Ilgis, plotas, tūris ir kasdienės figūros

Pasirinkite vieną ilgį arba visą ribą

Ilgis matuoja tįsumą arba kelią. Stalo krašto ilgis, atstumas išilgai virvelės ir maršruto ilgis yra ilgio dydžiai, pateikiami tokiais vienetais kaip metrai. Atkarpos ilgis yra neneigiamas. Įvardykite galus arba kelią, kad skaičius turėtų aiškią prasmę: tiesus atstumas ir vingiuotas maršrutas gali turėti skirtingus ilgius.

Perimetras yra visas uždaros plokštumos figūros ribos ilgis. Daugiakampiui sudėkite visų ribos kraštinių ilgius, kiekvieną vieną kartą. Sodo tvoros klausimas gali prašyti perimetro, o žolės danga – ploto. Prieš skaičiuodami nustatykite dydį ir kurias ribas klausimas apima. Regiono viduje nubrėžta linija, skirta tik padalyti jį į dalis, nepriklauso jo išorinei ribai.

Plotas matuoja plokštumos dalį kvadratiniais vienetais

Plotas matuoja plokštumos srities dydį. Vienas kvadratinis metras, 1 m², yra kvadrato, kurio kraštinė 1 m, plotas. Stačiakampio, padengto vienetiniais kvadratais be tarpų ir persidengimų, plotas lygus jų bendram skaičiui tuo vienetu. Kvadrato dalys prisideda kvadratinio vieneto trupmenomis. Du vieneto ilgio daugikliai paaiškina, kodėl plotas neišreiškiamas tiesiog metrais.

Kadangi 1 m = 100 cm, to paties vienetinio kvadrato plotas yra (100 cm) × (100 cm) = 10 000 cm². Taigi 1 m² = 10 000 cm² tiksliai. Vienetų keitimą taikykite abiem ilgio kryptims arba visą ilgio keitimo daugiklį pakelkite kvadratu. 1 m² plotas nėra 100 cm². Perimetras ir plotas apibūdina skirtingas savybes: vienodo ploto figūros gali turėti skirtingus ribos ilgius.

Stačiakampio statieji kampai pagrindžia sandaugą

Stačiakampio su gretimų kraštinių ilgiais a ir b plotas A = ab, o perimetras P = 2(a + b). Sandauga naudoja dvi statmenas ilgio kryptis; perimetras suskaičiuoja po dvi kiekvieno ilgio kraštines. Nurodytoms tikslioms 4 m ir 3 m kraštinėms A = 12 m² ir P = 14 m. Prieš skaičiuodami rezultatą pasirinktu vienetu, abu ilgius išreikškite tuo pačiu vienetu.

Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės vienodo ilgio a, todėl A = a² ir P = 4a. 0,6 m kraštinės kvadrato plotas 0,36 m², o perimetras 2,4 m. Keliant a kvadratu, jis dauginamas iš savęs; daugyba iš dviejų jo ploto neapskaičiuoja. Vien dviejų gretimų kraštinių ilgiai nepagrindžia stačiakampio formulės, jei figūros stačiųjų kampų sąlyga nenurodyta ar nenustatyta.

Trikampio aukštis statmenas pasirinktam pagrindui

Pasirinkite vieną trikampio kraštinę kaip pagrindą b. Atitinkamas aukštis h yra statmenas atstumas nuo priešingos viršūnės iki tiesės, kurioje yra tas pagrindas. Plotas A = bh/2. Dvi trikampio kopijas galima sudėti į lygiagretainį su tuo pačiu pagrindu ir aukščiu, o tai paaiškina daugiklį viena antroji. Aukštis priklauso nuo pasirinkto pagrindo ir bukakampio trikampio atveju gali pasiekti pagrindo tiesės tęsinį už trikampio.

