Skliaustų atskleidimas, skaidymas dauginamaisiais ir algebrinės tapatybės

Tapatybė galioja visoms leistinoms reikšmėms

Tapatybė reiškia, kad du reiškiniai turi tą pačią reikšmę esant bet kurioms leistinoms jų kintamųjų reikšmėms. Šioje pamokoje nagrinėjami reiškiniai yra daugianariai, todėl jų kintamieji gali įgyti bet kokias realiąsias reikšmes, nebent kontekstas susiaurina apibrėžimo sritį. Teiginys 2(x + 3) = 2x + 6 yra tapatybė su kintamuoju x: daugybos skirstomumo dėsnis paaiškina, kodėl ji galioja kiekvienai realiajai x reikšmei.

O tokia lygtis kaip 2(x + 3) = 10 kelia klausimą, kurioms leistinoms x reikšmėms konkreti lygybė yra teisinga. Atskleidžiant skliaustus kairėje lygties pusėje, reiškinys pakeičiamas jam lygiu reiškiniu; norint rasti sprendinius, vis tiek reikia atlikti lygties sprendimo veiksmus. Dauginamaisiais išskaidytas reiškinys yra būdas užrašyti tą pačią reikšmę, o ne nurodymas prilyginti reiškinį nuliui.

Dauginkite kiekvieną narį ir išsaugokite jo ženklą

Pagal daugybos skirstomumo dėsnį galioja a(b + c) = ab + ac ir a(b − c) = ab − ac, kai a, b ir c yra realieji skaičiai. Neigiamas daugiklis taip pat taikomas kiekvienam nariui: −3(2x − 5) = −6x + 15. Atimti visą skliaustuose esantį reiškinį reiškia jį padauginti iš −1, o ne pakeisti tik pirmojo jo nario ženklą.

Dauginant du skliaustuose esančius reiškinius, kiekvienas pirmojo reiškinio narys dauginamas iš kiekvieno antrojo reiškinio nario. Taigi (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Prieš sutraukiant panašiuosius narius, gaunamos keturios sandaugos. Praleidus bet kurią iš dviejų vidurinių sandaugų, reiškinys pasikeičia.

Iškelkite bendrąjį daugiklį neatmesdami nulio

Skaidant dauginamaisiais, skirstomumo dėsnis taikomas atvirkščiai: 6x + 9 = 3(2x + 3). Bendrasis daugiklis turi būti dauginamas iš kiekvieno skliaustuose esančio nario. Išskleidus siūlomą sandaugą patikrinama, ar reiškinys liko tas pats; tinkamas bendrasis daugiklis nebūtinai turi būti didžiausias, nebent to reikalaujama užduotyje.

Bendrajame daugiklyje gali būti kintamasis: x² + 3x = x(x + 3) visiems realiesiems x, įskaitant nulį. Tai tapatybė, o ne lygties dalijimas iš x. Kai x = 0, abu reiškiniai lygūs nuliui, taigi skaidant dauginamaisiais ši leistina kintamojo reikšmė neprarandama. Dalijant lygtį iš x arba prastinant trupmeną iš x, reikėtų atskiros sąlygos, kad x nelygus nuliui.

Grupuokite narius, kad išryškėtų bendras reiškinys skliaustuose

Kai kuriuose reiškiniuose nėra tinkamo daugiklio, bendro visiems nariams iš karto. Sugrupuokite x² + 3x + 2x + 6 taip: x(x + 3) + 2(x + 3). Dabar visas reiškinys skliaustuose x + 3 yra bendrasis daugiklis, todėl gauname (x + 2)(x + 3). Vėl išskleidus sandaugą gaunami visi keturi pradiniai nariai.

Grupuojant gali tekti kitaip išdėstyti narius arba iškelti neigiamą daugiklį prieš skliaustus. Keisdami narių tvarką, išlaikykite kiekvieno nario ženklą. Pasikartojantį reiškinį skliaustuose galima iškelti kaip bendrąjį daugiklį net ir tada, kai jo reikšmė lygi nuliui: taikant skirstomumo dėsnį nereikia dalyti iš šio reiškinio.

