Tiesinimas pusiausvyros aplinkoje

Pradėkite nuo nedidelio būsenos pokyčio

Imkime du bedimensius būsenos kintamuosius u ir v, laiką t matuokime sekundėmis, o teigiamas laiko mastelis tebūnie T = 1 s. Tikslūs jų kitimo dėsniai yra du/dt = [−2(u − 1) + v + (u − 1)²]/T ir dv/dt = [−v + (u − 1)²]/T. Kitimo greičių matavimo vienetai yra s⁻¹. Tai išgalvota normuota dinamika, o ne išmatuota realios įrangos dinamika.

Kai (u, v) = (1, 0), abu kitimo greičiai lygūs nuliui, todėl ši būsena gali išlikti pastovi: tai pusiausvyra. Pereikime į (1.1, 0). Pirmasis kitimo greitis yra (−0.2 + 0.01)/(1 s) = −0.19 s⁻¹, o antrasis – 0.01 s⁻¹. Jei atmesime kvadratinį narį, gausime įverčius −0.2 s⁻¹ ir nulį. Galime patikrinti atmestą dalį, užuot vadinę pokytį mažu ir nenurodę, su kuo jį lyginame.

Tema „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia keitiniams ir grafikų skaitymui; logaritmai naudojami tik viename vėlesniame išspręstame pavyzdyje. Pirmiausia sekite tikslius narius ir palyginimo paveikslą. Prie temų „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“, „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“ ir „Matricos, tiesinė algebra ir tikrinių verčių uždaviniai“ galima pasirinktinai grįžti, kad būtų lengviau suprasti Jakobio matricą ir samprotavimus apie slopimo greitį. Reikiamos apibrėžtys pateikiamos toliau.

Matuokite nuokrypius nuo pasirinktos pusiausvyros

Užrašykime ξ = u − 1 ir η = v. Graikiškos raidės ksi ir eta žymi nuokrypius nuo (1, 0); jie taip pat yra bedimensiai. Pastovus koordinačių poslinkis nekeičia išvestinės laiko atžvilgiu. Todėl mūsų tikslios lygtys tampa dξ/dt = f₁(ξ, η) = (−2ξ + η + ξ²)/T ir dη/dt = f₂(ξ, η) = (−η + ξ²)/T.

Pirmosios eilės nariai yra tie, kuriuose nuokrypis yra pirmojo laipsnio: −2ξ + η ir −η. Palikite juos, kad apibrėžtumėte atskirą linearizuotą modelį: dξL/dt = (−2ξL + ηL)/T ir dηL/dt = −ηL/T. Indeksas L atskiria jo sprendinį nuo pradinio modelio sprendinio.

Norėdami palyginti kitimo greičius toje pačioje būsenoje, užrašykite L₁(ξ, η) = (−2ξ + η)/T ir L₂(ξ, η) = −η/T. Tuomet tiksliai galioja f₁ − L₁ = ξ²/T ir f₂ − L₂ = ξ²/T. Pasirinktą pusiausvyros būseną atitinka nulinių nuokrypių pora, o linearizuojant ties ja nėra pastoviojo kitimo greičio nario. Linearizuojant ties bet kuria nepusiausvyrine būsena, paprastai liktų nenulinis pastovusis narys.

Sudarykite Jakobio matricą nagrinėdami po vieną kitimo greitį

Dalinė išvestinė nusako, kaip keičiasi vienas kitimo greitis, kai keičiasi viena būsenos koordinatė, o kita laikoma pastovi. Jakobio matricoje šios išvestinės išdėstomos taip: i-oji eilutė atitinka kitimo greitį fᵢ, o j-asis stulpelis – keičiamą būsenos koordinatę. Apskaičiuokite matricos vertę pasirinktoje pusiausvyros būsenoje, o ne neapibrėžtoje netolimoje būsenoje.

