Diskretizavimas, skaitmeninimas, dažnių persidengimas ir Naikvisto riba

Atskirti laiką, amplitudę ir kodą

Tegu x(t) yra įtampa nurodytame įėjimo gnybte pastovaus elektrinio atskaitos potencialo atžvilgiu, o laikas t matuojamas sekundėmis. Diskretizuojant parenkamos vertės nurodytais laiko momentais. Sekos x[n] amplitudės vertės vis dar gali būti pasirenkamos iš tolydaus verčių rinkinio; vien diskrečiųjų laiko momentų parinkimas nesukuria baigtinio įtampos lygių rinkinio.

Kvantuojant amplitudė atvaizduojama į vieną iš riboto reprezentatyviųjų verčių rinkinio verčių. Tada koduojant kiekvienam parinktam lygiui priskiriamas simbolis arba kodinis žodis. Dvejetainis žodis nusako lygį pagal nurodytą atvaizdį; pats žodis nėra įtampa.

Toliau pateiktuose pavyzdžiuose daroma prielaida, kad laikrodis yra tikslus, ėminiai imami akimirksniu ir galioja pateiktos idealiosios įtampos funkcijos. Atskirai įtraukiamas deterministinis kvantavimo įtaisas. Nepateikiama jokių duomenų apie jutiklio triukšmą, laikrodžio laiko virpėjimą, ėminio įgijimo intervalą, realaus keitiklio specifikaciją ar matavimo tikslumą. Šios prielaidos leidžia nustatyti, kada galimybė atskirti signalus prarandama dėl laiko momentų parinkimo, o kada – dėl amplitudės vaizdavimo.

Apibrėžkite tolygų taktą ir laiko langą

Pasirinkę laiko pradžią t = 0, apibrėžkite tolygiai išdėstytus diskretizavimo momentus t_n = n Δt = n/f_s, kur n yra sveikasis skaičius, f_s – diskretizavimo dažnis atskaitomis per sekundę, o Δt = 1/f_s – laiko intervalas sekundėmis. Apibrėžkite x[n] = x(t_n). Indeksas n skaičiuoja atskaitas; jis nėra laikas sekundėmis. Kai f_s = 20 atskaitų/s, Δt = 0.05 s.

Šiame originaliame baigtinės trukmės pavyzdyje registruokite tik intervalą 0 ≤ t < 0.5 s. Įtraukiami indeksai nuo n = 0 iki 9: dešimt atskaitų, iš kurių paskutinė yra ties 0.45 s. Jei būtų įtrauktas ir dešinysis intervalo galas t = 0.5 s, prisidėtų n = 10 ir būtų vienuolika atskaitų. Skaičiuojant atskaitų skaičių būtina atsižvelgti į intervalo galus; nuo pirmojo įtraukto momento iki paskutiniojo praeina 0.45 s, o ne 0.5 s.

Sinusoidės (1 V) cos[2π f t] signalo dažnis f matuojamas ciklais per sekundę, arba Hz. Tolygiai išdėstytais diskretizavimo momentais ji tampa (1 V) cos[2π(f/f_s)n]. Sandauga f t ir santykis f/f_s yra bedimensiai; kosinuso fazė išreiškiama radianais. Diskretizavimo dažnis nėra kampinis dažnis: atitinkamas kampinis diskretizavimo dažnis yra 2π f_s radianų per sekundę.

Išveskite tikslų dažnio atitikmenį

Naudokite du originalius idealius įėjimo signalus, apibrėžtus visoms realiosioms t vertėms: x_2(t) = (1 V) cos[2π(2 Hz)t] ir x_18(t) = (1 V) cos[2π(18 Hz)t]. Momentais t_n = n/(20 atskaitų/s) jų fazės yra 2π n/10 ir 2π n − 2π n/10. Kadangi n yra sveikasis skaičius, o kosinusas yra lyginė funkcija, kurios periodas 2π, x_18[n] = x_2[n] kiekvienam sveikajam n. Tai dažnių persidengimas: skirtingi tolydieji signalai duoda tą pačią atskaitų seką.

Pavyzdžiui, momentu t = 0.025 s, kuriuo atskaita neimama, x_2 yra apytiksliai +0.951057 V, o x_18 – apytiksliai −0.951057 V. Jų tolydieji įėjimo signalai skiriasi, nors visos atskaitos, imamos pagal nurodytą taktą, sutampa. Lentelėje pateiktos pasirinktos sutampančios atskaitos; dešimtainės vertės yra suapvalintos tikslios kosinuso vertės, o ne papildomi matavimai.

