Kompleksiniai skaičiai ir aritmetika

Naujas skaičius ir realiesiems skaičiams neįmanomas kvadratas

Joks realusis skaičius netenkina lygties x² = −1, nes kiekvieno realiojo skaičiaus kvadratas yra neneigiamas. Kompleksinių skaičių sistema išplečia realiųjų skaičių sistemą: įvedamas i, kuriam galioja taisyklė i² = −1. Jos elementai yra pavidalo a + bi, kur a ir b yra realieji skaičiai. Išlaikome įprastus aritmetikos asociatyvumo, komutatyvumo ir distributyvumo dėsnius ir taikome i² = −1, kai sandaugoje yra du dauginamieji i. Naujasis elementas nėra jau egzistuojantis realusis skaičius, kurio kvadratas pakeistas.

Vienoje tikslioje konstrukcijoje a + bi vaizduojamas realiųjų skaičių pora (a, b). Sudėkite atitinkamus porų komponentus, o poras dauginkite pagal (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Realųjį skaičių a vaizduoja (a, 0), daugybos vienetą – (1, 0), o i – (0, 1). Pakėlę paskutinę porą kvadratu, gauname (−1, 0), tai yra būtent į šią sistemą įterptą realųjį skaičių −1. Tai algebrinė konstrukcija; porų vaizdavimas plokštumoje ir jų geometrinė interpretacija bus nagrinėjami kitoje pamokoje.

Kiekvienas realusis skaičius lieka ir kompleksiniu skaičiumi: pavyzdžiui, 7 = 7 + 0i. Kompleksinis nulis yra 0 + 0i, o kompleksinis vienetas – 1 + 0i. Sudedant ar dauginant realiuosius skaičius, porų formulės duoda tuos pačius realiuosius rezultatus kaip ir anksčiau. Nerealieji kompleksiniai skaičiai suteikia daugiau galimų reikšmių, įskaitant ir i, ir −i kaip lygties x² = −1 sprendinius, tačiau ši lygtis dėl to neįgyja realiojo sprendinio.

Menamoji dalis yra realusis koeficientas

Kai z = a + bi, o a ir b yra realieji skaičiai, realioji dalis yra Re z = a, o menamoji dalis – Im z = b. Menamoji dalis yra koeficientas b, o ne narys bi. Taigi Re(−2 + 3i) = −2 ir Im(−2 + 3i) = 3; Re(−4i) = 0 ir Im(−4i) = −4. Teigiama arba neigiama menamoji dalis nusako šio realiojo koeficiento ženklą, o ne nerealiųjų kompleksinių skaičių palyginimą pagal santykį „daugiau už“.

Abu realieji koeficientai yra vienareikšmiškai apibrėžti. Porų konstrukcijoje a + bi = c + di tada ir tik tada, kai a = c ir b = d. Tą patį galima pagrįsti kitaip: jei b − d būtų nenulinis realusis skaičius, iš lygybės gautume, kad i = (c − a)/(b − d) yra realusis skaičius, o tai prieštarautų i² = −1 ir realiųjų skaičių kvadratų neneigiamumui. Kai b = d, lygybei taip pat būtina a = c. Prieš nustatydami išraiškos dalis, pertvarkykite ją taip, kad koeficientai būtų realieji skaičiai.

Skaičius yra realusis tada ir tik tada, kai jo koeficientas prie i yra lygus nuliui. Skaičius, kurio koeficientas prie i nelygus nuliui, nėra realusis. Šioje pamokoje nenulinis skaičius bi, kurio b yra realusis ir b ≠ 0, vadinamas grynai menamuoju; jo realioji dalis lygi nuliui. Nulis yra ir realusis, ir kompleksinis skaičius, o abi jo dalys lygios nuliui. Užrašius bi prieš a arba panaudojus neigiamą koeficientą reiškinyje a − |b|i, pasikeičia tik užrašas, o ne skaičius: 3i − 2 ir −2 + 3i turi tas pačias dalis.

