Įvertinimas ir atsakymų pagrįstumo tikrinimas

Nuspręskite, ką įvertis turi parodyti

Įvertis gali padėti planuoti pirkinį, numatyti skaičiavimo mastą ar pastebėti ne vietoje parašytą kablelį. Prieš pasirinkdami jo apytikslumą, nurodykite tikslą. Žinia, kad stačiakampio modelio plotas yra apie penkiasdešimt kvadratinių metrų, gali padėti tikrinti ploto skaičiavimą; jos gali nepakakti nuspręsti, ar tam tikras sveikasis grindų dangos pakuočių skaičius jį padengs.

Atskirkite duotą informaciją, įvertį ir pagal nurodytą modelį galimą tikslų rezultatą. Šios pamokos modeliuose skaičiai yra tiksliai nurodyti. Juos pakeitus patogiais skaičiais gaunamas tikrinimo artinys; tai nesukuria naujos matavimo neapibrėžties ir nesuteikia garantijos apie tikrą pastatą, kelionę ar pakuotę. Tikriems taikymams vis tiek reikia tinkamų matavimų ir prielaidų.

Rinkitės skaičius, su kuriais veiksmą atlikti lengva

Patogūs skaičiai dera su veiksmu. Įvertindami 396 ÷ 8, naudokite 400 ÷ 8 = 50; pradinis tikslus dalmuo yra 49,5. Sandaugai 38 × 21 lengva naudoti artimą 40 × 20 = 800 ir palyginti su tikslia sandauga 798. Pradinį skaičiavimą su įverčiu siekite ženklu ≈ ir paaiškinkite, kurias pradines vertes pakeitėte.

Visų pradinių verčių apvalinimas iki vienodo vietų skaičiaus ne visada yra naudingiausia mintino skaičiavimo strategija. Tikslui gali geriau tikti artimas kartotinis, paprasta valandos dalis ar lengvai dauginami skaičiai. Vieno daugiklio padidinimas ir kito sumažinimas savaime nesuteikia viršutinės ar apatinės ribos. Šiame pavyzdyje 800 artumą skaičiui 798 reikia patikrinti; vien skirtingos keitimo kryptys to nepagrindžia kiekvienai sandaugai.

Tikslus kompensavimas išlaiko rezultatą: 198 + 37 = (200 + 37) − 2 = 235, nes pridėti du vėl atimami. Be šio kompensavimo 198 + 37 ≈ 200 + 37 = 237 yra apytikris įvertis. Taigi patogūs skaičiai gali padėti ir tiksliai skaičiuoti, ir gauti artinį; parodykite, kurį ryšį naudojote.

Teigdami ribą pateikite jos pagrindą

Kai stačiakampio matmenys teigiami, bet kurios kraštinės didinimas didina plotą. Nurodytos 9,8 m ir 4,9 m kraštinės tenkina 9 m ≤ 9,8 m ≤ 10 m ir 4 m ≤ 4,9 m ≤ 5 m. Todėl 36 m² ≤ 9,8 m × 4,9 m ≤ 50 m². Čia 10 × 5 = 50 duoda ir patogų įvertį, ir pagrįstą viršutinę ribą; 9 × 4 = 36 duoda apatinę ribą.

Šios ribos apima tikslų modelio plotą 48,02 m². Jos kyla iš nurodytų skaičių, teigiamų matmenų ir stačiakampio formulės. Tai nėra matavimo neapibrėžties intervalai ar tikimybiniai teiginiai. Apytikris įvertis be krypties pagrindimo yra orientyras, o ne savaime riba. Apimantis intervalas gali atmesti kai kuriuos atsakymus, bet leisti kelis skirtingus atsakymus, tarp jų 49 m².

Tikrinkite dydžio rūšį ir jo skaičių

Dauginant du ilgius gaunamas ploto vienetas: m × m = m². Sudedant ilgius gaunamas ilgis, todėl stačiakampio perimetras pateikiamas m. Kai kraštinės 6 m ir 4 m, plotas yra 24 m², o perimetras 2 × (6 + 4) m = 20 m. Pažįstamas skaičius gali būti priskirtas netinkamam dydžiui ar vienetui. Prieš lygindami mastą patikrinkite, ko klausiama.

