Kintamieji, reiškiniai ir keitimas

Suteikite skaičiui ar dydžiui pavadinimą

Kintamasis yra simbolis, kuriuo matematiniame apraše įvardijamas skaičius ar dydis. Reiškinyje 2x + 3 simbolis x įvardija pradinį skaičių. Jei duota x = 2, reiškinio reikšmei apskaičiuoti kiekvienoje x vietoje naudojame dvejetą. Vieno skaičiavimo metu kintamasis neprivalo keistis; jo pavadinimas leidžia tą pačią taisyklę naudoti su skirtingomis leidžiamomis reikšmėmis.

Simbolio vaidmenį nustato aprašas. Jis gali įvardyti duotą pradinę reikšmę, ieškomą nežinomą reikšmę ar modelio dydį. Nurodykite, ką jis reiškia, užuot tikėjęsi, kad pati raidė tai paaiškins. Jei L įvardija ilgį, pateikite jo vienetą ir geometrines sąlygas; jei n skaičiuoja grupes, nurodykite galimus jų skaičius.

Nurodykite taisyklės leidžiamas pradines reikšmes

Apibrėžimo sritis yra leidžiamų pradinių reikšmių aibė. Algebrinio reiškinio 2x + 3 reikšmę galima apskaičiuoti su teigiamais, neigiamais, nuliniais ir trupmeniniais realiaisiais skaičiais. Įrankis naudoja penkis tikslius pavyzdžius −2, −1, 0, 1/2 ir 2. Jie parodo taisyklę, tačiau neapima visų jos leidžiamų realiųjų skaičių.

Kontekstas gali pridėti apribojimų. Jei n skaičiuoja pilnas karoliukų grupes, n turi būti neneigiamas sveikasis skaičius. Jei L yra stačiakampio kraštinės ilgis, L turi būti teigiamas. Pradinę reikšmę gali atmesti ir matematinis veiksmas: reiškiniui 1/x būtina x ≠ 0. Prieš skaičiuodami tikrinkite ir reiškinio veiksmus, ir nurodytą kontekstą.

Perskaitykite paprasto reiškinio dalis

Reiškinio 2x + 3 du sudedamieji nariai yra 2x ir 3. Dvejetas yra x dauginantis koeficientas; trejetas yra pastovusis narys, nesikeičiantis keičiantis x. Visas reiškinys aprašo iš pradinės reikšmės gaunamą rezultatą. Šie pavadinimai padeda paaiškinti, kurią taisyklės dalį keičiate ar skaičiuojate.

Konstanta yra pastovi nurodytoje taisyklėje ar situacijoje. Kintamasis x, kuriam vienam skaičiavimui priskirta reikšmė 2, tebeturi pradinės reikšmės vaidmenį; toks nurodymas nepaverčia visų vėlesnių reikšmių dvejetais. Prieš įvardydami dalis perskaitykite ir skliaustus: 2(x + 3) liepia visą skliaustuose esančią sumą dauginti iš dviejų. Neskaitykite jo kaip reiškinio 2x + 3 be skliaustų.

Gretimus simbolius skaitykite kaip nurodytą daugybą

Algebroje daugybos ženklas tarp skaitinio koeficiento ir kintamojo ar prieš skliaustų grupę dažnai praleidžiamas. Taigi 2x reiškia 2 × x, o 2(x + 3) reiškia 2 × (x + 3). Kai x = 12, reiškinio 2x reikšmė yra 24. Prirašyti dvejetą prie dvylikos skaitmenų ir gauti 212 reiškia sujungti skaitmenis, o tai kitas veiksmas.

Laipsnis duoda dar kitą nurodymą: x² reiškia x × x, o ne x × 2. Aiškiame reiškinio užraše turi būti atpažįstami veiksmai ir simbolių pavadinimai. Keisdami kintamąjį reikšme, aiškiai rašykite daugybos ženklą bei skliaustus, jei tai padeda išvengti ženklo ar grupavimo klaidos.

Skirkite skaičiavimo taisyklę nuo lygybės teiginio

Reiškinys, pavyzdžiui, 2x + 3, aprašo vertę, kai duota leidžiama pradinė reikšmė. Lygtis, pavyzdžiui, 2x + 3 = 7, teigia, kad dviejų reiškinių reikšmės lygios. Lygybė teisinga, kai x = 2, tačiau nėra teisinga visoms pradinėms reikšmėms. Lygybės ženklas nusako ryšį; jis nėra nurodymas juo sujungti bet kurį kitą skaičiavimo žingsnį.

Reikšmės apskaičiavimas atsako: kokią vertę reiškinys turi su šia duota pradine reikšme? Sprendimas atsako: kurios leidžiamos reikšmės padaro šią lygtį teisingą? Čia daugiausia apskaičiuojame reikšmes su duotais skaičiais ir tikriname teiginius. Kita pamoka plėtoja lygybę ir vieno žingsnio lygtis; reiškinio be lygties nelaikykite prašymu rasti vienintelį nežinomąjį.