Sudedant ir atimant jungiami atitinkami realieji koeficientai

Kai z = a + bi ir w = c + di, realiąsias dalis ir koeficientus prie i sudėkite atskirai: z + w = (a + c) + (b + d)i. Abu gauti koeficientai yra realieji, todėl rezultatas vėl yra kompleksinis skaičius. Pavyzdžiui, (2 − 3i) + (−5 + 7i) = −3 + 4i. Šių dviejų rūšių nariai nejungiami į vieną realųjį koeficientą ignoruojant i.

Atimkite visą antrąjį skaičių: z − w = (a − c) + (b − d)i. Su tais pačiais skaičiais gauname (2 − 3i) − (−5 + 7i) = 7 − 10i. Skliaustai svarbūs, nes atimant pasikeičia abiejų w narių ženklai. Sukeitus operandus vietomis, gauname w − z = −(z − w), o sudėties rezultatas juos sukeitus nesikeičia.

Priešingasis skaičius yra −z = −a − bi, o z + (−z) = 0. Taip pakeičiami abiejų realiųjų koeficientų ženklai. Jungtinio skaičiaus atveju pakeičiamas tik menamosios dalies koeficiento ženklas, todėl priešingasis ir jungtinis skaičiai skiriasi, kai realiosios dalies koeficientas yra nenulinis. Aritmetiniai veiksmai su tiksliais racionaliaisiais koeficientais išlieka tikslūs: (1/2 − (3/2)i) + (1 + i) = 3/2 − (1/2)i. Išlaikykite trupmenų reikšmes, užuot sprendę apie lygybę pagal suapvalintus koeficientus.

Išskleidžiant sandaugą gaunamas realiąją dalį papildantis narys su i²

Išskleiskite (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi², sudaugindami visus atitinkamus narius. Tada pakeiskite i² į −1 ir sugrupuokite realiuosius koeficientus, kad gautumėte (ac − bd) + (ad + bc)i. Narys bdi² prie realiosios dalies prideda −bd; palikti +bd būtų ženklo klaida. Ši sandaugos formulė atitinka konstrukciją porų pagrindu ir taikoma realiesiems, grynai menamiesiems bei bendrojo pavidalo kompleksiniams skaičiams.

Pavyzdžiui, (2 + i)(3 − 4i) = 6 − 8i + 3i − 4i² = 10 − 5i. Dviejų grynai menamųjų skaičių sandauga gali būti realioji: (2i)(3i) = 6i² = −6. Dviejų nerealiųjų skaičių sandauga taip pat gali būti realioji, kaip rodo (1 + i)(1 − i) = 2. Rezultatą priskirkite skaičių rūšiai apskaičiavę jo koeficientus, o ne vien pagal dauginamųjų rūšis.

Keliant sumą kvadratu išlieka dvigubos sandaugos narys. Taigi (2 − i)² = 4 − 4i + i² = 3 − 4i, o ne 4 + i². Daugyba yra komutatyvi ir distributyvi sudėties atžvilgiu, kaip ir realiųjų skaičių algebroje; šiomis savybėmis galima naudotis ir kompleksinių daugianarių reiškiniuose. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais reiškia kartotinę daugybą, o neigiamiems laipsniams būtina sąlyga, kad pagrindas nebūtų nulis. Kompleksiniams laipsniams su trupmeniniais rodikliais reikia papildomų pasirinkimų, ir šios sveikųjų rodiklių taisyklės jų neapibrėžia.

Laipsniai su sveikaisiais rodikliais kartojasi kas keturis, įskaitant neigiamus

Pirmieji laipsniai yra i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i ir i⁴ = 1. Kadangi i⁴ = 1, padauginus iš dar vieno ketvirtojo laipsnio reikšmė nesikeičia. Bet kurį sveikąjį n užrašykite n = 4k + r, kur k yra sveikasis skaičius, o liekana r priklauso aibei {0, 1, 2, 3}; tada iⁿ = iʳ. Šis liekanos apibrėžimas taikomas ir neigiamiems n, ne vien neneigiamiems rodikliams.

Skaičių i galima kelti neigiamais sveikaisiais laipsniais, nes i ≠ 0. Jo atvirkštinis skaičius yra 1/i = −i, nes i(−i) = 1. Todėl i⁻¹ = −i, i⁻² = −1 ir i⁻³ = i. Pavyzdys su didesniu rodiklio moduliu: −22 = 4(−6) + 2, todėl i⁻²² = i² = −1. Neigiamas rodiklis reiškia, kad reikia rasti atvirkštinį skaičių, o ne prieš atitinkamą teigiamą laipsnį pridėti minuso ženklą.