Čia ∂f₁/∂ξ = (−2 + 2ξ)/T, ∂f₁/∂η = 1/T, ∂f₂/∂ξ = 2ξ/T ir ∂f₂/∂η = −1/T. Kai (ξ, η) = (0, 0), matrica yra A = (1/T)[[−2, 1], [0, −1]]. Padauginę ją iš nuokrypių stulpelio, gauname du linearizuotus kitimo greičius: pirmiausia (−2ξ + η)/T, tada −η/T.

Visų šios konkrečios matricos A elementų matavimo vienetai yra s⁻¹, nes abi koordinatės yra bedimensės. Bendruoju atveju elemento Aᵢⱼ matavimo vienetai gaunami i-ojo kitimo greičio vienetus padalijus iš j-osios būsenos koordinatės vienetų. Jei modelyje naudojami skirtingų rūšių dydžiai, išlaikykite tų koordinačių matavimo vienetus; atskirų Jakobio matricos elementų vienetai nebūtinai turi būti vienodi.

Linearizuojant diferencijuojamą vektorinę kitimo greičio funkciją, išlaikoma jos išvestinė pusiausvyros būsenoje. Nuokrypiui artėjant prie nulio, liekana tampa maža, palyginti su nuokrypiu. Šis teiginys nereiškia, kad kiekvieno modelio liekana yra kvadratinė. Mūsų pateiktam polinomui galioja stipresnis, tiesiogiai patikrintas rezultatas: liekana yra (ξ², ξ²)/T.

Interpretuokite liestinę ir jos pataisą

Viršutiniame grafike pirmasis kitimo greitis apskaičiuojamas pjūvyje η = 0. Jo horizontalioji ašis žymi nuokrypį ξ, o ne laiką. Ištisinė netiesinė kreivė ir brūkšninė tiesinio kitimo greičio linija susitinka ties ξ = 0 ir turi tą patį nuolydį. Apskritimais ir kvadratais lyginami jų kitimo greičiai intervalo galuose; kryželis žymi bendrą jų nulį.

Apatiniame grafike parodyta tiksli abiem komponentėms bendra pataisa R₁ = R₂ = ξ²/T. Kai ξ = 0.1, ji lygi 0.01 s⁻¹; kai ξ = 0.2, ji lygi 0.04 s⁻¹. Padvigubinus šį nuokrypį, tiesinis kitimo greitis padvigubėja, o kvadratinė pataisa padidėja keturis kartus. Apatinio grafiko vertikalusis mastelis padidintas: lyginkite pažymėtas vertes, o ne vertikalius atstumus skirtinguose grafikuose.

Sąlyga η = 0 išlaikoma tik skaičiuojant šiame pjūvyje. Pagal pradinio modelio dinamiką jame dη/dt = ξ²/T, ir šis greitis yra teigiamas, kai ξ ≠ 0. Trajektorija paprastai išeina iš šio pjūvio. Nė viena pavaizduota kreivė nerodo laikui bėgant kintančios būsenos, o parodytas intervalas nėra nustatytas aproksimacijos spindulys.

Nurodykite, ką nagrinėjamu atveju reiškia „mažas“

Tarkime, nagrinėjamas klausimas reikalauja, kad atmestos kiekvienos komponentės kitimo spartos dalies absoliučioji vertė būtų ne didesnė kaip 0.01 s⁻¹. Šiame modelyje ξ²/(1 s) ≤ 0.01 s⁻¹ yra lygiavertė sąlygai |ξ| ≤ 0.1. Tai tiksli momentinės komponentės kitimo spartos sąlyga. Ji nekelia jokios sąlygos η, nes ši konkreti liekamoji dalis nuo η nepriklauso.

Norėdami palyginti visus vektorius, šioms normuotoms koordinatėms apibrėžkime euklidinį nuokrypio dydį r = √(ξ² + η²). Liekamosios dalies dydis yra √2 ξ²/T ≤ √2 r²/T. Taigi šio dydžio ir r santykis artėja prie nulio, kai r artėja prie nulio. Norint tokioje normoje sudėti skirtingos fizikinės prigimties dydžius, pirmiausia reikėtų nurodyti normavimą.

