Mastelis, panašumas ir žemėlapiai

Įvardykite abu ilgius ir jų tvarką santykyje

Mastelis susieja atitinkamus ilgius. Patalpos plane vienos nubrėžtos sienos ilgį galima susieti su tikruoju tos sienos ilgiu. Prieš dalydami įvardykite, kuris ilgis yra skaitiklyje ir kuris vardiklyje. Šioje pamokoje ilgio keitimo koeficientas iš pradinės figūros į pakeistą figūrą yra k = pakeistos figūros ilgis/pradinės figūros ilgis. Abu ilgiai turi būti išreikšti tuo pačiu vienetu, o atskaitos ilgis teigiamas.

Jei 6 cm brėžinyje atitinka tikrąjį 3 m ilgį, pirmiausia 3 m pakeiskite į 300 cm. Brėžinio ir tikrovės santykis yra (6 cm)/(300 cm) = 1/50. Vienetai susiprastina, todėl šis ilgio mastelis yra bematis. Vien skaičių 6 ir 3 dalyba prarastų skirtumą tarp centimetrų ir metrų. Apvertus santykio tvarką gaunamas tikrasis ilgis/brėžinio ilgis = 50, kuris atsako į atvirkštinį klausimą.

1:N skaitykite kaip brėžinio ilgio ir tikrojo ilgio santykį

Nustatytos tvarkos brėžinio ir tikrovės mastelis 1:N reiškia, kad vienas ilgio vienetas brėžinyje atitinka N tokių pačių vienetų tikrajame objekte, kai N > 0. Taigi 1:200 plane 1 cm atitinka 200 cm = 2 m. Idealiame modelyje tikrasis ilgis = N × brėžinio ilgis, o brėžinio ilgis = tikrasis ilgis/N. Mastelis 1:1 išlaiko vienodus ilgius; N > 1 duoda sumažintą brėžinį, o 0 < N < 1 nusako padidintą brėžinį.

Pirmasis skaičius nebūtinai yra vienas. Brėžinio ir tikrovės santykis 2:5000 reiškia, kad du brėžinio vienetai atitinka 5000 tikrovės vienetų, todėl abu narius padaliję iš dviejų gauname 1:2500. Taip pat teiginys, kad 2 cm atitinka 5 m, tampa 2 cm:500 cm = 1:250. Pakeiskite vienetus ir suprastinkite visą santykį prieš jį taikydami. Teiginys su vienetais, pavyzdžiui, 1 cm atitinka 250 m, yra naudingas, tačiau jo bematis santykis yra 1:25 000.

Teigiamas koeficientas turi atvirkštinį kelią atgal

Vienodai keičiant mastelį su k > 0, kiekvienas atitinkamas ilgis dauginamas iš k. Kai k > 1, figūra padidinama; kai 0 < k < 1, ji sumažinama; kai k = 1, jos dydis nesikeičia. Stačiakampio, kurio mastelis pakeistas su k = 2, kraštinių ilgiai yra dvigubi. Rezultatui pritaikę 1/k = 1/2 atkuriame tuos ilgius, nes k × (1/k) = 1. Nurodykite, kuria kryptimi taikomas kiekvienas koeficientas.

Vienodas mastelio keitimas pasirinkto centro atžvilgiu taip pat padaugina kiekvieno taško atstumą nuo centro iš k. Koeficientas k = 0 visą figūrą sutrauktų į centrą. Figūra išsigimtų į tašką, pradinės formos atkurti nebūtų galima, o 1/0 neapibrėžta. Todėl nulis neįtraukiamas į čia taikomus apverčiamus panašumo mastelius. Vien nulinio ilgio elemento brėžinys taip pat neleidžia nustatyti mastelio santykio.

Panašumui reikia vieno formą išlaikančio atitikimo

Panašiosios figūros išlaiko tą pačią formą vienodai pakeitus dydį, galbūt pakeitus vietą ar padėtį. Prieš lygindami susiekite atitinkamas dalis. Daugiakampių atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamų kraštinių ilgiai turi vieną bendrą teigiamą koeficientą. Ilgąją kraštinę reikia lyginti su jos atitikmeniu, o kiekviena viršūnė visame skaičiavime turi išlaikyti tą patį atitikimą. Vienodas dydis taip pat galimas: panašiosios figūros su koeficientu vienas yra lygiosios figūros.