Bet kuriam nenuliniam kompleksiniam skaičiui z apibrėžiame z⁰ = 1 ir z⁻ⁿ = 1/zⁿ, kai n yra teigiamas sveikasis skaičius; įprastos laipsnių su tuo pačiu pagrindu ir sveikaisiais rodikliais taisyklės galioja jų pradinėse apibrėžimo srityse. Nulio laipsniai su teigiamais sveikaisiais rodikliais yra apibrėžti, nulio laipsniai su neigiamais rodikliais neapibrėžti, o 0⁰ reikšmė šioje pamokoje nenustatoma. Pagrindą su ženklu rašykite skliaustuose: (−i)² = −1, o −i² = −(−1) = 1. Iš keturių žingsnių sveikųjų laipsnių ciklo neišplaukia jokios bendros kompleksinių šaknų ar logaritmų taisyklės.

Jungtinio skaičiaus sudarymas pakeičia vieną koeficientą ir duoda realiąją sandaugą

Skaičiaus z = a + bi jungtinis skaičius yra z̄ = a − bi. Jį sudarant realusis koeficientas išlieka nepakitęs, o menamojo koeficiento ženklas pakeičiamas į priešingą. Pavyzdžiui, skaičiaus −2 + 3i jungtinis skaičius yra −2 − 3i, o priešingasis skaičius yra 2 − 3i. Sudarant realiojo skaičiaus jungtinį skaičių, jis lieka nepakitęs, o sudarant grynai menamojo skaičiaus jungtinį skaičių, jo ženklas pakeičiamas į priešingą. Du kartus sudarius jungtinį skaičių, gaunamas pradinis skaičius.

Suma yra z + z̄ = 2a, o skirtumas – z − z̄ = 2bi. Lygybė z = z̄ galioja tada ir tik tada, kai b = 0, taigi savo jungtiniams skaičiams lygūs tik tie kompleksiniai skaičiai, kurie yra realieji. Dauginant gaunama z z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b². Mišrieji nariai su i susiprastina, o likęs narys −b²i² tampa +b². Ši reikšmė yra realioji ir neneigiama, nes a ir b yra realieji skaičiai.

Sandauga a² + b² lygi nuliui tada ir tik tada, kai ir a, ir b lygūs nuliui, o visais kitais atvejais ji yra teigiama. Nebūtina, kad kiekvienas iš skaičių a ir b būtų nenulinis: skaičiaus 4 ir jo jungtinio skaičiaus sandauga yra 16, o skaičiaus −2i ir jo jungtinio skaičiaus sandauga yra 4. Šie algebriniai faktai leidžia patikrinti, ar dalybos vardiklis yra nenulinis. Jų aiškinimas pasitelkiant atstumus ir atspindžius priklauso kompleksinės plokštumos pamokai; dabartiniams skaičiavimams pagrįsti šios geometrijos nereikia.

Nenulinis kompleksinis vardiklis turi tikslų atvirkštinį skaičių

Kai w = c + di ≠ 0, realusis skaičius c² + d² yra griežtai teigiamas. Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio skaičiaus c − di, kad gautumėte 1/w = (c − di)/(c² + d²). Padauginus šį galimą atvirkštinį skaičių iš w, gaunama 1, taigi atvirkštinis skaičius egzistuoja. Sąlyga yra ta, kad c ir d nebūtų abu lygūs nuliui, o ne ta, kad abu koeficientai būtų nenuliniai.

Kai z = a + bi ir w ≠ 0, z/w = ((ac + bd) + (bc − ad)i)/(c² + d²). Tai reiškia, kad realioji dalis yra (ac + bd)/(c² + d²), o menamoji dalis – realusis koeficientas (bc − ad)/(c² + d²). Skaitiklį išveskite išskleisdami sandaugą (a + bi)(c − di); nenaudokite atskirų realiųjų ir menamųjų dalių koeficientų dalmenų. Pavyzdžiui, (1 + 3i)/(2 − i) = (−1 + 7i)/5.

