Dėsningumai, kiekiai ir matematiniai klausimai

Pradėkite nuo klausimo, kurį galite paaiškinti

Padėkite ant stalo kelis akmenukus. Galite klausti, kiek jų yra, kokia jų masė arba kiek vietos jie užima. Prieš pradėdami skaičiuoti, nuspręskite, ką norite sužinoti. Tai skirtingi klausimai apie tuos pačius daiktus.

Gera pradžia yra trys klausimai: ką jau žinau? Ką noriu sužinoti? Kas turi likti nepakitę? Sakinys, piešinys ar kruopštus suskaičiavimas jau gali padėti samprotauti. Svarbu suprasti, ką pasakys gautas skaičius.

Daiktus skaičiuojame, dydžius matuojame

Skaičiuodami sužinome, kiek turime atskirų daiktų. Šeši akmenukai yra šeši daiktai, net jei jų dydžiai skiriasi. Kiekvieną suskaičiuokite vieną kartą ir nė vieno nepraleiskite. Tuščioje grupėje daiktų skaičius yra nulis. Pirmiausia sutarkite, ką laikote vienu daiktu: trys poros pirštinių yra trys poros, bet šešios atskiros pirštinės.

Matuodami dydį palyginame su pasirinktu vienetu. Virvelės ilgis gali būti 30 centimetrų, o akmenuko masė – 80 gramų. Skaičiui reikia vieneto ir paaiškinimo. Užrašas „30“ nepasako, ar kalbama apie akmenukus, centimetrus, ar minutes. Matavimo priemonės taip pat turi ribas, todėl išmatuotas dydis savaime nėra visiškai tikslus.

Pastebėkite vienodo dydžio grupių ryšį

Sudėliokite akmenukus į grupes po keturis. Vienoje grupėje yra keturi akmenukai, dviejose – aštuoni, trijose – dvylika. Kiekviena pridėta grupė padidina bendrą skaičių dar keturiais. Galite nebeskaičiuoti visų akmenukų iš naujo, o pasinaudoti sandara: bendras akmenukų skaičius lygus grupių skaičiui, padaugintam iš keturių.

Svarbi sąlyga: kiekvienoje grupėje turi būti po keturis akmenukus. Jei vienoje akmenuko trūksta, tas pats skaičiavimas jau nebeaprašo tikrojo išdėstymo. Keturi yra mūsų pavyzdžio grupės dydis. Grupėms po tris gėles ar penkis varžtus galioja ta pati idėja, tik kiekvienos grupės daiktų skaičius bus kitoks.

Pasakykite, sutvarkykite, užrašykite trumpiau

Žodžiai paaiškina ryšį. Lentelė leidžia lengvai palyginti kelis atvejus: grupių skaičius 1, 2, 3, 4 atitinka bendrą akmenukų skaičių 4, 8, 12, 16. Stulpeliams suteikite pavadinimus, kad skaičiai neprarastų prasmės. Piešinyje grupes matote tiesiogiai, o lentelėje užrašote jų skaičius. Tai keli būdai pažvelgti į tą patį išdėstymą.

Formulė tą patį pasako trumpai: T = 4 × g. Čia g reiškia grupių skaičių, o T – bendrą akmenukų skaičių. Raidžių reikšmes pasirenkame ir paaiškiname; tai nėra paslėpti skaičiai, kuriuos būtina atspėti. Šiame išdėstyme g gali būti nulis arba teigiamas sveikasis skaičius. Kai grupių nėra, T = 4 × 0 = 0.

Pastebėjimas dar nepasako visos taisyklės

Tarkime, matote skaičius 2, 4, 6. Kaskart pridėdami po du, toliau gautumėte 8. Tai viena galima ir pagrįstai siūloma taisyklė. Tačiau kartojant trejetą 2, 4, 6, kitas skaičius būtų 2. Abi taisyklės tinka visiems parodytiems skaičiams. Vien trumpas sąrašas neleidžia nustatyti vienintelio kito skaičiaus.

Atskirkite du teiginius: „pastebėjau tokias reikšmes“ ir „siūlau tokią taisyklę“. Norėdami pasirinkti iš kelių galimų taisyklių, paklauskite, kaip sąrašas sudarytas, arba paprašykite dar vieno pastebėjimo. Dėsningumo užduotyje numatyta taisyklė kartais nurodoma sąlygoje. Jei tokios informacijos nėra, paaiškinkite savo prielaidą, o mėgstamiausio tęsinio nelaikykite savaime aiškiu.

Patikrinkite prasmę, sąlygas ir ribinį atvejį

Gavę atsakymą, grįžkite prie daiktų. Ar atsakymas aprašo tai, ko klausėte? Ar nurodytas tinkamas vienetas arba aišku, kokie daiktai suskaičiuoti? Ar tikrai visos grupės buvo vienodo dydžio? Nedidelį išdėstymą suskaičiuokite tiesiogiai ir palyginkite su formule. Tada išbandykite ribinį atvejį, pavyzdžiui, nulį grupių: ar paaiškinimas vis dar prasmingas?

Patikrinimas gali parodyti sutapimą arba padėti aptikti klaidą; keli teisingi pavyzdžiai dar nepatvirtina visų galimų atvejų. Šiame pavyzdyje formulės pagrindas yra pats išdėstymas: kiekviena grupė prideda keturis akmenukus. Šį įprotį verta išsaugoti: aiškiai įvardykite klausimą, aprašykite ryšį ir nepamirškite sąlygų, kuriomis jį taikote.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Turite šešis akmenukus, o svarstyklės rodo, kad jų bendra masė yra 185 gramai. Kuris rezultatas gautas skaičiuojant daiktus, o kuris – matuojant?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Šeši akmenukai yra suskaičiuotas daiktų skaičius. 185 gramai yra masės matavimo rezultatas.

   Pirmuoju atveju skaičiuojami atskiri daiktai. Antruoju jų bendra masė palyginama su vienetu. Vienas skaičius nepakeičia kito.

2. Yra penkios grupės po keturis akmenukus. Raskite bendrą skaičių ir paaiškinkite, ką ta pati taisyklė duoda, kai grupių yra nulis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Penkiose grupėse yra 20 akmenukų, o kai grupių nėra – nulis akmenukų.

   Pagal T = 4 × g gauname 4 × 5 = 20 ir 4 × 0 = 0. Nulinis atvejis atitinka išdėstymą be grupių ir be papildomų akmenukų.

3. Trijose grupėse yra keturi, keturi ir trys akmenukai. Ar T = 4 × g duoda tikrąjį bendrą skaičių? Kiek akmenukų yra iš viso?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iš viso yra 11 akmenukų. Vienodo dydžio grupių taisyklės tiesiogiai taikyti negalima.

   Trečioji grupė neatitinka sąlygos. Sudėkite 4 + 4 + 3 = 11 arba iš dvylikos atimkite trūkstamą akmenuką.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš pasirinkdami skaičiavimą, įvardykite, kokio dydžio ar kiekio ieškote.
• Žodžiai, piešiniai, lentelės ir formulės gali aprašyti tą patį ryšį.
• Dėsningumas leidžia siūlyti taisyklę; jos prasmė ir sąlygos nurodo, kada ją galima taikyti.