Kompleksinė plokštuma, modulis ir jungtinio skaičiaus radimas

Kompleksinį skaičių atitinka vienas taškas su dviem realiosiomis koordinatėmis

Ankstesnėje pamokoje z = a + bi buvo sudarytas iš realiųjų skaičių poros (a, b). Pavaizduokite šią porą tašku dviejų statmenų ašių plokštumoje: horizontaliojoje realiojoje ašyje žymima a = Re z, o vertikaliojoje menamojoje ašyje – b = Im z. Teigiamos realiosios koordinatės žymimos į dešinę, o teigiami menamosios dalies koeficientai – į viršų. Taigi −2 + 3i atitinka tašką (−2, 3), o 3 − 2i – kitą tašką. Menamoji koordinatė yra realusis koeficientas b, o ne narys bi.

Abiejose ašyse naudokite tokio pat ilgio vienetinę atkarpą. Kai masteliai vienodi, vieneto dydžio pokytis horizontaliai ir vieneto dydžio pokytis vertikaliai brėžinyje yra vienodo ilgio, todėl įprastas euklidinis atstumas sutampa su modulio formulės reikšme. Kai vaizdavimo masteliai nevienodi, koordinates vis tiek galima pažymėti, tačiau apskritimai, atstumai ir statmenumas iškraipomi. Kompleksinis skaičius vienetas yra taške (1, 0), i – taške (0, 1), o nulis – koordinačių pradžioje (0, 0). Realieji skaičiai yra realiojoje ašyje, o grynai menamieji skaičiai – menamojoje ašyje.

Toks vaizdavimas vadinamas kompleksine plokštuma arba Argando diagrama. Kiekvieną kompleksinį skaičių atitinka lygiai vienas taškas, o kiekvieną tašką – lygiai vienas kompleksinis skaičius. Čia a ir b yra nepriklausomos koordinatės, o ne viena kitos nulemta funkcijos reikšmė. Modulio sąlyga gali aprašyti visą apskritimą ar sritį, nebūtinai grafiką b = f(a). Jei koordinatės reiškia fizinius poslinkius, abiejose ašyse turi būti naudojami suderinami ilgio vienetai ir nurodytas bendras mastelis; nesusiję dydžiai, tokie kaip laikas ir kaina, neįgyja euklidinio ilgio vien dėl to, kad yra pažymėti dviejose ašyse.

Modulis yra neneigiamas realusis atstumas

Skaičiaus z = a + bi modulis yra |z| = √(a² + b²), imant pagrindinę neneigiamą realiąją kvadratinės šaknies reikšmę. Stačiojo trikampio, jungiančio koordinačių pradžią su tašku (a, b), horizontaliojo ir vertikaliojo statinių ilgiai yra |a| ir |b|, todėl šis atstumas gaunamas pagal Pitagoro teoremą. Formulė taip pat galioja taškams bet kurioje ašyje ir koordinačių pradžioje, kur trikampis gali būti išsigimęs. Skaičiaus −3 + 4i modulis yra 5, o skaičiaus 1 + 2i – √5; tai tiksli reikšmė net ir be apytikslės dešimtainės išraiškos.

Modulio kvadratas yra |z|² = a² + b² = z z̄. Tai kitas dydis nei |z| ar z². Skaičiaus 1 + i modulis yra √2, jo kvadratas – 2, o paties kompleksinio skaičiaus kvadratas – 2i. Modulis lygus nuliui tada ir tik tada, kai ir a, ir b lygūs nuliui, nes a² ir b² yra neneigiami realieji skaičiai. Kitais atvejais jis teigiamas. Realiajam skaičiui a pagal šį apibrėžimą gaunama √(a²) = |a|, taigi jis sutampa su realiojo skaičiaus absoliučiąja verte.

Modulio atvaizdis apibrėžtas visiems kompleksiniams skaičiams, o jo reikšmių sritis yra visas intervalas [0, ∞): visos jo reikšmės yra neneigiamos, ir bet kuri realioji reikšmė ρ ≥ 0 gaunama, kai z = ρ + 0i. Šis atvaizdis nėra injektyvus; pavyzdžiui, 3, −3, 3i ir −3i modulis yra tas pats — 3. Visas teigiamo modulio pirmavaizdis yra apskritimas; tai bus pagrįsta vėliau šioje pamokoje. Kai koordinatės reiškia ilgius, modulis turi tą patį ilgio vienetą, o modulio kvadratas — šio vieneto kvadratą; nepateikite atstumo kvadrato kaip atstumo.

