Deterministinis chaosas

Tiksli taisyklė gali duoti netikėtų rezultatų

Pasirinkite skaičių tarp 0 ir 1. Jei jis ne didesnis už 1/2, padvigubinkite jį. Jei jis didesnis už 1/2, iš 2 atimkite dvigubą to skaičiaus vertę. Kiekvienam naujam rezultatui taikykite tą pačią taisyklę. Pradėję nuo 5/8, gausite 3/4, tada 1/2, tada 1, tada 0. Po to skaičius lieka 0.

Šiame pavyzdyje moneta nemetama. Žinant tikslią pradinę vertę, taisyklė nustato kiekvieną paskesnę vertę. „Deterministinis“ reiškia, kad kitą būseną vienareikšmiškai nustato dabartinė būsena ir taisyklė; tai negarantuoja, kad apytikslė pradinė informacija išliks pakankama tolimoje ateityje.

Šios vertės yra normuotos, bedimensės matematinio modelio būsenos. Tai nėra išmatuotos padėtys ar greičiai. Šią paprastą taisyklę naudosime tam, kad atskirtume tikslią prognozę, artimų pradinių būsenų palyginimą ir teiginį apie visą sistemą.

Svarbiausia mokėti įstatyti reikšmes ir skaityti grafikus; prie šių dalykų galima grįžti temoje „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Pirmiausia sekite taisyklę ir tikslių reikšmių lentelę. Vėliau pateikiamas samprotavimas apie intervalą yra neprivalomas išsamesnis patikrinimas; prie šakų nuolydžių aptarimo galima grįžti nagrinėjant temą „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“.

Apibrėžkite būseną, intervalą ir atnaujinimo momentus

Dabartinę būseną pažymėkime x, o kitos būsenos nustatymo taisyklę – F. Šis standartinis palapinės atvaizdis yra F(x) = 2x, kai 0 ≤ x ≤ 1/2, ir F(x) = 2 − 2x, kai 1/2 < x ≤ 1. Visa būsenų erdvė yra realiųjų skaičių intervalas [0, 1]. Susijungimo taške pagal abi formules gaunama 1, todėl F yra tolydus ir visos išvesties reikšmės lieka šiame intervale.

Būseną po n atnaujinimų žymėkime x_n, kur n = 0, 1, 2, …, o x_0 yra duota pradinė būsena. Kitimo taisyklė yra x_(n+1) = F(x_n). Šiame mokomajame pavyzdyje laikykime, kad atnaujinimai vyksta kas sekundę: t_n = n × 1 s. Indeksas n nurodo atnaujinimų skaičių, o t_n turi laiko vienetus.

Būsenos tarp šių atnaujinimo momentų nėra pateiktos. Tai diskretusis atvaizdis, o ne tolydusis srautas ar diferencialinė lygtis. Sujungę nuoseklias jo būsenas glodžia kreive, pridėtume prielaidą apie judėjimą tarp jų.

Abiejose atvirose šakose įvesties ir išvesties priklausomybės nuolydžiai yra 2 ir −2. Tai bedimensiai stiprinimo koeficientai, o ne kitimo spartos, išreikštos s⁻¹. Kai x = 1/2, vienpusiai nuolydžiai nesutampa, todėl įprasta dvipusė išvestinė neegzistuoja, nors pati taisyklė yra tolydi.

Fiksuotasis taškas tenkina sąlygą F(x) = x. Kairiojoje šakoje gauname x = 0, o dešiniojoje – x = 2/3. Viršutiniame grafike šiuos susikirtimus parodo brūkšninė tapatybės tiesė.

Stebėkite, kaip atstumas auga ir išnyksta

Atskaitos sekos pradinę būseną pasirinkite a_0 = 2/3. Ji išlieka a_n = 2/3, nes 2 − 2(2/3) = 2/3. Antrąją seką pradėkite nuo b_0 = 2/3 + 1/1536 = 1025/1536. Apibrėžkite skirtumą su ženklu δ_n = b_n − a_n ir neneigiamą atstumą d_n = |δ_n|.

Atliekant atnaujinimus nuo būsenos n = 0 iki būsenos n = 8, abi dabartinės būsenos yra dešiniojoje šakoje. Atėmę jų atnaujinimo lygtis, gauname δ_(n+1) = −2δ_n. Taigi iki pat būsenos n = 9 galioja δ_n = (−2)^n/1536: ženklas kaitaliojasi, o modulis dvigubėja.

