Sūkuringumas ir cirkuliacija

Pradėkime nuo judančio skysčio sluoksnio

Skysčio sluoksnio aukštis yra 20 mm. Jo apatinės ribos horizontalusis greitis lygus nuliui, o viršutinė riba juda į dešinę 0.100 m/s greičiu. Nustatykime, kad horizontalusis greitis tiesiškai didėja kylant aukštyn, o vertikaliojo greičio nėra. Srovės linijos yra tiesios. Jei skystyje pažymėsime mažytį kryželį, ar jis gali vietiškai suktis? Kas pasikeis, jei vietoj to sumuosime greitį išilgai viso uždaro kontūro?

Fiksuotoje inercinėje atskaitos sistemoje nukreipkime x ašį į dešinę, y ašį aukštyn, o z ašį iš lapo plokštumos į mus. Greitį užrašykime kaip v = (u, v_y, 0), kur u yra horizontalioji dedamoji, o v_y – vertikalioji. Kai koordinatės išreikštos metrais, duotasis laukas yra u = ay, v_y = 0, čia a = (0.100 m/s)/(0.020 m) = 5 s⁻¹. Šis profilis yra nustatytas kinematinis pavyzdys; pagal jį neprognozuojama klampa, įtempiai, slėgis ar sienelės jėga.

Pirmiausia nagrinėkite greičio reikšmes atskiruose taškuose, pažymėtų linijų palyginimą, stačiakampį kontūrą ir apskritiminių tekėjimų palyginimą. Naudingą pasirengimą suteikia „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ bei „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinimas“. Rotoriaus ir paviršinių integralų žymėjimas paaiškinamas čia; „Gradientas, divergencija, rotorius ir vektorinė analizė“ bei „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“ yra neprivalomos temos, prie kurių galima grįžti nagrinėjant baigiamuosius išvedimus.

Nagrinėkime vietinį greičio kitimą

Greičio gradientas nusako, kaip skiriasi gretimų taškų greičiai tuo pačiu laiko momentu. Čia padidinus y dydžiu 1 mm, u padidėja dydžiu 0.005 m/s. Šių pokyčių santykis yra ∂u/∂y = 5 s⁻¹. Greičio erdvinės išvestinės vienetai yra (m/s)/m = s⁻¹; tai nėra pagreitis.

Sūkuringumas yra greičio vektoriaus rotorius: ω = ∇×v. Šiame plokščiajame lauke tik jo z komponentė gali būti nelygi nuliui: ω_z = ∂v_y/∂x − ∂u/∂y. Teigiama ω_z nukreipta iš lapo plokštumos ir atitinka vietinį sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę; neigiama ω_z nukreipta į lapo plokštumą ir atitinka vietinį sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę.

Duotajame sluoksnyje ∂v_y/∂x = 0 ir ∂u/∂y = 5 s⁻¹, todėl visur ω_z = −5 s⁻¹. Taigi tiesios srovės linijos nereiškia, kad sūkuringumas lygus nuliui. Sūkuringumas susijęs su gretimų taškų greičiais ir vietiniu sukimusi, o ne su tuo, ar skysčio dalelės trajektorija yra kreiva.

Atskirkite vietinį sukimąsi nuo linijos sukimosi

Vietinio sukimosi vektorius yra ω/2. Sluoksnyje jo komponentė išilgai z ašies yra −2.5 s⁻¹. Tai standžiojo sukimosi dalis infinitesimaliajame judėjime. Materialioji linija jungia tas pačias pažymėtas skysčio daleles. Deformuojamas skysčio elementas taip pat tempiamas ir patiria šlytį, todėl konkreti materialioji linija nebūtinai sukasi tokiu kampiniu greičiu.

Pradiniu momentu horizontalios materialiosios linijos kampinis greitis šlyties lauke lygus nuliui, o vertikali linija pakrypsta pagal laikrodžio rodyklę 5 s⁻¹ kampiniu greičiu. Jų kampiniai greičiai su ženklais yra 0 ir −5 s⁻¹. Šios iš pradžių statmenų linijų poros kampinių greičių vidurkis yra −2.5 s⁻¹ ir sutampa su vietinio sukimosi kampiniu greičiu. Kryžiaus statusis kampas taip pat kinta, todėl jo judėjimas nėra standusis sukimasis.