Skirtumas nukreiptas iš antrojo galinio taško į pirmąjį

Tarkime, z = a + bi ir w = c + di. Jų skirtumas z − w = (a − c) + (b − d)i nusako kryptinį poslinkį iš taško w į tašką z. Jo modulis yra atstumas tarp šių taškų, nepriklausantis nuo krypties: |z − w| = √((a − c)² + (b − d)²). Tai Dekarto koordinačių atstumo formulė, gaunama iš Pitagoro teoremos. Sukeitus galinius taškus, poslinkis tampa priešingas, tačiau atstumas nepasikeičia, nes abu koordinačių skirtumai keliami kvadratu.

Atstumas yra neneigiamas ir lygus nuliui tada ir tik tada, kai z = w. Prie abiejų galinių taškų pridėjus bet kurį fiksuotą kompleksinį poslinkį v, atstumas išlieka toks pats, nes (z + v) − (w + v) = z − w. Taigi poslinkio rodyklę galima nubrėžti iš kito pradinio taško, išlaikant jos koordinačių pokytį ir ilgį. Šį laisvąjį poslinkį skirkite nuo taško padėties rodyklės, prasidedančios koordinačių pradžioje. Tas pats skaičius gali nusakyti ir vieną, ir kitą, jei nurodomas pradinis taškas.

Tiesioginis atstumas tarp galinių taškų taip pat skiriasi nuo pasirinkto kelio ilgio. Judant iš w į z pirmiausia horizontaliai, o tada vertikaliai, kelio ilgis yra |a − c| + |b − d| ir nebūtinai lygus √((a − c)² + (b − d)²). Atstumo tarp kompleksinių skaičių formulė nusako tiesioginį euklidinį atstumą, o ne judėjimą tik tinklelio linijomis ar numatomą tikrąjį kelią. Tikslią šakninę išraišką galima palikti nematuojant brėžinio pikselių.

Koordinačių aritmetika tampa nuosekliu poslinkių sudėjimu

Sudėjus z = a + bi ir w = c + di, gaunamas taškas (a + c, b + d). Pradėkite nuo padėties rodyklės iš nulio į z ir prie jos galo pridėkite lygiagrečiai perkeltą rodyklę, kurios poslinkis yra w; jos galinis taškas yra z + w. Pridėjus poslinkius atvirkščia tvarka, gaunamas tas pats galinis taškas. Keturi taškai 0, z, w ir z + w sudaro atitinkamą lygiagretainį; jis yra išsigimęs, kai poslinkiai yra išilgai vienos tiesės arba vienas jų lygus nuliui.

Atimtis yra priešingo poslinkio sudėtis: z − w = z + (−w). Jo padėties rodyklė eina iš nulio į tašką z − w, o rodyklė iš w į z yra lygiagrečiai perkelta jos kopija su tuo pačiu koordinačių pokyčiu. Kai z = 2 − i ir w = −1 + 3i, z − w = 3 − 4i; atstumas tarp galinių taškų yra 5. Atėmus atvirkščia tvarka, gaunama −3 + 4i: pasikeičia rodyklės kryptis, o ne jos ilgis.

Lygiagretainis pagrindžiamas koordinačių formulėmis, o ne vien brėžinio išvaizda. Ties kiekviena viršūne lygiagrečiai perkeltų kraštinių abu koordinačių skirtumai yra visiškai vienodi. Brėžinyje pavaizduota rodyklė nekeičia kompleksinių skaičių lygybės ir neleidžia kompleksinių reikšmių, kurios nėra realiosios, laikyti teigiamomis ar neigiamomis. Kai vektoriai vaizduoja konkrečią situaciją, abiejuose sudėjimuose išlaikykite tas pačias ašių kryptis ir suderinamus vienetus.

Vidurio taško koordinatės — vidurkiai, realieji skaliarai keičia atstumų mastelį

Atkarpos tarp z ir w vidurio taškas yra m = (z + w)/2, jo koordinatės yra ((a + c)/2, (b + d)/2). Abu skirtumai yra z − m = (z − w)/2 ir w − m = −(z − w)/2. Todėl abiejų modulis yra |z − w|/2. Vidurkinant gautas taškas yra galinius taškus jungiančioje atkarpoje ir vienodai nutolęs nuo jos galų, taip pat ir tada, kai galiniai taškai sutampa ir visi trys taškai yra tas pats taškas.