Santykiniam palyginimui reikia nenulinio atskaitos dydžio. Kai η = 0 ir ξ ≠ 0, tiesinės dalies kitimo spartos dydis yra 2|ξ|/T, todėl liekamosios dalies ir tiesinės dalies kitimo spartų dydžių santykis yra |ξ|/√2. Kai ξ = 0, abi kitimo spartos lygios nuliui, o šis santykis neapibrėžtas. Leistina absoliučiosios ar santykinės paklaidos riba priklauso nuo numatomo taikymo; iš grafiko neišplaukia jokia universali ribinė vertė.

Kitimo spartų skirtumo įvertis vienoje būsenoje nėra dviejų trajektorijų skirtumo laikui bėgant įvertis. Trajektorijoms kintant, skiriasi ir jų būsenos. Teiginyje apie nuo laiko priklausančią paklaidą būtina nurodyti laiko intervalą ir pagrįsti atitinkamą įvertį.

Patikrinkite linearizuoto modelio kitimą laike

Paprastesnį modelį galima išspręsti tiksliai. Tegul ξ₀ ir η₀ yra jo pradiniai nuokrypiai, o τ = t/T. Tuomet ηL(t) = η₀e^(−τ) ir ξL(t) = (ξ₀ − η₀)e^(−2τ) + η₀e^(−τ). Kai t = 0, šios išraiškos duoda nurodytą pradinę būseną. Diferencijuojant patikrinamos abi linearizuotos lygtys.

Abu eksponentinio kitimo rodikliai gaunami iš A. Nenulinis krypties vektorius w yra tikrinis vektorius, jei Aw = λw. Kai w = (1, 0), λ = −2/T; kai w = (1, 1), λ = −1/T. Išilgai kiekvienos iš šių tiesinių krypčių daugiklis yra e^(λt). Abu daugikliai mažėja, nes T yra teigiamas.

Tai tikslūs linearizuoto modelio sprendiniai ir kryptys. Į pradines lygtis įstačius nenulinį ξL, lieka kvadratinė pataisa. Todėl kiekvienoje kitimo laike prognozėje būtina išlaikyti žymą „linearizuotas“; paprastesnių lygčių išsprendimas nepanaikina aproksimacijos.

Taikykite stabilumo išvadą laikydamiesi jos sąlygų

Lokalus stabilumas reiškia, kad visos pakankamai artimos pradinės būsenos išlieka arti pusiausvyros bet kuriuo vėlesniu laiko momentu; asimptotinis stabilumas dar reikalauja, kad jos artėtų prie pusiausvyros. Eksponentinis stabilumas suteikia lokalų, eksponentiškai mažėjantį jų atstumo iki pusiausvyros įvertį. Tai nebūtinai reiškia, kad šis atstumas mažėja kiekvieną akimirką.

Autonominei baigtinio matmens tolydžiojo laiko sistemai, kurios kitimo spartos yra tolydžiai diferencijuojamos pusiausvyros aplinkoje, visų Jakobio matricos tikrinių verčių griežtai neigiamos realiosios dalys yra pakankama lokalaus eksponentinio stabilumo sąlyga. Mūsų glodžiame polinominiame modelyje −2/T ir −1/T tenkina šią sąlygą, todėl (u, v) = (1, 0) yra lokaliai eksponentiškai stabili pusiausvyra pradinėje netiesinėje dinamikoje.

Teorema pateikia kokybinę lokalią išvadą. Ji neteigia, kad netiesinės trajektorijos sutampa su linearizuotomis ar kad kiekviena leistina pradinė būsena artėja prie šios pusiausvyros. Abi pradinio modelio kitimo spartos taip pat lygios nuliui taške (u, v) = (2, 1); pradėjus tiksliai šioje būsenoje, joje ir liekama. Glodumas užtikrina lokalų sprendinio egzistavimą ir vienatinumą, tačiau bendru atveju netiesiniai modeliai vis tiek gali neturėti sprendinių visam būsimam laikui.

