko momentams patvirtina konvergavimą. Iš tiesų bet kuris teigiamas pradinis spindulys artėja prie šios orbitos. Nekintanti būsena koordinačių pradžioje yra išimtis.

Čia lyginamas atstumas iki visos orbitos, o ne iki vieno pasirinkto sprendinio tuo pačiu laiko momentu. Dvi būsenos, jau esančios ant apskritimo, gali išlaikyti pastovų fazių skirtumą. Jei šis skirtumas yra π/2, atstumas tarp jų būsenų plokštumoje visada yra 2√2, nors kiekvienos jų atstumas iki orbitos lygus nuliui.

Kampo kitimo dėsnis keičia abi fazes tuo pačiu greičiu. Jis nesuvienodina jų fazių. Trauka į ribinį ciklą ir dviejų judėjimų sinchronizacija yra skirtingos išvados.

Patikrinkite tikslią amplitudės formulę

Kai pradinis spindulys r₀ yra teigiamas, įveskime z = r² ir z₀ = r₀². Tuomet dz/dt = 2r dr/dt = 2z(1 − z/4)/T. Spindulio pakėlimas kvadratu čia tėra naudingas kintamojo pakeitimas; z nėra mechaninė energija.

Tikslus sprendinys yra z(t) = 4/[1 + (4/z₀ − 1) exp(−2t/T)], kai z₀ > 0 ir t ≥ 0. Funkcija exp yra eksponentinė funkcija; jos argumentas −2t/T yra bedimensis. Kai t = 0, ši formulė duoda z₀. Diferencijuodami formulę gauname dz/dt = 2z(1 − z/4)/T, taigi ji tenkina ir kitimo dėsnį, ir pradinę reikšmę.

Pažymėkime c = 4/z₀ − 1. Kadangi z₀ > 0, tai c > −1. Būsimiems laiko momentams galioja 0 < exp(−2t/T) ≤ 1, todėl 1 + c exp(−2t/T) išlieka teigiamas. Taigi formulės reikšmė išlieka baigtinė ir teigiama kiekvienam baigtiniam t ≥ 0. Kai t didėja be galo, eksponentinė funkcija artėja prie nulio, z artėja prie 4, o r = √z artėja prie 2.

Kai z₀ ≠ 4, spindulys artėja prie 2, bet nepasiekia šios reikšmės jokiu baigtiniu būsimu laiko momentu. Norėdami atkurti visą būseną, šį spindulį derinkite su θ(t) = θ₀ + 2t/T. Teigiamo spindulio formulė netaikoma atvejui z₀ = 0; atskiras sprendinys Dekarto koordinatėmis koordinačių pradžioje išlieka nekintantis.

Uždarų orbitų šeima – kitoks atvejis

Dabar palyginkime su atskiru tiesiniu modeliu: dx/dt = −2y/T ir dy/dt = 2x/T. Jo spindulio kitimo greitis lygus nuliui esant bet kokiam teigiamam spinduliui, o kampinis greitis yra 2/T. Taigi kiekvieną teigiamą spindulį atitinka skirtinga apskritiminė periodinė orbita, kurios periodas yra πT.

Nė vienas iš šių apskritimų nėra izoliuotas: šiek tiek didesnio ar mažesnio spindulio apskritimai yra kiek norima arti jo. Jie vienas kito netraukia. Uždara orbita gali būti periodinė ir vis dėlto nebūti ribinis ciklas.

Palyginimui skirtas tiesinis modelis yra vienalytis: padauginę bet kurį sprendinį iš konstantos, gauname kitą sprendinį, tenkinantį tą pačią taisyklę. Baigtinio matmens autonominėje vienalytėje tiesinėje sistemoje nekonstantinį periodinį sprendinį dauginant iš teigiamų daugiklių, artimų vienetui, jo orbita taip pat negali būti izoliuota. Šis teiginys netaikomas išoriškai veikiamai tiesinei sistemai su aiškiai nuo laiko priklausančiu įėjimo signalu.

Mūsų netiesiniame modelyje yra kubinis amplitudės narys −r³/(4T), dėl kurio spindulio kitimo greitis priklauso nuo amplitudės ir išskiriama reikšmė r = 2. Tai paaiškina šio modelio ribinį ciklą; vien netiesiškumas negarantuoja, kad bet kuri sistema turi ribinį ciklą.

Ko reikėtų fiziniam osciliatoriui?

Pateiktas autonominis modelis sukuria neslopstantį periodinį judėjimą, nors jo kitimo greičių taisyklėje nėra aiškiai nurodyto periodinio įėjimo signalo. Šis matematinis faktas nenustato fizinio energijos šaltinio ir neįrodo, kad realus įrenginys paklūsta šiai taisyklei. Fizinei interpretacijai reikia išmatuotų būsenos kintamųjų, jų normavimo, pagrįsto kitimo greičių modelio ir duomenų apie jo elgseną veikiant atitinkamiems trikdžiams.

Baigtinės trukmės įrašas, kuriame kartojasi diskrečiais momentais užfiksuotos būsenos, gali leisti numanyti periodą. Vien toks įrašas nepatvirtina kartojimosi visais tarpiniais ir būsimais laiko momentais, izoliuotumo nuo gretimų periodinių orbitų ar orbitinio stabilumo. Čia šios išvados buvo įrodytos remiantis išsamia iš anksto apibrėžta taisykle ir tiksliu samprotavimu.