Kai λ yra realusis skaliaras, taško λz koordinatės yra (λa, λb), ir |λz|² = λ²(a² + b²). Ištraukus neneigiamas šaknis, gaunama |λz| = |λ||z|. Kai z nelygus nuliui, daugyba iš teigiamo skaliaro padaugina poslinkio iš koordinačių pradžios ilgį ir išlaiko jo kryptį, o daugyba iš neigiamo skaliaro dar ir pakeičia kryptį į priešingą. Skaliaras λ = 0 perkelia kiekvieną tašką į koordinačių pradžią, o z = 0 lieka koordinačių pradžioje dauginant iš bet kurio realiojo skaliaro; nulinis poslinkis neturi krypties. Šis teiginys apie realųjį skaliarą neįveda polinių kampų ir neaptaria daugybos iš bet kurio kompleksinio daugiklio geometrinio poveikio.

Visų pirma, −z = −a − bi yra taškas (−a, −b), taško z atspindys koordinačių pradžios atžvilgiu. Jo modulis lygus |z|, o atstumas tarp z ir −z yra |2z| = 2|z|. Nepainiokite šio priešingo taško su jungtinį skaičių atitinkančiu tašku (a, −b), kurio realioji koordinatė išlieka nepakitusi. Jie sutampa tada ir tik tada, kai a = 0, įskaitant nulinį skaičių; tai dar kartą paaiškės palyginus abiejų atspindžių formules.

Jungtinio skaičiaus sudarymas atspindi realiosios ašies atžvilgiu ir išsaugo atstumus tarp taškų porų

Sudarant jungtinį skaičių, z = a + bi pakeičiamas į z̄ = a − bi, taigi taškas (a, b) atvaizduojamas į (a, −b). Tai atspindys realiosios ašies atžvilgiu: horizontali padėtis nesikeičia, o vertikalus poslinkis pakeičia kryptį. Du kartus sudarę jungtinį skaičių, vėl gauname z. Šio atvaizdžio nejudamieji taškai yra būtent realiosios ašies taškai, kuriuose b = 0. Modulis nesikeičia, nes a² + (−b)² = a² + b².

Atspindėjus abu galinius taškus, atstumas tarp jų išlieka: |z̄ − w̄|² = (a − c)² + (−b + d)² = |z − w|², o ištraukus neneigiamas kvadratines šaknis gaunama |z̄ − w̄| = |z − w|. Šis teiginys taikomas, kai atspindimi abu galiniai taškai; atspindėjus tik vieną, o antrąjį, nepriklausantį realiajai ašiai, palikus nepakeistą, atstumas gali pasikeisti. Atstumas nuo z iki jo jungtinio skaičiaus yra |z − z̄| = |2bi| = 2|b|.

Palyginkite z̄ = a − bi su −z = −a − bi. Jų menamosios dalies koeficientai sutampa, o realiosios dalys sutampa tada ir tik tada, kai a = 0. Taigi jungtinis skaičius sutampa su priešingu skaičiumi tik menamojoje ašyje. Atspindys visą apskritimą ar skritulį, kurio centras yra c, atvaizduoja į atitinkamą apskritimą ar skritulį, kurio centras yra c̄, o spindulys toks pat, nes |z̄ − c̄| = |z − c|. Ne realiojoje ašyje esantį centrą taip pat reikia atspindėti; apskritai jis nelieka nejudamas.

Ilgiai tenkina realiųjų skaičių nelygybes be kompleksinių skaičių tvarkos

Trikampio nelygybė yra |z + w| ≤ |z| + |w|. Ji reiškia, kad tiesioginio poslinkio ilgis neviršija dviejų nuoseklių poslinkių ilgių sumos. Algebriniam įrodymui pažymėkime A = a² + b², B = c² + d² ir S = ac + bd. Iš tapatybės AB − S² = (ad − bc)² ≥ 0 gauname |S| ≤ √(AB) = |z||w|, taigi S ≤ |z||w|. Visi šiuose palyginimuose naudojami dydžiai yra realieji.

Dabar |z + w|² = A + B + 2S ≤ A + B + 2|z||w| = (|z| + |w|)². Abu lyginami ilgiai yra neneigiami, todėl ištraukus aritmetines kvadratines šaknis nelygybė išlieka ir taip įrodoma visiems kompleksiniams skaičiams, įskaitant nulį. Lygybė galioja, kai vienas skaičius yra nulis arba abu nenuliniai poslinkiai yra tos pačios krypties, tai yra vienas gaunamas kitą padauginus iš teigiamo realiojo skaičiaus. Sumos modulis apskritai nėra lygus modulių sumai.