3 m ir 2 m kraštinių stačiakampis panašus į 6 m ir 4 m kraštinių stačiakampį: atitinkamų kraštinių santykiai 6/3 = 4/2 = 2, o atitinkami kampai statieji. Tačiau 6 m ir 2 m kraštinių stačiakampio santykiai yra 2 ir 1. Jis ištemptas viena kryptimi, todėl toks atitikimas yra iškraipymas. Vien lygūs kampai nepadaro šių stačiakampių panašiųjų; vienas atitinkamų kraštinių santykis taip pat nenustato bendros figūros panašumo.

Ilgiams ir perimetrams taikomas koeficientas k

Perimetras yra ribą sudarančių atkarpų ilgių suma. Jei kiekvienam atitinkamam ribos ilgiui taikomas koeficientas k, jis taikomas ir jų sumai: P′ = kP. Brūkšnelis čia žymi pakeistą figūrą. Pradinio 3 m ir 2 m kraštinių stačiakampio perimetras yra 2 × (3 m + 2 m) = 10 m. Kai k = 2, 6 m ir 4 m kraštinių stačiakampio perimetras yra 20 m.

Šį ilgio koeficientą taikykite tikrai panašiųjų figūrų atitinkamai kraštinei, įstrižainei ar perimetrui. Kai k = 1/2, to paties stačiakampio kraštinės tampa 1,5 m ir 1 m, o perimetras 5 m. Kiekvienas rezultatas lieka ilgis su ilgio vienetu. Perimetrų santykis yra bematis, kai abu perimetrai išreikšti tuo pačiu vienetu, kaip ir kraštinių ilgių santykis.

Plotas gauna du ilgio daugiklius

Stačiakampio, kurio plotis w ir aukštis h, plotas A = wh. Vienodas mastelio keitimas duoda plotį kw ir aukštį kh, todėl A′ = (kw)(kh) = k²A. 3 m ir 2 m kraštinių stačiakampio A = 6 m². Kai k = 2, jo plotas yra 24 m², nes k² = 4. Kai k = 1/2, plotas yra 1,5 m², nes (1/2)² = 1/4.

Ploto daugiklis k² taikomas tikrai panašiosioms plokštumos figūroms, ne vien stačiakampiams. Jų forma ir atitinkami ilgiai turi pagrįsti vieną bendrą k. Ištempus tik 3 m ir 2 m kraštinių stačiakampio plotį gaunamas 6 m ir 2 m kraštinių stačiakampis, kurio plotas 12 m²; toks pakeitimas naudoja skirtingus koeficientus dviem kryptimis. Vien plotų santykis neįrodo panašumo. Prieš pasirinkdami daugiklį nustatykite geometrinį ryšį.

Tūris gauna tris ilgio daugiklius

Stačiakampio gretasienio su tarpusavyje statmenų briaunų ilgiais w, h ir d tūris V = whd. Visus tris ilgius padauginus iš to paties teigiamo k gauname V′ = (kw)(kh)(kd) = k³V. Nurodyto 3 m, 2 m ir 1 m briaunų gretasienio tūris yra 6 m³. Kai k = 2, jo matmenys yra 6 m, 4 m ir 2 m, o tūris 48 m³, aštuonis kartus didesnis už pradinį.

Daugiklis k³ taikomas tikrai panašiesiems kūnams, kurių visi atitinkami ilgiai turi bendrą k. Padvigubinus abu priekinės sienos kraštinių ilgius ir nepakeitus gylio, gretasienis nebūtų panašus į pradinį. Panašiųjų kūnų atitinkami paviršiaus plotai gauna daugiklį k², o tūriai k³. Plokščias brėžinys turi plotą; jis neįgyja tūrio vien dėl to, kad vaizduoja kūną. Tūriui apskaičiuoti naudokite nurodytus kūno matmenis ir panašumo ryšį.