Reiškinio skliaustuose kvadrate – dvi mišriosios sandaugos

Kelti kvadratu reiškia visą reiškinį padauginti iš savęs. Išskleidę (a + b)(a + b), gauname a² + ab + ba + b², todėl (a + b)² = a² + 2ab + b². Išskleidę (a − b)(a − b), gauname a² − ab − ba + b², todėl (a − b)² = a² − 2ab + b².

Abiejose tapatybėse paskutinis narys yra +b². Skirtumo kvadrate (−b)(−b) = b². Mišrusis narys turi atitinkamą ženklą ir jo negalima praleisti. Šios tapatybės galioja visiems realiesiems a ir b, įskaitant neigiamas reikšmes ir nulį; skaitinės 2ab reikšmės ženklas taip pat priklauso nuo a ir b. Pavyzdžiui, (2 + (−3))² = 4 − 12 + 9 = 1.

Šios tapatybės taip pat leidžia skaidyti dauginamaisiais reiškinius, kurie yra pilnieji kvadratai: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². Vidurinis narys turi atitikti −2(2x)(3) = −12x, o kraštiniai nariai – 2x ir 3 kvadratus. Vien to, kad abu kraštiniai nariai yra kvadratai, nepakanka, kad visą reiškinį būtų galima užrašyti kaip reiškinio skliaustuose kvadratą.

Kvadratų skirtume priešingos mišriosios sandaugos panaikina viena kitą

Išskleidę (a + b)(a − b), gauname a² − ab + ab − b². Mišriosios sandaugos panaikina viena kitą, ir gauname tapatybę a² − b² = (a − b)(a + b). Pavyzdžiui, 9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4), nes abu kvadratu keliami dydžiai yra 3x ir 4.

Skirtumo kvadratas ir kvadratų skirtumas yra skirtingi reiškiniai: (a − b)² turi mišrųjį narį, o a² − b² išskaidomas į dviejų skirtingų reiškinių skliaustuose sandaugą. Taikant kvadratų skirtumo tapatybę, a² + b² netampa (a − b)(a + b).

Raskite dauginamuosius pagal sumą ir sandaugą

Kai skaičiai r ir s yra fiksuoti, atskliaudę gauname (x + r)(x + s) = x² + (r + s)x + rs. Todėl, norėdami šiuo pavidalu išskaidyti x² + px + q dauginamaisiais, ieškokite leistinų fiksuotų koeficientų, kuriems r + s = p ir rs = q. Reiškinio x² + 5x + 6 atveju skaičių 2 ir 3 suma yra 5, o sandauga – 6, todėl gauname (x + 2)(x + 3).

Nurodykite, kokie koeficientai leidžiami: reikalavimai, kad dauginamųjų koeficientai būtų sveikieji, racionalieji arba realieji skaičiai, skiriasi. Trupmeniniai koeficientai gali būti leistini; pavyzdžiui, x² − 1/4 = (x − 1/2)(x + 1/2). Šis metodas negarantuoja, kad bus gauti du tiesiniai dauginamieji su realiaisiais koeficientais. Reiškiniui x² + 1 sąlygos būtų r + s = 0 ir rs = 1. Iš pirmosios gauname s = −r, todėl rs = −r² negali būti 1, kai r yra realusis skaičius.

Vienas pavyzdys, kai vyriausiasis koeficientas nelygus vienetui, yra 2x² + 7x + 3. Išskaidykite 7x į 6x + x, tada sugrupuokite: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3) = (2x + 1)(x + 3). Taip reiškinys išskaidomas dauginamaisiais. Sandauga čia neprilyginama nuliui ir neprašoma rasti kvadratinės lygties sprendinių.

