Oilerio lygtis ir Bernulio principas

Du taškai viename sraute

Skystis teka per tolygiai siaurėjančią idealaus tekėjimo sritį. Dviejuose jos ašinės linijos taškuose skysčio greičio modulis yra 2 m/s ir 6 m/s. Abu taškai yra tame pačiame aukštyje. Absoliutusis slėgis prieš srovę esančiame taške yra 150 kPa. Jei tekėjimo vaizdas nekinta, ar judanti skysčio dalelė vis tiek gali greitėti? Koks slėgis atitiktų spartesnį judėjimą pasroviui esančiame taške?

Slėgis p yra vietinė skysčio sukeliama statmena jėga ploto vienetui; jo vienetas yra paskalis, Pa = N/m². Greitis nusako ir judėjimo kryptį, ir spartą tam tikroje vietoje. Greičio modulis V yra šio greičio vektoriaus modulis, matuojamas m/s. Srovės linija – tai kreivė, kurios liestinė kiekviename taške sutampa su vietinio greičio kryptimi tam tikru laiko momentu. Abu mūsų taškai yra toje pačioje srovės linijoje. Esant stacionariam tekėjimui, fiksuotoje vietoje stebimas laukas laikui bėgant nekinta.

Šiame pradiniame idealizuotame pavyzdyje laikykime, kad tankis yra pastovus, ρ = 1000 kg/m³, ir nepaisykime klampos įtempių. Slėgis ir sunkio jėga vis tiek veikia. Šios vertės apibūdina modelį, o ne išmatuotas skysčio savybes ar klampaus tekėjimo per tūtelę eksperimentą. Pirmiausia atliksime skaičiavimus ašinėje linijoje, o paskui pateiksime visą glodų greičio ir slėgio lauką kaip neprivalomą patikrą.

Skaitydami pirmą kartą, sekite judančią dalelę, slėgio jėgų balansą, tris Bernulio narius ir sukamojo tekėjimo kontrpavyzdį. Žinioms atnaujinti galima rinktis paskelbtus tekstus „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ ir „Niutono dėsniai ir kūną veikiančių jėgų diagramos“. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ padeda suprasti vėliau pateikiamą lauko išvedimą. Gretimame tekste „Masės, judesio kiekio ir energijos tvermė“ nagrinėjami bendresni balansai; dabar reikalingas vietinis balansas paaiškintas toliau.

Sekite dalelę stacionariame lauke

Įsivaizduokite, kad stovite prie pirmojo taško: kada bežiūrėtumėte, vietinis greitis yra toks pats. Pro tą tašką judanti dalelė vėliau pasiekia vietas, kuriose greitis kitoks. Jos pagreitis priklauso nuo greičių, kuriuos ji patiria judėdama savo trajektorija. Stacionarumas apibūdina lauką fiksuotose vietose; tai nereiškia, kad kiekvienos judančios dalelės greitis išlieka toks pats.

Greičio lauką užrašykime kaip u(x,t). Materialioji išvestinė D/Dt reiškia kitimo spartą sekant skysčio dalelę. Jos pagreitis yra Du/Dt = ∂u/∂t + (u·∇)u. Pirmasis narys nusako vietinį kitimą laike fiksuotoje vietoje. Antrasis – kitimą, atsirandantį judant erdvėje kintančiame lauke. Gradiento simbolis ∇ apima erdvines išvestines; u·∇ jas pasveria pagal dalelės vietinio greičio komponentes.

Išilgai mūsų tiesios centrinės linijos x kinta nuo 0 iki 1 m ir yra nukreiptas pasroviui. Nustatykime V(x) = U + kx, kur U = 2 m/s ir k = 4 s⁻¹. Kai judėjimas stacionarus, ∂V/∂t = 0, tačiau a_x = V dV/dx = kV. Dalelei judant pasroviui, pagreitis centrinėje linijoje didėja nuo +8 m/s² iki +24 m/s². Kai x = 0.5 m, V = 4 m/s ir a_x = +16 m/s².