Atpažinkite linearizaciją, kuri neleidžia daryti išvados

Nulinė realioji dalis netenkina griežtai neigiamos realiosios dalies sąlygos. Panagrinėkime du atskirus modelius netoli jų pusiausvyros (ξ, η) = (0, 0): dξ/dt = −ξ³/T su dη/dt = −η/T ir dξ/dt = +ξ³/T su dη/dt = −η/T. Abiejų modelių Jakobio matricos nulyje yra [[0, 0], [0, −1/T]]. Linearizacijos yra vienodos.

Modelyje su neigiamu kubiniu nariu ξ modulis mažėja link nulio, o η eksponentiškai slopsta, todėl pusiausvyra yra asimptotiškai stabili. Modelyje su teigiamu kubiniu nariu net ir kiek norima mažos nenulinės pradinės ξ reikšmės auga ir išeina iš fiksuotos mažos aplinkos, todėl pusiausvyra yra nestabili. Šiuos du atvejus nulemia tikrieji kubiniai nariai, o ne abiem modeliams bendra nulinė tikrinė vertė.

Kartu su išvada nurodykite pasirinktą pusiausvyros būseną, koordinates, kitimo spartos vienetus ir glodumą. Kai tiesinė analizė neleidžia padaryti išvados, naudokite pradinius netiesinius narius arba kitą pagrįstą metodą. Linearizacija yra lokalus konkretaus tolydaus laiko modelio aprašas, o ne bendroji skaitinio žingsnio stabilumo taisyklė ar empirinė aparatinės įrangos veikimo prognozė.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagrindiniame modelyje taške (u, v) = (0.9, 0) raskite pradinės ir linearizuotos sistemų kitimo greičių poras. Ar bendroji pataisa yra neigiama dėl to, kad ξ yra neigiamas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pradinės sistemos kitimo greičiai yra (+0.21, +0.01) s⁻¹, o linearizuotos sistemos – (+0.2, 0) s⁻¹. Abi pataisos yra +0.01 s⁻¹.

   ξ = −0.1 ir η = 0. Kvadratas ξ² = 0.01 yra neneigiamas abiejose pusiausvyros pusėse; f₁ = (0.2 + 0.01)/(1 s) ir f₂ = 0.01/(1 s). Pataisa gaunama iš pradinės sistemos kitimo greičio atėmus linearizuotos sistemos kitimo greitį; abiem komponentėms taikoma ta pati pasirinkta atimties tvarka.

2. Raskite ∂f₂/∂ξ pasirinktoje pusiausvyroje ir kai ξ = 0.1. Kuri vertė įtraukiama į A linearizuojant aplink (u, v) = (1, 0)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pusiausvyroje ji yra 0 s⁻¹; kai ξ = 0.1, ji yra 0.2 s⁻¹. Į A įtraukiama nulinė vertė pusiausvyroje.

   Diferencijuokite f₂ = (−η + ξ²)/T pagal ξ, laikydami η pastoviu: ∂f₂/∂ξ = 2ξ/T. Linearizavimo matrica apskaičiuojama taške (ξ, η) = (0, 0), o ne būsenoje, kurios vėlesnį kitimo greitį norite įvertinti.

3. 0.01 s⁻¹ pataisa viršutinėje kitimo greičio skalėje užima 1 px, o apatinėje pataisos skalėje – 8 px. Ar pataisa pasikeitė? Ar apatinė kreivė rodo kitimą laike?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pataisa nepasikeitė; ji vis dar lygi 0.01 s⁻¹. Apatinė kreivė rodo kitimo greičio pataisos priklausomybę nuo ξ, o ne nuo laiko.

   100 px vienam s⁻¹ padauginus iš 0.01 s⁻¹, gaunama 1 px, o taikant 800 px vienam s⁻¹ mastelį, gaunama 8 px. Tai skirtingi kitimo greičio dydžio vaizdavimo masteliai. Horizontalioji ašis žymi bedimensį būsenos nuokrypį, o η laikomas pastoviu tik palyginimui naudojamame pjūvyje.

