Paprastas ir sudėtinis augimas bei palyginimai

Įvardykite pradinį kiekį ir pokyčio laikotarpį

Augimo taisyklei reikia daugiau nei procento. Nurodykite pradinį kiekį, ką reiškia vienas laikotarpis ir kuris kiekis kiekviename žingsnyje yra procento pagrindas. Dvidešimt procentų pradinio kiekio kiekvieną laikotarpį ir dvidešimt procentų dabartinio kiekio pirmame žingsnyje sutampa, tačiau vėliau gali nesutapti. Tai skirtingos atnaujinimo taisyklės, o ne skirtingi vienos nurodytos taisyklės skaičiavimo būdai.

Naudojame neneigiamus kiekius ir skaičiuojame užbaigtus laikotarpius 0, 1, 2 ir taip toliau. Nulinis laikotarpis reiškia būseną prieš bet kokį atnaujinimą, todėl reikšmė yra nurodytas pradinis kiekis P. Pokytį per laikotarpį užrašykite trupmeniniu skaičiumi su ženklu r: +20% yra r = 1/5, −10% yra r = −1/10, o jokio pokyčio r = 0. Išlaikykite matomą kiekio vienetą ir laikotarpio pavadinimą. Matematinis kiekis gali būti tolydus, o nedalomų objektų skaičiui reikia papildomų sveikų skaičių sąlygų.

Paprastas augimas prideda tą patį pradinio kiekio prieaugį

Pradėkite nuo 100 vienetų ir kiekvieną laikotarpį pridėkite 20% šio pradinio kiekio. Prieaugis pastovus – 20 vienetų. Reikšmės laikotarpiais 0, 1, 2 ir 3 yra 100, 120, 140 ir 160 vienetų. Kiekviena nauja reikšmė yra ankstesnė plius 20; procento pagrindas tebėra pradinis 100, net kai dabartinis kiekis pasikeičia.

Apskritai pastovaus prieaugio taisyklė kiekvieną laikotarpį prideda kiekį d: naujas kiekis = dabartinis kiekis + d. Kai d nurodytas kaip pradinio kiekio dalis r, d = P × r. Čia lyginamas paprastas modelis naudoja būtent šį procentą nuo pradinio pagrindo. Pastovus neigiamas d duoda pastovų mažėjimą. Bendresniu atveju iš išorės gaunamas pastovus papildymas gali būti tiesiogiai nurodytas kiekio vienetais, nebūdamas pradinio kiekio procentu; nulinė pradžia parodys šio skirtumo svarbą.

Sudėtinis pokytis kiekviename žingsnyje daugina dabartinį kiekį

Dabar pradėkite nuo tų pačių 100 vienetų ir kiekvieną laikotarpį dabartinį kiekį didinkite 20%. Daugiklis 1 + 1/5 = 6/5. Pirma reikšmė 120, antra 120 × 6/5 = 144, trečia 144 × 6/5 = 172,8 vieneto. Prieaugiai yra 20, 24 ir 28,8, nes tas pats procentas taikomas besikeičiančiam pagrindui.

Atnaujinimo taisyklė yra naujas kiekis = (1 + r) × dabartinis kiekis. Kai pradinis kiekis teigiamas ir r > 0, kartotinė daugyba duoda augimą. Kai −1 < r < 0, teigiamas daugiklis mažesnis už vienetą ir duoda mažėjimą. Esant r = 0 daugiklis vienetas, todėl kiekis išlieka pastovus. Terminas „sudėtinis pokytis“ nusako pasikartojantį veiksmą su dabartiniu pagrindu; jis negarantuoja didėjimo ar konkretaus tikro pasaulio rezultato.

Prieš sutraukdami į formulę užrašykite atnaujinimo taisyklę

Lentelė prie kiekvieno kiekio išlaiko laikotarpio numerį. 100 vienetų ir +20% palyginimo pirmos keturios paprasto modelio reikšmės yra 100, 120, 140, 160, o atitinkančios sudėtinio 100, 120, 144, 172,8. S(n) ir C(n) žymėkite jų reikšmes po n užbaigtų laikotarpių. Pradinės sąlygos S(0) = C(0) = P. Rekurentinės taisyklės iš vienos žinomos reikšmės gauna kitą: S(n + 1) = S(n) + P × r ir C(n + 1) = (1 + r) × C(n).