Pagreitis taip pat gali atsirasti kintant judėjimo krypčiai, bet nekintant greičio moduliui. Apskritimine srovės linija judanti dalelė turi į centrą nukreiptą įcentrinį pagreitį. Oilerio lygtis apima ir šį krypties kitimą, ir ką tik apskaičiuotą judėjimą didėjant greičio moduliui. Todėl horizontali greičio kitimo laike kreivė vienoje fiksuotoje vietoje nėra pakankamas pagrindas teigti, kad dalelės pagreitis lygus nuliui.

Slėgio ir tūrinės jėgos balansas

Pritaikykime antrąjį Niutono dėsnį mažam judančiam neklampaus fluido tūrio elementui. Slėgis veikia visas jo sieneles. Jei slėgis priešsrovinėje sienelėje yra šiek tiek didesnis nei pasrovinėje, šis skirtumas sukuria pasroviui nukreiptą jėgą. Tūrio vienetui tenkanti atstojamoji slėgio jėga yra −∇p. Šis ženklas rodo, kad slėgio jėgos indėlis nukreiptas slėgio mažėjimo kryptimi.

Oilerio lygtis inercinėje atskaitos sistemoje yra ρ[∂u/∂t + (u·∇)u] = −∇p + ρb. Čia b yra masės vienetui tenkanti tūrinė jėga, išreikšta m/s². Kai z nukreiptas aukštyn, sunkio jėgai b = −g e_z ir g = 9.81 m/s². Slėgis yra kontaktinė jėga, pasiskirsčiusi tūrio elemento sienelėse; sunkio jėga veikia visą jo masę. Neklampumas reiškia, kad šiame judesio kiekio balanse nepaisoma klampiųjų įtempių, o ne slėgio ar pagreičio.

Horizontalioje centrinėje linijoje sunkio jėga neturi x komponentės. Taigi dp/dx = −ρa_x = −ρkV. Reikalingas gradientas yra −8000 Pa/m, kai x = 0, ir −24000 Pa/m, kai x = 1 m. Išilgai šios centrinės linijos, kurioje judėjimas greitėja, slėgis turi mažėti. Integruodami gauname p(x,0,0) = 150000 Pa − ρ[Ukx + k²x²/2]. Tarp dviejų galinių taškų jis sumažėja 16000 Pa.

Pati Oilerio lygtis gali aprašyti nestacionarų tekėjimą ir kintamą tankį. Tokiais atvejais kartu reikia masės balanso ir tinkamo fluido būseną nusakančio sąryšio; vien Oilerio lygtis nenustato visų nežinomųjų. Ramybės būsenoje jos komponentė sunkio jėgos kryptimi supaprastėja iki dp/dz = −ρg. Toliau pateiktas Bernulio sąryšis stacionariam pastovaus tankio tekėjimui yra tam tikromis sąlygomis gaunama Oilerio lygties išvada, o ne bet kurio judesio kiekio ar energijos balanso pakaitalas.

Integravimas išilgai srovės linijos

Tegu s žymi atstumą išilgai stacionarios tėkmės srovės linijos judėjimo kryptimi. Pagreičio komponentė šia kryptimi yra V dV/ds. Jei sunkio jėga yra vienintelė tūrinė jėga, projektuojant Oilerio lygtį į šią kryptį gaunama V dV/ds = −(1/ρ)dp/ds − g dz/ds. Tai vietinis jėgų balansas: kintant greičiui, kartu kinta slėgis ir aukštis.

Esant nurodytam pastoviam tankiui, integruojame išilgai vienos srovės linijos: B = p/ρ + V²/2 + gz yra pastovus dydis. Tai Bernulio principas, išreikštas energija masės vienetui. Kiekvieno nario matavimo vienetai yra J/kg = m²/s². Dviem tos pačios srovės linijos taškams galioja p₁/ρ + V₁²/2 + gz₁ = p₂/ρ + V₂²/2 + gz₂.