Palyginkite su nurodytu standžiojo sukimosi lauku u = −Ωy, v_y = Ωx, kai Ω = −2.5 s⁻¹. Iš jo išvestinių gaunama ω_z = 2Ω = −5 s⁻¹ ir toks pat vietinio sukimosi kampinis greitis. Dabar abi materialiosios linijos sukasi pagal laikrodžio rodyklę −2.5 s⁻¹ kampiniu greičiu, išlaikydamos savo ilgius ir statųjį kampą. Vienodas sūkuringumas nereiškia vienodos deformacijos.

Pirmajame paveiksle 0.040 s stebimos nuo kiekvieno judančio centro po 4 mm besitęsiančios kryžiaus atkarpos. Esant šlyčiai, horizontali linija lieka horizontali, o vertikalios linijos kampas pakinta −arctan(0.2) ≈ −11.309932°. Esant standžiajam sukimuisi, abiejų linijų kampai pakinta Ωt = −0.1 rad ≈ −5.729578°. Tai tikslūs kampų pokyčiai per baigtinį laiką nurodytuose laukuose. Jų vidurkis nėra bendras vietinio sukimosi apibrėžimas pagal baigtinius kampų pokyčius; ω/2 nusako momentinį vietinio sukimosi kampinį greitį.

Apeikite orientuotą uždarą kontūrą

Cirkuliacija yra integralas Γ_C = ∮_C v·dr išilgai uždaro orientuoto kontūro C. Kiekvienos trumpos atkarpos indėlis yra greičio komponentė apėjimo kryptimi, padauginta iš tos atkarpos ilgio. Kontūras yra integravimo kelias, nebūtinai srovės linija ar skysčio dalelių grupė. Cirkuliacijos vienetai yra (m/s)m = m²/s; ji nėra tūrinis debitas.

Naudokite stačiakampį, kurio ribos yra nuo x = 0 iki 0.040 m ir nuo y = 0 iki 0.020 m. Pasirinkite apėjimą prieš laikrodžio rodyklę, žiūrint iš +z pusės: apatine kraštine į dešinę, dešiniąja kraštine aukštyn, viršutine kraštine į kairę ir kairiąja kraštine žemyn. Ši orientacija atitinka paviršiaus normalę +e_z.

Apatinės kraštinės indėlis lygus nuliui, nes ten u = 0. Vertikalių kraštinių indėliai lygūs nuliui, nes greitis yra horizontalus ir statmenas jų apėjimo kryptims. Viršutinėje kraštinėje u = +0.100 m/s nukreiptas į dešinę, o kontūras apeinamas į kairę, todėl v·t = −0.100 m/s. Padauginę iš 0.040 m, gauname −0.004 m²/s. Bendra cirkuliacija yra neigiama, nors pasirinkome teigiamą kontūro apėjimo kryptį – prieš laikrodžio rodyklę.

Pakeitus kontūro apėjimo kryptį į priešingą, pasikeičia Γ_C ženklas. Taip pakeičiamas mūsų matuojamo dydžio ženklas, o ne skysčio greitis. Antrajame paveiksle skysčio greičio rodyklės ir kontūro apėjimo rodyklės vizualiai atskirtos, kad šių dviejų krypčių nebūtų galima supainioti.

Cirkuliacijos ir sūkuringumo srauto ryšys

Stokso teorema sieja kreivinį integralą su paviršiniu integralu: Γ_C = ∫_S ω·n dA. Kontūras turi būti leistino paviršiaus S orientuotas kraštas, o normalė n turi būti suderinta su jo orientacija. Greičio laukas tame paviršiuje ir jo aplinkoje turi būti pakankamai glodus. Trūkstamas taškas, neįtraukta šerdis ar lauko trūkis gali neleisti naudoti siūlomo kontūrą dengiančio paviršiaus.

