Kvadratinės lygtys ir pilnojo kvadrato išskyrimas

Lygties tipą nustatykite sutraukę panašiuosius narius

Kvadratinę lygtį su vienu nežinomuoju galima užrašyti ax² + bx + c = 0, čia a, b ir c yra pastovūs realieji koeficientai, o a nelygus nuliui. Būtent koeficientas a lemia, kad suprastinta lygtis iš tiesų yra kvadratinė. Šioje pamokoje x yra realusis skaičius, nebent uždavinyje susiaurinama leistinų jo reikšmių sritis. Šaknis – tai x reikšmė, kuri tenkina lygtį.

Lygtis, kurioje yra kvadratinių narių, nebūtinai išlieka kvadratinė. Iš abiejų lygties 2x² + 3x = 2x² + 6 pusių atėmę 2x², gauname 3x = 6. Jos sprendinys x = 2 randamas anksčiau taikytu tiesinės lygties sprendimo metodu. Jei suprastinus lygtį koeficientas a lygus nuliui, kvadratinės lygties sprendinių formulės taikyti negalima: vietoj to išnagrinėkite likusią tiesinę lygtį arba lygtį be nežinomojo.

Sandaugos lygybės nuliui taisyklę taikykite tik nulinei sandaugai

Realiųjų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas dauginamasis lygus nuliui. Todėl (x − 2)(x + 3) = 0 reiškia x − 2 = 0 ARBA x + 3 = 0, taigi x = 2 arba x = −3. Nuliui gali būti lygus bet kuris dauginamasis; abu taip pat gali būti lygūs nuliui, kai dauginamieji turi bendrą šaknį.

Iš (x − 2)(x + 3) = 4 tokia pati išvada neplaukia: prilyginus bet kurį dauginamąjį nuliui, sandauga būtų lygi nuliui, o ne 4. Pirmiausia pertvarkykite lygtį taip, kad vienoje pusėje būtų nulis, tada, jei įmanoma, kitą pusę išskaidykite dauginamaisiais. Skaidymas dauginamaisiais pakeičia reiškinio formą, o sandaugos lygybės nuliui taisyklė nusako gautos lygties sprendinius.

Nedalykite iš nežinomojo, kad neprarastumėte nulinės šaknies. Iš x² = 3x atimkite 3x, kad gautumėte x(x − 3) = 0. Šaknys yra x = 0 ir x = 3. Padaliję pradinę lygtį iš x, darytumėte prielaidą, kad x nelygus nuliui, ir atmestumėte tinkamą nulinį sprendinį. Dalyba iš pastovaus nenulinio koeficiento yra kitoks veiksmas ir išlieka grįžtama.

Lygtis su kvadratu gali turėti dvi realiąsias šaknis, vieną arba neturėti nė vienos

Nagrinėdami u² = k, įvertinkite fiksuotą realųjį skaičių k. Jei k yra teigiamas, du realieji sprendiniai yra u = √k ir u = −√k. Simbolis √k žymi aritmetinę, neneigiamą kvadratinę šaknį; pats savaime jis nereiškia dviejų reikšmių. Ženklas ± formulėje u = ±√k nurodo dvi galimybes. Jei k lygus nuliui, vienintelis sprendinys yra u = 0. Jei k yra neigiamas, realiųjų sprendinių nėra, nes realiojo skaičiaus kvadratas yra neneigiamas.

Kai u yra realusis skaičius, √(u²) = |u|, o ne visada u. Pavyzdžiui, √((−3)²) = 3. Ištraukę abiejų lygties u² = 9 pusių aritmetines kvadratines šaknis, gauname |u| = 3, todėl u = 3 arba u = −3. Pasirinkus tik teigiamą atsakymą, būtų prarastas vienas leistinas sprendinys.

Atskirtam skliaustuose esančio reiškinio kvadratui taikoma ta pati taisyklė. Iš (x − 1)² = 5 gauname x − 1 = ±√5, tada x = 1 ± √5. Jei dešinioji pusė būtų lygi nuliui, vienintelė šaknis būtų x = 1; jei ji būtų neigiama, realiųjų šaknų nebūtų. Prieš nagrinėdami lygtį su kvadratu, atlikite reikiamus veiksmus su išoriniu daugikliu ar pridėta konstanta.

Prie abiejų pusių pridėkite tą patį trūkstamą kvadratą

Išskiriant pilnąjį kvadratą naudojama tapatybė x² + px + (p/2)² = (x + p/2)². Reikalingas papildomas narys yra x koeficiento pusės kvadratas. Norėdami išspręsti x² + 6x = 7, prie abiejų pusių pridėkite 9: x² + 6x + 9 = 16, todėl (x + 3)² = 16.

