Triukšmas, signalo ir triukšmo santykis ir filtravimas

Nurodykite, kas yra signalas, o kas – triukšmas

Pradėkite nuo dydžio ar kitimo pobūdžio, kurį norite atkurti. Jo indėlį vadinkite naudinguoju signalu. Šioje pamokoje triukšmas reiškia nepageidaujamą indėlį, modeliuojamą kaip atsitiktinį; pasikartojančiam nepageidaujamam poveikiui gali prireikti deterministinės pataisos arba iškraipymo modelio. Kintantis signalas savaime nėra triukšmas, o triukšmas apibrėžiamas ne vien tuo, kad jis greitai kinta.

Originalaus įtampos įrašo modeliui užrašykite x_k = s_k + n_k. Sveikasis skaičius k žymi įrašo vertę, x_k yra užregistruota įtampa, s_k – apibrėžta naudingoji įtampa, o n_k – atsitiktinio triukšmo indėlis; visos šios vertės išreiškiamos V to paties elektrinio atskaitos taško atžvilgiu. Sudėtis yra pateikto modelio dalis, o ne universalus dėsnis, galiojantis kiekvienai matavimo grandinei. Be papildomos informacijos vien užregistruota suma neleidžia nustatyti atskirų ją sudarančių indėlių.

Prieš skaičiuodami nurodysime naudingojo signalo kitimo pobūdį ir triukšmo tikimybes. Ankstesnėje diskretizavimo pamokoje nagrinėtai deterministinei kvantavimo įtaiso paklaidai šis triukšmo dėsnis savaime nepriskiriamas. Nei pateiktas triukšmo standartinis nuokrypis, nei glotnesnis įrašas nėra išsamus realaus matuojamojo dydžio neapibrėžties įvertinimas.

Dydį vertinkite pagal apibrėžtą kvadratų vidurkį

Skaičiuojant vidurkį su ženklais, svyravimai gali likti nepastebėti: −1 V ir +1 V vidurkis yra 0 V, nors nė viena vertė nėra nulinė. Norėdami įvertinti jų dydį, pirmiausia pakelkite vertes kvadratu. Determinuotai sekai, kuri kartojasi kas m įrašo verčių, apibrėžkite M_s = (s_0² + ⋯ + s_(m−1)²)/m, naudodami vieną visą periodą. Konstantą galima laikyti vienos vertės periodu. M_s matavimo vienetas yra V², o efektinė (RMS) vertė yra A_s = √M_s, matuojama V.

Atsitiktinės triukšmo vertės atveju E žymi tikimybėmis svertą vidurkį: kiekvieną galimą vertę padauginkite iš jai priskirtos tikimybės ir sandaugas sudėkite. Apibrėžkite M_n = E[n_k²] ir A_n = √M_n. Mūsų pavyzdžiuose triukšmo skirstinys yra vienodas kiekvienam k, todėl M_n nuo k nepriklauso. Šios matematinės viltys apibūdina pasirinktą modelį; trumpo gauto įrašo vidurkiai nebūtinai bus tiksliai tokie.

Tegu μ = E[n_k]. Dispersija yra E[(n_k − μ)²] = M_n − μ². Taigi M_n sutampa su dispersija tik tada, kai μ = 0 V. Šis skirtumas svarbus, jei nepageidaujamo atsitiktinio dėmens vidurkis taip pat yra nenulinis. Toliau naudojamiems santykiams reikia baigtinių kvadratų vidurkių ir nurodytos vidurkinimo taisyklės; nei Gauso skirstinys, nei universalus triukšmo spektras nėra laikomi prielaidomis.

Atskirkite galių ir amplitudžių santykius

Šios pamokos palyginimams apibrėžkite galią atitinkančius dydžius P_s = M_s/R ir P_n = M_n/R, naudodami tą pačią tikslią teigiamą atskaitos varžą R = 100 Ω. V²/Ω matavimo vienetas yra W. Idealiam rezistoriui, prie kurio prijungta įtampa, tai yra atitinkamas vidutinės galios sąryšis; mūsų skaitinių įrašų atveju tai yra nustatyta palyginimo taisyklė, o ne teiginys, kad programinis filtras tiekia galią aparatinei įrangai.