Pritaikę tą pačią nelygybę lygybei z = (z − w) + w, gauname |z| − |w| ≤ |z − w|; tada sukeiskime z ir w vietomis. Sujungę abi nelygybes, gauname atvirkštinį atstumo įvertį ||z| − |w|| ≤ |z − w|. Šiomis nelygybėmis lyginami realiosiomis reikšmėmis išreikšti ilgiai, o ne bet kokie kompleksiniai skaičiai pagal sutvarkyto lauko taisyklę. Jos taip pat pagrindžia geometrinį teiginį, kad kelias iš dviejų atkarpų negali būti trumpesnis už tiesioginį atstumą tarp galinių taškų.

Modulio lygtis apibrėžia visus apskritimo taškus

Geometrinė taškų vieta yra visų nurodytą sąlygą tenkinančių taškų aibė. Kai R yra realusis skaičius ir R > 0, sąlyga |z| = R yra ekvivalenti sąlygai a² + b² = R², nes abi pradinės lygybės pusės yra neneigiamos. Tai būtent taškų, nuo koordinačių pradžios nutolusių atstumu R, aibė — apskritimas. Jam priklauso visi šią lygtį tenkinantys taškai, ne vien realiosios ar menamosios ašies taškai arba pasirinkti kontroliniai taškai.

Kai fiksuotas kompleksinis centras yra c = h + ki, sąlyga |z − c| = R yra ekvivalenti sąlygai (a − h)² + (b − k)² = R², jei R ≥ 0. Jei R > 0, tai yra apskritimas, kurio centras yra (h, k), o spindulys — R. Visus jo taškus galima aiškiai aprašyti koordinatėmis: a = h + u ir b = k ± √(R² − u²), kai u yra bet kuris realusis skaičius, tenkinantis −R ≤ u ≤ R. Kiekviena tokia pora tenkina apskritimo lygtį, o kiekvienas šią lygtį tenkinantis taškas turi tokį u ir vieną iš šių b reikšmių. Kai u = ±R, abu ženklai duoda tą patį tašką, kuris skaičiuojamas vieną kartą.

Kai R = 0, sąlygą tenkina tik centras c, nes neneigiamų realiųjų skaičių kvadratų suma lygi nuliui tik tada, kai abu skirtumai lygūs nuliui. Jei R < 0, pradinės modulių lygybės netenkina nė vienas taškas. Pakėlus neigiamą dešiniąją pusę kvadratu ir neišlaikius šio apribojimo, būtų klaidingai gauta netuščio apskritimo lygtis. Centrą nustatykite iš viso skirtumo z − c: pavyzdžiui, |z + 1 − 2i| = 3 centras yra −1 + 2i, o ne 1 − 2i.

Skritulys su įtraukta riba yra uždarasis

Kai realusis R > 0, sąlyga |z − c| ≤ R apibrėžia uždarąjį skritulį, kurio centras yra c: įtraukiamas ir jo vidus, ir ribą sudarantis apskritimas. Griežtoji sąlyga |z − c| < R apibrėžia atvirąjį skritulį, kurio riba neįtraukiama. Kadangi modulis yra neneigiamas, išlaikius apribojimą R ≥ 0, lygiavertės sąlygos su kvadratais yra (a − h)² + (b − k)² ≤ R² ir < R². Šios lygiavertės sąlygos leidžia klasifikuoti kiekvieną galimą koordinačių porą.

Taip pat galima pateikti išsamų aprašą koordinatėmis. Uždarajam skrituliui pasirinkite bet kurį realųjį u, tenkinantį −R ≤ u ≤ R, nustatykite a = h + u ir leiskite b įgyti visas reikšmes nuo k − √(R² − u²) iki k + √(R² − u²), įskaitant intervalo galus. Atvirajam skrituliui, kai R > 0, reikalaukite −R < u < R ir abi b ribas nusakykite griežtomis nelygybėmis. Kiekviena taip sudaryta pora tenkina atitinkamą atstumo apribojimą, o kiekvienas leistinas skritulio taškas tenkina būtent šiuos koordinačių apribojimus. Pavieniai pavyzdžiai negali pakeisti šio išsamumo pagrindimo.