Pasvirusi kraštinė savaime nėra aukštis. Įrankio stačiajame trikampyje 4 m ir 3 m statiniai yra statmeni, todėl pasirinkus 4 m pagrindą aukštis yra 3 m, o plotas 6 m². Nurodyta trečioji kraštinė 5 m duoda perimetrą 4 m + 3 m + 5 m = 12 m. Bendram trikampiui pagrindas ir statmenas aukštis nustato plotą, tačiau patys nenustato visų trijų kraštinių ilgių ar perimetro.

Pertvarkykite dalis išlaikydami jų plotą

Lygiagretainio su pagrindu b ir statmenu aukščiu h plotas A = bh. Tinkamai padalijus figūrą ir perkėlus dalis, ją galima pertvarkyti į to paties pagrindo ir aukščio stačiakampį, nepakeičiant ploto. Pasvirusios kraštinės ilgis negali pakeisti h, jei ji nėra statmena pagrindui. Todėl lygiagretainio su 8 cm pagrindu ir 5 cm aukščiu plotas yra 40 cm², net jei pasvirusi kraštinė turi kitą ilgį.

Trapecijai su lygiagrečiais pagrindais b₁ ir b₂ aukštis h yra statmenas atstumas tarp jų tiesių. Jos plotas A = (b₁ + b₂)h/2. Dvi lygiosios kopijos sudaro lygiagretainį su pagrindu b₁ + b₂ ir aukščiu h, todėl vienos kopijos plotas yra pusė to ploto. Lygiagretūs 8 cm ir 12 cm pagrindai su 5 cm aukščiu duoda 50 cm². Kiekvienam pertvarkymui būtina nurodyta geometrija, o kiekvienam skaičiavimui naudojami suderinti ilgio vienetai.

Atskirkite apskritimo ilgį nuo skritulio ploto

Idealaus apskritimo, kurio spindulys r > 0, spindulys eina nuo centro iki ribos. Skersmuo eina per centrą ir turi ilgį d = 2r. Apskritimo ilgis C = 2πr = πd. Vidinės plokštumos srities, skritulio, plotas A = πr². Šios formulės atsako į skirtingus klausimus ir turi skirtingus vienetus: apskritimo ilgis yra ilgis, o skritulio plotas yra plotas.

Konstanta π yra tikslus apskritimo ilgio ir skersmens santykis. Jos dešimtainė išraiška nesibaigia, todėl 3,14 ar 3,14159 yra artiniai, o ne tikslūs pakaitalai. Kai spindulys tiksliai 2 m, d = 4 m, C = 4π m ir A = 4π m². Pasikartojantis koeficientas 4 nepadaro šių dydžių pakeičiamų vienas kitu. Išlaikykite π skaičiuodami ir keisdami vienetus; prašomam galutiniam pateikimui naudokite skaičiuotuvą ir apvalintą rezultatą žymėkite ≈.

Kiekvieną sudėtinės srities dalį suskaičiuokite vieną kartą

Sudėtinę sritį padalykite į pažįstamas dalis, kurių vidus nepersidengia. Jų plotai sudedami, nes kiekviena srities dalis suskaičiuojama vieną kartą. Iškirptą sritį galima rasti ir atimant trūkstamą plotą iš apgaubiančios figūros. Pavyzdžiui, 6 m ir 4 m kraštinių stačiakampio, iš kurio kampo pašalintas 2 m ir 1,5 m kraštinių stačiakampis, likęs plotas yra 24 m² − 3 m² = 21 m². Kampo vietą ir matmenis būtina nurodyti, kad konstrukcija būtų aiški.

Jei dalinės sritys persidengia, tiesiog sudėję jų plotus persidengimą suskaičiuotume du kartus. Dviejų sričių junginio plotui iš sumos vieną kartą atimkite persidengimo plotą. Perimetrui sekite iš tikrųjų prašomą ribą; nesudėkite visų dalių perimetrų ir neskaičiuokite vidinių dalijimo linijų. Skylė turi savo ribą, todėl nurodykite, ar užduotis apima tik išorinį kraštą, ar visas ribos dalis. Plotui ir ribai skaičiuoti reikia atitinkamos geometrinės informacijos.