Kai P_n > 0 W, tiesinis signalo ir triukšmo galių santykis yra SNR = P_s/P_n = M_s/M_n. Vatų vienetai susiprastina, todėl SNR yra bedimensis dydis. Vardiklyje yra triukšmo dydis, kurį būtina įvardyti. Amplitudės lyginamos santykiu A_s/A_n; pagal šią vienodos varžos taisyklę jo kvadratas lygus galių santykiui. Jei abu dydžiai vadinami tiesiog santykiu, nenurodant, apie kurį kalbama, skaitinis atsakymas gali pasikeisti.

Pavyzdžiui, pastovios pageidaujamo signalo įtampos 2 V kvadratų vidurkis yra M_s = 4 V². Pasirinkime triukšmą n_k = −1 V arba +1 V, kiekvieną su tikimybe 1/2. Tuomet μ = 0 V, M_n = 1 V² ir A_n = 1 V. Taigi P_s = 0.04 W, P_n = 0.01 W, galių SNR yra 4, o efektinių (RMS) amplitudžių santykis yra 2.

Teigiamus santykius išreikškite decibelais

Decibelas, dB, išreiškia nurodytą logaritminį santykį; tai nėra nei vatas, nei įtampa. Galiojančioje SI brošiūroje reikalaujama nurodyti dydį ir bet kokią atskaitos vertę. Kai P_s > 0 W ir P_n > 0 W, apibrėžkite SNR_dB = 10 log10(P_s/P_n) dB. Čia log10 r yra realusis skaičius z, kuriam 10^z = r; jo argumentas r turi būti teigiamas ir bedimensis.

Kadangi mūsų galių santykis yra (A_s/A_n)², ta pati vertė yra SNR_dB = 20 log10(A_s/A_n) dB. Daugiklis 20 pagrįstas kvadratiniu sąryšiu; tai nėra bendras nurodymas naudoti 20 bet kokiam įtampų santykiui, kai impedansai skiriasi arba vidurkinimo taisyklės nesuderinamos.

Anksčiau pateiktam galių santykiui 4, SNR_dB = 10 log10 4 dB ≈ 6.0206 dB. Galių santykis 1 duoda 0 dB, o teigiamas santykis, mažesnis už 1, duoda neigiamą vertę: santykiui 1/4 ji yra maždaug −6.0206 dB. Kai pageidaujamo signalo galia lygi nuliui, o triukšmo galia teigiama, SNR = 0, tačiau log10 0 nėra apibrėžtas kaip baigtinis realusis skaičius. Kai triukšmo galia lygi nuliui, pateikta baigtinio santykio formulė netaikoma. Nė vienas iš šių ribinių atvejų neįrodo, kad realaus matavimo rezultatas žinomas visiškai tiksliai.

Taikykite aiškiai apibrėžtą priežastinį vidurkinimą

Apibrėžkite skaitinį filtrą laiko momentais t_k = kΔt, kai Δt = 0.25 s: y_k = (x_k + x_(k−1))/2. Jis yra priežastinis, nes jo išvestis apskaičiuojama pagal dabartinę ir ankstesnę vertes, o ne pagal būsimą vertę. Svoriai yra bedimensiai, todėl išvestis išlieka įtampos dydis. Pirmajai išvesties vertei apskaičiuoti reikia ankstesnės įvesties vertės arba aiškiai pasirinkto inicijavimo; toliau pateiktuose periodiniuose atvejuose vertės apibrėžtos kiekvienam sveikajam k.

Įstatę x_k = s_k + n_k, gauname y_k = y_s,k + y_n,k, kur y_s,k = (s_k + s_(k−1))/2, o y_n,k = (n_k + n_(k−1))/2. Šis išskaidymas išplaukia iš pateiktos tiesinės taisyklės. Norėdami įvertinti filtrą, apskaičiuokite, kaip pasikeičia abi dedamosios. Slankiojo vidurkio filtrai gali pakeisti sinusoidės amplitudę ir fazę, o ne vien pašalinti triukšmą.

Dabar pridėkite sąlygą, kad pradinės ±1 V triukšmo vertės esant skirtingiems k yra nepriklausomos. Tuomet kiekvienos poros (n_k, n_(k−1)) tikimybė yra 1/4. Filtruoto triukšmo vertės yra −1 V, 0 V arba +1 V, o jų tikimybės – atitinkamai 1/4, 1/2 ir 1/4. Jo kvadrato vidurkis yra 0.5 V². Pastovus 2 V naudingasis signalas perduodamas nepakitęs, todėl signalo ir triukšmo galių santykis (SNR) padidėja nuo 4 iki 8, arba nuo maždaug 6.0206 dB iki 9.0309 dB. Šis padidėjimas galioja tik išsaugant šį naudingąjį signalą ir esant nurodytam triukšmo pasiskirstymo dėsniui.