Kai n = 9, antrosios sekos būsena yra b_9 = 1/3, o atskaitos sekos būsena tebėra 2/3. Kitam atnaujinimui taikomos skirtingos šakos: F(1/3) = F(2/3) = 2/3. Sekos susilieja, kai n = 10, ir nuo tada lieka sutapusios. Ankstesnis dvigubėjimas per šį sulenkimą nebesitęsia.

Viršutiniame grafike vaizduojamas įvesties ir kitos išvesties ryšys, o ne būsenos priklausomybė nuo laiko. Apatinėje dalyje parodytos nesujungtos d_n reikšmės ties sveikaisiais atnaujinimo indeksais. Pirmoji teigiama reikšmė per maža, kad vien pagal žymeklio padėtį ją būtų galima atskirti nuo nulinės ašies; tikslių reikšmių lentelė leidžia ją atskirti nuo nulio, kai n = 10.

Ši pasirinkta sekų pora galiausiai tampa periodinė. Ji iliustruoja baigtinį atstumą ir susiliejimą; ji nepatvirtina aperiodinės trajektorijos ir neįrodo, kad visas atvaizdis yra chaotiškas.

Paklaidos rėžis – sąlyginė garantija

Bet kurioms dviem įvesties reikšmėms iš [0, 1] galioja |F(x) − F(y)| ≤ 2|x − y|. Toje pačioje tiesinėje šakoje galioja lygybė. Kai taškai yra skirtingose kampo pusėse ir x ≤ 1/2 ≤ y, išvesties reikšmių skirtumo modulis yra 2|1 − x − y| ir neviršija 2(y − x). Šis rėžis apima tiek sulenkimą, tiek abi šakas.

Jei pradinis atstumas neviršija ε, pakartotinai taikant šį rėžį gaunama d_n ≤ 2^n ε. Kadangi abi būsenos taip pat priklauso intervalui [0, 1], galioja d_n ≤ min(1, 2^n ε). Čia ε yra deterministinis pradinių būsenų skirtumo rėžis, o ne standartinis nuokrypis ar tikimybinis teiginys.

Kai ε = 1/1536 ir reikalaujama, kad atstumas neviršytų 1/100, šis rėžis garantuoja, kad leistinas nuokrypis nebus viršytas iki n = 3 imtinai: 2^3/1536 = 1/192 < 1/100. Kai n = 4, gaunama 1/96 > 1/100, todėl šis rėžis garantijos nebeteikia. Pasirinktos poros atstumas tada iš tiesų viršija leistiną nuokrypį.

Tai, kad pakankamas rėžis nebeužtikrina garantijos, nereiškia, kad kiekviena pora viršija leistiną nuokrypį. Kai n = 10, šios poros atstumas lygus nuliui, nors viršutinis rėžis vis dar yra 2/3. Rėžis nusako, ką galima garantuoti galiojant jo prielaidoms, o ne tikslią kiekvieno konkretaus palyginimo vertę.

Atvaizdžio chaotiškumas – teiginys apie visą intervalą

Chaosas turi kelis matematinius apibrėžimus. Čia tolydžiam intervalo atvaizdžiui į save taikome Devaney tipo kriterijų: topologinį tranzityvumą, tankią periodinių taškų aibę ir jautrią priklausomybę nuo pradinių būsenų. Visos trys savybės apibūdina visą nurodytą būsenų erdvę, o ne vien pasirinktą seką.

Topologinis tranzityvumas reiškia, kad bet kurioms dviem netuščioms atviroms sritims U ir V intervale [0, 1] egzistuoja teigiamas iteracijų skaičius, po kurio bent vienas U taškas atvaizduojamas į V. Atvira sritis apima aplinką būsenų intervale; intervalo galiniame taške svarbi tik ta aplinkos dalis, kuri priklauso [0, 1].

Periodinis taškas grįžta į save po teigiamo iteracijų skaičiaus. Periodinių taškų aibė yra tanki, jei kiekviename netuščiame atvirame intervale būsenų erdvėje yra bent vienas toks taškas. Tankumas leidžia greta egzistuoti daugeliui skirtingų periodų; jis nereiškia, kad kiekvienas taškas yra periodinis.

Jautri priklausomybė reikalauja fiksuoto teigiamo atstumo slenksčio. Kiekvienai pradinei būsenai x ir kiekvienam teigiamam artumo dydžiui δ turi egzistuoti kita būsena y intervale [0, 1], tenkinanti 0 < |y − x| < δ, kurios atstumas nuo x vėliau pasiekia tą slenkstį. Artima būsena ir vėlesnė iteracija gali priklausyti nuo x ir δ. Tai nėra reikalavimas, kad kiekvienos artimų būsenų poros atstumas nuolat didėtų.