Skaičiuojant pagal spartą taip pat reikia suderintų vienetų. Jei nurodytas pastovus 72 km/h greitis išlaikomas 25 min, prieš daugindami perrašykite 25 min = 25/60 h = 5/12 h. Valandos vienetai susiprastina, o atstumas yra 30 km. Dauginant vien skaičius 72 ir 25 bei gaunant 1800 nepaisoma skirtingų laiko vienetų. Atsakymas km/h vis dar nusakytų greitį, o šiame klausime prašoma atstumo. Dydžių dimensijų atitiktis būtina, bet vien jos nepakanka skaitiniam atsakymui patikrinti.

Lyginkite skaitinį mastą pasirinktu vienetu

Apytikrė masto patikra klausia, ar rezultatas siekia vienetus, dešimtis, šimtus, ar visai kitą mastą. Pagal ankstesnės pamokos dešimties laipsnių intervalo susitarimą pasirinktu vienetu nenulinis skaitinis modulis tenkina 10^n ≤ |x| < 10^(n+1). Plotas 48,02 m² priklauso skaitiniam intervalui [10; 100), kai išreiškiamas m². Tai naudinga stambi patikra, o ne ploto skaičiavimo pakaitalas.

Tas pats fizinis plotas yra 480200 cm², nes 1 m² = 10000 cm². Jo skaitinis intervalas cm² yra [100000; 1000000). Dydis nepasikeitė, bet vienetas ir skaitinis intervalas pasikeitė. Prieš vertindami mastą suderinkite vienetus. Dešimteriopa klaida, pavyzdžiui, 480,2 m², aiškiai nedera su stačiakampio 36–50 m² ribomis; artimam neteisingam atsakymui, pavyzdžiui, 49 m², reikia smulkesnės patikros.

Nurodykite skirtumo ar procento atskaitą

Absoliutusis skirtumas išlaiko dydžio vienetą. Lyginant 50 m² ploto įvertį su tiksliu modelio plotu 48,02 m², gauname |50 − 48,02| m² = 1,98 m². Santykinis skirtumas šį modulį dalija iš įvardytos nenulinės atskaitos modulio. Pasirinkus 48,02 m² atskaitą, gaunama 1,98/48,02 × 100% ≈ 4,12%. Santykyje vienetai susiprastina. Vardiklis 50 atsakytų į kitą palyginimo klausimą.

Nurodyta tikrinimo tvarka galėtų leisti iki 5 % nuo šios atskaitos besiskiriantį įvertį. Įvertis atitiktų tą tvarką, tačiau vis tiek skirtųsi nuo tikslaus modelio rezultato. Leistina nuokrypio riba yra pagal tikslą pasirinktas kriterijus, o ne teisingumo garantija ar matavimo neapibrėžtis, nebent tokia prasmė apibrėžta atskirai. Jei atskaita lygi nuliui, šios santykinės formulės naudoti negalima; rinkitės tinkamą absoliutųjį ar kontekstinį palyginimą.

Atlikite atvirkštinį veiksmą ir grįžkite prie duoto ryšio

Atvirkštinis veiksmas gali patikrinti aritmetiką. Kadangi 38 × 21 = 798, dalijant 798 iš 21 grįžtama prie 38. Stačiakampiui 48,02 m² ÷ 4,9 m = 9,8 m grąžina kitą duotą kraštinę. Atvirkštiniame skaičiavime išlaikykite vienetus. Kandidatas 49 m² duoda 10 m, o tai neatitinka nurodytos 9,8 m kraštinės.

Galite ir grąžinti kandidatą į pradinę situaciją. Penkios dėžės, kurių kiekvienoje telpa aštuoni daiktai, duoda 5 × 8 = 40 vietų; keturios duoda 32. Nurodytu pastoviu greičiu 32 km atstumui reikėtų 32/72 h = 4/9 h, arba 26⅔ min, o ne duotų 25 min. Atvirkštinis skaičiavimas padeda tikrinti ryšį su pradiniais duomenimis. Jis negali nustatyti, kad pasirinktas stačiakampio, spartos ar talpos modelis teisingai aprašo tikrą situaciją.

Išlaikykite klausimo visumą ir apribojimus

Procentui apskaičiuoti reikia atskaitos visumos. Dvidešimt yra 25 % nuo aštuoniasdešimties, nes 20/80 = 1/4; tie patys dvidešimt yra 10 % nuo dviejų šimtų. Abu palyginimai galioja, tačiau į klausimą atsako tik jame nurodyta visuma. Taip pat skirkite visą biudžetą nuo likusios sumos, nuvažiuotą atstumą nuo likusio ir turimą talpą nuo iš tikrųjų reikalingo talpyklų skaičiaus.