Tūris skaičiuoja erdvę trimis ilgio kryptimis

Tūris matuoja kūno arba nurodytos trimatės srities užimamą erdvę. Vienas kubinis metras, 1 m³, yra kubo, kurio briaunos ilgis 1 m, tūris. Vienetiniai kubai gali sudaryti sluoksnius; jų tūriai sudedami, kai vidus nepersidengia. Ilgio, ploto ir tūrio dimensijos atitinkamai yra L, L² ir L³, todėl prieš pasirinkdami vienetą ar formulę įvardykite dydį.

Stačiakampis gretasienis turi tarpusavyje statmenų briaunų ilgius a, b ir c. Jo tūris V = abc: vieno sluoksnio plotas ab, o statmenas gylis suteikia c. Tikslaus 4 m, 3 m ir 2 m briaunų gretasienio tūris yra 24 m³. Kadangi 1 m = 100 cm, 1 m³ = (100 cm)³ = 1 000 000 cm³. Visas ilgio daugiklis keliamas kubu; vien daugiklis 100 negali pakeisti kubinio vieneto.

Pagrindo plotą dauginkite iš statmeno aukščio esant tinkamoms sąlygoms

Prizmė turi lygiagrečius lygiuosius pagrindus ir jiems lygiagrečius skerspjūvius, išlaikančius tą patį plotą. Jei pagrindo plotas B, o H yra statmenas atstumas tarp pagrindų plokštumų, jos tūris V = BH. Stačiosios prizmės jungiančios briaunos statmenos pagrindams, o jų ilgiai lygūs H. Pasvirosios prizmės pasvirusi jungianti briauna nėra H. Žinant bet kokio kūno pagrindo plotą ir aukštį ši tūrio taisyklė dar nepagrįsta be būtinos skerspjūvių sąlygos.

Stataus apskritojo ritinio lygiagretūs pagrindai yra lygieji skrituliai, spindulys r, o H yra aukštis, statmenas pagrindų plokštumoms. Kiekvieno pagrindo plotas B = πr², todėl V = πr²H. Tikslaus įrankio ritinio r = 2 m ir H = 3 m: B = 4π m² ir V = 12π m³. Ritinio aukštis skiriasi nuo skersmens ar apskritimo ilgio. Vien pagrindo brėžinys nesuteikia aukščio; trimačius matmenis būtina nurodyti.

Paviršiaus plotas ir naudinga talpa atsako į atskirus klausimus

Paviršiaus plotas matuoja kūno paviršių kvadratiniais vienetais, o ne jo užimamą erdvę kubiniais vienetais. Visas stačiakampio gretasienio paviršiaus plotas S = 2(ab + ac + bc), nes šešios stačiakampės sienos sudaro tris lygių sienų poras. 4 m, 3 m ir 2 m briaunų gretasieniui S = 2(12 + 8 + 6) m² = 52 m². Kiekvieną klausime reikalaujamą atvirą paviršių suskaičiuokite vieną kartą; medžiagos sąnaudų įvertis gali apimti kitokį sienų rinkinį nei visas uždaras paviršius.

Stataus apskritojo ritinio šoninį paviršių galima išvynioti į stačiakampį, kurio plotis 2πr, o aukštis H. Šoninis plotas yra 2πrH. Pridėjus abu skritulio formos pagrindus gaunamas visas uždaro paviršiaus plotas S = 2πr² + 2πrH. Kai r = 2 m ir H = 3 m, S = 8π m² + 12π m² = 20π m². Atviro indo be viršaus paviršiaus skaičiavimas kitoks, todėl uždara formulė reikalauja įtraukti abu pagrindus.