Vardiklis gali būti nenulinis realusis arba grynai menamasis skaičius: 1/4 yra kompleksinis dalmuo, o 1/i = −i. Nulį padalijus iš bet kurio nenulinio w, gaunamas nulis. Dalmuo, kurio vardiklis lygus nuliui, lieka neapibrėžtas, įskaitant 0/0; padauginus iš vardiklio jungtinio skaičiaus, vardiklis vis tiek būtų lygus nuliui. Norėdami patikrinti siūlomą dalmenį q, pirmiausia įsitikinkite, kad w ≠ 0, o tada tiksliai patikrinkite lygybę wq = z. Prastinti iš nenulinio kompleksinio daugiklio galima, nes šis daugiklis turi atvirkštinį skaičių.

Lygybė ir nenulinio daugiklio prastinimas leidžia rasti visas paprastų lygčių sprendinių aibes

Jei nežinomi koeficientai yra realieji, iš lygybės a + bi = c + di gaunamos dvi realiųjų skaičių lygybės: a = c ir b = d. Kai 2x + (y − x)i = −6 + 5i, o x ir y yra realieji, gauname x = −3 ir y = 2. Sąlyga, kad koeficientai yra realieji, yra būtina: simboliai, kurių reikšmės gali būti bet kokie kompleksiniai skaičiai, savaime nėra užrašyto reiškinio realioji ir menamoji dalys. Pavyzdžiui, kai x = −i ir y = 1, gauname x + iy = 0, nors abu simboliai nėra lygūs nuliui.

Kompleksinėje lygtyje wz = v, kai w ≠ 0, padauginę iš atvirkštinio skaičiaus gauname vienintelį sprendinį z = v/w. Patikrinus lygybę w(v/w) = v, įrodoma, kad jis tenkina pradinę lygtį, o prastinimas įrodo, kad sprendinys yra vienintelis. Jei w = 0, lygties 0z = v sprendinys yra kiekvienas kompleksinis z, kai v = 0, o kai v ≠ 0, sprendinių nėra. Nedalykite iš w, kol neatskyrėte šių atvejų.

Kai r yra teigiamas realusis skaičius, lygtis z² = −r turi lygiai dvi kompleksines šaknis: z = i√r ir z = −i√r, kur √r yra įprasta teigiama realioji šaknis. Abiejų šaknų kvadratai lygūs −r. Norėdami įrodyti, kad tai visos šaknys, užrašykite z = a + bi, kur a ir b yra realieji. Pakėlę kvadratu ir sulyginę dalis, gauname a² − b² = −r ir 2ab = 0. Jei b = 0, iš pirmosios lygybės gautume a² = −r, o tai neįmanoma, kai a yra realusis; taigi b ≠ 0, todėl a = 0 ir b² = r. Šios lygties realieji sprendiniai yra būtent b = ±√r.

Kai r = 0, lygtis z² = 0 turi tik vieną skirtingą šaknį – nulį: jei z ≠ 0, padauginę iš jo atvirkštinio skaičiaus, iš z² = 0 gautume z = 0, o tai prieštara. Bendriau, sandauga uv lygi nuliui tik tada, kai u = 0 arba v = 0; jei u ≠ 0, padauginkite iš jo atvirkštinio skaičiaus. Ši nulinės sandaugos savybė leidžia išvardyti šaknis skaidant kompleksinius reiškinius dauginamaisiais, neįvedant papildomų šakų ir nedarant prielaidos, kad kompleksinės reikšmės yra sutvarkytos.

Kvadratinės šaknies simbolis žymi vieną reikšmę, o lygtis gali turėti dvi šaknis

Kai r yra teigiamas realusis skaičius, šioje pamokoje naudojama įprasta pagrindinė reikšmė √(−r) = i√r, kur √r yra teigiama realioji šaknis. Pavyzdžiui, √(−9) = 3i. Vis dėlto lygtis z² = −9 turi abi šaknis: 3i ir −3i. Pagal nurodytą susitarimą šaknies simbolis žymi vieną reikšmę; ženklas ± vartojamas užrašant visą lygties sprendinių aibę. Kai pošaknis lygus nuliui, ir pagrindinė kvadratinė šaknis, ir vienintelė lygties su kvadratu šaknis yra nulis.