Po n sudėčių paprasto modelio formulė yra S(n) = P + n × P × r = P × (1 + n × r). Atlikus n daugybų, kai n yra teigiamas sveikasis skaičius, sudėtinio formulė yra C(n) = P × (1 + r)^n. Laipsnio rodiklis skaičiuoja pasikartojančius daugiklius, o ne procentinius punktus. Jei daugiklis nenulinis, jo nulinis laipsnis lygus vienetui, todėl C(0) = P atitinka pradinę sąlygą. Jei daugiklis lygus nuliui, reikšmę nuliniu laikotarpiu tiesiogiai apibrėžkite kaip P, o vėlesniems laikotarpiams naudokite atnaujinimo taisyklę; reiškinio 0^0 nereikia.

Modelius lyginkite su ta pačia pradžia, laikotarpiu ir trukme

Esant tam pačiam teigiamam pradiniam kiekiui ir teigiamam pokyčiui per laikotarpį, pradinio bei dabartinio pagrindo modeliai sutampa laikotarpiais nulis ir vienas. Vėliau sudėtiniai prieaugiai didesni, nes dabartinis pagrindas išaugo, o paprastas prieaugis lieka pastovus. +20% pavyzdyje laikotarpiu 2 kiekiai yra 140 ir 144, laikotarpiu 3 – 160 ir 172,8. Jų skirtumas yra kiekis pradiniu vienetu, o kiekvieno bendras prieaugis procentais vardiklyje naudoja pradinį P.

Tikslingam skaitiniam palyginimui reikia suderinti sąlygas: pradinį kiekį, laikotarpio ilgį, pokyčio interpretaciją ir bendrą užbaigtą trukmę. Dvidešimt procentų per dieną nėra tas pats, kas per savaitę. Abiem suskaičiavę du laikotarpius, lygintume dvi dienas su dviem savaitėmis. Jei pradžios ar taisyklės skiriasi, apskaičiuokite kiekvieną nurodytą modelį ir įvardykite skirtumą, užuot numanę, kad žodis sudėtinis nusprendžia rezultatą. Esant nuliniam pokyčiui arba nuliniam pradiniam kiekiui šiose procentinėse taisyklėse, lyginamos reikšmės gali sutapti visada.

Pastovus pašalinimas ir kartotinis dalies mažinimas turi skirtingas ribas

Pradėjus nuo 100 vienetų, paprastas mažėjimas 20% pradinio kiekio pašalina po 20 kiekvieną laikotarpį: 100, 80, 60, 40, 20, 0. Šeštas atnaujinimas duotų −20, o tai už įprastos neneigiamo kiekio interpretacijos ribų. Kai P teigiamas ir r neigiamas, paprastą taisyklę naudokite tik tol, kol 1 + n × r neneigiamas. Aritmetinė formulė gali toliau duoti reikšmę su ženklu, tačiau ji dėl to netampa tinkamu likusiu tūriu ar objektų skaičiumi.

Sudėtinis mažėjimas tuo pačiu −20% pokyčiu dabartinį kiekį daugina iš 4/5: 100, 80, 64, 51,2, 40,96, 32,768. Kiekvienas pašalinamas kiekis mažėja. Kai P teigiamas, o daugiklis griežtai tarp nulio ir vieneto, baigtinis tikslių daugybų skaičius išlaiko teigiamą reikšmę. −100% pokyčio daugiklis nulis: pirmas atnaujinimas pasiekia nulį, vėlesni jį išlaiko. Mažesni nei −100% pokyčiai duoda neigiamą daugiklį ir čia nenaudojami įprastiems neneigiamiems kiekiams.