Talpa apibūdina naudingą vidinį tūrį, kurį indas gali sutalpinti. Litro ryšys tikslus: 1 L = 1 dm³ = 0,001 m³ = 1000 cm³, todėl 1 m³ = 1000 L. Išoriniai matmenys apibūdina išorinę formą ir patys nenustato talpos, kai sienos ar kitos dalys užima vietą. Jei idealaus indo vidinė sritis yra stačiakampis gretasienis, kurio matmenys 0,4 m, 0,3 m ir 0,2 m, jo talpa 0,024 m³ = 24 L. Formulė ir vienetų keitimas nenustato tikro indo vidinių matmenų.

Keiskite figūrą ir vienetą išlaikydami nurodytą geometriją

Pradėkite nuo tyrinėjimo įrankio nurodyto tikslaus stačiakampio 4 m ir 3 m kraštinėmis, naudojant metrus. Jis rodo perimetrą 14 m ir plotą 12 m². Pasirinkite statųjį trikampį su 4 m pagrindu, 3 m statmenu aukščiu ir 5 m trečiąja kraštine arba apskritimą su 2 m spinduliu. Trikampio plotas 6 m² ir perimetras 12 m; apskritimo skersmuo 4 m, ilgis 4π m, o skritulio plotas 4π m². Kiekvienas matmuo pateiktas, o ne numanomas iš ekrano.

Pasirinkite 4 m, 3 m ir 2 m briaunų stačiakampį gretasienį arba uždarą statųjį apskritąjį ritinį su 2 m spinduliu ir 3 m statmenu aukščiu. Kūnų brėžiniai rodo jų pagrindus; tūriui ir visam uždaram paviršiaus plotui naudokite atskirai nurodytą aukštį bei kitus trimačius matmenis. Gretasienis duoda 24 m³ ir 52 m²; ritinys 12π m³ ir 20π m². Plokštumos figūra šiame įrankyje neturi kūno tūrio ar viso kūno paviršiaus ploto rezultato.

Bendrą vienetą pakeiskite tarp metrų ir centimetrų. Penki pavyzdžiai ir du vienetai duoda 5 × 2 = 10 tikslių būsenų, visose išlaikant pasirinktą geometriją. Ilgio vertėms taikomas daugiklis 100, ploto 10 000, o tūrio 1 000 000. Pavyzdžiui, stačiakampis tampa 400 cm ir 300 cm kraštinių su perimetru 1400 cm ir plotu 120 000 cm². Brėžiniai išlaiko fiksuotą braižymo mastelį vienam vaizduojamam metrui; vienetų žymų keitimas objekto dydžio nekeičia. Užrašai su π čia lieka tikslūs simboliai, o įrankis nurodytiems matmenims nepriskiria neapibrėžties.

Patikrinkite figūrą, informaciją ir prašomą dydį

Įvardykite, ar reikia krašto arba ribos ilgio, ploto, tūrio, paviršiaus ploto ar talpos. Patikrinkite modelio sąlygas: stačiuosius kampus stačiakampiui ar gretasieniui, statmeną aukštį pasirinktam trikampio pagrindui, lygiagrečius pagrindus trapecijai ir tinkamus pastovaus ploto skerspjūvius prizmei ar ritiniui. Patikrinkite, kurie paviršiai įtraukiami ir ar matmenys vidiniai, ar išoriniai. Atsargiai skaidykite dalimis, derinkite vienetus ir patikrinkite gautą ilgio, kvadratinį ar kubinį vienetą.

Nurodytas tikslus modelis ir objekto matavimai perteikia skirtingą informaciją. Objektui, modeliuojamam kaip stačiakampis, pateikti kraštinių rodmenys 4,00 m ir 3,00 m duoda nominalią sandaugą 12 m². Jei kiekviena kraštinė turi nurodytą matavimo neapibrėžtį 0,01 m, išlaikykite šią informaciją: tiksli formulė nepadaro objekto ploto tiksliai žinomo, o vien rezultato skaitmenys nenustato jo ploto neapibrėžties. Formos artinys taip pat gali būti svarbus. Tikslūs įrankio matmenys yra modelio pradiniai duomenys ir neatspindi tokių matavimų.