Kodėl palapinės atvaizdis atitinka šį kriterijų

Žymėkime F^k atvaizdžio F taikymą lygiai k kartų, o ne vienos išvesties reikšmės kėlimą laipsniu. Po k ≥ 1 iteracijų intervalas suskaidomas į 2^k uždarų dalių J_(k,j) = [j/2^k, (j + 1)/2^k], kur j = 0, …, 2^k − 1. Kiekvienoje dalyje F^k yra tiesinė šaka, apimanti visą išvesties intervalą [0, 1]. Gretimų dalių formulės bendruose galiniuose taškuose duoda tas pačias reikšmes.

Kai j lyginis, šakos formulė yra F^k(x) = 2^k x − j; kai j nelyginis, ji yra F^k(x) = j + 1 − 2^k x. Kai k = 1, tai yra dvi pradinės šakos. Kiekvienoje pilnoje šakoje yra viena pradinė reikšmė, atvaizduojama į 1/2; padalijus šaką tame taške ir pritaikius F, gaunamos dvi naujos pilnos šakos. Taip teiginys gaunamas kitam žingsniui ir įrodomas visiems teigiamiems k.

Šių atkarpų plotis yra 2^(−k), todėl bet kuriame netuščiajame atvirajame intervale U telpa visa pakankamai maža atkarpa. Jos vaizdas taikant F^k yra [0, 1], todėl jis kertasi su kiekviena paskirties sritimi V. Kadangi viso intervalo vaizdas taikant F yra visas tas pats intervalas, tai lieka teisinga ir kiekviename vėlesniame žingsnyje. Taip įrodomas tranzityvumas ir stipresnė savybė, vadinama maišumu.

Kiekvienoje pilnoje atkarpoje tolydžiosios funkcijos F^k(x) − x reikšmės jos galuose yra priešingų ženklų arba lygios nuliui. Todėl kuriame nors tos atkarpos taške funkcija turi būti lygi nuliui. Šis taškas grįžta po k žingsnių, nors jo mažiausias periodas gali būti trumpesnis. Pilną atkarpą galima sutalpinti bet kuriame atvirajame intervale, todėl periodinių taškų aibė yra tanki.

Jautrumui parodyti pasirinkime bet kurią pradinę reikšmę x ir bet kurį teigiamą δ. Jos δ aplinkoje, esančioje intervale [0, 1], sutalpinkime pilną atkarpą. Jos vaizdas po k žingsnių pasiekia ir 0, ir 1. Bent vienas iš šių galinių taškų yra nutolęs nuo F^k(x) bent 1/2. Jo pirmavaizdis y pasirinktoje atkarpoje yra kiek norima arti x, o k-ajame žingsnyje nuo jo nutolsta bent 1/2. Taigi ta pati riba 1/3 tinka kiekvienam x ir kiekvienai aplinkai.

Visame realiųjų skaičių intervale apibrėžtas atvaizdis tenkina nurodytą kriterijų. Įrodymas remiasi jo pilnų šakų struktūra, o ne mūsų lentelės ilgiu, vizualiai netaisyklinga trajektorija ar nuolydžiu viename pasirinktame taške.

Išskirtinės trajektorijos ir baigtinis vaizdavimas tebėra svarbūs

Chaotiškas intervalo atvaizdis turi ir nejudamąsias būsenas 0 bei 2/3. Kita tiksli trajektorija yra 2/5 → 4/5 → 2/5, kurios mažiausias periodas yra du. Sistemos lygmens kriterijus leidžia tokias išskirtines periodines trajektorijas.

Kai tiksli racionalioji pradinė reikšmė yra a/b, o b yra teigiamas sveikasis skaičius, afininė taisyklė kiekviename žingsnyje gali išlaikyti tą patį vardiklį b. Galimi tik b + 1 sveikųjų skaitiklių nuo 0 iki b. Ilgainiui kuri nors būsena turi pasikartoti, o tada kartojasi ir tolesnė eiga. Tai nereiškia, kad kiekviena racionalioji pradinė reikšmė būtinai pasieks 0: pavyzdyje, kurio periodas yra du, reikšmės lieka nenulinės.