Mūsų stačiakampis visas yra glodžiame šlyties greičio lauke. Jo plotas yra (0.040 m)(0.020 m) = 0.0008 m². Kadangi ω_z = −5 s⁻¹ yra pastovus, o n = +e_z, srautas yra (−5 s⁻¹)(0.0008 m²) = −0.004 m²/s. Šis rezultatas sutampa su keturių kraštinių indėlių suma.

Kai plokštuminis sūkuringumas yra vienodas, cirkuliaciją padaliję iš leistino paviršiaus ploto gauname ω_z. Kai sūkuringumas nevienodas, gauname ω·n vidurkį pagal plotą, o ne vertę kiekviename taške. Teigiamo ir neigiamo sūkuringumo sričių indėliai gali vienas kitą panaikinti, todėl nulinė cirkuliacija aplink vieną didelį uždarą kontūrą neįrodo, kad sūkuringumas visur jo viduje lygus nuliui.

Esant toms pačioms glodumo sąlygoms, leistiną plokščią uždarą kontūrą sutraukę į tašką gauname vietinį sąryšį ω_z = lim Γ_C/A, kai normalė yra +e_z. Cirkuliacija apibūdina visą uždarą kontūrą, o sūkuringumas – vietinį lauką. Juos siejant svarbūs ir plotas, ir orientacija.

Dviejų apskritiminių greičio laukų palyginimas

Dabar palyginkime du nustatytus tekėjimus pagal laikrodžio rodyklę aplink koordinačių pradžią. Sukantis kaip standžiajam kūnui, tangentinis greitis su ženklu yra v_θ = Ωr, kur Ω = −2.5 s⁻¹. R spindulio apskritiminio kontūro, apeinamo prieš laikrodžio rodyklę, cirkuliacija yra Γ_R = 2πR v_θ(R) = 2πΩR². Koordinačių pradžioje laukas yra glodus, o jo pastovus sūkuringumas ω_z = 2Ω duoda tą patį rezultatą integruojant per visą skritulį.

Antrajam laukui nustatykime v_θ = C/r, kur C = −0.00225 m²/s, tik žiede 0.010 ≤ r ≤ 0.060 m. Jo integralas apskritiminiu kontūru yra Γ_R = 2πR(C/R) = 2πC = −0.0045π m²/s ≈ −0.014137 m²/s. Visų išvardytų apskritiminių kontūrų cirkuliacija yra vienoda, nors jų tangentiniai greičiai skiriasi.

Kai R = 0.030 m, abiejų laukų v_θ = −0.075 m/s ir cirkuliacija vienoda. Tačiau jų vietinis sūkuringumas skiriasi: sukantis kaip standžiajam kūnui jis yra −5 s⁻¹, o glodžiame žiediniame lauke – nulinis. Vien greitis apskritime ir cirkuliacija neleidžia nustatyti erdvinio greičio gradiento.

Trečiajame paveiksle abiem laukams naudojamas tas pats fizinio spindulio mastelis ir tas pats cirkuliacijos mastelis. Kvadratinė standžiojo kūno sukimosi kreivė ir pastovi žiedinio lauko kreivė susikerta ties 0.030 m. Abiejų laukų srovės linijos yra apskritiminės; šis panašumas nereiškia, kad jų vietinis sukimasis ar apibrėžimo sritis yra tokie patys.

Atsižvelkite į neįtrauktą centrą

Žiedinėje srityje lauko komponentės Dekarto koordinatėmis yra u = −Cy/(x²+y²), v_y = Cx/(x²+y²). Tiesiogiai diferencijuodami gauname ∂v_y/∂x = ∂u/∂y = C(y²−x²)/(x²+y²)², todėl ten ω_z = 0. Laukas, kurio sūkuringumas lygus nuliui, vadinamas nesūkuriniu. Šis žodis nereiškia, kad takiosios terpės dalelės juda tiesiomis trajektorijomis.