Nulinė pradžia leidžia atnaujinimus, bet ne santykinį pokytį nuo nulio

Jei P = 0, procentinis pradinio pagrindo prieaugis P × r lygus nuliui, o dabartinio pagrindo daugyba taip pat išlaiko nulį kiekvieną laikotarpį. Gautos reikšmės ir absoliutūs skirtumai apibrėžti. Tačiau bendras santykinis augimas (galutinis − P)/P neapibrėžtas, nes pradinis vardiklis nulinis. Nustatytas daugiklis vis dar gali būti taisyklės dalis; jo negalima atkurti iš stebimo dalmens 0/0.

Kitoks pastovaus prieaugio modelis gali prasidėti nuliu ir kiekvieną laikotarpį pridėti 5 vienetus: 0, 5, 10, 15. Jo absoliuti taisyklė visiškai apibrėžta, tačiau šie papildymai nėra 5% nulinio pradinio kiekio. Kiekis d = 5 pateiktas nepriklausomai, o ne išvestas iš P × r. Išoriniai papildymai, pašalinimai ar kitos įvestys turi atsirasti taisyklėje, jei priklauso klausimui; vien dabartinio pagrindo daugyba savaime nesukuria teigiamo kiekio iš nulio.

Skirtingų pokyčių daugikliai dauginami, o atkuriant naudojami atvirkštiniai daugikliai

Jei nuoseklių dabartinio pagrindo pokyčių reikšmės r₁ ir r₂, jų daugiklius taikykite iš eilės: galutinis = P × (1 + r₁) × (1 + r₂). Pradėję nuo 100 vienetų, po +20% ir −20% gauname 100 × 1,2 × 0,8 = 96 vienetus. Procento skaičių suma nulis, tačiau daugiklių sandauga 0,96, nes antro procento pagrindas kitoks. Tai ankstesnės pamokos besikeičiančio pagrindo principas, dabar išreikštas atnaujinimų seka.

Nenulinį daugiklį f panaikinkite dalydami iš f arba daugindami iš 1/f. +20% žingsnis naudoja 6/5, kurio atvirkštinis 5/6; taigi atkūrimas naują kiekį sumažina šeštadaliu, o ne penktadaliu. Norėdami P atkurti iš sudėtinio kiekio po teigiamo laikotarpių skaičiaus su nenuliniu daugikliu, dalykite iš viso daugiklio (1 + r)^n. Nulinis daugiklis praranda pradinę informaciją ir neturi atvirkštinio skaičiaus. Skirtingiems pokyčiams išlaikykite visą sandaugą, užuot ją pakeitę nepagrįstu vidutiniu procentu.

Nurodykite apvalinimą ir patikrinkite prašomą laikotarpio ribą

Atnaujinimų metu išlaikydami tikslias trupmenas ir apvalindami tik galutinį rezultatą gauname idealizuotą matematinę seką. Kiekvieno laikotarpio saugomą kiekį suapvalindami prieš naudodami jį kaip kitą pagrindą, gauname kitokią atnaujinimo taisyklę. Maži kiekvieno apvalinimo pakeitimai gali kauptis, todėl vien galutinio apvalinimo paklaidos riba nenusako viso šių taisyklių skirtumo. Kai klausimas reikalauja apvalinti kiekvieną laikotarpį ar naudoti sveiką nedalomų objektų skaičių, nurodykite tą reikalavimą; kitu atveju iki pateikimo išlaikykite tikslias reikšmes.

Klausimui apie ribos pasiekimą reikia ir nelygybės, ir leistinų laikų. Nuo 100 vienetų taikant +20% per užbaigtą laikotarpį, sudėtiniai kiekiai laikotarpiais 3 ir 4 yra 172,8 ir 207,36, todėl 4 yra pirmas, pasiekiantis bent 200. Paprastas kiekis tiksliai 200 pasiekia laikotarpiu 5. Jei klausimas reikalauja daugiau nei 200, paprastam modeliui reikia laikotarpio 6. Patikrinkite kandidatą ir ankstesnį laikotarpį. Šios taisyklės taikomos, kai užbaigtų laikotarpių skaičius yra neneigiamas sveikasis skaičius; interpoliacija savaime nesuteikia trupmeninio laikotarpio taisyklės.