Išlaikykite tikslias trupmenas ir π iki prašomo galutinio pateikimo, tada apvalintą rezultatą žymėkite ≈. Jei prašomas kitas vienetas, keiskite prieš apvalindami; jau apvalintos vertės kubiniais metrais keitimas gali duoti kitokį rezultatą litrais. Patikrinkite rezultato prasmę bei dydį kartu su jo dimensija. Kita pamoka „Artiniai, tikslumas ir matavimo neapibrėžtis“ nagrinėja, kaip apvalinimas ir nurodyti matavimo ribotumai veikia pateiktą rezultatą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Užduotis prašo stalo krašto, visos sodo tvoros linijos, žolės dangos, dėžės užimamos erdvės, įpakavimo per visas uždaras jos sienas ir indo naudingos talpos. Kiekvienam įvardykite dydį ir tinkamą vienetą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kraštas: ilgis m. Tvoros linija: perimetras m. Žolės danga: plotas m². Užimama erdvė: tūris m³. Įpakavimas: paviršiaus plotas m². Naudinga talpa: vidinis tūris, pateiktas, pavyzdžiui, L.

   Ilgis matuoja tįsumą ar ribą, plotas sritį arba paviršių, o tūris trimatę sritį. Talpa yra vidinio tūrio taikymas, ne išorinis matmuo ar paviršiaus plotas. Pirmiausia įvardytas klausimas pasirenka vieneto rūšį ir reikalingą informaciją.

2. Raskite tikslaus stačiakampio su 3 m ir 80 cm kraštinėmis perimetrą ir plotą. Atskirai raskite tikslaus 0,6 m kraštinės kvadrato perimetrą ir plotą. Nurodykite, kodėl stačiakampio formulei reikia jo formos sąlygos.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Stačiakampis: 80 cm = 0,8 m, P = 7,6 m ir A = 2,4 m². Kvadratas: P = 2,4 m ir A = 0,36 m². Stačiakampio gretimos kraštinės turi būti statmenos.

   Naudokite bendrus ilgio vienetus: P = 2(3 + 0,8) m ir A = 3 × 0,8 m². Kvadratui naudokite 4a ir a². Vien gretimų kraštinių ilgiai nepadaro bendro keturkampio stačiakampiu, o skirtingos perimetro bei ploto dimensijos išlieka matomos vienetuose.

3. Trikampio pagrindas yra 8 cm, o statmenas aukštis 5 cm. Lygiagretainio pagrindas ir statmenas aukštis tokie patys. Trapecijos lygiagretūs pagrindai 8 cm ir 12 cm, o statmenas aukštis 5 cm. Raskite plotus. Ar pasvirusi kraštinė su žyma 13 cm galėtų pakeisti nurodytą aukštį be papildomo pagrindimo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trikampis: 20 cm². Lygiagretainis: 40 cm². Trapecija: 50 cm². Pasvirusi kraštinė negali pakeisti statmeno aukščio vien dėl to, kad jos ilgis žinomas.

   Atitinkamai naudokite bh/2, bh ir (b₁ + b₂)h/2. Kiekvienas aukštis priklauso pasirinktam pagrindui ar lygiagrečių pagrindų tiesėms ir yra jiems statmenas. Kraštinė galėtų būti aukščiu tik tada, kai būtinas statmenumo ryšys nustatytas.

4. Idealaus skritulio spindulys tiksliai 3 cm. Tiksliai raskite skersmenį, ribos apskritimo ilgį ir plotą. Apskritimo ilgį ir plotą pateikite dviem skaitmenimis po kablelio, išlaikydami skirtingus vienetus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   d = 6 cm, C = 6π cm ir A = 9π cm². Apvalinti rezultatai C ≈ 18,85 cm ir A ≈ 28,27 cm².

   Naudokite d = 2r, C = 2πr ir A = πr². Tiksliuose skaičiavimuose išlaikykite π, tada apskaičiuokite prašomą galutinį pateikimą. Apskritimo ilgis matuoja ribą, o plotas vidinę sritį, todėl vienas negali pakeisti kito.