Dabar x + 3 = ±4, todėl x = 1 arba x = −7. Patikrinimai pradinėje lygtyje: 1² + 6 × 1 = 7 ir (−7)² + 6 × (−7) = 7. Pridėjus 9 tik prie kairės pusės, būtų gauta kita lygtis. Keldami neigiamą reikšmę kvadratu, rašykite ją skliaustuose.

Prieš taikydami šabloną, x² koeficientą padarykite lygų vienetui

Kai a nelygus nuliui, pirmiausia visą lygtį ax² + bx + c = 0 padalykite iš a: x² + (b/a)x + c/a = 0. Laisvąjį narį perkelkite į kitą pusę, tada prie abiejų pusių pridėkite (b/(2a))². Jei prieš šį normalizavimą naudotumėte b pusę, paprastai išskirtumėte ne tą pilnąjį kvadratą.

Kiekvieną lygties 2x² − 4x − 2 = 0 narį padalykite iš 2, kad gautumėte x² − 2x − 1 = 0. Tada x² − 2x = 1; prie abiejų pusių pridėkite 1, kad gautumėte (x − 1)² = 2. Tikslios šaknys yra x = 1 ± √2. Galima padalyti ir iš neigiamo vyriausiojo koeficiento, nes dalijant iš bet kurio fiksuoto nenulinio skaičiaus lygybė išlieka.

Bendrąją lygtį pertvarkykite į vieno reiškinio kvadratą

Ta pati idėja leidžia išvesti bendrąją formulę. Pradėkite nuo ax² + bx + c = 0 ir visą lygtį padauginkite iš nenulinio skaičiaus 4a. Perkelkite 4ac į dešinę pusę ir prie abiejų pusių pridėkite b²: 4a²x² + 4abx + b² = b² − 4ac. Kairioji pusė yra pilnasis kvadratas, todėl (2ax + b)² = b² − 4ac.

Užrašykite D = b² − 4ac. Kai D yra neneigiamas, 2ax + b = ±√D. Atimkite b ir padalykite iš nenulinio skaičiaus 2a, kad gautumėte x = (−b ± √D)/(2a). Abu skaitiklio nariai dalijami iš bendro vardiklio. Į formulę įstatydami a, b ir c reikšmes, išlaikykite pradinius jų ženklus; reiškinyje b² visas koeficientas su jo ženklu keliamas kvadratu.

Esant nurodytoms sąlygoms realiųjų skaičių srityje, kiekvienas išvedimo žingsnis yra grįžtamas. Kai D teigiamas, naudojant ± gaunamos abi šaknys. Kai D = 0, abu užrašyti variantai sutampa ir skaičiuojami kaip viena šaknis. Jei a neigiamas, formulės variantas su pliuso ženklu nebūtinai duoda didesnę šaknį; žymėjimas ± nurodo galimus variantus, o ne jų dydžio tvarką.

Prieš skaičiuodami apytiksles reikšmes, nustatykite skirtingų realiųjų šaknų skaičių

Diskriminantas D yra lygties (2ax + b)² = D dešinioji pusė. Jei D teigiamas, lygtis su jo kvadratine šaknimi duoda dvi skirtingas realiąsias šaknis. Jei D lygus nuliui, yra vienintelė realioji šaknis, x = −b/(2a), dažnai vadinama kartotine šaknimi. Jei D neigiamas, joks realusis x netenkina lygties.

Kai x² − 6x + 9 = 0, D = 0, o kvadratas yra (x − 3)² = 0, todėl gaunama tik x = 3. Pakeitus laisvąjį narį į 10, gaunama D = −4 ir (x − 3)² = −1; realiųjų šaknų nėra. Pakeitus jį į 8, gaunama D = 4 ir (x − 3)² = 1, o šaknys yra 2 ir 4. Realiųjų šaknų nebuvimas ir nulinė šaknis – skirtingi dalykai.

Išlaikykite tikslias reikšmes, kol baigsite patikrą pradinėje lygtyje

Trupmenos ir šakniniai reiškiniai yra tikslūs atsakymai. Šaknis 1 − √2 ir 1 + √2 reikia palikti tokio pavidalo ir tik tada, jei norima, apskaičiuoti apytiksles dešimtaines reikšmes. Jos apytiksliai lygios −0.414 ir 2.414, tačiau suapvalintos reikšmės tikslios lygties netenkina tiksliai. Lygties pusių skirtumą, gautą įstačius apytikslę reikšmę, reikia vertinti atsižvelgiant į apvalinimo tikslumą, o ne laikyti tikslios lygybės įrodymu.