Tikrinkite kontekste leidžiamus atsakymus. Sveikų dėžių skaičius turi būti neneigiamas sveikasis skaičius. Dalis negali viršyti savo nurodytos visumos, o siūlomas minimumas turi ir tikti, ir atmesti kiekvieną mažesnę galimybę. Šie apribojimai gali atmesti neįmanomus atsakymus. Jie vis tiek gali leisti kelis tikėtinus atsakymus, kol nepatikrintas reikiamas skaičiavimas ir sąlygos.

Spartos įvertį taikykite tik pagal nurodytą modelį

Pastoviam 72 km/h greičiui, išlaikomam 25 min, pusvalandžio įvertis duoda 72 × 1/2 = 36 km. Tai viršutinis įvertis, nes tikras modelio laikas trumpesnis nei pusvalandis, o greitis teigiamas. Apribojus laiką tarp 20 ir 30 min, gaunama 24 km ≤ atstumas ≤ 36 km. Tikslus skaičiavimas duoda 30 km, o absoliutusis įverčio skirtumas yra 6 km, arba 20 % nuo 30 km atskaitos.

Ribos leidžia ir 32 km, todėl vien jų atitikimas nepatvirtina tikslaus atsakymo. Pastovus greitis visą laiką čia yra aiški sąlyga. Sustojimams, kintamam greičiui ar kitai laiko prasmei reikia tinkamo modelio prieš taikant tą patį skaičiavimą. Tikėtinas kelionės atstumas nepatvirtina prielaidų apie eismą, maršrutą ar tikrą transporto priemonę.

Talpos skaičiavimą užbaikite sveikojo skaičiaus patikra

Tarkime, 37 nedalomus daiktus reikia sudėti į dėžes, kurių kiekvienoje telpa daugiausia aštuoni daiktai, ir leidžiamas bet koks grupavimas. Santykis 37/8 = 4,625 lygina daiktų skaičių su vienos dėžės talpa; tai nėra leidžiamas sveikų dėžių skaičius. Keturiose dėžėse telpa daugiausia 32 daiktai, o penkiose – 40. Taigi 4 × 8 < 37 ≤ 5 × 8 įrodo, kad šiame modelyje mažiausias skaičius yra penkios dėžės.

Penkios dėžės tinka: keturias pripildykite po aštuonis daiktus, o likusius penkis sudėkite į penktą. Kartu lieka trys nepanaudotos vietos. Šešiose dėžėse daiktai irgi telpa, tačiau tai neatsako į klausimą apie minimumą. Išvada remiasi nurodyta talpa pagal daiktų skaičių ir laisvu grupavimu; papildomus daiktų dydžio, masės ar leidžiamų derinių apribojimus reikėtų įtraukti atskirai.

Lyginkite kandidatą su įverčiais, ribomis ir tiksliomis patikromis

Pradėkite nuo įrankio stačiakampio atvejo ir teisingo 48,02 m² kandidato. Tikslios kraštinės yra 9,8 m ir 4,9 m, patogus viršutinis įvertis 50 m², o modelio ribos [36; 50] m². Palyginkite artimą kandidatą 49 m²: jis patenka tarp ribų, tačiau dalijant iš duotos 4,9 m kraštinės gaunama 10 m, o ne 9,8 m. Dešimteriopas kandidatas ir kandidatas su ilgio vienetu parodo skirtingus trūkumus.

Pastovaus greičio atvejis nurodo tiksliai 72 km/h visą 25 min laiką ir duoda 30 km. Pusvalandžio 36 km įvertį bei [24; 36] km ribas pagrindžia laiko palyginimas. Kandidatas 32 km patenka tarp ribų, bet neatitinka tikslios laiko patikros; 1800 km parodo praleistą minučių keitimą į valandas, o greičio vienetas neatsako į atstumo klausimą. Pakavimo atvejis lygina penkias, 37 ir šešias dėžes bei talpos santykį 4,625. Tikrinkite ir talpumą, ir prašomą minimumą, ir sveikojo skaičiaus reikalavimą.