Parinkite daugiklį pagal dydį ir išlaikykite jo vienetą

Ilgio, ploto ir tūrio dimensijos yra L, L² ir L³. Mastelio koeficientas k yra bematis, todėl atitinkami ilgio, ploto ir tūrio daugikliai išlaiko kiekvieno dydžio dimensiją ir vienetą. Kai brėžinys panašus į tikrąją plokštumos figūrą brėžinio ir tikrovės masteliu 1:N, tikrasis plotas = N² × brėžinio plotas, naudojant suderintus ploto vienetus. Tikrai panašaus trimačio modelio atitinkamas tikrasis tūris = N³ × modelio tūris.

Vienetų keitimas yra papildomas veiksmas. Esant nurodytam tiksliam masteliui 1:100, brėžinio plotas 4 cm² atitinka 4 × 100² cm² = 40 000 cm² = 4 m². Ilgio keitimas 1 m = 100 cm duoda ploto keitimą 1 m² = 10 000 cm². Dimensijos padeda patikrinti dydžio vienetų sandarą, bet neatskiria bemačių daugiklių k ir k²; tinkamą ploto daugiklį pagrindžia geometrija. Svarbus ir kontekstas: brėžinys turi tiksliai vaizduoti nurodytą plokštumos figūrą, o tūriams palyginti reikia tikro kūno modelio arba pakankamos trimatės informacijos.

Nustatykite, kokį atstumą nusako matavimas žemėlapyje

Idealiame plokščiame modelyje žemėlapio mastelis 1:25 000 susieja nubrėžtą 3,6 cm tarpą su 90 000 cm = 900 m atitinkamu atstumu vietovėje. Tikras matuojamas žemėlapis prideda sąlygas: jo spaudinio dydis turi atitikti skaitinį mastelį, objektai ir matavimas turi būti aiškiai nustatomi, o mastelis turi tikti matavimo vietai ir krypčiai. Projekcija išlenktą paviršių vaizduoja plokštumoje, todėl nurodytas žemėlapio mastelis negarantuoja visur to paties tikslaus santykio.

Tiesi jungiamoji atkarpa tarp dviejų vietų žemėlapyje nusako jų pavaizduotą tarpusavio atstumą. Maršrutas seka savo vingius; tiesios jungties matavimas jo neišmatuoja. Topografiniame žemėlapyje išmatuotas maršrutas paprastai duoda horizontalųjį arba plano atstumą pagal vietines žemėlapio prielaidas. Atstumas vietovės paviršiumi taip pat priklauso nuo aukščio pokyčių, kurių vien ilgio santykis nesuteikia. Perskaitykite žemėlapio projekciją, mastelį ir svarbius metaduomenis, o gautą atstumą apibūdinkite kaip įvertį, nesuteikdami jam nepagrįsto tikslumo.

Mastelio žymėjimą keiskite kartu su žemėlapiu

Skaitinis brėžinio ir vietovės santykis priklauso nuo konkretaus atvaizdo dydžio. Jei pradinis 1:N žemėlapis vienodai pakeičiamas teigiamu ilgio koeficientu r, kiekvienas brėžinio ilgis padidėja r kartų, o vaizduojamas atstumas vietovėje nesikeičia. Naujas santykis yra r:N = 1:(N/r). 1:25 000 žemėlapio kopija, kurios plotis ir aukštis padidinti iki 200% pradinių matmenų, turi r = 2 ir mastelį 1:12 500. Padidinti iki 200% reiškia koeficientą du; ilgį padidinti 200% reiškia koeficientą trys.

Grafinė mastelio juosta išlaiko savo atstumo vietovėje žymas, kai vienodai pakeičiama kartu su žemėlapiu. To 1:25 000 žemėlapio juosta, iš pradžių 2 cm ilgio su žyma 500 m, padidinus du kartus tampa 4 cm ilgio ir tebevaizduoja 500 m. Seną spausdintą tekstą 1:25 000 reikėtų atnaujinti. Jei juosta keičiama atskirai arba žemėlapis skirtingai ištempiamas dviem kryptimis, paprastas atitikimas nebegalioja. Ekrane centimetrų žyma schemoje negarantuoja fizinio liniuotės matmens; naudokite numatytą mastelio vaizdavimą ir peržiūros kontekstą.