Kai R = 0, uždarąjį skritulį sudaro tik centras, o atvirasis skritulys yra tuščias; joks neneigiamas atstumas nėra mažesnis už nulį. Kai R < 0, abi pradinės sąlygos apibrėžia tuščias aibes. Braižant atvirąjį skritulį, brūkšninis apskritimas gali žymėti neįtrauktą ribą, o ištisinė riba gali žymėti jos įtraukimą į uždarąjį skritulį. Šie brėžinio žymėjimai paaiškina priklausymą aibei; linijos storis ir apvalinimas iki pikselių nekeičia tikslių nelygybių.

Lygūs atstumai apibrėžia vidurio statmenį tik esant skirtingiems centrams

Tegu p = h + ki ir q = u + vi yra fiksuoti. Abi lygybės |z − p| = |z − q| puses visada galima pakelti kvadratu išlaikant lygiavertiškumą, nes abu atstumai yra neneigiami. Tiksli jos išraiška koordinatėmis yra (a − h)² + (b − k)² = (a − u)² + (b − v)². Išskleidus skliaustus ir suprastinus gaunama 2(u − h)a + 2(v − k)b = u² + v² − h² − k². Kiekvienas taškas, tenkinantis šią tiesinę lygtį, tenkina ir pradinę lygių atstumų sąlygą, ir atvirkščiai.

Jei p ≠ q, bent vienas koeficientas u − h arba v − k nelygus nuliui, todėl lygtis apibrėžia visą tiesę. Ji eina per vidurio tašką ((h + u)/2, (k + v)/2). Jos krypties vektoriaus (−(v − k), u − h) ir taškus jungiančio vektoriaus (u − h, v − k) atitinkamų komponenčių sandaugų suma lygi nuliui – tai statmenumo sąlyga Euklido geometrijoje. Taigi ši tiesė yra būtent atkarpos, jungiančios p ir q, vidurio statmuo. Šis aprašymas tinka ir horizontalioms bei vertikalioms jungiančiosioms atkarpoms, nes nereikia dalyti iš nuolydžio išraiškos vardiklio, kuris gali būti lygus nuliui.

Jei p = q, abu atstumai yra vienodi kiekvienam kompleksiniam z. Išskleista lygtis yra 0 = 0, o visa geometrinė taškų vieta yra visa plokštuma, o ne konkreti vidurio statmens tiesė. Centrų palyginimas ir ekvivalenčios koordinačių lygties išvedimas čia leidžia nustatyti visą geometrinę taškų vietą. Jei nustatoma papildoma sąlyga, pavyzdžiui, apskritimo lygtis, raskite abiejų sąlygų apibrėžtų pilnų taškų aibių sankirtą ir patikrinkite kiekvieną gautą šaką.

Įrankis braižo pasirinktą geometriją, o tikslūs teiginiai ją apibrėžia

Tyrinėjimo įrankis turi keturis rodinius: atstumo tarp dviejų taškų su vidurio tašku, jungtinio ir priešingo skaičių palyginimo, sudėties ir atimties. Pasirinkite z ir w nepriklausomai vieną nuo kito iš iš anksto nustatytų tikslių koordinačių rinkinių. Pažymėtose realiojoje ir menamojoje ašyse naudojamas vienodas vienetinis mastelis, o fiksuotas kvadratinis langas kiekvienos koordinatės kryptimi apima intervalą nuo −7 iki 7. Greta brėžinio skaitykite tikslias taškų koordinates, modulius ir modulių kvadratus; baigtinis iš anksto nustatytų reikšmių sąrašas nėra kompleksinės plokštumos apibrėžimo sritis.

Atstumas tarp dviejų taškų išlieka galinių taškų atstumu |z − w| net pasirinkus kitą rodinį. Atstumo rodinyje išnagrinėkite koordinačių vidurkiu nusakomą vidurio tašką (z + w)/2 ir patikrinkite, kad abu jo atstumai iki galinių taškų lygūs pusei |z − w|. Vien atstumų lygybė apibrėžia visą vienodai nutolusių taškų geometrinę vietą, todėl ji neįrodo, kad bet kuris taškas yra atkarpos vidurio taškas. Jungtinio skaičiaus rodinyje atskirkite atspindį realiosios ašies atžvilgiu nuo centrinės simetrijos koordinačių pradžios atžvilgiu. Sudėties rodinyje išnagrinėkite lygiagretainio galinį tašką z + w; atimties rodinyje atskirkite padėties rodyklę, nukreiptą į z − w, nuo poslinkio rodyklės, einančios iš w į z. Sutampantys taškai ir nulinės rodyklės turi tikslias reikšmes net tada, kai jų žymės brėžinyje persidengia.