Lygindami koeficientus remkitės žinomu algebriniu pavidalu

Atskliaudus ir sutraukus panašiuosius narius, reiškiniai, kurių koeficientai prie x² ir x bei laisvieji nariai sutampa, turi tą pačią reikšmę esant bet kuriai realiajai x reikšmei. Tai tiesiogiai matyti į tą patį suprastintą reiškinį įstačius bet kurią realiąją reikšmę; tai nėra išvada, padaryta remiantis keliais sėkmingais skaitiniais bandymais.

Šiems kvadratiniams reiškiniams atvirkštinį teiginį galima pagrįsti be bendrosios teoremos apie daugianarius. Jei jų skirtumas yra Px² + Qx + R ir jis lygus nuliui kiekvienam realiajam x, pasirinkę x = 0 gauname R = 0. Tada pasirinkę x = 1 ir x = −1 gauname P + Q = 0 ir P − Q = 0. Sudėję gauname 2P = 0, taigi P = 0 ir Q = 0. Vadinasi, visi trys koeficientų skirtumai lygūs nuliui. Šios konkrečios patikros yra įrodymo dalis, nes jau parodyta, kad skirtumas gali būti tik tokio pavidalo.

Tapatybėje A(2x + 1) + B(x − 1) = 5x − 2 A ir B yra fiksuoti nežinomi koeficientai, o x įgyja visas realiąsias reikšmes. Atskliaudę kairiąją pusę gauname (2A + B)x + (A − B). Sulyginę koeficientus prie x ir laisvuosius narius gauname lygčių sistemą 2A + B = 5 ir A − B = −2. Iš antrosios lygties gauname B = A + 2; įstatę į pirmąją, gauname 3A + 2 = 5, taigi A = 1 ir B = 3. Su šiomis konstantomis atskliaustas reiškinys yra tiksliai 5x − 2, taigi tapatybė patikrinama kiekvienai x reikšmei. Sulyginus reikšmes tik vienam pasirinktam x, abiejų koeficientų nustatyti nepavyktų.

Atskirkite teigiamus geometrinius ilgius nuo realiųjų algebrinių reikšmių

Geometrinėje (a + b)² iliustracijoje galima naudoti teigiamus ilgius a ir b: kvadratą sudaro a² ir b² ploto dalys bei du stačiakampiai, kurių kiekvieno plotas ab. Kvadratų skirtumo geometrinei iliustracijai būtina sąlyga a > b > 0; tada ir a − b, ir a + b yra teigiami ilgiai. Kai a = 5 ir b = 2, plotų skirtumas yra 25 − 4 = 21, ir tai sutampa su stačiakampio, kurio kraštinės yra 7 ir 3, plotu.

Neigiamas skaičius nėra fizinis kraštinės ilgis. Vis dėlto algebrinės tapatybės galioja visiems realiesiems a ir b, nes jas išvedant pagal skirstomumo dėsnį nedaroma prielaida, kad ilgiai teigiami. Jei a² − b² yra neigiamas, tai yra algebrinis skirtumas, o ne stačiakampio plotas be ženklo. Naudodami plotų interpretaciją, nurodykite geometrinę apibrėžimo sritį.

Simbolinius koeficientus ir skaitines patikras nagrinėkite atskirai

Modelis lygina septynias daugianarių tapatybes ir vieną siūlomą klaidingą lygybę, kurioje praleistas mišrusis narys. Siūlomą lygybę ir skaitinę įvesties reikšmę pasirinkite nepriklausomai vieną nuo kitos. Simbolinis skliaustų atskleidimas ir koeficientų sutapimas įrodo reiškinių lygiavertiškumą visoms realiosioms įvesties reikšmėms; skaitinės reikšmės parodo, kas vyksta esant pasirinktai įvesties reikšmei.

Vienas kontrpavyzdys paneigia siūlomą tapatybę nurodytoje jos apibrėžimo srityje. Vien sėkmingas patikrinimas su pasirinkta reikšme tapatybės neįrodo: (x + 2)² = x² + 4 galioja, kai x = 0, bet negalioja, kai x = 1. Kad pagrįstumėte teiginį visoms leistinoms įvesties reikšmėms, remkitės išvedimu taikant skirstomąjį dėsnį arba pagrįstu argumentu apie koeficientus, o tikrindami atskiras reikšmes naudokite pradinius reiškinius.