5. Dvi tikslios stačiakampės sritys turi po 3 m ir 2 m kraštines. Jų persidengimo plotas tiksliai 1 m². Raskite junginio plotą. Ar vien šie ploto duomenys nustato junginio perimetrą? Kas keičiasi, jei linija yra tik vidinė dalijimo linija?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Junginio plotas = 6 m² + 6 m² − 1 m² = 11 m². Vien nurodyti ploto duomenys nenustato perimetro. Vien vidinė dalijimo linija nėra išorinė riba.

   Bendrą plotą atimkite vieną kartą, nes tiesioginė suma jį suskaičiuotų du kartus. Ribos ilgiui reikia tikrosios padėties ir išorinių kraštų ilgių, kurių vien persidengimo ploto skaičius nesuteikia. Abiejų stačiakampių perimetrų suma paprastai suskaičiuotų ir kraštus, nepriklausančius junginio išorinei ribai.

6. Raskite tikslaus 2 m, 3 m ir 4 m briaunų gretasienio tūrį ir visą uždaro paviršiaus plotą. Raskite stačiosios prizmės su 7 cm² pagrindo plotu ir 8 cm statmenu aukščiu tūrį. Galiausiai raskite stataus apskritojo ritinio su 1 m spinduliu ir 4 m statmenu aukščiu tūrį bei visą uždaro paviršiaus plotą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Gretasienis: V = 24 m³ ir S = 52 m². Prizmė: V = 56 cm³. Ritinys: V = 4π m³ ir S = 10π m².

   Gretasieniui naudokite abc ir 2(ab + ac + bc). Prizmei naudokite BH – pagrindo plotą padauginkite iš statmeno aukščio. Ritiniui naudokite πr²H ir 2πr² + 2πrH; visas paviršius apima abu pagrindus. Paviršiaus plotas ir tūris atitinkamai išlaiko kvadratinius bei kubinius vienetus.

7. Idealaus indo naudinga vidinė sritis yra 0,4 m, 0,3 m ir 0,2 m matmenų stačiakampis gretasienis. Raskite tikslią talpą litrais. Ar vien tie patys trys išoriniai matmenys nustatytų tikrąją talpą? Jei matmenys gaunami iš apvalintų matavimų su nurodyta neapibrėžtimi, ar tiksli formulė padaro jų tūrio rezultatą tikslų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nurodyta vidinė talpa yra 0,024 m³ = 24 L. Vien išoriniai matmenys nenustato tikrosios talpos. Tiksli formulė nepadaro rezultato iš neapibrėžtų išmatuotų matmenų tikslaus.

   Sudauginkite vidinius matmenis ir naudokite tikslų keitimą 1 m³ = 1000 L. Sienų storiui ir naudingai vidinei formai reikia atskiros informacijos. Išlaikykite nurodytą matavimo neapibrėžtį ir formos prielaidas; vien sandaugos skaitmenys nenustato jos neapibrėžties ir nepagerina matavimų.

Ką verta įsidėmėti

• Įvardykite prašomą dydį: ilgį ar perimetrą, plotą, tūrį, paviršiaus plotą arba naudingą talpą ir pasirinkite jo vienetą.
• Formules naudokite tik esant nurodytoms figūros sąlygoms, įskaitant statmenus aukščius ir būtinus lygiagrečius ar lygiuosius pagrindus.
• Kvadratiniai ir kubiniai vienetai turi du bei tris ilgio daugiklius; apskritimo, skritulio ir ritinio užrašuose išlaikykite tikslų π iki prašomo apvalinto pateikimo.
• Sudėkite nepersidengiančius plotus arba žinomą persidengimą atimkite vieną kartą ir sekite prašomą ribą, neskaičiuodami vidinių linijų.
• Talpai reikia naudingo vidinio tūrio; išlaikykite nurodytą matavimo informaciją ir atskirkite tikslų modelio rezultatą nuo apytikslio pateikimo.