Koordinatėms brėžinyje pavaizduoti gali būti naudojamas skaitinis pozicionavimas, o teiginiuose apie lygybę ir ilgį naudojamos tikslios realiosios trupmenos, atstumų kvadratai ir šaknų išraiškos. Grafiko langas yra matoma plokštumos dalis, o ne nuo konteksto priklausantis kompleksinių įvesties reikšmių ar visos geometrinės taškų vietos apribojimas. Šiame straipsnyje pateikti apskritimo, skritulio ir vienodai nutolusių taškų geometrinės vietos įrodymai nustato visas jų taškų aibes nepriklausomai nuo šių keturių pasirinktų rodinių. Poliniai kampai, trigonometrinė forma ir geometrinė kompleksinių skaičių daugyba nagrinėjami vėliau; nė vieno iš jų nereikia dabartiniams koordinačių ir atstumų patikrinimams.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pavaizduokite z = −4 + 3i ir w = 1/2 + (1/2)i kaip plokštumos taškus. Raskite tikslias |z|, |z|², |w| ir |w|² reikšmes. Paaiškinkite, kodėl vertikaliosios koordinatės yra 3 ir 1/2, o ne 3i ir i/2, ir kodėl |z|² nėra z².

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taškai yra (−4, 3) ir (1/2, 1/2). Jų moduliai yra 5 ir √2/2, o modulių kvadratai – 25 ir 1/2. Tuo tarpu z² = 7 − 24i.

   Koordinatės yra realiosios Re ir Im reikšmės. Pagal Pitagoro teoremą |z|² = 16 + 9 = 25 ir |w|² = 1/4 + 1/4 = 1/2; ištraukę pagrindines neneigiamas realiąsias kvadratines šaknis, gauname nurodytus ilgius. Keldami kompleksinį reiškinį z kvadratu, gauname (−4)² + 2(−4)(3i) + (3i)² = 7 − 24i; tai kita operacija nei z daugyba iš jam jungtinio kompleksinio skaičiaus.

2. Kai z = 2 − i ir w = −1 + 3i, raskite poslinkio vektorių nuo w iki z, atstumą tarp galinių taškų, z + w ir atkarpos vidurio tašką. Nurodykite priešingos krypties poslinkio vektorių ir abu atstumus nuo vidurio taško iki galinių taškų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Poslinkio vektorius nuo w iki z yra 3 − 4i, o atstumas – 5. Suma yra 1 + 2i, o vidurio taškas – 1/2 + i. Priešingos krypties poslinkio vektorius yra −3 + 4i, o abu atstumai nuo vidurio taško iki galinių taškų lygūs 5/2.

   Atimkite koordinates pagal nurodytą kryptį: (2 − (−1), −1 − 3) = (3, −4); šio vektoriaus ilgio kvadratas yra 25. Sudėję gauname (1, 2), o apskaičiavę vidurkius – (1/2, 1). Iš galinių taškų atėmę vidurio tašką, gauname 3/2 − 2i ir jam priešingą skaičių; kiekvieno modulio kvadratas yra 9/4 + 4 = 25/4. Pakeitus kryptį į priešingą, poslinkio vektoriaus ženklas pasikeičia, bet jo ilgis nesikeičia.

3. Kai z = −2 + 3i, užrašykite z̄ ir −z kaip kompleksinius skaičius ir kaip plokštumos taškus, raskite jų modulius ir apskaičiuokite atstumus |z − z̄| ir |z − (−z)|. Kuriems kompleksiniams skaičiams jungtinio ir priešingo skaičiaus radimo operacijos duoda tą patį tašką?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   z̄ = −2 − 3i atitinka tašką (−2, −3), o −z = 2 − 3i atitinka tašką (2, −3). Abiejų modulis yra √13. Du prašomi atstumai yra 6 ir 2√13. Jungtinis ir priešingas skaičiai sutampa tada ir tik tada, kai Re z = 0.