Kiekvieną galimą šaknį įstatykite į pradinę lygtį, išlaikydami jos koeficientus ir ženklus. Nagrinėdami 2x² − 4x − 2 = 0, užrašykite x = 1 + t, kai t = √2 arba t = −√2. Pradinės lygties kairioji pusė tuomet tampa 2(1 + t)² − 4(1 + t) − 2 = 2t² − 4 = 0, nes abiem atvejais t² = 2. Lygiaverčiai pertvarkymai paaiškina, kodėl nepraleista jokių kitų realiųjų šaknų; vien tik galimos šaknies patikra įrodo tik tai, kad ji yra šaknis.

Algebrinė šaknis turi atitikti ir uždavinio sąlygas

Tarkime, stačiakampio kraštinių ilgiai yra x m ir (x + 1) m, o plotas – 6 m²; abiejų kraštinių ilgiai yra griežtai teigiami. Skaitinė lygtis yra x(x + 1) = 6, iš jos gauname x² + x − 6 = 0. Išskaidę daugikliais gauname (x − 2)(x + 3) = 0, todėl realiosios algebrinės šaknys yra 2 ir −3. Tik x = 2 priklauso teigiamų ilgių sričiai: kraštinių ilgiai yra 2 m ir 3 m, o plotas – 6 m².

Neigiama šaknis tenkina lygtį realiųjų skaičių aibėje, tačiau pagal ją gaunami neigiami kraštinių ilgiai, todėl ji nėra šio uždavinio apie stačiakampį sprendinys. Nulis priklauso neneigiamų reikšmių sričiai, bet nepriklauso griežtai teigiamų reikšmių sričiai. Skaičiuojant objektus taip pat gali reikėti sveikojo skaičiaus, o dydžio matavimo vienetas turi atitikti jo modelį. Prieš interpretuodami šaknis, nurodykite šiuos apribojimus.

Išnagrinėkite visą šaknų aibę ir nepriklausomai pasirinktą galimą sprendinį

Modelyje naudojamos šešios pateiktos kvadratinės lygtys: su racionaliosiomis ir iracionaliosiomis šaknimis, kartotine šaknimi, be realiųjų šaknų, su nuline šaknimi ir neigiamu vyriausiuoju koeficientu. Lygtį ir galimą sprendinį pasirinkite nepriklausomai vieną nuo kito. Palyginkite tikslią realiųjų sprendinių aibę su rezultatu, gautu į pradinę lygtį įstačius galimą sprendinį; rodoma klasifikacija taikoma skirtingoms realiosioms šaknims.

Baigtinis galimų sprendinių sąrašas iliustruoja tikrinimą, o ne visą realiųjų skaičių sritį. Galimas sprendinys gali tenkinti lygtį, nors kita leistina šaknis yra už sąrašo ribų, arba visi sąraše pateikti galimi sprendiniai gali jos netenkinti, nors yra į sąrašą neįtraukta šaknis. Visai šaknų aibei pagrįsti taikykite sandaugos lygybės nuliui taisyklę, išskirkite pilnąjį kvadratą arba remkitės išvestąja formule, tada patikrinkite šaknis pradinėse lygtyse ir atsižvelkite į kontekstą, jei jis pateiktas.

Išnagrinėkite išsigimusius atvejus ir nekeiskite pasirinktos skaičių aibės

Jei suprastinus a lygus nuliui, vietoj to nagrinėkite bx + c = 0. Kai b nelygus nuliui, vienintelis realusis sprendinys yra x = −c/b. Kai b = 0 ir c = 0, lygtį tenkina kiekvienas realusis x; kai b = 0, o c nelygus nuliui, jos netenkina joks realusis x. Nedalykite iš koeficiento prieš patikrindami, ar jis nelygus nuliui.

Realiųjų šaknų nebuvimas reiškia, kad čia naudojamoje realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Vėlesnėse pamokose skaičių aibė bus išplėsta pasitelkiant kompleksinių skaičių aritmetiką. Kubinės lygtys ir sudėtingesni funkcijų grafikai taip pat bus nagrinėjami vėliau; čia taikomi tikslūs algebriniai metodai leidžia nustatyti kvadratinės lygties realiųjų sprendinių aibę be jų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Išspręskite (x − 1)(x + 2) = 0. Kodėl tos pačios išvados apie dauginamuosius negaliotų, jei dešinioji pusė būtų 3?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai dešinioji pusė lygi nuliui, x = 1 arba x = −2. Nė viena iš šių reikšmių netenkina lygties, kurios dešinioji pusė yra 3.

   Kad sandauga būtų lygi nuliui, bent vienas dauginamasis turi būti lygus nuliui. Įstatę bet kurią iš galimų reikšmių, gauname sandaugą 0. Nulinės sandaugos taisykle negalima pakeisti lygties, kurioje sandauga lygi 3.