Žinoma sandaugos šaknies tapatybė √(uv) = √u√v galioja neneigiamiems realiesiems u ir v, naudojant jų pagrindines realiąsias kvadratines šaknis, tačiau pasirinkus pagrindines šaknis jos negalima taikyti bet kokiems kompleksiniams argumentams. Kai u = v = −1, kairioji pusė yra √1 = 1, o dešinioji – i·i = −1. Taip pat √(−4)√(−9) = (2i)(3i) = −6, o √36 = 6. Klaida atsiranda dėl to, kad šaknų tapatybė taikoma nesilaikant jos galiojimo sąlygų, o ne dėl prieštaravimo lygybėje i² = −1.

Prieš taikant realiųjų skaičių dalmens šaknies tapatybę pagrindinių šaknų dalmeniui, taip pat būtina patikrinti pradines jos galiojimo realiesiems skaičiams sąlygas. Pavyzdžiui, √1/√(−1) = 1/i = −i, o √(1/(−1)) = √(−1) = i. Šiame kontrpavyzdyje vardiklis nėra nulis, todėl pati dalyba yra galima; neteisingas yra siūlomas pertvarkymas naudojant pagrindines šaknis. Čia pagrindines šaknis apibrėžiame tik realiesiems argumentams ir tik tiek, kiek reikia. Bendrosios kompleksinės šaknys, jų pasirinkimas ir kompleksinio logaritmo šakos nepatenka į šios aritmetikos pamokos apimtį.

Kompleksinių skaičių lauko negalima sutvarkyti pagal realiųjų skaičių lauko taisykles

Realiųjų skaičių aritmetikoje yra tiesinė tvarka, suderinama su sudėtimi ir teigiamųjų skaičių daugyba. Tokiame sutvarkytame lauke kiekvieno nelygaus nuliui skaičiaus kvadratas yra teigiamas: arba pats skaičius, arba jam priešingas skaičius yra teigiamas, o abiejų kvadratai lygūs tai pačiai teigiamai sandaugai. Jei kompleksinių skaičių lauke būtų tokia tvarka, pratęsianti realiųjų skaičių tvarką, iš i ≠ 0 išplauktų i² > 0. Tačiau i² = −1, o pagal realiųjų skaičių tvarką −1 < 0. Gauname prieštaravimą.

Taigi kompleksinių skaičių aibėje nėra tiesinės tvarkos, kuri pratęstų įprastą realiųjų skaičių tvarką ir būtų suderinama su lauko operacijomis. Tai nedraudžia sukurti porų rikiavimo susitarimo; tai reiškia, kad toks susitarimas negali atitikti visų įprastų sutvarkyto lauko taisyklių. Netaikykite tokių taisyklių kaip „kvadratas yra neneigiamas“ ar nelygybių dauginimo pagal daugiklio ženklą taisyklių bet kokiems kompleksiniams skaičiams, kurie nėra realieji. Lygybė, sudėtis, daugyba ir dalyba iš nelygaus nuliui skaičiaus lieka tiksliai apibrėžtos.

Realiuosius koeficientus a ir b arba realųjį reiškinį a² + b² vis tiek galite lyginti pagal realiųjų skaičių tvarką. Teiginys Im z > 0 reiškia, kad realusis koeficientas b yra teigiamas, o ne kad pats z yra teigiamas kaip sutvarkyto lauko elementas. Atsižvelkite į šį skirtumą tikrindami vardiklį ar susitarimą dėl neigiamojo realiojo skaičiaus šaknies pagrindinės reikšmės. Kitoje pamokoje pateikiami geometriniai vaizdavimo būdai ir realiaisiais skaičiais išreiškiami atstumai, nenustatant suderinamos kompleksinių skaičių tvarkos.