Palyginkite vienodą mastelio keitimą su atskiru žemėlapio vaizdavimu

Pradėkite nuo tyrinėjimo įrankio nurodyto 3 m ir 2 m kraštinių stačiakampio ir pradinio teigiamo koeficiento k = 2. Pakeisto stačiakampio kraštinės yra 6 m ir 4 m. Abiejuose brėžiniuose vienam vaizduojamam metrui naudojamas tas pats braižymo mastelis, todėl dydžio pokytis matomas. Patikrinkite pradinį ir pakeistą perimetrus 10 m ir 20 m bei plotus 6 m² ir 24 m². Daugiklių lentelė atskiria k = 2 nuo k² = 4.

Pasirinkite k = 1/2, 1, 2 arba 3. Susijęs stačiakampis gretasienis prasideda nuo 3 m, 2 m ir 1 m briaunų; kiekvienai jų taikomas pasirinktas k. Pradinėje įrankio būsenoje jų ilgiai tampa 6 m, 4 m ir 2 m, o tūris pasikeičia iš 6 m³ į 48 m³. Šiam kūnui naudokite parodytus trimačius matmenis ir tūrio lentelę, o ne laikykite stačiakampio užpildytą plotą tūriu. Visos vertės nurodytos kaip tikslios, o kiekvienas koeficientas teigiamas.

Atskiras žemėlapio valdiklis prasideda nuo 1:10 000 ir siūlo mastelius 1:10 000, 1:25 000 bei 1:50 000 tam pačiam nurodytam tiksliam 1 km atstumui vietovėje. Jų ilgiai brėžinyje atitinkamai yra 10 cm, 4 cm ir 2 cm. Juosta yra scheminė ir žymi vaizduojamus centimetrus; šių verčių nenustatykite matuodami fizinį ekraną. Du valdikliai nepriklausomi, todėl sudaro 4 × 3 = 12 derinių. Keičiant k keičiama panašioji geometrija, o keičiant žemėlapio mastelį keičiamas to paties atstumo vietovėje vaizdavimas. Nė viena dalis nemodeliuoja reljefo, projekcijos iškraipymo ar matavimo neapibrėžties.

Keiskite nurodytą rodmens neapibrėžtį ir išlaikykite žemėlapio ribotumą

Tikslus nurodytas brėžinys ir liniuotės rodmuo tikrame žemėlapyje perteikia skirtingą informaciją. Tarkime, žemėlapio rodmuo pateiktas kaip 3,60 cm su aiškiai nurodyta rodmens neapibrėžtimi 0,04 cm. Jei vietiniam skaičiavimui mastelį 1:25 000 nurodome kaip tikslų, abu dydžius padauginę iš 25 000 gauname 900 m su 10 m rodmens neapibrėžties dedamąja. Ši dedamoji apima nurodytą rodmens neapibrėžtį; ji nenustato viso atstumo vietovėje tikslumo.

Žemėlapio pradiniai duomenys, objektų padėtis, projekcija, spausdinimas ir pasirinktas kelias gali suteikti papildomų ribotumų, kurių šis skaičiavimas neįvertino skaičiais. Išlaikykite apie juos nurodytą informaciją; visos neapibrėžties nenustatykite iš perskaičiuoto rezultato skaitmenų. Žemėlapio padidinimas nepagerina pradinių duomenų. Jei esamas matavimo intervalas tiesiog padidinamas kartu su brėžiniu du kartus, padvigubėja ir jo vertė, ir neapibrėžties dydis. Naujas matavimas liniuote yra naujas rodmuo, kurio neapibrėžtį reikia įvertinti atskirai.

