Dydžiai, vienetai ir dimensijos

Dydis aprašo savybę, o jo vertė apima vienetą

Fizikinis dydis yra savybė, kurią galima aprašyti kiekybiškai, pavyzdžiui, atkarpos ilgis, kelionės trukmė ar mėginio masė. Daiktas ir dydis skiriasi: vienas akmuo turi masę, tūrį ir kelis galimus matuojamus ilgius. Prieš užrašydami vertę, nustatykite, apie kurią savybę klausiama.

Jei l žymi konkrečios atkarpos ilgį, l = 1,5 m pateikia vertę su dviem dalimis: skaitine verte 1,5 ir pasirinktu vienetu metru, kurio simbolis m. Apskritai tegu Q žymi dydžio vertę, a – jos skaitinę vertę pasirinktu vienetu u; tada Q = a × u. Vien skaičius 1,5 nenustato, kas matuota ir koks vienetas naudotas. Kai kontekstas gali būti neaiškus, kartu su skaičiumi bei vienetu išlaikykite dydžio pavadinimą ar simbolį.

Keičiant vienetą keičiasi skaičius, o dydis lieka tas pats

Nurodytam tiksliam 1,5 m ilgiui vienetų ryšiai 1 m = 100 cm = 1000 mm duoda 1,5 m = 150 cm = 1500 mm. Metras, centimetras ir milimetras išreiškia tos pačios rūšies dydį skirtingo dydžio vienetais. Mažesnio vieneto tam pačiam ilgiui nusakyti reikia daugiau. Atkarpos dydis išlieka pastovus, nors jo skaičiaus ir vieneto užrašas keičiasi.

Vienetas priklauso skaičiavimui. Lygybėje 1,5 × m = 150 × cm skirtingi skaičiai atsveria skirtingus vienetų dydžius. Vertės pakeitimas į kitą vienetą neprideda naujo fizinio ilgio ar matavimo informacijos. SI priešdėliai nusako tikslius dešimtainius mastelio daugiklius; čia centimetro ir milimetro pakanka minčiai paaiškinti. Kita pamoka sistemingai išplėtos vienetų keitimą ir dimensijų patikrą.

Dimensija nusako dydžio sandarą pagrindiniais dydžiais

Vienetas nurodo, kaip dydis išreikštas, o dimensija aprašo jo sandarą pagrindiniais dydžiais. Metrais ar centimetrais išreikštas ilgis turi tą pačią ilgio dimensiją. Šioje pamokoje L žymi ilgio dimensiją, T – laiko, M – masės. Jei d yra ilgis, o t trukmė, rašome [d] = L ir [t] = T; šie skliaustai čia žymi dimensijas, o ne pasirinktus vienetus.

Dydžio rūšis yra konkretesnė nei dimensija. Ilgio, ploto ir tūrio dimensijos L, L² ir L³, todėl juos galima atskirti pagal dimensijas. Kiti dydžiai gali turėti tą pačią dimensiją, tačiau skirtingus fizinius ar kontekstinius vaidmenis. Laikrodžio rodmuo ir trukmė abu susiję su laiku, bet rodmuo 09:00 skiriasi nuo teiginio, kad veikla truko devynias valandas. Nulinis ilgis vis dar priklauso ilgio dydžių rūšiai; skaičius nulis jo konteksto nepanaikina.

SI turi septynias pagrindinių dydžių ir vienetų poras

Tarptautinė vienetų sistema SI naudoja septynis pagrindinius dydžius ir juos atitinkančius pagrindinius vienetus. Jų pavadinimai bei simboliai suteikia bendrą atskaitą matavimams išreikšti. Lentelėje pateikiamos dabartinės poros.

Išlaikykite simbolių raidžių dydį ir rašybą: m, kg, s, A, K, mol ir cd. Pagrindinis masės vienetas yra kilogramas, nors jo pavadinimas jau turi priešdėlį. Septyni pagrindiniai dydžiai sutvarko dimensijas bei išvestinius vienetus; tai nėra visų galimų tirti dydžių sąrašas. Ši pamoka naudoja dabartinę SI, o išsamios ją apibrėžiančios konstantos priklauso specializuotesniam mokymuisi.