Patikrinkite abu koeficientus, vardiklį ir atskirą laipsnių ciklą

Tyrinėjimo įrankis leidžia nepriklausomai pasirinkti z ir w, o tada pasirinkti sudėtį, atimtį, daugybą arba dalybą. Galima rinktis nulį, realiuosius skaičius, grynai menamuosius skaičius ir kompleksinius skaičius su racionaliaisiais koeficientais, kurie nėra realieji. Kiekvienas rezultatas išreiškiamas tiksliais realiaisiais koeficientais, atskirai rodant Re ir Im. Lygybė z = w tikrinama pagal abu koeficientus, o jungtiniai skaičiai lieka matomi net tada, kai operacijos rezultatas yra realusis.

Atliekant dalybą, pradinis vardiklis w patikrinamas prieš parodant dalmenį. Kai w ≠ 0, peržiūrėkite tikslų tarpinį skaitiklį z w̄, griežtai teigiamą realųjį vardiklį c² + d² ir galutinius koeficientus. Norėdami patikrinti rezultatą, padauginkite siūlomą dalmenį iš pradinio w. Kai w = 0, dalyba neapibrėžta, kad ir koks skaitiklis būtų pasirinktas; jungtinio skaičiaus naudojimas šio apribojimo nepanaikina.

Atskiras sveikojo laipsnio rodiklio valdiklis iliustruoja iⁿ, įskaitant neigiamus rodiklius ir nulį; jis nekeičia z, w ar pasirinktos aritmetinės operacijos. Peržiūrėkite neneigiamą liekaną dalijant iš keturių ir ją atitinkančią tikslią ciklo reikšmę. Rodoma šaknies patikra atskiria pagrindinę reikšmę √(−1) = i nuo abiejų sprendinių ±i ir išlaiko šaknų sandaugos kontrpavyzdį su taikymo sąlygų išlyga. Tai aritmetinės patikros, o ne kompleksinės plokštumos brėžinys ar teiginys apie geometrinį atstumą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nurodykite skaičių −7, 5i, 0 ir 1/2 − (3/2)i realiąsias ir menamąsias dalis Re ir Im. Išspręskite 2x + (y − x)i = −6 + 5i, kai x ir y yra realieji skaičiai, ir paaiškinkite, kodėl svarbus koeficientams taikomas apribojimas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamos (Re, Im) poros yra (−7, 0), (0, 5), (0, 0) ir (1/2, −3/2). Sprendinys, kai koeficientai realieji, yra x = −3 ir y = 2.

   Kiekvieną skaičių užrašykite su dviem realiaisiais koeficientais; menamoji dalis yra koeficientas prie i, o ne visas narys su i. Tuomet iš lygybės gauname 2x = −6 ir y − x = 5, todėl x = −3 ir y = 2. Įstatę gauname tiksliai −6 + 5i. Jei pateikti koeficientai patys galėtų būti kompleksiniai, jie nebūtinai būtų realioji ir menamoji dalys; pirmiausia reikėtų pertvarkyti išraišką taip, kad koeficientai būtų realieji.

2. Kai z = −3 + 2i ir w = 4 − 5i, raskite z + w, z − w ir w − z standartiniu pavidalu. Kurio veiksmo rezultatas pakeičia ženklą, sukeitus operandus vietomis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   z + w = 1 − 3i, z − w = −7 + 7i ir w − z = 7 − 7i. Sukeitus operandus vietomis, atimties rezultatas pakeičia ženklą.

   Sudėję gauname realiosios dalies koeficientą −3 + 4 = 1 ir menamosios dalies koeficientą 2 + (−5) = −3. Atimdami w gauname −3 − 4 = −7 ir 2 − (−5) = 7. Sukeitus atimties operandus vietomis, šių koeficientų ženklai pasikeičia. Atimamą kompleksinį skaičių rašykite skliaustuose, kad pasikeistų abiejų narių ženklai; sudėtis išlieka komutatyvi.

3. Apskaičiuokite (2 + i)(3 − 4i), (2 − i)² ir (2i)(3i). Paaiškinkite, kaip kiekvienas narys su i² prisideda prie realiosios dalies ir ar daugiklis, kuris nėra realusis skaičius, garantuoja, kad sandauga taip pat nebus realusis skaičius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikšmės yra 10 − 5i, 3 − 4i ir −6. Tai, kad daugikliai nėra realieji skaičiai, negarantuoja, kad ir sandauga nebus realusis skaičius.