Bendresniu atveju prie kosinusinio signalo dažnio pridėjus bet kurį sveikąjį k f_s kartotinį, šios atskaitos, imamos nuo nulinės laiko pradžios, nepakinta: cos[2π(f + k f_s)n/f_s] = cos[2π f n/f_s]. Atspindėtas dažnis f_s − f taip pat duoda tas pačias nulinės pradinės fazės kosinusinio signalo atskaitas. Taigi vien iš sekos negalima pasirinkti 2 Hz įėjimo signalo, o ne 18 Hz įėjimo signalo. Taikant tą patį deterministinį kvantavimo įtaisą vienodoms atskaitoms, jų taip pat negalima atskirti.

Nurodykite juostos ribą ir griežtą dažnio sąlygą

Idealioji žemųjų dažnių signalų diskretizavimo teorema nustato apribojimą, leidžiantį atkurti signalą. Įprastu atkūrimo pagal Furjė metodą atveju tarkime, kad turime tolydųjį ribotos dažnių juostos signalą, neturintį dažninių komponenčių už intervalo nuo −B iki +B ribų, tikslias tolygiai išdėstytų atskaitų vertes kiekvienam sveikajam n ir f_s > 2B. Tuomet signalą vienareikšmiškai nusako visa atskaitų seka. Čia B yra didžiausias absoliutusis signalo dažnis, o ne to intervalo plotis 2B.

Skirkite du terminus. Signalo Naikvisto diskretizavimo dažnis yra 2B; jis priklauso nuo leistinos signalų klasės. Taktinio signalo Naikvisto dažnis yra f_s/2; jis priklauso nuo pasirinkto diskretizavimo dažnio. Kai duota B = 7 Hz ir f_s = 20 atskaitų/s, šios vertės yra atitinkamai 14 atskaitų/s ir 10 Hz, o 20 > 14. 10 atskaitų/s taktinis dažnis negarantuoja, kad bus galima atkurti kiekvieną tos B = 7 Hz klasės signalą.

Teoremoje naudojamos idealiosios visos sekos vertės, o ne vien dešimt kvantuotų trumpo įrašo rodmenų. Baigtinės trukmės įrašą arba baigtinį amplitudės kodų rinkinį reikia papildomai analizuoti; vien dažnių nelygybės tenkinimas neįrodo, kad tikras matavimo prietaisas išsaugojo visus svarbius dydžius.

Patikrinkite ribinį atvejį ir filtruokite prieš diskretizuodami

Lygybę reikia vertinti atsargiai, kai tarp leistinų signalų yra ribinio dažnio harmoninis signalas, kurio fazė nežinoma. Kai f_s = 14 atskaitų/s, idealusis įėjimo signalas z(t) = (1 V) sin[2π(7 Hz)t] duoda z[n] = (1 V) sin(π n) = 0 V kiekvienam sveikajam n. Nulinis įėjimo signalas duoda tas pačias atskaitas. O 7 Hz kosinusinio signalo atskaitos pakaitomis yra +1 V ir −1 V. Bendras pažadas, kad lygybės atveju visada išsaugomas nežinomos fazės ribinio dažnio harmoninis signalas, neatsižvelgtų į šį skirtumą.

Iš tiesų ribinio dažnio įėjimo signalo A cos[2π(f_s/2)t + φ], kur A yra įtampos amplitudė, o φ – fazė radianais, atskaitos yra A(−1)^n cos φ. Atskaitos nusako šią sandaugą, o ne A ir φ atskirai. Nurodytai signalų klasei taikome griežtą sąlygą, užuot laikę lygiai dvi atskaitas per periodą besąlygine atkūrimo taisykle.

Spektro persidengimą slopinantis filtras veikia prieš diskretizavimą ir slopina dažnius, esančius už numatytos juostos ribų; Waseda universiteto konvertavimo pastabose pirminis filtravimas atliekamas prieš diskretizavimą. Jei pateiktas idealus filtras išlaiko 2 Hz dedamąją ir pašalina 18 Hz dedamąją, diskretizuotas signalas priklauso kitai, apribotai klasei. Jis neišlaiko visos informacijos apie nefiltruotą įėjimo signalą. Vėlesnė operacija su jau tapačiomis 2 Hz ir 18 Hz signalų imčių sekomis negali nustatyti jų pradinio šaltinio be papildomos informacijos.