2. Išspręskite x² = 9, x² = 0 ir x² = −9 realiųjų skaičių aibėje. Kodėl nesaugu naudoti √(x²) = x?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai: x = 3 arba −3; tik x = 0; realiųjų šaknų nėra. Teisinga tapatybė yra √(x²) = |x|.

   Lygtis, kurios kairėje yra nežinomojo kvadratas, o dešinėje – teigiamas skaičius, turi du priešingus realiuosius sprendinius. Kai dešinioji pusė lygi nuliui, sprendinys vienas, o kai ji neigiama, realiųjų sprendinių nėra. Kai x = −3, aritmetinė kvadratinė šaknis iš x² yra 3, o ne −3.

3. Išspręskite x² − 4x = 5 pilnojo kvadrato išskyrimo būdu ir patikrinkite abi šaknis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 5 arba x = −1.

   Prie abiejų lygties pusių pridėkite 4: (x − 2)² = 9. Taigi x − 2 = ±3. Patikrinus pradinėje lygtyje gaunama 5² − 4 × 5 = 5 ir (−1)² − 4 × (−1) = 5.

4. Išspręskite −2x² + 8x − 6 = 0. Paaiškinkite, kodėl abi lygties puses galima padalyti iš neigiamo vyresniojo koeficiento.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 1 arba x = 3.

   Abi lygybės puses padalykite iš pastovaus nenulinio skaičiaus −2 ir gausite x² − 4x + 3 = 0. Išskaidę dauginamaisiais gausite (x − 1)(x − 3) = 0. Ši grįžtamoji dalybos operacija išsaugo lygybę; įstačius bet kurią iš abiejų šaknų, pradinės lygties kairioji pusė lygi nuliui.

5. Suklasifikuokite ir išspręskite lygtis x² − 6x + 9 = 0, x² − 6x + 10 = 0 ir x² − 6x + 8 = 0 realiųjų skaičių aibėje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai: viena realiosios šaknies reikšmė – 3; realiųjų šaknų nėra; dvi skirtingos realiosios šaknys 2 ir 4.

   Diskriminantai yra 0, −4 ir 4. Išskyrus pilnąjį kvadratą, atitinkamai gaunama (x − 3)² = 0, (x − 3)² = −1 ir (x − 3)² = 1. Kartotinė šaknis skaičiuojama tik vieną kartą kaip viena skirtinga reikšmė.

6. Išspręskite 2x² + 3x = 2x² + 6. Kodėl čia negalima taikyti kvadratinės lygties šaknų formulės?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienintelis sprendinys yra x = 2; supaprastinus lygtį, a = 0.

   Iš abiejų lygties pusių atimkite 2x² ir gausite 3x = 6. Kvadratiniai nariai panaikinami, todėl lieka tiesinė lygtis. Kai x = 2, abi pradinės lygties pusės lygios 14. Kvadratinės lygties šaknų formulės vardiklis 2a būtų lygus nuliui.

7. Stačiakampio kraštinių ilgiai yra x m ir (x + 1) m, abu teigiami, o plotas yra 6 m². Raskite leistinus kraštinių ilgius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 2: kraštinių ilgiai yra 2 m ir 3 m.

   Skaitinė lygtis yra x² + x − 6 = 0, jos daugikliai – (x − 2)(x + 3). Realiosios algebrinės šaknys yra 2 ir −3, tačiau −3 reikštų neigiamus ilgius. Leistinąją porą atitinkantis plotas yra 2 × 3 = 6 kvadratinių metrų.

Ką verta įsidėmėti

• Pirmiausia nustatykite suprastintos lygties koeficientus: kvadratinėje lygtyje a ≠ 0.
• Sandaugos lygybės nuliui taisyklę taikykite tik tada, kai sandauga lygi nuliui, ir išsaugokite galimą nulinę šaknį, užuot daliję iš x.
• Aritmetinė kvadratinė šaknis yra neneigiama; kai lygties vienoje pusėje yra kvadratas, o dešinėje – teigiamas skaičius, reikia abiejų ± variantų, o nulinės ir neigiamos dešinės pusės atvejais realiųjų šaknų situacija skiriasi.
• Išskirkite pilnąjį kvadratą, abiejose lygties pusėse atlikdami vienodus veiksmus ir prireikus pirmiausia paversdami vyriausiąjį koeficientą vienetu.
• Diskriminantas parodo skirtingų realiųjų šaknų skaičių; prieš apskaičiuodami apytiksles reikšmes, palikite tikslius atsakymus, užrašytus šakniniais reiškiniais arba trupmenomis.
• Patikrinkite kiekvieną šaknį pradinėje lygtyje, tada atsižvelkite į kontekste leidžiamas reikšmes ir matavimo vienetus.