   Randant jungtinį skaičių, realiosios dalies koeficientas nekinta, o randant priešingą skaičių, pakeičiami abiejų koeficientų ženklai. Kiekvieno modulio kvadratas yra 4 + 9 = 13. Skirtumo z − z̄ = 6i modulis yra 6; skirtumo z − (−z) = 2z modulis yra 2|z| = 2√13. Kad a − bi ir −a − bi sutaptų, būtina a = −a, taigi a = 0; tai apima ir nulį. Todėl simetrija realiosios ašies atžvilgiu ir simetrija koordinačių pradžios atžvilgiu skiriasi visur, išskyrus menamąją ašį.

4. Palyginkite |z + w| su |z| + |w|, kai (z, w) = (3, 4i), (3, 4) ir (3, −4). Paaiškinkite, kuriai porai galioja lygybė ir kodėl nė viena pora nepažeidžia trikampio nelygybės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkami palyginimai yra 5 < 7, 7 = 7 ir 1 < 7. Lygybė galioja porai (3, 4), kurios abu poslinkiai nukreipti ta pačia kryptimi.

   Pirmoji suma yra 3 + 4i; jos modulis yra 5, o dviejų ilgių suma yra 7. Antroji suma yra teigiamas realusis skaičius 7, o abu nenuliniai poslinkiai nukreipti ta pačia kryptimi. Trečioji suma yra −1, jos modulis yra 1, nes poslinkiai išilgai realiosios ašies iš dalies kompensuoja vienas kitą, nors atskirų jų ilgių suma vis tiek yra 7. Kiekvienu atveju lyginami neneigiami realieji ilgiai; neteigiama, kad kompleksiniai skaičiai, kurie nėra realieji, yra kaip nors sutvarkyti pagal dydį.

5. Koordinatėmis aprašykite visą taškų geometrinę vietą |z| = 3, raskite visus jos susikirtimo su realiąja ir menamąja ašimis taškus ir patikrinkite z = √5 + 2i. Ar pasirinktų taškų sąrašas įrodo, kad aprašyta visa geometrinė vieta? Nurodykite, ar tie taškai priklauso |z| ≤ 3 ir |z| < 3.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visą apskritimą aprašo a² + b² = 9. Jo susikirtimo su ašimis taškai yra ±3 ir ±3i; √5 + 2i taip pat yra šiame apskritime. Visi šie taškai priklauso uždarajam skrituliui |z| ≤ 3, ir nė vienas nepriklauso atvirajam skrituliui |z| < 3. Baigtinis sąrašas neįrodo, kad aprašyta visa geometrinė vieta.

   Neneigiamo modulio lygybė yra ekvivalenti a² + b² = 9. Kai b = 0, gauname a = ±3, o kai a = 0, gauname b = ±3. Papildomo taško modulio kvadratas yra 5 + 4 = 9. Aprašo išsamumas išplaukia iš koordinačių sąlygos ekvivalentiškumo arba iš visų realiųjų −3 ≤ a ≤ 3 su b = ±√(9 − a²), o ne iš tų pavyzdžių. Kiekvieno patikrinto taško atstumas yra lygiai 3, todėl jis yra ant ribos, kuri įtraukiama į uždarąjį skritulį ir neįtraukiama į atvirąjį skritulį.

6. Aprašykite |z + 1 − 2i| ≤ 2 ir patikrinkite z = −1 + 2i, z = 1 + 2i ir z = 2 + 2i. Kaip pasikeičia šių taškų priklausymas aibei, pakeitus ≤ į <? Tada aprašykite tas pačias uždarąją ir atvirąją aibes apibrėžiančias sąlygas, kai dešiniosios pusės rėžis yra nulis arba −2.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Uždarojo skritulio centras yra −1 + 2i, o jo koordinačių sąlyga yra (a + 1)² + (b − 2)² ≤ 4. Trys taškai yra atitinkamai viduje, ant ribos ir išorėje. Atvirajam skrituliui centras priklauso, ribos taškas nepriklauso, o išorinis taškas ir toliau nepriklauso. Kai rėžis yra nulis, uždarąją aibę sudaro tik centras, o atviroji aibė yra tuščia; kai rėžis yra −2, abi aibės yra tuščios.

   Prieš nustatydami centrą, perrašykite reiškinį po modulio ženklu kaip z − (−1 + 2i). Tikslūs trijų taškų atstumai nuo centro yra 0, 2 ir 3. Griežtoji nelygybė neįtraukia atstumo 2. Nulis gali būti neneigiamo atstumo viršutinis rėžis tik lygybės atveju centre, o joks atstumas nėra mažesnis už nulį ar ne didesnis už neigiamą rėžį. Pakėlus −2 kvadratu ir naudojant skritulį su teigiamu spindulio kvadratu, pradinė sąlyga pasikeistų, todėl pirmiausia išlaikykite spindulio neneigiamumo sąlygą.