Pagrindus lyginkite išlaikydami pradinį kiekį ir laikotarpį

Tyrinėjimo įrankyje pradėkite nuo 100 vienetų, +20% pokyčio ir laikotarpio 2. Lentelėje sekite abi atnaujinimo taisykles: pastovūs prieaugiai nuo pradinio pagrindo duoda 140 vienetų, o kartotinė dabartinio pagrindo daugyba – 144. Šias reikšmes susiekite su pasirinktais grafiko taškais ir palyginkite prieaugius nuo laikotarpio 1. Keiskite laikotarpį išlaikydami pasirinktą modelį; nuliniame laikotarpyje abi reikšmės turi grįžti į nurodytą pradinį 100.

Išbandykite −10% variantą, jokį pokytį ir nulinį pradinį kiekį. Variantui, kuriame kiekvieną laikotarpį mažinama šeštadaliu atitinkamo pagrindo, išnagrinėkite laikotarpį 6: pastovus mažėjimas nuo pradinio pagrindo pasiekia nulį, o dabartinio pagrindo mažėjimas lieka teigiamas. Įrankis išlaiko tikslią aritmetiką ir pažymi suapvalintą dešimtainę santrauką, kai tiksli trupmena netelpa į trumpą baigtinį užrašą. Grafikas rodo laikotarpius nuo 0 iki 6 vienu pastoviu masteliu. Atskirkite modelio nustatytą pokytį, tikruosius kiekius ir santykinį palyginimą, kuriam reikėtų nenulinio pradinio kiekio.

Formulė galioja pagal nurodytą laikotarpį ir sąlygas

Kiekis P turi dydžio vienetą, daugiklis 1 + r jo neturi, o n skaičiuoja užbaigtus nurodyto ilgio laikotarpius. Procento per laikotarpį negalima perkelti į kitokį laikotarpį nepasakius keitimo modelio. Aritmetinė seka turi pastovų gretimų reikšmių skirtumą, o geometrinis atnaujinimas naudoja pastovų daugiklį. Šios sandaros aprašo, kaip gaunamos reikšmės, o ne automatiškai teigia, kad fizinis procesas jų laikosi.

Tikri procesai gali turėti talpos ribas, besikeičiančias įvestis, pokyčio dydžius ar nedalomų objektų skaičių. Augančio tūrio modeliui reikia pakankamai vietos; tikras nedalomų objektų ar žmonių skaičius negali būti trupmeninis; pastovaus procento medžiagos nuostolis labai mažais dydžiais gali nustoti aprašyti procesą. Baigtinė lentelė patikrina pateiktus atvejus, bet neįrodo taisyklės visiems vėlesniems laikams. Nurodykite numatytą trukmę bei sąlygas ir gautus skaičiavimus laikykite sąlyginėmis prognozėmis.

Patikrinkite pradinę reikšmę, vieną atnaujinimą ir palyginimą

Pirmiausia patikrinkite nulinį laikotarpį. Tada tiesiogiai apskaičiuokite vieną atnaujinimą ir patvirtinkite, ar jo pagrindas buvo pradinis, ar dabartinis kiekis. Pastoviems prieaugiams nagrinėkite gretimus skirtumus; kartotinei daugybai tikrinkite daugiklį, kai ankstesnė reikšmė nenulinė, arba tiesiogiai naudokite atnaujinimo taisyklę ties nuliu. Išlaikykite mažėjimo ženklą ir patikrinkite, kad visi kiekiai būtų leistinoje srityje.

Galutiniam palyginimui įvardykite, ar pateikiate kiekių skirtumą, santykinį prieaugį nuo pradinio kiekio, augimo daugiklį ar pirmą ribos pasiekimo laikotarpį. Tikslias lygybes atskirkite nuo suapvalintų artinių ir suderinkite vienetus, laikotarpius bei bendrą trukmę. Atkurtas pradinis kiekis pagal nurodytą taisyklę turi atkurti galutinę reikšmę. Kitas skyrius pradės nuo dydžių, vienetų ir dimensijų, aiškiau atskleisdamas šių bei kitų matematinių modelių matavimo sandarą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kiekis prasideda nuo 80 vienetų. Palyginkite 25% pradinio kiekio pridėjimą kiekvieną laikotarpį su dabartinio kiekio didinimu 25%. Raskite reikšmes laikotarpiais 0, 1 ir 2 bei įvardykite, kas kiekvienoje taisyklėje pastovu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abu prasideda 80 ir laikotarpiu 1 pasiekia 100. Laikotarpiu 2 paprastas kiekis yra 120, sudėtinis 125. Paprasto modelio prieaugis 20, sudėtinio daugiklis 1,25.