Šią paprastą formą taikykite glotniai stacionariai neklampiai tėkmei, kai tankis pastovus, o tūrinė jėga konservatyvi. Sunkio jėga yra konservatyvi, nes masės vienetui tenkanti jėga yra −∇(gz). Tarp čia lyginamų taškų nėra siurblio, turbinos, disipacinės smūginės bangos ar reikšmingų klampos nuostolių. Tėkmė gali būti sūkurinė: dydžio pastovumas išilgai vienos srovės linijos savaime nereiškia, kad kitoje srovės linijoje jis turi tą pačią pastovią vertę.

Mūsų vienodame aukštyje esantiems galiniams taškams p₂ = p₁ + ρ(V₁² − V₂²)/2. Pokytis yra 1000(4 − 36)/2 Pa = −16000 Pa, taigi absoliutusis slėgis p₂ = 134000 Pa = 134 kPa. Integruotas dalelės jėgų balansas ir skaičiavimas pagal Bernulio lygtį duoda tą patį rezultatą. Didesnis greitis ir mažesnis slėgis čia susiję todėl, kad abu taškai tenkina nurodytas sąlygas: jie yra toje pačioje srovės linijoje ir tame pačiame aukštyje.

Slėgio, greičio ir aukščio narių interpretacija

Slėgio narys p/ρ šiame mechaniniame balanse nusako slėgio jėgų darbą masės vienetui, atliekamą tekant fluidui; V²/2 yra kinetinė energija masės vienetui, o gz – sunkio potencinė energija masės vienetui. Jų suma B nėra visa fluido termodinaminė energija: vidinė energija į šią trijų narių išraišką neįtraukta. Aukščiau pagal tėkmę esančiame taške šie nariai yra 150, 2 ir 0 J/kg, todėl B = 152 J/kg.

Padauginus iš pastovaus tankio ρ, gaunama p + q_d + ρgz = ρB, kur q_d = ρV²/2 vadinamas dinaminiu slėgiu. Jo matavimo vienetai yra slėgio vienetai, o jis pats atitinka kinetinės energijos narį. Tai nėra papildomas izotropinis slėgis, kurį reikėtų pridėti prie kiekvieno fluido paviršinių įtempių vektoriaus. Mūsų žemiau pagal tėkmę esančiame taške centrinėje linijoje p = 134 kPa, o q_d = 18 kPa; jų suma tame pačiame aukštyje yra 152 kPa.

Atskiram palyginimui palikime tą pačią būseną aukščiau pagal tėkmę, bet nurodykime žemiau pagal tėkmę esantį tašką, kuriame V = 6 m/s, o z = 1 m. Gravitacinis narys tampa 9.81 J/kg, todėl slėgio narys šiame taške yra 152 − 18 − 9.81 = 124.19 J/kg. Gautas absoliutusis slėgis yra 124.19 kPa. Šiam atskiram palyginimui su tašku didesniame aukštyje galioja tas pats sąlyginis Bernulio sąryšis; neteigiama, kad šis taškas priklauso horizontaliam plokščiajam laukui.

Padaliję B iš g, gauname pilnutinį slėgio aukštį H = p/(ρg) + V²/(2g) + z; visi nariai išreiškiami metrais. Slėgio, greičio ir geometrinio aukščio nariai gali keistis vienas kito sąskaita, o H tame pačiame idealiame palyginime lieka pastovus. Naudokite bendrą slėgio atskaitą: prie kiekvieno slėgio pridėjus tą pačią konstantą, B ir H pasislenka, bet jų skirtumai nepasikeičia. Absoliutusis slėgis reikalingas tikrinant fizinę slėgio ribą, pavyzdžiui, susijusią su fazės virsmu.

Palyginkite statinį ir stabdymo slėgį

Statinis slėgis yra vietinis slėgis p net ir tada, kai fluidas juda. Stabdymo slėgis p₀ yra slėgis, pasiekiamas vietinį srautą tolygiai sustabdžius pagal nurodytą idealų procesą. Šiame stacionaraus, pastovaus tankio, neklampaus tekėjimo palyginime tame pačiame aukštyje p₀ = p + ρV²/2. Centrinės linijos taške, kuriame greitis didesnis, p₀ = 134 kPa + 18 kPa = 152 kPa. Fluidas prie zondo galiuko gali vietiškai sustoti, nors kitur jis ir toliau teka.