Tai neprieštarauja nenulinei šio lauko cirkuliacijai aplink koordinačių pradžią. Visas skritulys, kurio kraštas būtų vienas iš tų apskritimų, apimtų neįtrauktą vidinę sritį, kurioje nei greitis, nei sūkuringumas nėra apibrėžti. Stokso teoremos glodžiojo paviršiaus sąryšio šiam skrituliui taikyti negalima. Skylės viduje nepriskiriame singuliaraus branduolio, delta funkcija išreiškiamo sūkuringumo ar fizinio branduolio modelio.

Leistinas žiedinis paviršius nuo r = 0.020 m iki r = 0.040 m turi dvi krašto komponentes. Kai normalė yra +e_z, išorinis apskritimas apeinamas prieš laikrodžio rodyklę, o vidinis – pagal laikrodžio rodyklę. Jų indėliai yra −0.0045π ir +0.0045π m²/s; jų suma lygi nuliui, kaip ir turi būti, nes sūkuringumo srautas per šį žiedinį paviršių lygus nuliui.

Bet kurio kontūro, ribojančio glodųjį paviršių, visiškai esantį šioje nesūkurinėje srityje, cirkuliacija lygi nuliui. Centrą juosiančio kontūro negalima sutraukti per neįtrauktą centrą ir kartu likti srityje. Taigi nulinis vietinis rotorius negarantuoja nulinės cirkuliacijos aplink kiekvieną uždarą kontūrą srityje su skyle. Kitoje temoje „Potencialusis tekėjimas“ nagrinėjami su tuo susiję vietiniai ir globalūs greičio potencialo klausimai.

Sekite materialųjį kontūrą

Iki šiol naudoti uždari kontūrai buvo pasirenkami tam tikru laiko momentu. Kelvino cirkuliacijos teoremoje C(t) yra materialusis kontūras: jam judant ir deformuojantis, jį sudaro tos pačios identifikuotos takiosios terpės dalelės. Cirkuliacijos tvermė šiame judančiame kontūre skiriasi nuo klausimo, kaip cirkuliacija kinta aplink savavališkai pasirinktą erdvėje fiksuotą kontūrą.

Pakankamos sąlygos – glodus neklampios takiosios terpės tekėjimas inercinėje atskaitos sistemoje, konservatyviųjų tūrinių jėgų sukeliamas pagreitis ir slėgio jėga masės vienetui, išreiškiama gradientu. Vienodas tankis užtikrina šią slėgio sąlygą. Ją taip pat užtikrina barotropinis sąryšis, kai slėgį lemia tankis. Čia neklampi reiškia, kad į klampiuosius įtempius neatsižvelgiama; konservatyvųjį pagreitį galima išreikšti vienareikšmio skaliarinio potencialo gradientu, taikant bet kurią nuoseklią ženklo konvenciją.

Šiomis sąlygomis dΓ_C(t)/dt = 0. Cirkuliacija gali išlikti nenulinė, o kontūro forma gali kisti. Teorema teigia cirkuliacijos tvermę, o ne kiekvienos dalelės greičio, kiekvienos linijos kampinio greičio ar bet kurios srities judesio kiekio momento tvermę. Ji nereikalauja, kad greičio laukas būtų stacionarus.

Jei kontūrą veikia klampieji įtempiai, tankio ir slėgio gradientai nėra lygiagretūs arba tūrinių jėgų sukeliamas pagreitis nėra konservatyvus, pakankamos sąlygos netenkinamos. Tuomet cirkuliacija gali kisti. Mūsų trys nustatyti greičio laukai šių mechanizmų kiekybiškai neaprašo. Klampa, Reinoldso skaičius ir Navjė–Stokso lygtys – vėlesnė tema, skirta išsamiai nagrinėti klampiąją dinamiką.

Suprasti sūkurių tempimą

Sūkurio linija – tai kreivė, kurios liestinė sutampa su sūkuringumo vektoriaus kryptimi ten, kur šis vektorius nenulinis. Ji skiriasi nuo srovės linijos, kurios liestinė sutampa su greičio kryptimi. Sūkurio linijų pluoštas sudaro sūkurio vamzdelį, per kurio šoninį paviršių normalinis sūkuringumo srautas lygus nuliui. Kadangi glodaus rotorinio lauko divergencija lygi nuliui, suderinti sūkuringumo srautai per skirtingus vamzdelio skerspjūvius tuo pačiu laiko momentu yra vienodi.