   Išskleidę pirmąją išraišką gauname 6 − 8i + 3i − 4i² = 10 − 5i. Išskleidę antrąją gauname 4 − 4i + i² = 3 − 4i, įskaitant dvigubą sandaugą. Trečioji išraiška yra 6i² = −6. Kiekviename skaičiavime pakeitę i² į −1, gauname atitinkamą indėlį į realiąją dalį, o galutiniai realiosios ir menamosios dalių koeficientai lemia, kuriai skaičių klasei priklauso rezultatas.

4. Raskite tikslias i³⁷, i⁻²², i⁻¹, (−i)² ir −i² reikšmes. Nurodykite, kaip pagal šios pamokos susitarimus traktuojami reiškiniai 0⁻¹ ir 0⁰, ir paaiškinkite sąlygą, leidžiančią kelti i neigiamais laipsniais.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Penkios reikšmės yra i, −1, −i, −1 ir 1. Reiškinys 0⁻¹ yra neapibrėžtas, o 0⁰ čia nesuteikiama reikšmė. Kelti i neigiamais laipsniais galima, nes i nelygus nuliui.

   Dalybos iš keturių liekanos yra 1 skaičiui 37, 2 skaičiui −22 ir 3 skaičiui −1. Jas atitinkančios ciklo reikšmės yra i, −1 ir −i; pastaroji taip pat lygi 1/i, nes i(−i) = 1. Reiškinyje (−i)² skliaustai įtraukia minuso ženklą į kvadratu keliamą pagrindą, todėl gauname −1, o reiškinyje −i² pakeičiamas i² ženklas ir gauname 1. Keliant nulį neigiamu laipsniu tektų dalyti iš nulio, o pagal nulinio laipsnio susitarimą pagrindas turi būti nelygus nuliui.

5. Kai z = −2 + 3i, raskite z̄, −z, z + z̄, z z̄ ir 1/z. Taip pat pateikite skaičiams 4 ir −2i jungtinius skaičius. Ar imant jungtinį skaičių visada pakeičiamas viso skaičiaus ženklas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   z̄ = −2 − 3i, −z = 2 − 3i, z + z̄ = −4, z z̄ = 13 ir 1/z = (−2 − 3i)/13. Skaičių 4 ir −2i jungtiniai skaičiai yra 4 ir 2i. Sudarant jungtinį skaičių, pakeičiamas tik menamosios dalies koeficiento ženklas.

   Jungtinio skaičiaus realiosios dalies koeficientas lieka −2, o priešingo skaičiaus jis tampa 2. Sudedant jungtinius skaičius, nariai su i panaikina vienas kitą, o jų sandauga yra (−2)² + 3² = 13. Kadangi šis realusis vardiklis yra teigiamas, padaliję jungtinį skaičių iš 13 gauname atvirkštinį skaičių, kurio sandauga su z yra 1. Realiojo skaičiaus jungtinis skaičius yra jis pats, o grynai menamojo skaičiaus ženklas pasikeičia; nė viename iš šių nenulinių pavyzdžių nereikia, kad abi dalys būtų nenulinės.

6. Apskaičiuokite (1 + 3i)/(2 − i), (3 − i)/(2i) ir 0/(2i), pateikdami tikslius realiuosius koeficientus. Nurodykite, ar (2i)/0 ir 0/0 yra apibrėžti, ir patikrinkite pirmuosius du apibrėžtus dalmenis, padaugindami juos iš pradinių vardiklių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžti dalmenys yra −1/5 + (7/5)i, −1/2 − (3/2)i ir 0. Paskutiniai du reiškiniai su nuliniais vardikliais yra neapibrėžti.

   Pirmajam dalmeniui, naudojant jungtinį skaičių, gaunamas skaitiklis (1 + 3i)(2 + i) = −1 + 7i ir vardiklis 2² + (−1)² = 5. Gautą dalmenį padauginus iš 2 − i, realiosios dalies koeficientas yra −2/5 + 7/5 = 1, o menamosios dalies koeficientas yra 14/5 + 1/5 = 3. Antrajam dalmeniui 1/(2i) = −i/2, todėl sandauga su 3 − i yra −1/2 − (3/2)i; padauginus ją iš 2i, vėl gaunama 3 − i. Vardiklis 2i yra nenulinis ir tinkamas, nors jo realioji dalis lygi nuliui. Nulinis skaitiklis duoda nulį tik tada, kai vardiklis nenulinis; šiame kontekste dalmuo su nuliniu vardikliu niekada nėra apibrėžtas.