Baigdami įvardykite lyginamus objektus, atitinkamas dalis, santykio kryptį, vienetus ir taikomą modelį. Patikrinkite teigiamą k ir jo atvirkštinį koeficientą, taikykite tinkamą ilgio, ploto ar tūrio daugiklį ir, kai naudinga, apverskite tikslų skaičiavimą. Žemėlapiui patikrinkite atvaizdo dydį bei mastelio žymėjimą ir nurodykite, ar turite omenyje tiesų atstumą, maršruto plano atstumą, ar atstumą vietovės paviršiumi. Išlaikykite neapvalintą informaciją iki galutinio pateikimo ir nurodykite apytikslį rezultatą. Kita pamoka „Ilgis, plotas, tūris ir kasdienės figūros“ plėtoja dydžius ir formules, kuriomis aprašomos pažįstamos figūros bei kūnai.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tikslus 4,5 cm brėžinio ilgis atitinka 90 m. Naudodami bendrus vienetus raskite brėžinio ir tikrovės mastelį 1:N. Atskirai suprastinkite brėžinio ir tikrovės santykį 2:5000. Kokio ilgio brėžinys atitinka tikrąją 8 m atkarpą masteliu 1:200?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   4,5 cm:9000 cm = 1:2000. Santykis 2:5000 suprastinamas į 1:2500. Masteliu 1:200 8 m atkarpa vaizduojama 4 cm ilgiu.

   Prieš sudarydami bematį santykį, 90 m pakeiskite į 9000 cm. Suprastinkite abu santykio 2:5000 narius. Galutiniam brėžiniui 8 m = 800 cm ir 800 cm/200 = 4 cm; padauginę atgal iš 200 atkuriame 8 m.

2. Vienodai pakeiskite įrankio 3 m ir 2 m kraštinių stačiakampio mastelį su k = 1/2. Pateikite naujus kraštinių ilgius ir atvirkštinį koeficientą. Paaiškinkite atvejus k = 1 ir k = 0.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naujos kraštinės yra 1,5 m ir 1 m, o atvirkštinis koeficientas 2. Koeficientas vienas išlaiko dydį. Koeficientas nulis sutraukia figūrą į tašką ir neturi atvirkštinio koeficiento.

   Teigiamas koeficientas, mažesnis už vieną, sumažina kiekvieną atitinkamą ilgį, o daugyba iš jo atvirkštinio atkuria kiekvieną ilgį. Koeficientas nulis duoda išsigimusią figūrą ir negali atkurti pradinės formos, todėl jis neįtrauktas į čia taikomus apverčiamus panašumo mastelius.

3. Palyginkite 3 m ir 2 m kraštinių stačiakampį su 6 m ir 4 m bei 6 m ir 2 m kraštinių stačiakampiais. Kuris panašus pagal nurodytas atitinkamas kraštines? Ar vien statieji kampai nustato panašumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   6 m ir 4 m kraštinių stačiakampis panašus su k = 2. 6 m ir 2 m kraštinių stačiakampio atitinkamų kraštinių santykiai yra 2 ir 1, todėl jis iškraipytas. Vien statieji kampai nenustato panašumo.

   Atitikimas turi išlaikyti ir atitinkamus kampus, ir vieną bendrą ilgio koeficientą. Padvigubinus tik vieną kraštinių kryptį pasikeičia kraštinių proporcija. Vienas atitinkamas santykis taip pat nepakankamas bendro daugiakampio panašumui nustatyti.

4. Tikslaus įrankio stačiakampio perimetras yra 10 m, plotas 6 m², o susijusio 3 m, 2 m ir 1 m briaunų gretasienio tūris 6 m³. Raskite visus tris dydžius vienodai pakeitę mastelį su k = 3. Taip pat raskite plotą ir tūrį, kai k = 1/2.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai k = 3: perimetras 30 m, plotas 54 m², tūris 162 m³. Kai k = 1/2: plotas 1,5 m² ir tūris 0,75 m³.

   Perimetrui naudokite k, plotui k², o tikrai panašiojo gretasienio tūriui k³. Kai k = 3, daugikliai yra 3, 9 ir 27. Kai k = 1/2, ploto bei tūrio daugikliai yra 1/4 ir 1/8. Skirkite ilgio, kvadratinius ir kubinius vienetus.