Vykstant glodžiam judėjimui, išsaugančiam cirkuliaciją, sūkurio linijos juda kartu su takiąja terpe. Jei materialusis skerspjūvis mažėja, o jo cirkuliacija išlieka pastovi, vidutinio ašinio sūkuringumo modulis didėja. Taigi tempimas gali sustiprinti vietinį sūkuringumą nesukurdamas papildomos cirkuliacijos.

Sąlyginiam tiesaus vamzdelio palyginimui imkime pradinę Γ = −0.010 m²/s, tolygų ašinį sūkuringumą 0.002 m² plote ir vėlesnį 0.001 m² plotą. Laikoma, kad Kelvino sąlygos tenkinamos. Atitinkamos sūkuringumo vertės yra Γ/A = −5 s⁻¹ ir −10 s⁻¹. Jei tos pačios terpės dalies ilgis, esant pastoviam tankiui, padidėja nuo 0.020 m iki 0.040 m, abu tūriai yra 0.000040 m³. Tai iliustruoja nesuspaudžiamos terpės trimatį tempimą; tai nėra išsamus slėgio lauko ar tekėjimo trajektorijų sprendinys.

Griežtai dvimačiame nesuspaudžiamos terpės judėjime, kai nėra priklausomybės nuo z, šio tempimo mechanizmo nėra. Esant toms pačioms glodumo, neklampumo ir konservatyvumo sąlygoms, dalelės skaliarinis dydis ω_z išlieka pastovus. Trimatis tempimas, plokštuminė deformacija ir cirkuliacijos susidarymas neturėtų būti laikomi tarpusavyje pakeičiamais procesais.

Pasirenkamas grįžimas: gradiento ir pernašos dėsniai

Išnagrinėję pažymėtų linijų ir kontūrų palyginimus, grįžkite prie matricų ir kitimo formulių. Apibrėžkime L_ij = ∂v_i/∂x_j. Išskaidykime greičio gradientą: L = D + W, kur D = (L+Lᵀ)/2, o W = (L−Lᵀ)/2. D aprašo vietinį tempimą ir šlytį; antisimetriškoji dalis W veikia kaip standusis sukimasis, kurio ašinis vektorius yra ω/2. Šlyties atveju L = [[0,5],[0,0]] s⁻¹, D = [[0,2.5],[2.5,0]] s⁻¹ ir W = [[0,2.5],[−2.5,0]] s⁻¹. Standžiojo sukimosi atveju D lygi nuliui, o W yra tokia pati.

Materialiajam kontūrui diferencijuojant gaunama dΓ/dt = ∮_C(t) (Dv/Dt)·dr. Linijos elementų judėjimas prideda ∮v·dv = ∮d(|v|²/2) = 0, nes kontūras uždaras. Materialioji išvestinė yra D/Dt = ∂/∂t + v·∇: ji seka tą pačią judančią medžiagą, o ne fiksuotą padėtį.

Oilerio judesio kiekio lygtis yra Dv/Dt = −(1/ρ)∇p + b, kur p yra slėgis, ρ – tankis, o b – tūrinių jėgų sukeliamas pagreitis. Kai tankis pastovus, −(1/ρ)∇p = −∇(p/ρ). Esant glodžiai barotropinei priklausomybei p = p(ρ), kai ρ > 0, apibrėžkime H(ρ) = ∫[p′(s)/s] ds, kur s yra tankio kintamasis. Tuomet ∇H = (1/ρ)∇p, ir nereikia rasti atvirkštinės p(ρ) priklausomybės. Kai b = −∇Φ, o potencialai kontūre yra vienareikšmiai, pagreitis yra −∇(H+Φ) arba atitinkama jo išraiška pastovaus tankio atveju. Jo integralas uždaru kontūru lygus nuliui, ir taip gaunama Kelvino teorema.