Apibrėžkite baigtinio lygių skaičiaus įtampos kvantizatorių

Atskiram originaliam amplitudės modeliui pateikite aštuonis lygius, kurių vardinis įėjimo intervalas yra −1 V ≤ u ≤ 1 V, o žingsnis Δ = 0.25 V. Lygiui, kurio indeksas k, priskirta įtampa yra q_k = −1 V + (k + 1/2)Δ, kai k kinta nuo 0 iki 7. Taigi priskirtos įtampos yra nuo −0.875 V iki +0.875 V. Vienodas atstumas tarp lygių yra čia svarbi apibrėžiamoji savybė.

Kiekvienai realiajai įtampai u apibrėžkite atvaizdį k(u) = min(7, max(0, floor[(u + 1 V)/Δ])) ir Q(u) = q_{k(u)}. Funkcija floor grąžina didžiausią sveikąjį skaičių, neviršijantį jos bedimensio argumento. Vidiniame vidurio taške tarp priskirtų įtampų pasirinkite didesnę priskirtą įtampą. Vardinio intervalo galuose naudokite atitinkamą kraštinę priskirtą įtampą; už vardinio intervalo ribų išlaikomas tas pats kraštinis lygis. Ši formulė apibrėžia pasirinkimą vienodo atstumo atvejais ir ribojimą, taip pat vidinius kvantavimo intervalus.

Užkoduokite k trimis dvejetainiais skaitmenimis: nuo 0 → 000 iki 7 → 111, išlaikydami pradžioje esančius nulius. Dekoduojant šį žodį pagal pateiktą įtampos atvaizdį gaunama q_k. Kai u = 0.31 V, k = 5, žodis yra 101, o Q(u) = 0.375 V. Vienodo atstumo atveju, kai u = 0.50 V, k = 6, žodis yra 110, o Q(u) = 0.625 V. Didinant galimų žodžių skaičių, keičiasi amplitudės vaizdavimas, bet ne diskretizavimo laiko momentai.

Apribokite tik nurodytą kvantavimo paklaidą

Intervale −1 V ≤ u ≤ 1 V kiekviena pasirinkta reprezentacinė vertė yra savo 0.25 V pločio kvantavimo intervalo centre. Todėl pateiktas atvaizdis tenkina |Q(u) − u| ≤ Δ/2 = 0.125 V visame šiame intervale, įskaitant jo galinius taškus ir pagal nustatytą taisyklę priskirtus vidurio taškus. Tai blogiausio atvejo riba deterministiniam modeliui. Ji nereiškia, kad paklaidos pasiskirsčiusios atsitiktinai, yra nepriklausomos ar kad nustatyta standartinė neapibrėžtis.

Už vardinio intervalo ribų pusės žingsnio garantija nebegalioja. Apribojus 1.10 V įėjimo vertę, gaunama Q = 0.875 V ir e = −0.225 V; šios paklaidos modulis viršija 0.125 V. Tas pats baigtinio ilgio žodis 111 gali reikšti tiek įėjimo vertę intervalo ribose, tiek didesnę apribotą įėjimo vertę. Jei nėra atskirai nurodyto perkrovos indikatoriaus ar kitos informacijos, vien iš šio žodžio neįmanoma nustatyti, kuris atvejis įvyko.

Skirtingos įėjimo vertės intervalo ribose taip pat gali būti priskirtos vienam lygiui: tiek 0.31 V, tiek 0.36 V virsta 0.375 V ir žodžiu 101. Didesnis amplitudės lygių skaičius gali sumažinti šio konkretaus modelio kvantavimo intervalo plotį, tačiau baigtinio ilgio žodžiai neišsaugo kiekvienos realiosios įėjimo amplitudės. Pusės žingsnio kvantavimo paklaidos riba neapima jutiklio paklaidos, apkrovos poveikio, netobulų etaloninių įtampų ar laiko neapibrėžties ir nenustato viso matavimo tikslumo.

Užrašykite modelį ir išlaikykite jo taikymo ribas

Kartu su duomenimis išsaugokite laikrodžio laiko atskaitos pradžią ir dažnį, įrašo pradžią ir pabaigą, įėjimo vienetus ir elektrinį atskaitos tašką, numatytą signalo dažnių juostą, išankstinio filtro veikimą, reprezentacinius lygius, kodavimo atvaizdį, vidurio taškų priskyrimo ir ribojimo taisykles. Dešimčiai mūsų trijų bitų žodžių reikia 30 naudingųjų duomenų bitų; įtraukus vienuoliktąją atskaitą, reikia 33. Į šiuos skaičius neįtraukti laiko metaduomenys, antraštės ir jokie kiti papildomi saugojimo duomenys.