Apskritiminė orbita ir pastovus kampinis greitis daro šį pavyzdį ypač aiškų. Kiti ribiniai ciklai nebūtinai yra apskritiminiai, o judėjimo greitis išilgai jų orbitos nebūtinai yra pastovus. Bendrąsias sąvokas – nekonstantinį periodinį judėjimą, izoliuotumą ir nurodytą stabilumą – atskirkite nuo šio mokomojo modelio ypatingos geometrijos.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai T = 1 s ir r = 3/2, apskaičiuokite dr/dt. Ar vien r žinojimas taip pat leidžia nustatyti visą kitimo greičio vektorių Dekarto koordinatėmis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   dr/dt = 21/32 s⁻¹, o viso kitimo greičio vektoriaus Dekarto koordinatėmis vien r nenustato.

   Radialinis daugiklis yra 1 − (3/2)²/4 = 7/16; padauginę iš 3/2, gauname 21/32. Esant šiam spinduliui, skirtingus kampus atitinka skirtingos x ir y reikšmės, todėl pradiniam dviejų komponenčių kitimo dėsniui reikia ir šios informacijos apie būseną.

2. Koks yra visas kitimo greičio vektorius ciklo būsenoje (0, −2), kai T = 1 s? Ar būsena yra stacionari, nes jos radialinis kitimo greitis lygus nuliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visas kitimo greičio vektorius yra (4, 0) s⁻¹. Tuo momentu būsenos taškas juda į dešinę.

   Kai r = 2, amplitudės daugiklis lygus nuliui, todėl lieka dx/dt = −2y/T = 4 s⁻¹ ir dy/dt = 2x/T = 0. Nulinis radialinis kitimas čia reiškia pastovų spindulį, o ne pusiausvyros tašką.

3. Atskiru atveju pasirinkite T = 2 s ir pradėkite ciklo taške (2, 0). Raskite mažiausią teigiamą periodą ir būseną, praėjus ketvirčiui šio periodo.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Periodas yra 2π s. Po π/2 s būsena yra (0, 2).

   Kampinis greitis yra 2/T = 1 rad/s. Visas 2π radianų posūkis trunka 2π s, o ketvirtis posūkio – π/2 s. Keičiant T, keičiasi judėjimo trukmė, bet ne ciklo spindulys.

4. Judėjimas prasideda taške (0, 0). Ar galime į teigiamam spinduliui skirtą formulę įstatyti z₀ = 0? Ar šis judėjimas tampa ribiniu ciklu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Šioje formulėje dalijama iš z₀; pradinės Dekarto koordinačių lygtys duoda pastovųjį sprendinį (0, 0).

   Koordinačių pradžioje abiejų koordinačių kitimo greičiai lygūs nuliui. Dėl glodumo galiojantis lokalus sprendinio vienatinumas ir tiesiogiai patikrintas pastovusis sprendinys užtikrina, kad ši pradinė būsena ten ir lieka. Pastovi būsena nėra nekonstantinė periodinė orbita, o jos atstumas iki ciklo išlieka 2.

5. Atskirame palyginimui skirtame tiesiniame modelyje periodinis judėjimas apskritimu vyksta esant bet kokiam teigiamam spinduliui. Ar jo apskritimas r = 2 yra ribinis ciklas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jis yra periodinis, bet nėra izoliuotas nuo kitų periodinių orbitų.

   Kad ir kiek mažai padidintume spindulį, netoliese yra kita apskritiminė periodinė orbita. Šie gretimų orbitų spinduliai išlieka pastovūs, todėl jų atstumas iki r = 2 nemažėja. Vien uždara forma neleidžia spręsti nei apie izoliuotumą, nei apie pritraukimą.

6. Įraše užfiksuota ta pati būsena dviem stebėjimo momentais. Ar tai įrodo, kad egzistuoja stabilus ribinis ciklas, jei neturime išsamaus kitimo greičių dėsnio ar kitos informacijos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Vien dvi užfiksuotos vertės neįrodo nei viso periodinio sprendinio, nei izoliuotos stabilios periodinės orbitos egzistavimo.

   Tarpinės ir būsimos būsenos nenurodytos, o gretimos pradinės būsenos netirtos. Šioje pamokoje pateiktas modelis leidžia daryti tvirtesnes išvadas, nes galima patikrinti jo išsamų dėsnį, tikslų sprendinį ir gretimų spindulių kitimą.

Ką verta įsidėmėti

• Ribinis ciklas yra izoliuota nekonstantinė periodinė orbita; vien pastovios būsenos ar bet kokios uždaros orbitos nepakanka.
• Radialinis ir kampinis greičiai apibūdina skirtingus dviem koordinatėmis nusakomo judėjimo aspektus.
• Pateiktame modelyje bet kuris teigiamas pradinis spindulys artėja prie r = 2, o koordinačių pradžia lieka fiksuota.
• Orbitinis pritraukimas vertinamas pagal atstumą iki visos orbitos ir nereiškia fazių sinchronizacijos.
• Tikslioms modelio išvadoms ir baigtiniams eksperimentiniams įrašams pagrįsti reikia skirtingo pobūdžio įrodymų.