   Nulinis laikotarpis yra prieš visus atnaujinimus. Pradinio pagrindo prieaugis lieka 0,25 × 80 = 20. Dabartinio pagrindo atnaujinimas antrame žingsnyje naują 100 daugina iš 1,25 ir duoda 125, o ne prideda dar vieną pradinį 20.

2. Kai P = 100 vienetų ir r = 1/5 per laikotarpį, abu modelius apskaičiuokite laikotarpiu 3 pagal atnaujinimo taisykles ir trumpas formules. Nurodykite kiekių skirtumą bei bendrus santykinius prieaugius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   S(3) = 160; C(3) = 172,8. Skirtumas 12,8 vieneto, bendri prieaugiai +60% ir +72,8% nuo pradinio kiekio.

   Paprastas modelis tris kartus prideda 20: 100 + 3 × 20 = 160. Sudėtinis tris kartus daugina iš 6/5: 100 × (6/5)^3 = 172,8. Skirtumui atimkite modelių kiekius, o santykiniams prieaugiams kiekvieną galutinio ir pradinio skirtumą padalykite iš teigiamo pradinio 100.

3. Vienas modelis nurodo +20% per dieną, kitas +20% per savaitę. Ar jų laikotarpio 2 reikšmės lygintų tą patį praėjusį laiką? Ką reikia suderinti lyginant du augimo modelius ir kas nutinka kiekio vienetui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: dvi dienos ir dvi savaitės skiriasi. Suderinkite pradžią, pokyčio interpretaciją, laikotarpio ilgį ir bendrą trukmę. Daugiklis be vieneto išlaiko kiekio matavimo vienetą.

   Vien procento skaičius laiko nenusako. Laikotarpiai nustato, kada vyksta atnaujinimai; jų ilgių keitimas reikalauja nurodytos taisyklės. Daugyba iš trupmenos, pavyzdžiui, 6/5, pakeičia ilgio, tūrio ar kito dydžio kiekį, bet ne jo matavimo vienetą.

4. Pradėjęs nuo 100 vienetų paprastas modelis kiekvieną laikotarpį pašalina 20, o sudėtinis daugina iš 4/5. Raskite jų laikotarpio 5 reikšmes. Ar paprasto modelio laikotarpis 6 tinka neneigiamam kiekiui? Atskirai nurodykite −100% sudėtinio atnaujinimo reikšmes laikotarpiais 0 ir 1.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Laikotarpiu 5 paprastas kiekis 0, sudėtinis 32,768 vieneto. Paprasto modelio laikotarpis 6 duotų −20 ir yra už šios neneigiamos interpretacijos ribų. −100% sudėtinė taisyklė laikotarpiu 0 prasideda 100, laikotarpiu 1 pasiekia 0.

   Skaičiuokite 100 − 5 × 20 ir 100 × (4/5)^5. Tolesnė pastovi atimtis viršija likusį kiekį. Nuliniam sudėtiniam daugikliui naudokite pradinę sąlygą ir naujos reikšmės taisyklę: pradinis 100 nurodytas tiesiogiai, tada 0 × 100 = 0, o vėlesnės reikšmės taip pat nulinės. Skaičiuoti 0^0 nereikia.

5. Kai pradinis P = 0, o pokytis +20%, raskite abu procentinius modelius po trijų laikotarpių. Ar bendrą santykinį prieaugį galima nurodyti kaip 0%? Palyginkite su atskirai nurodyta taisykle, kuri prasideda nuliu ir kiekvieną laikotarpį prideda 5 vienetus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abu procentiniai modeliai lieka nulyje. Jų bendras santykinis prieaugis nulinės pradžios atžvilgiu neapibrėžtas. Atskiro pastovaus papildymo taisyklė po trijų laikotarpių duoda 15 vienetų, taip pat be apibrėžto santykinio prieaugio nuo nulinio pradinio kiekio.