Patikrinkite nepriklausomumą ir bendrus poveikius

Nulinis vidurkis neįrodo nepriklausomumo. Kaip palyginimui skirtą originalų modelį, atsitiktinai parinkite vieną N, kuris su vienodomis tikimybėmis lygus −1 V arba +1 V, tada kiekvienam k nustatykite n_k = N. Kiekvienos įėjimo reikšmės vidurkis vis tiek yra nulinis, o vidutinis kvadratas – 1 V², tačiau filtras duoda (N + N)/2 = N. Jo triukšmo vidutinis kvadratas lieka 1 V², o pastovaus signalo SNR lieka 4.

Bendroji kvadrato išskleidimo išraiška yra E[y_n,k²] = (E[n_k²] + E[n_(k−1)²] + 2E[n_k n_(k−1)])/4. Kryžminės sandaugos nario vienetas yra V². Mūsų nepriklausomoms įėjimo reikšmėms, kurių vidurkis nulinis, jis lygus nuliui; visiškai sutampančioms įėjimo reikšmėms jis lygus 1 V². Tai tiesiogiai paaiškina, kodėl abu modeliai duoda skirtingus rezultatus. Nepriklausomumas yra esminė prielaida, o ne išvada, daroma iš tvarkingai atrodančio vidurkio.

Be to, mūsų nepriklausomų įėjimo reikšmių atveju gretimos filtruotos išėjimo reikšmės turi bendrą įėjimo reikšmę, o jų kovariacija yra 0.25 V². Atliekant vėlesnį skaičiavimą su šiomis išėjimo reikšmėmis, negalima be atskiro pagrindimo vėl taikyti įėjimo reikšmių nepriklausomumo prielaidos.

Patikrinkite naudingojo signalo dažninę struktūrą

Naudokite tą patį filtrą, kurio Δt = 0.25 s, ir nepriklausomą ±1 V įėjimo triukšmą, bet pakeiskite naudingąjį signalą. Paduokite s_k = (2 V) cos(πk/2), apibrėžtą visiems sveikiesiems k. Jo fazė išreikšta radianais; kai k = 0, 1, 2, 3, reikšmės yra 2, 0, −2, 0 V, o s_(−1) = 0 V. Tai pradinio 1 Hz dažnio kosinusinio signalo s(t) = (2 V) cos(2πft) reikšmės laiko momentais t_k, nes fΔt = 1/4. Šiuo teiginiu apibrėžiamas signalas; nieko neteigiama apie jo atkūrimą.

Per tą patį keturių reikšmių periodą filtruoto naudingojo signalo reikšmės yra 1, 1, −1, −1 V. Jo vidutinis kvadratas sumažėja nuo 2 V² iki 1 V², o triukšmo vidutinis kvadratas sumažėja nuo 1 V² iki 0.5 V². Taigi galių SNR lieka 2. Mažesnis išėjimo triukšmas šio SNR nepadidino, o naudingojo signalo reikšmių seka pasikeitė.

Kito originalaus naudingojo signalo, s_k = (2 V)(−1)^k, kiekvienos gretimos poros reikšmės susisumuoja į nulį. Tai pateikto 2 Hz dažnio kosinusinio signalo kintamo ženklo reikšmių seka tame pačiame tinklelyje. Filtras visiškai pašalina naudingojo signalo indėlį, o triukšmo vidutinis kvadratas lieka 0.5 V²: išėjimo SNR = 0. Lentelėje lyginami šie tikslūs periodiniai modeliai. Ar kintanti dedamoji yra naudingoji, lemia matavimo tikslas; šis filtras to tikslo nežino.

Išsaugokite laiko žymas ir paskirtį

Priežastinis vidurkinimas taip pat gali paveikti kintančio dydžio interpretaciją. Atskirą originalų tiesiškai kintantį signalą be triukšmo apibrėžkite formule s(t) = 1 V + (4 V/s)t tik intervale −0.25 s ≤ t ≤ 1 s. Nurodytais laiko tinklelio momentais y_s,k = (s(t_k) + s(t_k − Δt))/2 = s(t_k − Δt/2), jei abiejų įvesties verčių laiko momentai priklauso šiam intervalui. Ši lygybė galioja dėl signalo tiesinio kitimo; ji nereiškia, kad filtras kiekvieną signalą tik uždelsia.