Išvestiniai dydžiai jungia pagrindinius dydžius ir vienetus

Stačiakampio plotas sujungia du statmenus ilgius. Jo dimensija L², o SI ploto vienetas kvadratinis metras, m². Stačiakampio gretasienio tūris sujungia tris ilgius: dimensija L³, SI vienetas kubinis metras, m³. Vienetinio kvadrato kraštinės 1 m ir 1 m; vienetinio kubo briaunos 1 m, 1 m ir 1 m. Laipsniai žymi pasikartojančius ilgio daugiklius, o ne pasikartojantį kvadratų ar kubų skaičių.

Greitis sujungia atstumą su trukme. Jei d žymi nueitą atstumą, o t teigiamą praėjusią trukmę, vidutinis greitis v = d/t. Jo dimensija L/T, SI vienetas m/s. Tai išvestiniai dydžiai, nes jų dimensijos ir vienetai sudaromi iš pagrindinių dydžių. Tą patį greitį galima išreikšti skirtingais vienetais, pavyzdžiui, m/s ar km/h, jei kiekviena skaitinė vertė suprantama su nurodytu vienetu.

Sudėčiai reikia suderinamų dydžių ir bendro vieneto

Norėdami rasti dviejų atkarpų, sujungtų galais, bendrą ilgį, sudėkite jų ilgius. 1,5 m atkarpa ir 75 cm atkarpa duoda 150 cm + 75 cm = 225 cm, arba 2,25 m. Bendras vienetas padaro skaitinius kiekius palyginamus. Vien skaičių 1,5 ir 75 sudėtis be jų vienetų ryšio nenusakytų šio bendro ilgio.

1,5 m ilgio negalima sudėti su 0,75 s trukme ir gauti vieną ilgį: jų dimensijos skiriasi. Suderinamos dimensijos taip pat tik pradinis patikrinimas. Net dviem ilgiams reikia nurodyto klausimo, pavyzdžiui, atkarpų jungimo, perimetro radimo ar skirtumo palyginimo. Jei atkarpos persidengia, bendras jų dengiamas ilgis gali nesutapti su atskirų ilgių suma. Kontekstas nustato, kuris veiksmas nusako ieškomą dydį.

Sandaugos ir dalmenys išlaiko vienetus atliekant veiksmą

Stačiakampiui, kurio kraštinės 2 m ir 0,5 m, plotas = 2 m × 0,5 m = 1 m². Skaitinės vertės dauginamos, o kartu dauginami ir vienetai. Su trečia statmena 3 m briauna stačiakampio gretasienio tūris yra 2 m × 0,5 m × 3 m = 3 m³. Daugyba iš gryno mastelio daugiklio veikia kitaip: padvigubintas 2 m ilgis yra 2 × 2 m = 4 m ir vis dar ilgis.

Per 30 s nuėjus 120 m, vidutinis greitis yra 120 m ÷ 30 s = 4 m/s. Tos pačios rūšies suderinamų dydžių dalyba gali duoti santykį su vienetu „vienas“: 2 m ÷ 50 cm = 200 cm ÷ 50 cm = 4. Vardiklis turi būti nenulinis, o prieš skaitinį dalmenį dydžiai turi būti išreikšti suderintai. Prie rezultato vieneto išlaikykite jo rūšį ir interpretaciją.

Vienetas „vienas“ nepanaikina dydžio prasmės

Kai kurių dydžių dimensija yra 1; jie dažnai vadinami bedimensiais. Palyginamų ilgių santykis ar visumos dalis neturi likusių pagrindinių dimensijų. Jų koherentinis SI vienetas yra vienetas „vienas“, kurio simbolis 1; šis simbolis užraše dažnai praleidžiamas. Pavyzdžiui, ilgių santykis 4 teigia, kad pirmas ilgis lygus keturgubam antrajam ilgiui. Procentas santykį išreiškia šimto dalių masteliu: 25% = 1/4. Likusios pagrindinės dimensijos nebuvimas nepanaikina to, kas lyginama.