Kiekvienoje vietoje įstatykite tą pačią duotą reikšmę

Keitimas reiškia kintamojo pakeitimą duota reikšme visose jo vietose. Reiškiniui x² + x, kai x = −2, rašykite (−2)² + (−2) = 4 − 2 = 2. Abiejose x vietose naudojama ta pati pradinė reikšmė. Pakeitus tik vieną vietą, reiškinys lieka nevisiškai apskaičiuotas; tam pačiam x naudojant skirtingas vertes pakeičiamas klausimas.

Keisdami simbolius išlaikykite pradinę struktūrą, tada skaičiuokite. Kai x = 1/2, reiškinys x² + x tampa (1/2)² + (1/2) = 1/4 + 1/2 = 3/4. Šios trupmenos yra tikslios vertės. Dešimtainis artinys pasirenkamas tik tada, kai jo reikia prašomam pateikimui; pačiam keitimui jis nebūtinas.

Skliaustais išsaugokite pradinį ženklą ir trupmeną

Kai x = −2, įstatę į x² gauname (−2)² = 4. Pagal įprastą veiksmų tvarką −x² reiškia −(x²); su ta pačia pradine reikšme gaunama −((−2)²) = −4. Reiškinys (−x)² skliaustuose pirmiausia pakeičia pradinės reikšmės ženklą ir tada kelia kvadratu, todėl duoda 4. Skliaustai parodo, kas keliama kvadratu, ir skiria neigiamą pradinį skaičių nuo minuso prieš kvadratą.

Trupmeninę pradinę reikšmę išlaikykite kaip vieną skaičių: 2x, kai x = 1/2, tampa 2 × (1/2) = 1, o x² tampa (1/2)² = 1/4. Reiškinyje 1/x visa duota reikšmė yra vardiklis: 1 ÷ (1/2) = 2. Toks grupavimas neleidžia negrupuotai dalybos ženklų sekai nepastebimai pakeisti reiškinio.

Prieš lygindami taisykles apskaičiuokite skliaustų grupes

Pirmiausia atlikite veiksmus skliaustuose, tada kėlimą laipsniu, daugybą ir dalybą, galiausiai sudėtį bei atimtį. Kai x = 2, reiškinys 2x + 3 tampa 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7. Reiškinyje 2(x + 3) pirmiausia apskaičiuokite skliaustų sumą: 2 × (2 + 3) = 2 × 5 = 10. Pradinė reikšmė ta pati, tačiau nurodymai skiriasi.

Grupavimas svarbus ir reikšmėms su ženklu bei trupmenoms. Kai x = −2, du rezultatai yra −1 ir 2; kai x = 1/2, jie yra 4 ir 7. Prieš skaičiuodami mintinai užrašykite keitimą. Daugybos bei dalybos lygmenyje arba sudėties bei atimties lygmenyje skaitykite iš kairės į dešinę, jei grupavimas nenurodo kitaip.

Dydžių pavadinimus siekite su vienetais

Įrankio x yra skaičius, todėl keturios jo taisyklės neturi fizinių vienetų. Atskirame stačiakampio modelyje L įvardija ilgio dydį, o kita kraštinė pastovi ir lygi 3 m. Perimetro reiškinys yra 2L + 6 m. Kai L = 2,5 m, įstatę gauname 2 × (2,5 m) + 6 m = 11 m. Koeficientas du yra bedimensis; abu sudedamieji nariai yra ilgiai.

Šiam stačiakampiui L turi būti teigiamas. Neigiama pradinė reikšmė vis tiek gali duoti aritmetinį rezultatą, tačiau nenusakytų tinkamos stačiakampio kraštinės. Skaičiavimo pagal daiktų skaičių modelių sritys gali skirtis: trys pastovūs karoliukai ir po du karoliukus kiekvienai pilnai grupei duoda bendrą skaičių 3 + 2n, kai n yra neneigiamas sveikasis; kai n = 4, skaičius yra vienuolika. Prieš perkeldami skaitinę taisyklę dydžiams ar daiktų skaičiams įvardykite kontekstą.

Prieš teigdami rezultatą patikrinkite vardiklį

Reiškinys 1/x neapibrėžtas, kai x = 0. Jei 1/0 būtų įprasta realiojo skaičiaus vertė q, turėtų galioti 0 × q = 1, tačiau nulis, padaugintas iš bet kurio realiojo skaičiaus, yra nulis. Taigi nėra realiosios vertės, tenkinančios šį reikalavimą. Neapibrėžta nereiškia nulinio rezultato, ypač didelio baigtinio skaičiaus ar taško, kurį reikia žymėti rezultato skaičių ašyje.