Pito ir statinio slėgio matavimo sistema palygina slėgį į srautą atsuktoje stabdymo slėgio matavimo angoje su slėgiu statinio slėgio atvamzdyje. Idealiomis sąlygomis V = √[2(p₀ − p)/ρ]. Kai atskirai pateiktas skirtumas p₀ − p = 5000 Pa, o ρ = 1000 kg/m³, pagal šią formulę V = √10 m/s ≈ 3.162278 m/s. Skirtumas, tankis ir vienetai yra būtini; vien statinio slėgio nepakanka greičiui nustatyti.

Tuo pačiu principu galima įvertinti idealų ištekėjimo greitį. Palyginkime didelio rezervuaro laisvąjį paviršių su laisvąja čiurkšle, kai abiem atvejais veikia tas pats nustatytas aplinkos slėgis. Jei laisvojo paviršiaus greitis yra nereikšmingas, o jo aukštis virš ištekėjimo angos yra h, pagal kvazistacionaraus neklampaus tekėjimo modelį V = √(2gh). Kai h = 0.2 m, gaunama maždaug 1.980909 m/s. Tai idealus greitis, o ne išmatuotas debitas, nuostolių koeficientas ar visos rezervuaro ištuštėjimo eigos prognozė.

Skirtinguose aukščiuose p + ρV²/2 nebūtinai yra pastovus, net jei B yra pastovus: kinta ir sunkio narys. Tikras zondas turi būti tinkamai orientuotas, slėgis turi būti tinkamai matuojamas, o fluido tekėjimo režimas turi atitikti taikymo sąlygas. Dėl spūdumo, smūginės bangos, disipacijos ar užsikimšusio atvamzdžio paprasta slėgių skirtumo formulė gali nebegalioti. Didesnis dinaminio slėgio narys apibūdina šį kinetinį mastą, bet neįrodo, kad kiekvienas matuojamas slėgis turi mažėti.

Skirtingų srovės linijų konstantų nesutapatinkite

Dabar atskirai užduokime stacionarų idealiojo fluido tekėjimą, kai fluidas horizontalioje plokštumoje sukasi kaip kietasis kūnas. Jo greitis yra u = (−Ωy, Ωx, 0), kur Ω = 2 rad/s. Atstumu r nuo ašies jo greičio modulis yra V = Ωr, o srovės linijos, kurių spindulys teigiamas, yra apskritimai. Dalelė turi į vidų nukreiptą radialinį pagreitį a_r = −Ω²r, nors laukas yra stacionarus.

Laikykime, kad slėgis atskaitos ašyje yra 100000 Pa. Į vidų nukreiptai slėgio jėgai reikia, kad dp/dr = ρΩ²r, todėl, kai z = 0, p(r) = 100000 Pa + ρΩ²r²/2. Kai r = 0.5 m, greitis yra 1 m/s, o slėgis – 100.5 kPa. Kai r = 1 m, jie yra atitinkamai 2 m/s ir 102 kPa. Šiame radialiniame palyginime didėja ir slėgis, ir greitis, nes kertame skirtingas apskritimines srovės linijas, o ne sekame vieną srovės liniją, išilgai kurios srautas greitėja.

Bernulio dydis toje plokštumoje yra B(r) = 100 J/kg + Ω²r². Apskritime, kurio r = 0.5 m, jis lygus 101 J/kg, o apskritime, kurio r = 1 m, – 104 J/kg. Kiekviename apskritime r nekinta, todėl B išilgai tos srovės linijos yra pastovus. Ašis r = 0 suteikia atskaitos vertę; ji nėra apskritiminė srovės linija. Šiame pavyzdyje nemodeliuojamas įsukimas, sienelių sukimo momentas, klampa ir laisvasis paviršius.