Plokščiasis kampas SI taip pat laikomas dydžiu su vienetu „vienas“, o specialų pavadinimą turintis vienetas radianas, simbolis rad, išlaikomas kampo prasmei nurodyti. Apskritime kampo matavimas radianais naudoja lanko ilgio ir spindulio dalmenį su šiuo geometriniu kampo kontekstu. Vien dimensijų susiprastinimas nepasako, kad bet koks ilgių santykis yra kampas. 1 rad kampo ir 25% dalies dimensija yra 1, tačiau skirtingos jų rūšys automatiškai nesuteikia prasmingos sumos.

Dimensijų sutapimas būtinas, bet formulės neįrodo

Siūlomos greičio formulės dimensija turi būti L/T. Atstumas, padalytas iš trukmės, ją turi, o atstumas, padaugintas iš trukmės, turi L × T ir šios patikros nepraeina. Ploto formulės rezultatas turi būti L². Tačiau plotis × aukštis ir 2 × plotis × aukštis abu turi šią dimensiją, nors tik pirmas duoda vieno stačiakampio plotą. Klaidingas daugiklis be dimensijos gali likti nepastebėtas dimensijų patikroje.

Prasmė taip pat priklauso nuo dydžių vaidmenų. Prie laikrodžio rodmens 09:00 pridėję 30 minučių trukmę gauname 09:30 toje pačioje laiko atskaitoje. Vien dviejų laikrodžio rodmenų sudėtis nenustato tarp jų praėjusios trukmės; tam reikia tinkamo skirtumo ir bendros laiko atskaitos. Taigi formulė gali nuosekliai naudoti laiko vienetus, bet pasirinkti netinkamą laiko dydį. Patikrinkite dimensijas, tada fizinį ar matematinį ryšio pagrindą.

Keiskite rodomą vienetą išlaikydami tą patį ilgį

Tyrinėjimo įrankyje pradėkite nuo A atkarpos 3/2 m ir centimetrų. Šiuo vienetu jos skaitinė vertė 150, o lygiaverčių užrašų lentelė taip pat duoda 1,5 m ir 1500 mm. Perjunkite metrų, centimetrų ir milimetrų vaizdus. Ilgio padėtis pastovioje ašyje nuo 0 iki 3 metrų išlieka tokia pati, o skaitiniai užrašai keičiasi pagal pasirinktą vienetą. Paaiškinkite, kuris dydis išliko pastovus ir kuri jo išraiškos dalis pasikeitė.

Pasirinkite jungimo galais kontekstą su B atkarpa 3/4 m. Jų suma 9/4 m = 2,25 m = 225 cm ir lieka ilgiu. Keiskite nurodytą A ilgį, įskaitant nulį, ir nagrinėkite bendrą kiekį. Tada pasirinkite bandymą pridėti 3/4 s trukmę. Laiko dydis išlaiko savo rūšį bei dimensiją; jo negalima paversti ar pavaizduoti kaip papildomo ilgio. Tai tikslūs modelio dydžiai, leidžiantys tyrinėti vieneto prasmę atskirai nuo tikro matavimo neapibrėžties.

Tikslus vienetų ryšys nepadaro matavimo tikslaus

Apibrėžtas ryšys 1 m = 100 cm yra tikslus. Nurodytas matematinis 1,5 m ilgis todėl tiksliai 150 cm. Tikros atkarpos matavimas gali turėti prietaiso, metodo ar sąlygų apribojimų. Vieneto pakeitimas išlaiko šią matavimo informaciją; jis nepašalina neapibrėžties ir neįrodo, kad pateikta vertė yra tikslus fizinis ilgis.

Pavyzdžiui, pateiktas 1,50 m ilgis su nurodyta 0,02 m neapibrėžtimi tampa 150 cm su 2 cm neapibrėžtimi. Ir vertė, ir nurodyta neapibrėžtis naudoja tą patį tikslų vieneto daugiklį. Papildomi užrašyti skaitmenys savaime neįrodo didesnio tikslumo, o neapibrėžties teiginys turi turėti savo metodą ir interpretaciją. Tikslius modelio ryšius atskirkite nuo išmatuotų verčių bei suapvalintų užrašų. Išsamus vienetų keitimas ir dimensijų patikra bus kitos pamokos tema.