Glodžiam nesuspaudžiamos terpės tekėjimui, kai tankis vienodas, o tūrinių jėgų sukeliamas pagreitis konservatyvus, pritaikius rotorių neklampiuoju atveju gaunama Dω/Dt = (ω·∇)v. Dešinioji pusė aprašo tempimą ir krypties pasvirimą. Jei į šį nesuspaudžiamos, vienodo tankio niutoninės terpės modelį įtraukiama pastovi kinematinė klampa ν, atsiranda difuzijos narys ν∇²ω. Jo matavimo vienetai yra (m²/s)(s⁻¹/m²) = s⁻². Kintamoms medžiagos savybėms ar suspaudžiamos terpės tekėjimui reikia savų narių ir prielaidų; tai nėra bendras visų takiųjų terpių modelių pakaitalas.

Vienas cirkuliacijos susidarymo mechanizmas matomas ir nenaudojant visos klampųjį tekėjimą aprašančios lygties: ∇×[−(1/ρ)∇p] = (∇ρ×∇p)/ρ². Nelygiagretūs tankio ir slėgio gradientai gali sukurti sūkuringumą. Barotropinis sąryšis pašalina šį šaltinį, tačiau savaime nepašalina visų galimų klampos ar išorinio poveikio indėlių.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Atskirame 0.030 m aukščio sluoksnyje horizontalusis greitis apačioje lygus nuliui, o viršuje yra −0.120 m/s. Nustatykite tokį pat tiesinį greičio profilį be vertikaliojo greičio. Raskite ω_z ir vietinį sukimosi kampinį greitį apie z ašį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Gradientas yra −4 s⁻¹, todėl ω_z = +4 s⁻¹, o vietinis sukimosi kampinis greitis yra +2 s⁻¹, prieš laikrodžio rodyklę.

   Padalykite −0.120 m/s iš 0.030 m ir gausite ∂u/∂y = −4 s⁻¹. Kadangi ∂v_y/∂x = 0, skaičiuojant rotorių šis neigiamas gradientas atimamas. Pakeitus srauto profilio ženklą, pasikeičia fizinio sukimosi ženklas.

2. Pradiniame u = (5 s⁻¹)y lauke apeikite stačiakampį prieš laikrodžio rodyklę nuo x = 0.010 iki 0.070 m ir nuo y = 0.002 iki 0.017 m. Raskite apatinės ir viršutinės kraštinių indėlius bei bendrą cirkuliaciją.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apatinės kraštinės indėlis yra +0.0006 m²/s, viršutinės kraštinės indėlis −0.0051 m²/s, o bendra cirkuliacija Γ = −0.0045 m²/s.

   Plotis yra 0.060 m. Greičiai ties apatine ir viršutine kraštinėmis yra 0.010 ir 0.085 m/s; šios kraštinės apeinamos atitinkamai +x ir −x kryptimis. Vertikaliųjų kraštinių indėliai lieka lygūs nuliui. Jų suma taip pat lygi (−5 s⁻¹)(0.060 m)(0.015 m). Perkėlus kontūrą, pasikeičia kiekvienos horizontaliosios kraštinės indėlis, tačiau dėl vienodo rotoriaus bendras rezultatas priklauso nuo kontūro orientuotojo ploto.

3. Apeikite pradinį 0.040 m ir 0.020 m kraštinių stačiakampį šlyties sraute pagal laikrodžio rodyklę. Kokią su apėjimo kryptimi suderintą paviršiaus normalę reikia naudoti ir kokie yra cirkuliacija bei sūkuringumo srautas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naudokite normalę −e_z. Ir cirkuliacija, ir su ja suderintas sūkuringumo srautas yra +0.004 m²/s.

   Pakeitus kontūro apėjimo kryptį į priešingą, pasikeičia kreivinio integralo ženklas. Pakeitus suderintos paviršiaus normalės kryptį į priešingą, ω·n taip pat pasikeičia nuo −5 iki +5 s⁻¹. Paties skysčio sūkuringumas pradinėje fiksuotoje atskaitos sistemoje tebėra ω_z = −5 s⁻¹.