Pakankama stipresnė sąlyga, kad B būtų vienodas erdvėje, yra nesūkurinis tekėjimas: ∇×u = 0, kartu taikant tas pačias stacionaraus, neklampaus, pastovaus tankio tekėjimo ir konservatyviųjų jėgų prielaidas jungioje glodžioje srityje. Simbolis ∇×u žymi sūkuringumą – vietinio fluido sukimosi matą; jis bus nagrinėjamas kitoje planuojamoje temoje „Sūkuringumas ir cirkuliacija“. Kaip rodo pavyzdys, sūkurinio tekėjimo srovės linijų konstantos gali skirtis. Nesūkuringumas yra pakankama sąlyga, o ne teiginys, kad kiekviename sūkuriniame tekėjime konstantos būtinai turi skirtis.

Patikrinkite tankio, laiko ir nuostolių režimą

Pastovus tankis – aiškiai pasirinkta modelio prielaida. Jei tankis kinta, bet yra vienareikšmė slėgio funkcija, fluidas yra barotropinis, o stacionaraus tekėjimo integrale išilgai srovės linijos slėgio narys tampa ∫ dp/ρ(p). Bendruoju atveju jo negalima pakeisti p/ρ. Jei tankis nepriklausomai priklauso nuo temperatūros ar sudėties, reikia papildomos termodinaminės informacijos. Čia pateiktos pastovaus tankio formulės nėra didelio greičio dujų tekėjimo taisyklė.

Nenustovėjusio judėjimo atveju narys ∂u/∂t išlieka, todėl paprastasis nusistovėjusio tekėjimo dydis B nebūtinai yra pastovus išilgai momentinės srovės linijos. Papildomai galima gauti stipresnį rezultatą, kai glodus neklampus pastovaus tankio tekėjimas yra nesūkurinis ir turi greičio potencialą φ, kuriam u = ∇φ. Veikiant sunkio jėgai, toje jungioje srityje galioja ∂φ/∂t + |∇φ|²/2 + p/ρ + gz = C(t). Laiko išvestinės narys yra svarbus; šis rezultatas nesuteikia pagrindo taikyti nusistovėjusio tekėjimo formulę bet kokio tekėjimo paleidimo metu.

Realiame klampiame tekėjime mechaninė energija gali virsti vidine energija. Pavyzdžiui, slėgio kritimas horizontaliame vamzdyje, kuriame greitis nekinta, gali būti susijęs su trintimi, o ne su kinetinės energijos didėjimu. Mechaninės energijos nuostolių, išreikštų aukščio vienetais, arba mašinos darbo nariams reikia tinkamo išplėstinio balanso ir duomenų; jų negalima atkurti tiesiog nepagrįstai laikant idealią trijų narių sumą pastovia. Greta esančioje pamokoje apie tvermę aptariama visa energijos apskaita. Ribinius sluoksnius, srauto atitrūkimą ir turbulenciją reikia vertinti atskirai, net kai išorinė sritis aproksimuojama kaip neklampi.

Prieš skaičiuodami įvardykite lyginamus taškus, jų ryšį su srovės linijomis, aukštį, slėgio atskaitą, tankio režimą ir priklausomybę nuo laiko. Nuspręskite, ar svarbūs klampos nuostoliai arba mašina ir ar tekėjimas išlieka glodus bei vienfazis. Bernulio lygtis sieja jau nustatytus tekėjimo ir slėgio laukus; ji neleidžia pagal šūkį nustatyti nežinomos tekėjimo geometrijos. Ji taip pat nereiškia, kad fluido tekėjimo skirtingomis objekto pusėmis trukmės yra vienodos.

Grįžimas prie viso idealaus lauko

Šis papildomas lauko patikrinimas paaiškina, kaip centrinės linijos pavyzdys dera su visu glodžiu modeliu. Naudokite u = (U + kx, −ky, 0) su nurodytomis U ir k vertėmis. Šio lauko divergencija yra k − k = 0, todėl tenkinamas pastovaus tankio tūrio balansas. Didėjančią pasrovinę dedamąją lydi skersinė dedamoji −ky; tiesiog užrašius u = (U + kx, 0, 0), šis nespūdumo patikrinimas nebūtų tenkinamas.