Nurodykite dydį, jo vienetą ir rezultato prasmę

Prieš skaičiuodami nustatykite dydžio rūšį ir pasirinkite naudingą vienetą. Skaitinę vertę atskirkite nuo visos skaičiaus bei vieneto vertės, o dydžių simbolius apibrėžkite vietoje. Sudėčiai tikrinkite suderinamus dydžius, bendrą vienetą ir tinkamą jų jungimo klausimą. Daugybai ar dalybai vienetus ir dimensijas išlaikykite atliekant veiksmą; santykis gali turėti vienetą „vienas“, bet vis tiek reikalauti įvardyto konteksto.

Po skaičiavimo klauskite, ar rezultato dimensija atitinka prašomą rūšį, ar skaitinis dydis pagrįstas ir ar pats ryšys pagrįstas. Ilgis, plotas ir trukmė yra skirtingi atsakymai, net jei jų skaičiai sutampa. Tikram matavimui išlaikykite pradines matavimo ribas, o tikslius lygiaverčius ryšius naudokite tik ten, kur jie pagrįsti. Kita pamoka vienetų keitimą ir dimensijų patikrą išplėtos į sistemingą procedūrą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nurodytas tikslus atkarpos ilgis 1,5 m. Įvardykite dydžio rūšį, skaitinę vertę ir vienetą. Kas pasikeičia užraše 150 cm ir kokia dimensija?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Rūšis ilgis, skaitinė vertė 1,5, vienetas metras. Užraše 150 cm skaitinė vertė 150, vienetas centimetras; tas pats ilgis ir dimensija L išlieka.

   Pasirinktas vienetas nustato skaitinį kiekį, nes 1 m = 100 cm. Lygybė 1,5 m = 150 cm susieja visas dydžio vertes, o ne vien skaičius 1,5 ir 150.

2. Nurodykite pagrindinį SI vienetą ir simbolį ilgiui, masei, laikui, elektros srovės stipriui, termodinaminei temperatūrai, medžiagos kiekiui ir šviesos stipriui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai: metras m; kilogramas kg; sekundė s; amperas A; kelvinas K; molis mol; kandela cd.

   Tai septynios dabartinės pagrindinių SI dydžių ir vienetų poros. Vienetų simboliai išlaiko raidžių dydį. Pagrindinis masės vienetas kilogramas, o termodinaminei temperatūrai naudojamas kelvinas. Kitų dydžių vienetai gali būti išvesti iš šių pagrindinių vienetų arba būti vienetas „vienas“.

3. Nurodykite ploto, tūrio ir greičio SI vienetus bei dimensijas. Apskaičiuokite 2 m × 3 m ir 2 m santykį su 50 cm. Paaiškinkite, kodėl pirmas rezultatas išlaiko vienetą, o antras turi vienetą „vienas“.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Plotas: m² ir L²; tūris: m³ ir L³; greitis: m/s ir L/T. Sandauga 6 m², ilgių santykis 4 su vienetu „vienas“.

   Sandaugos daugina ilgio vienetus, todėl du ilgio daugikliai duoda ploto dimensiją. Santykiui 2 m paverskite į 200 cm ir 200 cm padalykite iš 50 cm; vienodi vienetų daugikliai susiprastina. Rezultatas, kurio dimensija 1, vis dar lygina įvardytus ilgius.

4. Galais sujunkite 1,5 m ir 3/4 m ilgius, tada bendrą išreikškite centimetrais. Ar 1,5 m būtų galima sudėti su 3/4 s kaip ilgį? Ar vien dviejų laikrodžio rodmenų sudėtis duoda praėjusią trukmę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sujungtas ilgis 9/4 m = 2,25 m = 225 cm. Trukmės negalima pridėti kaip ilgio. Vien dviejų laikrodžio rodmenų sudėtis praėjusios trukmės nenustato.