4. Duotajam žiedinėje srityje apibrėžtam laukui, kurio greitis atvirkščiai proporcingas spinduliui, naudokite paviršių nuo r = 0.020 iki 0.040 m su normale +e_z. Nurodykite abiejų ribų apėjimo kryptis ir jų cirkuliacijas. Ar šį paviršių galima pakeisti pilnu skrituliu, apimančiu neįtrauktą centrą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Išorinė riba apeinama prieš laikrodžio rodyklę, jos Γ = −0.0045π m²/s; vidinė riba apeinama pagal laikrodžio rodyklę, jos Γ = +0.0045π m²/s. Jų suma lygi nuliui. Pilnas skritulys neleistinas.

   Visas žiedas yra glodžiame lauke, kurio rotorius lygus nuliui, todėl pagal Stokso teoremą srautas lygus nuliui. Pilnas skritulys apimtų neįtrauktą vidinę sritį, kurioje nei greitis, nei sūkuringumas nėra duoti. Ignoruojant vidinę ribą, būtų pakeistas kontūras, o ne apskaičiuotas srautas per tą patį paviršių.

5. Tarkime, kad tiesiam materialiajam sūkuriniam vamzdeliui, nukreiptam išilgai z ašies, galioja nurodytos Kelvino teoremos sąlygos glodžiam srautui, o žiūrint iš +z pusės kontūras apeinamas prieš laikrodžio rodyklę. Pradinė cirkuliacija yra −0.010 m²/s. Vienodas ašinis sūkuringumas iš pradžių apima 0.002 m² plotą, o vėliau – 0.001 m² plotą. Materialiojo vamzdelio ilgiai yra 0.020 ir 0.040 m; tankis išlieka 1000 kg/m³. Palyginkite cirkuliaciją, ašinį sūkuringumą, tūrį ir masę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Cirkuliacija išlieka −0.010 m²/s. Ašinis sūkuringumas pasikeičia nuo −5 iki −10 s⁻¹. Abu tūriai yra 0.000040 m³, o abi masės – 0.040 kg.

   Kelvino teorema užtikrina materialiojo kontūro cirkuliacijos tvermę, kai tenkinamos nurodytos neklampumo, barotropiškumo ir jėgų konservatyvumo sąlygos. Kai ašinis sūkuringumas vienodas, Γ = ω_z A, todėl plotui sumažėjus perpus, sūkuringumo dydis padvigubėja, o ženklas išlieka. Ploto ir materialiojo ilgio sandauga nekinta, o masė lygi tankio ir tūrio sandaugai. Dvi pateiktos būsenos iliustruoja nesuspaudžiamos terpės trimatį tempimą; nei visa dinamika, nei šerdies profilis nebuvo apskaičiuoti.

Ką verta įsidėmėti

• Sūkuringumas yra vietinis greičio rotorius, kurio matavimo vienetas yra s⁻¹; vietinis sukimosi greitis yra ω/2. Konkreti materialioji linija gali suktis kitaip, nes ji dar ir deformuojasi.
• Tiesių srovės linijų tekėjimo sūkuringumas gali būti nenulinis, o apskritų srovės linijų tekėjimas nurodytoje srityje gali būti nesūkuringas.
• Cirkuliacija yra greičio integralas išilgai orientuoto uždaro kontūro, kurio matavimo vienetas yra m²/s. Pakeitus kontūro apėjimo kryptį, pasikeičia jos ženklas.
• Stokso teoremai reikia glotnaus, leistino paviršiaus, kurio kraštas yra kontūras, ir suderintos orientacijos. Nulinis rotorius srityje su skyle nebūtinai reiškia nulinę cirkuliaciją aplink tą skylę.
• Kelvino teorema taikoma judančiam materialiajam kontūrui ir reikalauja nurodytų glodumo, neklampumo, slėgio ir tūrinių jėgų sąlygų; ji nėra bendras tvermės dėsnis, galiojantis bet kuriam nejudančiam kontūrui.
• Cirkuliacijos tvermė neprieštarauja trimačio sūkuringumo stiprėjimui, kai materialusis sūkurinis vamzdelis ilgėja, o jo skerspjūvis mažėja.