7. Raskite visą taškų aibę, tenkinančią |z| = |z − 4i|, ir jos sankirtą su |z| = √5. Nurodykite atkarpos tarp dviejų centrų, 0 ir 4i, vidurio tašką ir paaiškinkite, kuo tampa pirmoji taškų aibė, jei 4i pakeičiamas nuliu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visa vienodai nuo abiejų centrų nutolusių taškų aibė yra Im z = 2, arba z = a + 2i su bet kuriuo realiuoju a. Atkarpos tarp dviejų centrų vidurio taškas yra 2i, o tiesės ir apskritimo sankirta yra tiksliai {1 + 2i, −1 + 2i}. Pakeitus 4i nuliu, vienodai nuo abiejų centrų nutolusių taškų aibe tampa visa plokštuma.

   Kai z = a + bi, pakėlę abu neneigiamus atstumus kvadratu gauname a² + b² = a² + (b − 4)². Ši lygybė ekvivalenti 8b = 16 ir b = 2. Tuomet kiekvienas realusis a tenkina pradinę lygybę, todėl gauname visą horizontalią tiesę – vertikalios atkarpos nuo 0 iki 4i vidurio statmenį. Ieškodami sankirtos su a² + b² = 5, gauname a² + 4 = 5, taigi a = ±1, ir kitų sprendinių šakų nėra. Jei galiniai taškai sutampa, atstumai iki jų yra vienodi kiekviename plokštumos taške; atkarpos vidurio taškas lieka nulis, tačiau jokia konkreti vidurio statmens tiesė neišskiriama.

Ką verta įsidėmėti

• Vaizduokite a + bi vieninteliu tašku (a, b) plokštumoje su įvardytomis statmenomis realiąja ir menamąja ašimis, kurių masteliai vienodi. Menamoji koordinatė yra realusis koeficientas b, o geometriniam atstumui nustatyti reikia suderinamų ašių matavimo vienetų.
• Modulis |z| = √(a² + b²) yra neneigiamas realusis atstumas ir lygus nuliui tada ir tik tada, kai z = 0. Jo kvadratas yra z z̄, kuris skiriasi ir nuo paties modulio, ir nuo kompleksinio skaičiaus kvadrato z².
• Skirtumas z − w yra kryptinis poslinkis iš w į z; |z − w| yra simetrinis atstumas tarp šių galinių taškų. Lygiagretieji postūmiai išsaugo atstumus tarp taškų porų, o (z + w)/2 yra atkarpos tarp jų vidurio taškas.
• Sudėtis ir atimtis atitinka poslinkių jungimą, kai vieno poslinkio pabaiga sutampa su kito pradžia. Dauginant iš realiojo skaičiaus galioja |λz| = |λ||z|, o keitimas priešingu skaičiumi atvaizduoja (a, b) į (−a, −b), jungtinio skaičiaus radimas – į (a, −b).
• Jungtinio skaičiaus radimas išsaugo modulį ir atstumus, kai atspindimi abu galiniai taškai. Jis sutampa su keitimu priešingu skaičiumi tada ir tik tada, kai skaičius yra menamojoje ašyje. Trikampio nelygybė ir atvirkštinė trikampio nelygybė lygina realiuosius ilgius, o ne nustato kompleksiniams skaičiams sutvarkytojo kūno tvarką.
• Kai spindulio ribos neneigiamos, tikslios ekvivalenčios koordinačių sąlygos aprašo ištisus apskritimus ir atviruosius arba uždaruosius skritulius. Kai spindulys lygus nuliui, apskritimas ir uždarasis skritulys yra vienas taškas, o atvirasis skritulys yra tuščias; neigiamos ribos lemia tuščias pradines taškų aibes.
• Vienodai nuo dviejų skirtingų centrų nutolę taškai sudaro visą atkarpos tarp jų vidurio statmens tiesę. Kai centrai sutampa, gaunama visa plokštuma, o esant papildomoms sąlygoms reikia rasti pilnų taškų aibių sankirtą, užuot pasikliovus nubraižytais pavieniais taškais ar apkirptu vaizdu.