Leidžiamoms pradinėms reikšmėms atvirkštinis skaičius gali būti teigiamas, neigiamas ar trupmeninis: 1 ÷ (−2) = −1/2, 1 ÷ (1/2) = 2 ir 1 ÷ (2) = 1/2. Atmestą pradinę reikšmę naudinga apžiūrėti, nes ji atskleidžia taisyklės apibrėžimo srities apribojimą. Sritį tikrinkite prieš skaičiuodami, o ne vėliau sukurkite skaitinį atsakymą.

Įstatykite pradinę reikšmę išlaikydami reiškinį

Pradėkite nuo 2x + 3 ir tikslios pradinės reikšmės x = 2. Įrankis rodo 2 × (2) + 3 = 7. Išlaikykite tą reikšmę ir pasirinkite 2(x + 3), x² ar 1/x: jų vertės yra 10, 4 ir 1/2. Vienoje fiksuotoje skaičių ašyje atskiros žymeklių eilutės rodo duotą pradinį skaičių ir apskaičiuotą rezultatą. Žymekliai nurodo šių dviejų skaičių vietas.

Pasirinkite bet kurią iš penkių tikslių pradinių reikšmių −2, −1, 0, 1/2 ir 2. Keturi reiškiniai ir penkios reikšmės duoda 4 × 5 = 20 būsenų, įskaitant reiškinio 1/x atvejį su neleidžiama pradine reikšme x = 0. Toje būsenoje rezultatas neapibrėžtas ir jo taškas nežymimas. Reikšmės su ženklu ir trupmenos išlaiko skliaustus, o trupmeniniai rezultatai lieka tikslūs, neapvalinti rodymui.

Lyginkite pavyzdžių vertes ir pastebėkite grupavimą, pasikartojančią daugybą bei atvirkštinio skaičiaus elgesį. Sutapimas pasirinktose reikšmėse aprašo tik tuos palyginimus. Atskirame rašytiniame palyginime apskaičiuokite x² ir x nuliui, vienetui bei dvejetui: jie sutampa nuliui bei vienetui, bet skiriasi dvejetui, kuriam duoda keturis ir du. Baigtinis sutampančių pavyzdžių rinkinys pats neįrodo, kad du reiškiniai lygiaverčiai kiekvienai bendrai leidžiamai pradinei reikšmei.

Prieš aiškindami rezultatą patikrinkite užduotį

Įvardykite simbolio vaidmenį, duotą reikšmę, leidžiamas pradines reikšmes ir vienetus. Nuspręskite, ar užduotis prašo apskaičiuoti reikšmę, patikrinti lygtį su duota verte, ar rasti nežinomąjį. Nuosekliai pakeiskite kiekvieną pasikartojimą, išlaikykite skliaustus, laikykitės veiksmų tvarkos ir rezultatą paaiškinkite pagal jo kontekstą.

Teisingas apskaičiavimas nustato reiškinio vertę su ta leidžiama pradine reikšme. Jis nenustato, kad tinka kiekviena reikšmė, kad modelis tinka tikrai situacijai ar kad keliuose pavyzdžiuose sutampančios taisyklės visuotinai lygiavertės. Kita pamoka „Lygybė ir vieno žingsnio lygtys“ plėtoja lygybės ryšį ir paprastus būdus rasti jį tenkinančias pradines reikšmes.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Algebriniame reiškinyje 2x + 3 įvardykite kintamąjį, jo koeficientą, pastovųjį narį ir du sudedamuosius narius. Ar x = 2 naudojimas vienam skaičiavimui reiškia, kad kiekviena vėlesnė pradinė reikšmė turi būti du?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kintamasis yra x, jo koeficientas du, pastovusis narys trys, o sudedamieji nariai 2x ir 3. Viena duota pradinė reikšmė neapriboja kiekvieno vėlesnio skaičiavimo dvejetu.

   Pradinės reikšmės vaidmuo, kurį turi x, skiriasi nuo pastovių taisyklės dalių. Nurodykite leidžiamas vertes ir kiekvieno skaičiavimo metu nuosekliai naudokite vieną duotą vertę. Reiškinio 2(x + 3) skliaustai pakeistų nurodymus.

2. Kai x = 12, apskaičiuokite 2x ir x². Kodėl 212 ir 24 negali abu būti tinkami 2x aiškinimai? Ar x² reiškia x padauginti iš dviejų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   2x = 2 × 12 = 24, o x² = 12 × 12 = 144. Skaičius 212 sujungia skaitmenis; tai ne nurodyta daugyba. Reiškinys x² kelia x kvadratu, o ne daugina iš dviejų.

   Prieš pakeisdami simbolius perskaitykite reiškinio užrašą. Koeficientas ir laipsnio rodiklis duoda skirtingus nurodymus, o koeficiento rašymas greta kintamojo čia reiškia daugybą.