Nusistovėjusio tekėjimo srovės linija tenkina dy/dx = u_y/u_x = −ky/(U + kx). Šios lygties sprendinys yra y(x) = y(0)U/(U + kx). Pasirinkite dvi ribines srovės linijas, kurioms y(0) = ±0.05 m, ir 0.03 m plotį z kryptimi. Jų apriboto skerspjūvio plotas mažėja didėjant ašiniam greičiui, todėl tūrinis debitas išlieka 0.006 m³/s. Neklampaus tekėjimo ribos leidžia tangentinį slydimą, tačiau per jas nėra tekėjimo normalės kryptimi; tai nėra klampaus tekėjimo prie sienelės sprendinys su neslydimo sąlyga.

Tiesiogiai diferencijuojant gaunama (u·∇)u = (k(U + kx), k²y, 0). Slėgio laukas p = 150000 Pa − ρ[Ukx + k²(x² + y²)/2 + gz] sukuria ašines ir skersines slėgio jėgas, o jo gradientas z kryptimi atsveria sunkio jėgą. Šio lauko vertės centrinėje linijoje, kur y = z = 0, pateiktos ankstesnėje lentelėje. Išlaikomas skersinis slėgio kitimas, o ne daroma prielaida, kad slėgis kiekviename skerspjūvyje yra vienodas.

Čia ∇×u = 0, o greičio potencialas yra φ = Ux + k(x² − y²)/2. Į B įstačius visą greičio ir slėgio išraišką, išnyksta priklausomybė tiek nuo x, tiek nuo y: B = 150 J/kg + 2 J/kg = 152 J/kg. Šis tikslus idealus laukas paaiškina, kodėl šiame pavyzdyje pagrįsta visame lauke taikyti vieną konstantą. Atskirai nagrinėjamas sūkurinis laukas šios nesūkurinio tekėjimo sąlygos netenkina. Išvedimais tikrinami nurodyti modeliai; jais nenustatomi matuojamo įrenginio nuostoliai ar fluido tekėjimo režimas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kokios yra vietinė greičio išvestinė laiko atžvilgiu, skysčio dalelės pagreitis ir slėgio gradientas ties x = 0.5 m duotajame greičio lauke išilgai centrinės linijos V = 2 + 4x, išreikštame SI vienetais?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∂V/∂t = 0, a_x = +16 m/s² ir dp/dx = −16000 Pa/m.

   Laukas yra stacionarus, tačiau V = 4 m/s ir dV/dx = 4 s⁻¹. Todėl judančios dalelės pagreitis yra V dV/dx = 16 m/s². Pagal Oilerio lygtį horizontaliąja kryptimi dp/dx = −ρa_x, kai ρ = 1000 kg/m³.

2. Idealiuoju atveju palyginus slėgį sąstingio taške ir vietinį slėgį tame pačiame aukštyje duotajame pastovaus tankio skystyje, gaunama p₀ − p = 5000 Pa. Koks greitis iš to gaunamas ir kokį slėgių skirtumą naudojote?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   V = √10 m/s ≈ 3.162278 m/s, naudojant sąstingio slėgio ir vietinio statinio slėgio skirtumą.

   Naudokite V = √[2(p₀ − p)/ρ], kai ρ = 1000 kg/m³. Vien statinis slėgis greičio nenustatytų. Rezultatas remiasi prielaida, kad neklampusis skystis sklandžiai lėtėja iki rimties stacionariame sraute, tame pačiame aukštyje, taikant nurodytą tankio modelį.

3. Ar atskirame aukščiau esančiame taške, kuriame p = 124190 Pa, V = 6 m/s ir z = 1 m, p + ρV²/2 yra lygu 152000 Pa?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jis lygus 142190 Pa; sunkio narys ρgz = 9810 Pa papildo Bernulio slėgių sumą.

   Kinetinis narys lygus 18000 Pa. Pridėję jį prie vietinio statinio slėgio, gausite vietinį pilnutinį slėgį tame pačiame aukštyje. Tos pačios srovės linijos Bernulio invariantas apima ir aukščio narį, todėl vien pilnutinis slėgis skirtinguose aukščiuose nebūtinai sutampa.