5. Tiksliu brėžinio ir tikrovės masteliu 1:100 panašiosios plokštumos figūros brėžinio plotas yra 4 cm². Koks atitinkamas tikrasis plotas m²? Atskirai tikrai panašaus kūno modelio tuo pačiu ilgio masteliu tūris yra 1 cm³; raskite tikrąjį tūrį m³. Ar vien plokščias ploto brėžinys nustatytų tą tūrį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tikrasis plotas yra 40 000 cm² = 4 m². Tikrasis tūris yra 1 000 000 cm³ = 1 m³. Vien plokščias ploto brėžinys nenustato kūno tūrio.

   Brėžinio ir tikrovės ilgio koeficientą apverskite naudodami 100, tada jį pakelkite kvadratu plotui ir kubu tūriui. Keiskite vienetus pagal 1 m² = 10 000 cm² ir 1 m³ = 1 000 000 cm³. Tūrio rezultatas remiasi nurodytu panašiuoju kūnu, ne vien plokščiu vaizdu.

6. Šiam skaičiavimui laikykite vietinį žemėlapio mastelį 1:50 000 tiksliu. Tiesus tarpas žemėlapyje pateiktas kaip 2,40 cm su nurodyta rodmens neapibrėžtimi 0,05 cm. Raskite vaizduojamą horizontalųjį atstumą ir rodmens neapibrėžties dedamąją. Ar tai nustato maršruto atstumą, atstumą paviršiumi arba visą tikslumą vietovėje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vaizduojamas horizontalusis atstumas yra 1200 m, o rodmens neapibrėžties dedamoji 25 m. Vien rezultatas nenustato maršruto atstumo, atstumo paviršiumi ar viso tikslumo vietovėje.

   Abu nurodytus dydžius padauginkite iš 50 000 ir centimetrus pakeiskite į metrus. Maršruto vingiams ir aukščio pokyčiams reikia papildomos informacijos; projekcija, žemėlapio duomenys bei spausdinimas taip pat gali paveikti įvertį. 25 m nusako tik rodmeniu aiškiai nurodytą neapibrėžties dedamąją šiame sutartame vietiniame modelyje.

7. Vienodai pakeiskite 1:50 000 žemėlapio dydį ilgio koeficientu r = 1,25. Raskite naują skaitinį mastelį. Juosta, iš pradžių 2 cm ilgio, vaizduoja 1000 m; koks turi būti jos naujas ilgis ir atstumo vietovėje žyma, jei ji pakeista kartu su žemėlapiu? Kas nutiktų, jei plotis ir aukštis būtų ištempti skirtingais koeficientais?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naujas mastelis yra 1:40 000. Juosta tampa 2,5 cm ilgio ir išlaiko 1000 m žymą. Skirtingi pločio ir aukščio koeficientai neduoda vieno bendro ilgio mastelio.

   Naudokite N/r = 50 000/1,25 = 40 000. Kiekvienam brėžinio ilgiui, įskaitant juostą, taikomas koeficientas 1,25, o vaizduojamas atstumas vietovėje nesikeičia. Atskirai pakeista juosta arba nevienodai ištemptas žemėlapis neišlaiko šio paprasto atitikimo.

Ką verta įsidėmėti

• Sudarykite nustatytos tvarkos atitinkamų ilgių santykį tuo pačiu vienetu; brėžinio ir tikrovės masteliu 1:N tikrasis ilgis = N × brėžinio ilgis.
• Vienodas panašumo keitimas išlaiko atitinkamus kampus ir vieną teigiamą ilgio koeficientą k; jo atvirkštinis apverčia mastelį, o k = 0 duoda išsigimusią figūrą.
• Atitinkami ilgiai keičiami koeficientu k; panašiųjų plokštumos figūrų perimetrams taikomas k, plotams k²; panašiųjų kūnų paviršiaus plotams k², tūriams k³, išlaikant tinkamus vienetus.
• Žemėlapio masteliui svarbi tinkama vieta, kryptis ir atvaizdo dydis; pakeistas skaitinis mastelis keičiasi, o kartu su žemėlapiu pakeista juosta išlaiko atstumo vietovėje žymas.
• Įvardykite tiesų atstumą, maršruto ar paviršiaus atstumą, keiskite aiškiai nurodytą rodmens neapibrėžtį ir pateikdami rezultatą išlaikykite kitus matavimo bei žemėlapio ribotumus.