Diadinė pradinė reikšmė yra skaičius k/2^p, kur k ir p yra sveikieji skaičiai, p ≥ 0, o 0 ≤ k ≤ 2^p. Kiekviename žingsnyje vardiklio dvejeto laipsnio rodiklis sumažėja bent vienetu, kol būsena tampa 0 arba 1; dar po vieno žingsnio pasiekiama 0. Pakanka ne daugiau kaip p + 1 žingsnių. Pradžioje pateikta trajektorija 5/8 → 3/4 → 1/2 → 1 → 0 yra tikslus pavyzdys.

Tiksli iracionalioji pradinė reikšmė lieka iracionali taikant bet kurią šaką. Kiekvienas periodinis taškas turi tenkinti afininę lygtį, kurios laisvasis narys yra sveikasis skaičius, o nuolydis yra 2^k arba −2^k, todėl jis yra racionalusis. Taigi šiame tiksliame atvaizdyje iracionalioji pradinė reikšmė, pavyzdžiui, √2/2, niekada netampa periodinė. Vien šis faktas neįrodo, kad jos orbita yra tanki ar statistiškai tipiška.

Fiksuotoje baigtinėje kompiuterio būsenų aibėje deterministinė žingsnio taisyklė, neišvedanti už šios aibės ribų, ilgainiui taip pat lemia pasikartojimą. Skaičiavimas su apvalinimu savaime nėra tikslus realiųjų skaičių intervalo atvaizdis. „Slankiojo kablelio aritmetika ir skaitinis stabilumas“ leidžia grįžti prie šio skirtumo; čia nedaroma prielaidų apie jokį konkretų įgyvendinimą ar išmatuotą skaitinę paklaidą.

Ką galima nustatyti iš realaus įrašo?

Palapinės atvaizdis tenkina tikslų chaoso kriterijų, nors jo taisyklė yra visiškai deterministinė. Šiam matematiniam pavyzdžiui atsitiktinumas nereikalingas. Kita vertus, netaisyklinga ar triukšminga matavimų seka savaime neįrodo deterministinio chaoso.

Fizikiniam teiginiui reikia nustatytų būsenos kintamųjų ir jų vienetų, pagrįsto evoliucijos modelio, matavimo paklaidų analizės ir duomenų, patvirtinančių, kad tiriamos sąlygos yra atspindėtos. Mūsų normuoto intervalo taisyklė ir nustatytas laiko tarpas tarp atnaujinimų yra mokymui pateikti pasirinkimai, o ne prietaiso ar planetos stebėjimų rezultatai.

Baigtinė trajektorija leidžia patikrinti konkrečias baigtines prognozes. Vien jos nepakanka pirmiau įrodytoms savybėms, galiojančioms visame intervale ir neribotą laiką, nustatyti. Atskirai vertinkite išsamų modelį, tikslią pradinę informaciją, apytiksles įvesties ribas ir baigtinę apskaičiuotą išvestį.

Temoje „Liapunovo rodikliai ir prognozuojamumas“ toliau nagrinėjamos augimo spartos idėjos, o temoje „Iteruojamieji atvaizdžiai ir fraktalinės struktūros“ plėtojama kartotinio atvaizdžių taikymo geometrija. Tai tolesnio mokymosi temos, o ne būtinas pasirengimas šioje pamokoje pateiktai taisyklei taikyti ir tikrinti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradėdami nuo 2/5, apskaičiuokite du iteracijos žingsnius. Koks yra mažiausias periodas ir ar ši periodinė trajektorija paneigia visam intervalui taikomą chaoso kriterijų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trajektorija yra 2/5 → 4/5 → 2/5, o mažiausias periodas – du. Ji nepaneigia teiginio apie visą intervalą.

   Pirmajai pradinei reikšmei taikoma dvigubinimo šaka, o antrajai – 2 − 2x. Būsenos skiriasi, todėl mažiausias periodas nėra vienas. Nurodytas chaoso kriterijus leidžia periodinius taškus ir reikalauja tankiosios jų aibės.

2. Pradėdami nuo 5/8, apskaičiuokite keturis iteracijos žingsnius. Ar kiekviena racionalioji pradinė būsena būtinai pasiekia nulį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iteracijos žingsnių rezultatai yra 3/4, 1/2, 1 ir 0. Ne kiekviena racionalioji pradinė būsena būtinai pasiekia nulį.

   Duotos dvejetainės trupmenos vardiklis yra 2^3, todėl nurodytas p + 1 įvertis leidžia pasiekti nulį per keturis iteracijos žingsnius. Tiksli racionalioji trajektorija 2/5 ↔ 4/5 yra nenulinis periodinis kontrpavyzdys, paneigiantis platesnį teiginį.