   Jungimo klausimas suteikia prasmingą dviejų ilgių sumą bendru vienetu. Bandytame antrame veiksme ilgio ir laiko dimensijos skiriasi. Laikrodžio rodmenims tinkamas skirtumas su bendra laiko atskaita duoda trukmę; vien laiko vienetai teisingo veiksmo nepasirenka.

5. Kokią dimensiją SI turi ilgių santykis, procentinė dalis ir plokščiasis kampas radianais? Ar dėl to jų rūšys tampa sukeičiamomis? Raskite 25% nurodyto tikslaus 8 m ilgio ir pasakykite rezultato vienetą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jų dimensija yra 1, tačiau rūšys ir kontekstai išlieka skirtingi. Dvidešimt penki procentai nuo 8 m yra 2 m, vis dar ilgis.

   Santykiai gali panaikinti pagrindines dimensijas, o kampas pagal SI susitarimą turi vienetą „vienas“, radianu nurodant kampo prasmę. Tai nepaverčia kiekvieno santykio kampu. Daugiklis 25% = 1/4 yra bedimensis; jį dauginant iš ilgio, ilgio vienetas išlieka.

6. Stačiakampiui palyginkite plotas = plotis × aukštis su plotas = 2 × plotis × aukštis. Ar vien dimensijos aptinka antros formulės klaidą? Kraštinėms 2 m ir 0,5 m apskaičiuokite abu rezultatus. Ar atstumas × trukmė turėtų greičio dimensiją?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abi ploto išraiškos turi dimensiją L², todėl vien dimensijos klaidingo daugiklio nepastebi. Jos duoda 1 m² ir 2 m²; stačiakampio plotas 1 m². Atstumas × trukmė turi L × T, o ne greičio L/T.

   Grynas skaičius 2 nepakeičia sandaugos dimensijos, nors padvigubina vertę. Geometrija suteikia stačiakampio ploto taisyklę. Netinkama greičio išraiška pakeičia pačią dimensiją, todėl tokia klaida matoma dimensijų patikroje.

7. Išmatuotas ilgis pateiktas kaip 1,50 m su nurodyta 0,02 m neapibrėžtimi. Abu išreikškite centimetrais. Ar tikslus ryšys 1 m = 100 cm įrodo visiškai žinomą fizinį ilgį arba pagerina jo matavimo tikslumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pateikiama 150 cm su nurodyta 2 cm neapibrėžtimi. Tikslus vieneto keitimas savaime neįrodo visiškai žinomo ilgio ir nepagerina matavimo.

   Pateiktą vertę ir jos nurodytą neapibrėžtį padauginkite iš to paties tikslaus vieneto daugiklio 100. Tai pakeičia užrašą, išlaikant pradinę informaciją. Matavimo neapibrėžtis susijusi su rezultatu bei metodu; tikslus vienetų ryšio apibrėžimas jos nepašalina.

Ką verta įsidėmėti

• Dydžio vertė yra skaitinė vertė, padauginta iš vieneto. Keičiant vienetą gali keistis skaičius, o tas pats dydis išlieka.
• Dydžio rūšis, dimensija ir vienetas skiriasi. Septynios pagrindinių SI dydžių ir vienetų poros sutvarko dimensijas bei išvestinius vienetus, įskaitant kilogramą masei ir kelviną termodinaminei temperatūrai.
• Sudėkite suderinamus dydžius bendrais vienetais ir prasmingame kontekste. Sandaugos bei dalmenys išlaiko vienetus ir dimensijas, duodami plotą, tūrį, greitį ar kitą rezultato rūšį.
• Dydžiai su vienetu „vienas“ išlaiko savo prasmę; radianai nurodo kampo kontekstą, procentai santykius šimto dalių masteliu. Dimensijų sutapimas būtinas, bet formulės ar interpretacijos neįrodo.
• Tikslūs vienetų ryšiai išlaiko lygiaverčius užrašus, bet nepašalina matavimo neapibrėžties. Apibrėžkite simbolius, išlaikykite vienetus ir patikrinkite prašomo dydžio prasmę.