3. Apskaičiuokite 2x + x² pirmiausia, kai x = −2, tada, kai x = 1/2. Prieš skaičiuodami parodykite abu pakeitimus. Kas nutinka pakeitus tik x kvadrate?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai x = −2, 2 × (−2) + (−2)² = −4 + 4 = 0. Kai x = 1/2, 2 × (1/2) + (1/2)² = 1 + 1/4 = 5/4. Pakeitus tik vieną pasikartojimą reiškinys lieka nevisiškai apskaičiuotas.

   Abu pasikartojimai įvardija tą pačią duotą pradinę reikšmę. Skliaustai išlaiko skaičių su ženklu ar trupmeną bei laipsnio pagrindą. Gauta trupmena yra tiksli.

4. Su tikslia pradine reikšme x = −1 apskaičiuokite 2x + 3 ir 2(x + 3). Kuri suma atliekama prieš dauginant iš dviejų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reiškinys 2x + 3 duoda 2 × (−1) + 3 = 1. Grupuotas reiškinys duoda 2 × ((−1) + 3) = 2 × 2 = 4. Antrame reiškinyje x + 3 apskaičiuojama prieš tą daugybą.

   Naudokite parašytą grupavimą, o ne tvarką, kuria simboliai atrodo pažįstami. Ta pati pradinė reikšmė pagal skirtingas taisykles gali duoti skirtingus rezultatus.

5. Kai x = −1, palyginkite x², −x² ir (−x)². Reikšmę su ženklu įstatykite naudodami skliaustus ir nurodykite, kur taikomas minusas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x² = (−1)² = 1; −x² = −((−1)²) = −1; (−x)² = (−(−1))² = 1. Reiškinio −x² išorinis minusas taikomas po kėlimo kvadratu.

   Laipsnis apskaičiuojamas prieš negrupuotą minusą priekyje. Reiškinio (−x)² skliaustai ženklo keitimą įtraukia į kvadrato pagrindą.

6. Apskaičiuokite 1/x, kai x = 1/2, ir patikrinkite x = 0. Atskirai, ar L = −2 m galima naudoti stačiakampio reiškinyje 2L + 6 m, jei L įvardija kraštinės ilgį? Paaiškinkite, ar vien rezultato skaičius nustato leistinumą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai x = 1/2, atvirkštinis skaičius yra du; kai x = 0, jis neapibrėžtas. L = −2 m nepriklauso stačiakampio teigiamų ilgių sričiai, nors aritmetinis reiškinys duotų 2 m.

   Svarbūs ir veiksmų, ir konteksto apribojimai. Neapibrėžta nereiškia nulio, o apskaičiuojamas reiškinys su netinkama geometrine pradine reikšme nenustato tinkamo stačiakampio.

7. Kuo 2x + 3 reikšmės apskaičiavimas, kai x = 2, skiriasi nuo reikšmių, tenkinančių 2x + 3 = 7, paieškos? Reiškiniai x² ir x sutampa nuliui bei vienetui: ar tai įrodo visuotinį lygiavertiškumą? Patikrinkite x = 2.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikšmės apskaičiavimas naudoja duotą skaičių ir grąžina septynetą. Sprendžiant ieškoma leidžiamų reikšmių, padarančių lygybę teisingą. Sutapimas nuliui bei vienetui neįrodo visuotinės lygybės: dvejetui x² duoda keturis, o x duoda du.

   Skirkite užduotį nuo teiginio. Tikslus apskaičiavimas nustato duotą atvejį; vien baigtinis sutampančių pavyzdžių rinkinys nenustato visų reikšmių. Viena besiskirianti leidžiama reikšmė atmeta teiginį, kad du reiškiniai visada sutampa.

Ką verta įsidėmėti

• Nurodykite, ką kintamasis reiškia ir kurios pradinės reikšmės leidžiamos; jis gali įvardyti duotą skaičių, nežinomąjį ar dydį su vienetais.
• Prieš skaičiuodami perskaitykite koeficientus, konstantas, narius, daugybą be ženklo ir laipsnius; grupavimas yra reiškinio nurodymo dalis.
• Kiekvieną pasikartojimą pakeiskite ta pačia pradine reikšme, skliaustais išlaikykite skaičius su ženklu bei trupmenas ir laikykitės veiksmų tvarkos.
• Išlaikykite vienetus ir konteksto apribojimus bei atmeskite nulinį vardiklį, užuot jam priskyrę skaitinį rezultatą.
• Apskaičiuojant naudojama duota pradinė reikšmė, sprendžiant ieškoma lygtį tenkinančių reikšmių, o vien baigtinis pavyzdžių sutapimas neįrodo visuotinio lygiavertiškumo.