7. Išspręskite lygtį z² = −20 kompleksinių skaičių aibėje, nurodykite pagrindinę √(−20) reikšmę ir palyginkite √(−4)√(−5) su √20. Kiek skirtingų kompleksinių šaknų turi lygtis z² = 0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmoji lygtis turi lygiai dvi šaknis ±2√5 i. Pagrindinė jos šaknies reiškinio reikšmė yra 2√5 i. Atskirų šaknų sandauga yra −2√5, o √20 = 2√5. Lygtis z² = 0 turi vieną skirtingą šaknį – nulį.

   Abu grynai menamieji kandidatai, pakelti kvadratu, duoda 20i² = −20. Užrašę z = a + bi su realiaisiais koeficientais, gauname a² − b² = −20 ir 2ab = 0; vien realusis kandidatas neįmanomas, todėl a = 0 ir b = ±2√5 apima visas galimybes. Pagrindinei reikšmei pasirenkamas teigiamas menamosios dalies koeficientas, o lygties sprendiniams reikia abiejų ženklų. Atskirų šaknų (2i)(i√5) sandauga yra −2√5; neneigiamiems realiesiems skaičiams galiojanti šaknų sandaugos tapatybė netaikoma šiems neigiamiems pošakniams. Lygties z² = 0 atveju nenulinis z turėtų atvirkštinį skaičių ir lemtų prieštaravimą, todėl nulis yra vienintelė skirtinga šaknis.

Ką verta įsidėmėti

• Kompleksiniai skaičiai išplečia realiųjų skaičių aritmetiką, įvesdami i² = −1. Kiekvienas realusis skaičius taip pat yra kompleksinis, o kiekvienas kompleksinis skaičius turi vienintelę išraišką a + bi, kur a ir b yra realieji skaičiai.
• Re(a + bi) = a ir Im(a + bi) = b: menamoji dalis yra realusis koeficientas. Lygybei būtina, kad sutaptų abu koeficientai; nežinomieji, randami sulyginant koeficientus, patys turi būti realieji.
• Sudėkite arba atimkite atitinkamus koeficientus ir visiškai išskleiskite sandaugas. Kiekvieną i² pakeiskite −1, išlaikydami mišriuosius narius ir atsižvelgdami į abu atimamo skaičiaus narių ženklus.
• Skaičiaus i laipsniai su sveikaisiais rodikliais kartojasi keturių žingsnių ciklu pagal liekanas 0, 1, 2 ir 3; tai galioja ir neigiamiems rodikliams, nes i ≠ 0. Išlaikykite atvirkštinio skaičiaus egzistavimo sąlygas ir skliaustus; 0⁰ reikšmė čia nepriskiriama.
• Imant jungtinį skaičių, a + bi virsta a − bi, o jų sandauga yra realusis skaičius a² + b². Dalyba galima tada ir tik tada, kai pradinis vardiklis nelygus nuliui, įskaitant nenulinius realiuosius ir grynai menamuosius vardiklius.
• Kai r yra teigiamas realusis skaičius, lygtis z² = −r turi abi šaknis ±i√r, o pagrindinės šaknies simbolis √(−r) žymi i√r. Realiųjų skaičių šaknų sandaugos ir dalmens tapatybės šioms pagrindinėms kompleksinėms reikšmėms netaikomos be apribojimų.
• Kompleksinių skaičių kūne nėra tiesinės tvarkos, kuri pratęstų realiųjų skaičių tvarką ir būtų suderinama su kūno aritmetika. Realiuosius koeficientus ir realiuosius vardiklių reiškinius lyginkite kaip realiuosius skaičius, o kompleksinių skaičių lygybę ir aritmetiką atskirkite nuo sutvarkytojo kūno nelygybių.