3. Raskite F(1/2). Ar įprastinė išvestinė šiame taške yra 2, nes reikšmė apskaičiuojama pagal kairiąją šaką? Ar šakos stiprinimo koeficientas yra greitis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   F(1/2) = 1. Įprastinė išvestinė šiame taške neegzistuoja, o bedimensis šakos stiprinimo koeficientas nėra greitis.

   Šakos parinkimo susitarimas nustato reikšmę, bet nepanaikina dvipusės išvestinės reikalavimo. Gretimų taškų skirtumų santykiai iš kairės ir dešinės duoda nuolydžius 2 ir −2. Joks tolydaus laiko judėjimas nepateiktas.

4. Pirmasis apskritimas apatiniame grafike atrodo esantis beveik ant nulinės ašies. Koks yra tikslus atstumas ir ar vien jo padėtis pikseliais gali patvirtinti nulį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pradinis atstumas yra 1/1536, taigi jis teigiamas. Vien žymeklio padėtis negali patvirtinti nulio.

   Kai vienam atstumo vienetui tenka 900 px, ši vertė yra tik 75/128 px virš bazinės linijos – šis atstumas mažesnis už žymeklio dydį. Tikslių verčių lentelėje užfiksuota teigiama vertė; kvadratas ties n = 10 atskirai žymi tikrąjį nulį.

5. Mūsų dvi pasirinktos pradinės būsenos sutampa ties n = 10, o atskaitos pradinė būsena lieka pastovi. Ar jautri priklausomybė nuo pradinių sąlygų reikalauja, kad kiekviena artimų būsenų pora vis toltų viena nuo kitos? Ar vien pasirinkta trajektorija įrodo, kad kriterijus tenkinamas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Į abu klausimus atsakymas – ne. Jautri priklausomybė nuo pradinių sąlygų yra egzistavimo teiginys, taikomas kiekvienai atskaitos būsenai ir jos aplinkai; vien pasirinktos trajektorijos nepakanka.

   Turi egzistuoti kokia nors kiek norima artima pradinė būsena, kuri po kurio nors vėlesnio atnaujinimo pasiekia bendrą teigiamą atstumo slenkstį. Tai nebūtinai turi būti ši pasirinkta pradinė būsena, o atsiskyrimas neprivalo išlikti amžinai. Tris nurodytas visos sistemos savybes pagrindžia visą intervalą apimantis argumentas, o ne baigtinis palyginimas.

6. Ar atliekant tikslius veiksmus su realiaisiais skaičiais pradinė būsena √2/2 pagal šį palapinės atvaizdį gali nuo tam tikro momento tapti periodinė? Ar ši išvada automatiškai apibūdina jos suapvalintą kompiuterinę reprezentaciją?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tiksliame modelyje ji negali nuo tam tikro momento tapti periodinė. Suapvalinta reprezentacija reiškia kitokią įvestį ir kitokį skaičiavimą.

   Abi afininės šakos išsaugo iracionalumą. Atvaizdžio F^k fiksuotasis taškas tenkina afininę lygtį, kurios laisvasis narys yra sveikasis skaičius, o nuolydis – ±2^k, todėl šis taškas yra racionalusis. Iracionalusis taškas, nuo tam tikro momento tampantis periodinis, turėtų virsti tokiu racionaliuoju tašku, o tai neįmanoma. Iš šio samprotavimo neišplaukia joks teiginys apie tankumą ar tipiškumą.

Ką verta įsidėmėti

• Diskreti deterministinė taisyklė kiekvienai būsenai priskiria vienintelę kitą būseną; ji nebūtinai apibrėžia tolydų srautą ar vienintelį atvirkštinį atvaizdį.
• Pasirinktos tikslios būsenų poros būsenos tolsta viena nuo kitos baigtinį laiko intervalą, o vėliau pagal tą pačią taisyklę sutampa.
• Visai sistemai taikomas chaoso kriterijus yra stipresnis už baigtinę išsiskiriančią ar netaisyklingą trajektoriją.
• Palapinės atvaizdžio viso intervalo struktūra egzistuoja kartu su išskirtinėmis pastoviomis, periodinėmis ir nuo tam tikro momento periodinėmis trajektorijomis.
• Sąlyginės prognozavimo ribos, tikslūs realiųjų skaičių modeliai, baigtinio tikslumo aritmetika ir fizikiniai stebėjimai atsako į skirtingus klausimus.