Išvesties, kurios laiko žyma yra t_k = 0.50 s, įvesties vertės yra 3 V ir 2 V, todėl y_s,k = 2.5 V. Tai tiesiškai kintančio signalo vertė momentu 0.375 s, kuris yra 0.125 s ankstesnis už išvesties laiko žymą. Nuo norimos dabartinės 3 V vertės ji skiriasi −0.5 V. Šis vienareikšmiškai nustatytas filtravimo poveikis nėra atsitiktinis triukšmas. Nurodėme skaitines įrašo vertes, o ne fizinio prietaiso nusistovėjimą tolydžiajame laike ar apdorojimo delsą.

Rinkdamiesi filtrą, nurodykite pageidaujamą veikimą, informaciją apie triukšmą, vienetus, ankstesnes įvesties vertes ir išvesties laiko žymėjimo taisyklę, tada patikrinkite ir pakitusį signalą, ir pakitusį triukšmą. Padauginus abu komponentus iš to paties nenulinio stiprinimo koeficiento, jų galių santykis SNR nepakinta. Palankus SNR vienu apibrėžtu atveju nereiškia nei universalaus filtro pagerėjimo, nei visos matavimo neapibrėžties įvertinimo. Kitoje temoje „Kontrolės priemonės, aklinimas ir eksperimentų planavimas“ nagrinėjama, kaip organizuojamas pats matavimų palyginimas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Taikant tą patį susitarimą dėl teigiamos varžos, naudingojo signalo efektinė įtampa yra 3 V, o triukšmo efektinė įtampa yra 1 V. Raskite amplitudžių santykį, galių santykiu išreikštą SNR ir logaritminį SNR. Nurodykite, kodėl daugikliai 10 ir 20 šiuo atveju duoda tą pačią vertę decibelais.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Amplitudžių santykis yra 3, galių santykiu išreikštas SNR yra 9, o SNR_dB = 10 log10 9 dB = 20 log10 3 dB ≈ 9.5424 dB.

   Esant tai pačiai varžai ir suderinamoms efektinių (RMS) verčių apibrėžtims, galių santykis lygus amplitudžių santykio kvadratui. Todėl abiejų logaritmų argumentai yra teigiami ir bedimensiai, o abu logaritmai apibūdina tą patį palyginimą.

2. Naudingasis signalas yra pastovus ir lygus 2 V, o prie kiekvienos įrašo vertės pridedamas tas pats atsitiktinis dydis N = ±1 V, kurio abi vertės vienodai tikėtinos. Ar dviejų verčių vidurkinimas sumažina triukšmo kvadrato vidurkį perpus? Apskaičiuokite išėjimo SNR.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Išėjimo triukšmas yra N, jo kvadrato vidurkis yra 1 V², o signalo ir triukšmo galių santykis lieka 4.

   Abi įėjimo triukšmo vertės yra tapačios, o ne nepriklausomos. Vidurkinant N su juo pačiu, jis nepakinta, nors jo vidurkis pagal nurodytą tikimybių skirstinį yra nulis.

3. Esant pastoviam 2 V naudingajam signalui ir nepriklausomam ±1 V triukšmui, kurio vidurkis lygus nuliui, pakeiskite filtrą į y_k = (3/4)x_k + (1/4)x_(k−1). Raskite išėjimo triukšmo kvadrato vidurkį ir signalo bei triukšmo galių santykį. Ar vien to pakanka nustatyti, kuris filtras geresnis kiekvienam naudingajam signalui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Išėjimo triukšmo kvadrato vidurkis yra 0.625 V², o signalo ir triukšmo galių santykis yra 6.4. Vien šių rezultatų nepakanka filtrui parinkti kiekvienam naudingajam signalui.

   Svorių suma yra 1, todėl pastovus naudingasis signalas lieka 2 V. Dėl nepriklausomumo ir nulinių vidurkių sandaugos vidurkis lygus nuliui; triukšmo kvadrato vidurkis yra [(3/4)² + (1/4)²](1 V²) = (5/8)V². Padaliję 4 V² iš (5/8)V², gauname 32/5 = 6.4. Filtro atsaką į kintantį signalą reikia patikrinti atskirai.