Laiko ir amplitudės sąlygas nagrinėkite atskirai. Padidinus bitų skaičių, neįmanoma atskirti tolydžiųjų įėjimo signalų, kurių atskaitos jau yra vienodos. Padidinus diskretizavimo dažnį, savaime neužkertamas kelias įtampos ribojimui. Praktikoje išankstinio filtro slopinimas yra baigtinis, o jo dažninė charakteristika turi pereinamąją sritį; atskaitos taip pat gaunamos ir pateikiamos netobulai. Pasirinktą dažnį reikia įvertinti atsižvelgiant į tikrąją matavimo grandinę ir numatytą matavimą.

Pateikti modeliai leidžia tiksliai apskaičiuoti laiko parametrus, dažnių persidengimą ir kvantavimo rezultatus. Jie neįvertina tikro keitiklio ir neatkuria bet kokio signalo iš trumpo baigtinio įrašo. Kitoje temoje „Triukšmas, signalo ir triukšmo santykis bei filtravimas“ nagrinėjama, kaip nepageidaujamos dedamosios ir nurodytas filtravimas veikia signalo interpretavimą; čia nustatyti skirtumai išlieka tos analizės dalimi.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Naudodami tą patį 20 atskaitų/s taktą, įtraukite abu intervalo 0 ≤ t ≤ 0.5 s galus. Nurodykite atskaitų indeksus, skaičių, paskutinį laiko momentą ir naudingųjų duomenų dydį, kai kiekvienai atskaitai naudojami lygiai trys bitai. Neįtraukite jokių papildomų saugojimo sąnaudų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Indeksai yra nuo 0 iki 10: vienuolika atskaitų, kurių paskutinė yra ties 0.5 s, ir 33 naudingųjų duomenų bitų.

   Įtraukus dešinįjį intervalo galą, pridedama anksčiau neįtraukta atskaita n = 10. Vienuolika trijų bitų kodinių žodžių užima 11 × 3 = 33 bitų. O dešimties atskaitų įrašas pusiau atvirame intervale turi 30 naudingųjų duomenų bitų ir baigiasi ties 0.45 s.

2. Laiko momentais t_n = n/20 sekundžių palyginkite nulinės pradinės fazės ir 1 V amplitudės kosinusinius įėjimo signalus, kurių dažniai yra 6 Hz, 14 Hz ir 26 Hz. Kurių signalų atskaitos yra vienodos ir ar ilgesnis įrašas, gautas naudojant tiksliai tą patį taktą, gali juos atskirti, jei įėjimo signalo dažnių juosta neapribota?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visų trijų signalų ėminiai sutampa esant bet kuriam sveikajam n. Ilgesnis įrašas, gautas tuo pačiu diskretizavimo dažniu, neleidžia atskirti šių pateiktų įėjimo signalų be papildomos informacijos.

   14 = 20 − 6 duoda kosinuso atspindžio tapatybę, o 26 = 20 + 6 prie ėminio fazės prideda 2π n. Dėl lyginumo ir periodiškumo gaunama ta pati 6 Hz signalo ėminių seka; lygybė galioja ne tik keliems užregistruotiems taškams.

3. Palikite idealią žemųjų dažnių juostos ribą B = 7 Hz. Nurodykite signalo Naikvisto diskretizavimo dažnį, 16 ėminių/s diskretizavimo Naikvisto dažnį ir diskretizavimo intervalą. Ar 16 ėminių/s tenkina nurodytą griežtą idealiąją sąlygą ir ar vien šis faktas garantuoja tikslų atkūrimą iš trumpo kvantuoto įrašo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Signalo Naikvisto diskretizavimo dažnis yra 14 ėminių/s. Diskretizavimo Naikvisto dažnis yra 8 Hz, o diskretizavimo intervalas – 0.0625 s. Griežta diskretizavimo dažnio sąlyga tenkinama, tačiau vien trumpas kvantuotas įrašas nėra visa tiksli seka, kurią numato teorema.

   Apskaičiuokite 2B = 14, f_s/2 = 8 ir 1/f_s = 1/16 s. Nelygybė 16 > 14 susijusi su leidžiama dažnių juosta ir idealiu diskretizavimu; baigtinė trukmė, kvantavimas ir tikrojo prietaiso veikimas išlieka atskiromis sąlygomis.

4. Diskretizuodami 14 ėminių/s dažniu, palyginkite z(t) = (1 V) sin[2π(7 Hz)t] su c(t) = (1 V) cos[2π(7 Hz)t]. Nurodykite jų vertes, kai n = 0, 1 ir 2. Kokią informaciją galima nustatyti iš bendrosios sekos A(−1)^n cos φ ties dažnių juostos riba?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sinuso vertės yra 0 V, 0 V, 0 V; kosinuso vertės yra +1 V, −1 V, +1 V. Bendroji seka leidžia nustatyti A cos φ, bet ne A ir φ atskirai.