   Pradinio pagrindo prieaugis yra 0 × 1/5 = 0, o dabartinio pagrindo daugyba nulio nekeičia. Santykinis prieaugis dalytų iš nulinio pradinio kiekio. Išorinis 5 papildymas yra tinkamas absoliutus atnaujinimas, tačiau nebuvo išvestas kaip šio pradinio kiekio procentas.

6. Pradėję nuo 100 vienetų dabartiniam kiekiui pritaikykite +20%, tada −20%. Raskite rezultatą. Jei kitas kiekis po dviejų +20% sudėtinių laikotarpių pasiekia 144, atkurkite jo pradžią. Kodėl nulinis sudėtinis daugiklis neleistų tokio atkūrimo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Besikeičiančių pokyčių rezultatas 96 vienetai. Antros sekos pradinis kiekis 144 ÷ (1,2)^2 = 100 vienetų. Nulinis daugiklis neturi atvirkštinio skaičiaus ir neišlaiko vieno atkuriamo pradinio kiekio.

   Du skirtingi pokyčiai duoda daugiklius 1,2 ir 0,8, kurių sandauga 0,96, o ne 1. Dviem +20% laikotarpiams dalykite iš viso nenulinio daugiklio 1,44. Daugyba iš nulio kiekvieną pradžią siunčia į nulį, todėl vėlesnis nulis nenustato, kokia pradžia buvo.

7. Nuo 100 vienetų su +20% per užbaigtą laikotarpį raskite pirmą laikotarpį, pasiekiantį bent 200 kiekviename modelyje, ir pirmą paprasto modelio laikotarpį, viršijantį 200. Ar kiekvienos sudėtinės reikšmės pakeitimas jos suapvalinta pateikiama reikšme išlaiko tikslią sudėtinę taisyklę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bent 200: paprastas laikotarpis 5, sudėtinis 4. Daugiau nei 200: paprastas laikotarpis 6. Saugomą suapvalintą reikšmę naudojant kitu pagrindu, tiksli atnaujinimų seka apskritai pasikeičia.

   Paprasti laikotarpiai 4, 5 ir 6 duoda 180, 200 ir 220. Sudėtiniai 3 ir 4 duoda 172,8 ir 207,36. Patikrinkite nelygybę ir ankstesnį laikotarpį, o ne aklai apvalinkite laikotarpio numerį. Pateikiamas artinys gali būti atskirtas nuo saugomos tikslios reikšmės; suapvalintą pateikiamą reikšmę naudojant kitam daugybos žingsniui gaunama kita taisyklė.

Ką verta įsidėmėti

• Paprastas augimas nuo pradinio pagrindo kiekvieną laikotarpį prideda pastovų P × r; sudėtinis pokytis dabartinį kiekį daugina iš 1 + r.
• Pirmiausia sudarykite lentelę ir rekurentinį atnaujinimą. Nulinis laikotarpis yra pradinis P; trumpos formulės apibendrina kartotines sudėtis ar daugybas pagal nurodytas sąlygas.
• Prieš lygindami suderinkite pradžias, pokyčio interpretacijas, vienetus, laikotarpių ilgius ir bendrą trukmę. Neigiami pokyčiai nusako mažėjimą su skirtingomis neneigiamumo ribomis pradiniam ir dabartiniam pagrindui.
• Nulinė pradžia leidžia absoliučias atnaujinimo taisykles, bet ne santykinį prieaugį nuo nulio. Sudėtiniams daugikliams apgręžti reikia nenulinių daugiklių, o skirtingi pokyčiai daugina visus savo daugiklius.
• Iki pateikimo išlaikykite tikslias reikšmes, nebent nurodyta kita apvalinimo taisyklė. Riboms patikrinkite gretimus užbaigtus laikotarpius, o modelio prognozes apribokite nurodyta sritimi.