4. Naudingojo signalo periodo vertės dabar yra 4, 0, −4, 0 V; jos kartojasi visiems sveikiesiems k. Taikydami dviejų verčių vidurkinimą su vienodais svoriais, raskite išėjimo signalo periodo vertes, įėjimo ir išėjimo naudingųjų signalų kvadratų vidurkius bei signalo ir triukšmo galių santykius, esant tam pačiam nepriklausomam ±1 V triukšmui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Išėjimo signalo periodo vertės yra 2, 2, −2, −2 V. Naudingojo signalo kvadrato vidurkis prieš filtravimą yra 8 V², o po filtravimo – 4 V²; abu signalo ir triukšmo galių santykiai yra 8.

   Ankstesnė naudingojo signalo vertė yra 0 V. Pakėlę kvadratu keturias įėjimo vertes ir apskaičiavę jų vidurkį, gauname 32 V²/4 = 8 V², o išėjimo vertėms gauname 16 V²/4 = 4 V². Triukšmo kvadrato vidurkis pasikeičia nuo 1 V² iki 0.5 V², todėl 8/1 = 4/0.5 = 8.

5. Duotam tiesiškai kintančiam signalui be triukšmo s(t) = 1 V + (4 V/s)t intervale −0.25 s ≤ t ≤ 1 s taikykite dviejų verčių vidurkinimą su Δt = 0.25 s išėjimo vertei, pažymėtai laiku 0.50 s. Raskite jos įtampą, laiką, kuriuo tiesiškai kintančio signalo vertė sutampa su šia įtampa, ir skirtumą su ženklu nuo dabartinės naudingojo signalo vertės. Ar šis skirtumas yra atsitiktinis triukšmas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Filtruota įtampa yra 2.5 V ir sutampa su tiesiškai kintančio signalo verte laiku 0.375 s. Jos skirtumas nuo dabartinės 3 V vertės yra −0.5 V. Tai determinuotas filtravimo poveikis, o ne atsitiktinis triukšmas.

   Įėjimo vertės laiko momentais 0.50 s ir 0.25 s yra 3 V ir 2 V. Jų vidurkis lygus tiesiškai kintančio signalo vertei laiko intervalo viduryje, 0.125 s anksčiau už išėjimo laiko žymą. Abu įėjimo laiko momentai patenka į nurodytą apibrėžimo sritį; iš to negalima spręsti nei apie realaus prietaiso veikimą, nei apie grynojo vėlinimo taisyklę kitiems signalams.

6. Ideali skaitmeninio apdorojimo pakopa tiek pastovų 2 V naudingąjį signalą, tiek nepriklausomą ±1 V triukšmą daugina iš bedimensio stiprinimo koeficiento 3. Kaip pasikeičia abiejų kvadratų vidurkiai ir galių santykis SNR, jei abiem taikoma tos pačios varžos sąlyga lieka nepakeista? O jei kitu atveju galių santykis SNR yra 1/4?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naudingojo signalo kvadratų vidurkis tampa 36 V², o triukšmo kvadratų vidurkis – 9 V², todėl SNR lieka 4. Teigiamas galių santykis SNR 1/4 atitinka maždaug −6.0206 dB.

   Dauginant iš 3, kiekvienas kvadratų vidurkis padauginamas iš 9, o jų santykyje šis daugiklis susiprastina. Neigiama vertė decibelais reiškia teigiamą galių santykį, mažesnį už 1; ji nereiškia neigiamos galios. Vien didesnis įtampos mastelis nėra SNR pagerėjimas.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš įvardydami ar skaičiuodami triukšmą, apibrėžkite naudingąją dedamąją, nepageidaujamus poveikius ir adityviojo modelio prielaidas.
• RMS yra kvadratinė šaknis iš nurodyto kvadratų vidurkio; triukšmo kvadratų vidurkis lygus dispersijai tik tada, kai triukšmo vidurkis yra nulis.
• Galių santykis SNR ir amplitudžių santykis yra skirtingi skaičiai; jų kvadratinis ryšys galioja tik esant suderintiems apibrėžimams ir nurodytai abiem bendrai varžai.
• Išreikšdami šį SNR decibelais, naudokite 10 log10 teigiamo bedimensio galių santykio arba 20 log10 jį atitinkančio teigiamo amplitudžių santykio.
• Dviejų verčių vidurkis sumažina numatytą nepriklausomą triukšmą, bet visiškai bendro triukšmo nepakeičia; ar išsaugomas naudingasis signalas, reikia tikrinti atskirai.
• Išsaugokite įėjimo istoriją ir išėjimo laiko žymas. Vien mažesnis triukšmas, didesnis stiprinimas ar glotnesnis įrašas nepagrindžia visuotinio SNR pagerėjimo ir neleidžia nustatyti visos matavimo neapibrėžties.