   Ėminių fazės yra 0, π ir 2π. Esant šioms fazėms, sinusas lygus nuliui, o kosinuso ženklas kaitaliojasi. Bendrojoje išraiškoje yra vienas įtampos matmenį turintis koeficientas A cos φ, todėl iš jo nežinomos amplitudės ir fazės atskirai atkurti negalima.

5. Taikykite pradinį aštuonių lygių kvantizatorių vertėms u = −0.50 V, 0 V ir −1.20 V. Kiekvienai nurodykite trijų bitų žodį, reprezentacinę vertę ir paklaidą su ženklu. Kuri įėjimo vertė nepatenka į nominalųjį intervalą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai įėjimo vertė yra −0.50 V, gaunama 010, −0.375 V ir +0.125 V; kai ji yra 0 V, gaunama 100, +0.125 V ir +0.125 V; kai ji yra −1.20 V, gaunama 000, −0.875 V ir +0.325 V. Tik −1.20 V nepatenka į nominalųjį −1–1 V intervalą.

   Abiem vienodo atstumo atvejais intervalo viduje pasirenkama didesnės įtampos reprezentacinė vertė, todėl indeksai yra 2 ir 4. Kai įėjimo vertė yra −1.20 V, santykis yra −0.8, jį suapvalinus žemyn gaunama −1, o apribojus indeksas tampa 0. Už intervalo ribų paklaida viršija intervale garantuojamą 0.125 V ribą.

6. Apibrėžkite naują kvantizatorių tame pačiame nominaliajame −1–1 V intervale su šešiolika vienodais atstumais išdėstytų kvantavimo langelių centrų, ta pačia didesnės įtampos pasirinkimo taisykle vienodo atstumo atveju ir apribojimu kraštiniais lygiais. Naudokite keturių bitų kodus. Raskite jo žingsnį ir pusės žingsnio paklaidos ribą intervale, tada kvantuokite u = 0.50 V. Ar vien šis pakeitimas leidžia atskirti pradinius 2 Hz ir 18 Hz įėjimo signalus, diskretizuojamus 20 ėminių/s dažniu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Žingsnis yra 0.125 V, o paklaidos riba – 0.0625 V. Kai įtampa yra 0.50 V, indeksą 12 atitinka kodinis žodis 1100, reprezentacinė vertė 0.5625 V ir paklaida +0.0625 V. Nepakitęs 20 atskaitų/s diskretizavimo taktinis dažnis vis dar neleidžia atskirti dviejų pradinių įėjimo signalų.

   Padalykite 2 V pločio nominalųjį intervalą į šešiolika langelių. Santykis (0.50 V + 1 V)/(0.125 V) yra 12, todėl naujoji reprezentacinė vertė yra −1 V + 12.5(0.125 V). Keturi bitai leidžia pasirinkti vieną iš šešiolikos lygių, tačiau vienodos įėjimo atskaitų sekos išlieka vienodos taikant tą patį deterministinį atvaizdį.

Ką verta įsidėmėti

• Diskretizuojant parenkami laiko momentai, kvantuojant – reprezentacinės amplitudės, o koduojant šiems lygiams priskiriami kodiniai žodžiai.
• Pagal pateiktą nuo nulinio laiko prasidedančią 20 atskaitų/s taktų seką tikslių 2 Hz ir 18 Hz kosinusinių įėjimo signalų atskaitos sutampa esant bet kuriam sveikajam indeksui.
• Nurodytu idealiu žemųjų dažnių atveju f_s > 2B yra pakankama diskretizavimo sąlyga, kai naudojama visa tiksli seka; 2B yra signalo Naikvisto diskretizavimo dažnis, o f_s/2 – taktų sekos Naikvisto dažnis.
• Nežinomos fazės tonui, kurio dažnis lygus lygiai pusei diskretizavimo dažnio, reikia ypatingo dėmesio: visos pateiktos ribinio dažnio sinusoidės atskaitos yra nulinės.
• Pradinio aštuonių lygių kvantavimo įtaiso didžiausios paklaidos riba nominaliajame įėjimo intervale yra 0.125 V; dėl signalo ribojimo ši riba gali būti viršyta.
• Užrašykite diskretizavimo taktą, įėjimo dažnių juostą, galinius taškus ir kodų atvaizdį. Dėl laiko diskretizavimo atsirandančiam signalų nevienareikšmiškumui, amplitudės kvantavimui ir realių matavimų neapibrėžčiai reikia skirtingų sąlygų.