4. Reikalaukime, kad tam tikroje būsenoje abiejų pagrindinio modelio komponenčių kitimo greičio pataisų absoliučiosios vertės neviršytų 0.01 s⁻¹. Koks ξ apribojimas čia yra būtinas ir pakankamas? Ar tai įrodo, kad trajektorijos paklaida neviršija 0.01?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   |ξ| ≤ 0.1 yra būtina ir pakankama šios komponenčių kitimo greičio sąlygos tenkinimo sąlyga, kad ir kokia būtų η vertė. Tai neįrodo trajektorijos paklaidos ribos.

   Kiekviena pataisa lygi ξ²/T, kur T = 1 s, todėl iš ξ² ≤ 0.01 gauname −0.1 ≤ ξ ≤ 0.1. Šiuo teiginiu palyginami du vektoriniai laukai toje pačioje momentinėje būsenoje. Trajektorijos paklaida susijusi su skirtingomis, laikui bėgant kintančiomis būsenomis per nurodytą laiko intervalą, todėl jai įvertinti reikia atskiro pagrindimo.

5. Taške (ξ, η) = (0, 0.1) pradinio ir linearizuoto modelių kitimo greičių poros yra lygios. Ar tai patvirtina, kad tolesni sprendiniai bus vienodi? Be to, ar visas pjūvis η = 0 pradiniame modelyje yra invariantinis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abu teiginiai neteisingi. Vienodi kitimo greičiai vienoje būsenoje nepatvirtina, kad trajektorijos bus vienodos; pjūvis η = 0 nėra invariantinis, kai nagrinėjami nuo ξ = 0 nutolę taškai.

   Pasirinktoje būsenoje dξ/dt = 0.1 s⁻¹, todėl ξ pradeda kisti ir kvadratinis narys nebūtinai liks lygus nuliui. Pjūvyje η = 0, kai ξ ≠ 0, dη/dt = ξ²/T > 0, todėl sprendinys palieka šį pjūvį. Pastovus pjūvis, naudotas paveikslui braižyti, nėra dinamikai nustatytas apribojimas.

6. Abu atskiri modeliai su kubiniais nariais paskutiniame skyriuje turi tą pačią Jakobio matricą, kurios tikrinės vertės yra 0 ir −1/T. Ar jų netiesinis stabilumas būtinai turi būti vienodas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Modelis su neigiamu kubiniu nariu yra asimptotiškai stabilus ties nuliu, o modelis su teigiamu kubiniu nariu – nestabilus.

   Modelyje su minuso ženklu ξ(t) = ξ₀/√(1 + 2ξ₀²t/T) absoliučioji vertė mažėja ir artėja prie nulio, o η(t) = η₀e^(−t/T) taip pat artėja prie nulio. Modelyje su pliuso ženklu, kai pradinė ξ vertė nenulinė, vardiklis yra √(1 − 2ξ₀²t/T), kol jis teigiamas; didėjanti ξ absoliučioji vertė galiausiai išeina už fiksuotos mažos aplinkos ribų. Abiejuose modeliuose tokia pati nulinė tikrinė vertė neleidžia pagal tiesinį kriterijų padaryti galutinės išvados.

Ką verta įsidėmėti

• Pereikite prie nuokrypių nuo nurodytos pusiausvyros, tada palikite tik pirmosios eilės kitimo greičio narius.
• Jakobio matrica apskaičiuojama toje pusiausvyroje, išlaikant suderintus koordinačių ir kitimo greičių vienetus.
• Mūsų tikslus kvadratinis liekamasis narys kiekybiškai įvertina kitimo greičio aproksimaciją; jis pats savaime neapriboja sukauptos trajektorijos paklaidos.
• Griežtai neigiamos realiosios Jakobio matricos tikrinės vertės leidžia padaryti išvadą apie lokalų netiesinės sistemos stabilumą, kai tenkinamos glodumo, autonomiškumo ir tolydaus laiko sąlygos.
• Kai realioji dalis lygi nuliui, tiesinis kriterijus gali neleisti padaryti galutinės išvados, o lokali išvada neapibūdina visų leistinų pradinių būsenų.