Trys atvejai ir keturios kandidatų pozicijos duoda 3 × 4 = 12 parinktų būsenų. Atvejų tikslūs modelio duomenys nesikeičia; kito kandidato pasirinkimas jų nepakeičia. Naudokite rodmenis nustatyti, ką kiekviena patikra gali išspręsti. Įrankis nepriskiria matavimo neapibrėžčių ir nepaverčia apytikrio įverčio, ribų ar tikėtino kandidato tikslaus teisingumo įrodymu.

Naudokite kelias patikras ir nurodykite jų ribotumus

Pakartokite klausimą, įvardykite pradinius duomenis bei vienetą ir prieš pasikliaudami detaliu skaičiavimu sudarykite įvertį. Tikrinkite dydžių dimensijas ir skaitinį mastą, tada pagrįstas ribas. Jei padeda skirtumas ar procentas, lyginkite su įvardyta atskaita. Atlikite atvirkštinį veiksmą ar grąžinkite kandidatą į situaciją ir patikrinkite visumą, skaičiaus apribojimus bei modelio sąlygas.

Apytikrės patikros atitikimas reiškia, kad atsakymas tą patikrą išlaikė. Tai neįrodo, kad visi skaitmenys, vienetai, aiškinimai ar prielaidos teisingi. Tikslus skaičiavimas gali nustatyti atsakymą pagal nurodytą modelį; taikant jį pasauliui vis tiek reikia tinkamo modelio ir pradinių duomenų. Kita pamoka „Kintamieji, reiškiniai ir keitimas“ pristato dydžių pavadinimus ir jų aprašomų ryšių vertinimą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Įvertinkite 38 × 21 naudodami 40 × 20, tada apskaičiuokite tikslią sandaugą. Ar vieno daugiklio didinimas ir kito mažinimas savaime įrodo, kad įvertis yra viršutinė riba?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Įvertis yra 800, o tiksli sandauga 798, todėl šis įvertis dviem didesnis už tikslų rezultatą. Skirtingos apvalinimo kryptys savaime neįrodo viršutinės ribos kiekvienai sandaugai.

   Patogūs skaičiai palengvina veiksmą. Prieš teigdami kryptį, patikrinkite, kaip pradinių verčių keitimas veikia prašomą dydį. Čia tikslus skaičiavimas nustato palyginimą, o 798 ÷ 21 = 38 duoda atvirkštinę aritmetikos patikrą.

2. Nurodytos kainos yra 17,80 €, 9,60 € ir 12,40 €. Patogią sumą 18 + 10 + 12 palyginkite su tikslia bendra suma. Tada pagrįskite viršutinę sumą naudodami 18 + 10 + 13. Ar šie pakeitimai nurodo matavimo neapibrėžtis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tiksli bendra suma yra 39,80 €. Pirmas įvertis 40 €, bet jo skirtingos apvalinimo kryptys vienos nepagrindžia viršutinės ribos. Kiekvienas antros sumos dėmuo ne mažesnis už duotą kainą, todėl 41 € yra pagrįsta viršutinė suma. Tai aritmetiniai įverčiai ir ribos, o ne matavimo neapibrėžtys.

   Sudedant ir kiekvieną dėmenį pakeičiant didesne ar lygia verte gaunama viršutinė suma. Pirmame įvertyje trečia kaina sumažinta, todėl jo krypčiai reikia atskiros patikros. Abu įverčiai turi būti įvardyti kaip tiksliai nurodytų kainų pakeitimai.

3. Stačiakampio tikslios kraštinės yra 6 m ir 4 m. Raskite plotą bei perimetrą. Kuris teiginys turi netinkamos rūšies vienetą: plotas 24 m ar perimetras 20 m? Teisingą plotą pakeiskite į cm² ir paaiškinkite, kodėl didesnis skaičius nereiškia didesnio fizinio ploto.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Plotas yra 24 m², o perimetras 20 m. Teiginys plotas 24 m turi ilgio vienetą. Kadangi 1 m² = 10000 cm², 24 m² = 240000 cm²; plotas nepasikeičia.

   Ilgių daugyba duoda kvadratinius vienetus, o kontūro ilgių sudėtis – ilgio vienetą. Vieneto keitimas pakeičia skaitinį užrašą. Mastą lyginkite tik išreiškę dydžius suderintais vienetais.

4. Tiksli modelio atstumo atskaita yra 30 km, o įvertis 36 km. Raskite absoliutųjį ir santykinį skirtumą, atskaita laikydami 30 km. Tikrinimo tvarka leidžia skirtumą iki 25 % nuo šios atskaitos: ar jos atitikimas įrodo, kad 36 km yra tikslu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Absoliutusis skirtumas yra 6 km, o santykinis 6/30 × 100% = 20 %. Įvertis atitinka nurodytą 25 % tvarką, bet vis tiek nelygus tiksliai modelio atskaitai 30 km.