4. Pateiktame sukimosi lauke raskite greitį, statinį slėgį ir B, kai r = 0.75 m ir z = 0. Ar didesnis slėgis šiame taške reiškia lėtesnį judėjimą nei ties r = 0.5 m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   V = 1.5 m/s, p = 101125 Pa ir B = 102.25 J/kg. Ne: ir slėgis, ir greitis yra didesni.

   V = Ωr ir p − p_axis = ρΩ²r²/2 = 1125 Pa. Kinetinis narys lygus 1.125 J/kg, todėl B = 101.125 + 1.125 = 102.25 J/kg. Abu spinduliai atitinka skirtingas apskritimines srovės linijas; supaprastintas palyginimas, taikomas viename aukštyje esančios tos pačios srovės linijos taškams, čia netinka.

5. Didelio rezervuaro laisvasis paviršius yra 0.2 m aukščiau už laisvąją čiurkšlę. Abiejose vietose aplinkos slėgis vienodas, o paviršiaus judėjimo greitis yra nykstamai mažas. Koks ištekėjimo greitis gaunamas laikant tekėjimą kvazistacionariuoju ir idealiuoju?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   V = √(2 × 9.81 × 0.2) m/s ≈ 1.980909 m/s.

   Vienodi aplinkos slėgio nariai susiprastina; atmetus nykstamai mažą kinetinį narį prieš ištekėjimą, lieka gh = V²/2. Tai įvertis tos pačios srovės linijos taškams, neatsižvelgiant į klampą. Tikriesiems nuostoliams, nenykstamam paviršiaus judėjimo greičiui ar tekėjimo pradžiai įvertinti reikėtų papildomos informacijos; viso ištuštėjimo laiko iš šio įverčio nustatyti negalima.

6. Tekėjimas yra neklampus ir stacionarus. Vienu atveju lyginami nesusijusių srovės linijų taškai; kitu atveju tankis kinta su temperatūra nepriklausomai nuo slėgio. Ar šių dviejų faktų pakanka, kad p/ρ + V²/2 + gz visur būtų laikoma ta pačia konstanta?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Dar reikia pagrįsti srovės linijų ryšį ir tankio modelį.

   Išilgai srovės linijos galiojantis Bernulio sąryšis nebūtinai turi tą pačią konstantą skirtingose sūkurinio srauto srovės linijose. Kai tankis kintamas, p/ρ apskritai nėra integruotas slėgio narys. Barotropinis sąryšis leidžia naudoti ∫ dp/ρ(p); nepriklausomai priklausomybei nuo temperatūros reikia papildomos termodinaminės informacijos. Vien neklampumo ir stacionarumo nepakanka nė vienam iš šių palyginimų pagrįsti.

Ką verta įsidėmėti

• Stacionarus greičio laukas gali suteikti judančiai dalelei pagreitį dėl greičio kitimo erdvėje arba krypties kitimo.
• Oilerio lygtis susieja materialųjį pagreitį su slėgio gradientais ir tūrine jėga; nepaisant klampos, slėgio jėgos neišnyksta.
• Paprastoji Bernulio suma p/ρ + V²/2 + gz taikoma esant nurodytoms glodaus, stacionaraus, neklampaus, pastovaus tankio tekėjimo ir konservatyviųjų jėgų sąlygoms ir yra pastovi išilgai srovės linijos.
• Vienodai konstantai skirtingose srovės linijose reikia papildomo pagrindimo; nesūkurinis tekėjimas jungioje glodžioje srityje yra pakankama stipresnė sąlyga.
• Dinaminis slėgis yra kinetinis mastelis. Idealus vietinis sąstingio slėgis tame pačiame aukštyje yra p + ρV²/2, o visa Bernulio suma taip pat apima sunkio poveikį.
• Kai tankis kinta, tekėjimas priklauso nuo laiko, yra klampos nuostolių, naudojamos mašinos arba tekėjimas nėra glodus, reikia tinkamo išplėstinio modelio, o ne besąlyginio šūkio apie greitesnį tekėjimą.