   Įvardykite vardikliui naudojamą nenulinę atskaitą. Leistina tikrinimo nuokrypio riba yra pasirinktas konkretaus tikslo kriterijus; jos atitikimas neįrodo tikslios lygybės, nenustato fizinės tiesos ir nesuteikia matavimo neapibrėžties.

5. Tiksliai pastoviam 72 km/h greičiui 25 min siūlomi kandidatai 30 km, 32 km, 1800 km ir 30 km/h. Vienetais, laiko keitimu ir atvirkštine patikra paaiškinkite, kuris atsako į klausimą. Ar pakanka patekti į [24; 36] km intervalą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   30 km atsako į nurodyto modelio klausimą. 32 km patenka tarp ribų, bet šiuo greičiu užtrunka 26⅔ min; 1800 km gaunama nepaisant minučių keitimo į valandas; 30 km/h yra netinkama dydžio rūšis. Vien atitikti ribas nepakanka.

   Prieš daugindami 25 min pakeiskite į 5/12 h, tada tikrinkite 30/72 h = 5/12 h. Stambios ribos pašalina kai kuriuos neteisingus atsakymus, bet gali leisti kitus neteisingus kandidatus. Pastovaus greičio ir praėjusio laiko prielaidos turi likti aiškios.

6. Dvidešimt plytelių yra mėlynos. Vienas klausimas jas lygina su aštuoniasdešimties plytelių rinkiniu, kitas – su dviejų šimtų rinkiniu. Apskaičiuokite abu procentus. Kodėl vienas procentas savaime neatsako į kitą klausimą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dvidešimt iš aštuoniasdešimties yra 25 %; dvidešimt iš dviejų šimtų yra 10 %. Kiekviename klausime visuma skiriasi, todėl kiekvienas procentas atsako į savo palyginimą.

   Procentas yra santykis su nurodyta visuma. Išlaikykite visumą ir suskaičiuotą dalį, užuot perkėlę pažįstamą procentą į kitą kontekstą. Ta pati dalis gali duoti skirtingus teisingus procentus, kai bendri skaičiai skiriasi.

7. Tiksliai 37 nedalomi daiktai gali būti laisvai grupuojami sveikose dėžėse, kurių kiekvienoje telpa daugiausia aštuoni. Palyginkite kandidatus keturias, penkias, šešias ir 4,625 dėžės. Kurie tinka pagal talpą ir kuris atsako į klausimą apie minimumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Keturių dėžių nepakanka, nes jų talpa 32. Penkiose ir šešiose daiktai telpa, bet penkios yra minimumas, nes 32 < 37 ≤ 40. Santykis 4,625 nėra leidžiamas sveikasis dėžių skaičius.

   Minimumui reikia dviejų patikrų: siūlomas skaičius tinka, o kiekvienas mažesnis leidžiamas skaičius netinka. Keturios pilnos dėžės ir penki daiktai penktoje parodo, kad sutalpinti galima. Papildomi pakavimo apribojimai galėtų pakeisti modelį ir turi būti nurodyti, o ne nepastebimai atmesti.

Ką verta įsidėmėti

• Įvertį rinkitės pagal tikslą ir paaiškinkite naudotus patogius skaičius; apytikriam orientyrui reikia atskiro pagrindimo, kad jį būtų galima vadinti riba.
• Prieš pasitikėdami pažįstamai atrodančiu skaičiumi patikrinkite dydžio rūšį, suderintus vienetus ir skaitinį mastą.
• Absoliučiajam skirtumui išlaikykite vienetą, o santykiniam palyginimui įvardykite nenulinę atskaitą. Nurodyta leistina nuokrypio riba nenustato tikslaus teisingumo.
• Atlikite atvirkštinį veiksmą ar grąžinkite atsakymą į duotą ryšį, tada tikrinkite pasirinktą visumą, sveikųjų skaičių apribojimus, galimybę ir prašomą minimumą.
• Pagrįstumo patikros gali atmesti klaidas ar leisti tikėtinus kandidatus; tiksliems modelio skaičiavimams ir modelio tinkamumui tikrame pasaulyje reikia savų patikrų.