Patikrinkite visą reiškinį ir nurodykite galiojimo sritį

Tikrindami skliaustų atskleidimą, atsižvelkite į kiekvieną pradinę sandaugą ir ženklą. Tikrindami išskaidymą dauginamaisiais, atskleiskite visos sandaugos skliaustus ir sutraukite panašiuosius narius. Nurodykite visus pradiniame kontekste taikomus apribojimus. Čia atliekant daugianarių pertvarkymus neatsiranda naujų neleistinų realiųjų reikšmių, taip pat ir tada, kai daugiklis su kintamuoju arba reiškinys skliaustuose lygus nuliui.

Trečiojo laipsnio daugianarių išskaidymas dauginamaisiais, kvadratinių lygčių sprendimo metodai ir algebrinių trupmenų prastinimas panaikinant bendruosius daugiklius su kintamaisiais bus nagrinėjami vėlesnėse pamokose. Be to, trupmenų pradiniai vardikliai turi būti nelygūs nuliui. Kol kas išsaugokite reiškinio reikšmę ir atskirkite šią užduotį nuo lygties sprendinių aibės radimo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Suprastinkite 3(2x − 5) − 2(x + 1), taikydami skirstomumo dėsnį kiekvienam nariui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   4x − 17.

   Atskleidę skliaustus gauname 6x − 15 − 2x − 2. Sujungus narius su kintamuoju gaunama 4x, o pastoviuosius narius – −17; tai galioja su bet kuriuo realiuoju x.

2. Išskaidykite 4x² + 6x dauginamaisiais ir paaiškinkite, ar būtina atmesti reikšmę x = 0.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   2x(2x + 3); nulis neatmetamas.

   Išskleidus sandaugą gaunama 4x² + 6x. Abu reiškinio pavidalai lygūs nuliui, kai x = 0. Skaidymas dauginamaisiais taikant skirstomumo dėsnį galioja ir šiai reikšmei; jį atliekant nedalijama iš dauginamojo su kintamuoju.

3. Ar (x + 4)² = x² + 16 yra tapatybė? Pateikite kontrpavyzdį ir teisingą skliaustų atskleidimo rezultatą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Kai x = 1, lygybės pusių reikšmės yra 25 ir 17. Tapatybė yra (x + 4)² = x² + 8x + 16.

   Dauginant (x + 4)(x + 4) gaunamos dvi mišriosios sandaugos: 4x ir 4x. Viena leistina kintamojo reikšmė, kuriai lygybė negalioja, paneigia siūlomą tapatybę; atskleidus visus skliaustus pagrindžiama pataisytoji tapatybė.

4. Išskaidykite 25x² − 9 dauginamaisiais ir patikrinkite atskleisdami skliaustus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (5x − 3)(5x + 3).

   Tai 5x ir 3 kvadratai. Atskleidus skliaustus gaunama 25x² + 15x − 15x − 9; mišrieji nariai panaikina vienas kitą. Tai nėra skirtumo kvadrato formulė.

5. Išskaidykite x² − x − 6 dauginamaisiais su sveikaisiais koeficientais.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (x − 3)(x + 2).

   Pastoviųjų skaičių −3 ir 2 suma yra −1, o sandauga −6. Lygiavertis būdas – sugrupuoti x² − 3x + 2x − 6 taip: x(x − 3) + 2(x − 3). Išskleidus patikrinama, kad tapatybė galioja kiekvienam realiajam x.

6. Raskite pastovius realiuosius skaičius A ir B, kad (x − 2)(x + 4) = x² + Ax + B būtų tapatybė kiekvienam realiajam x.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A = 2 ir B = −8.

   Išskleidus gaunama x² + 4x − 2x − 8 = x² + 2x − 8. Lyginant koeficientus nustatoma, kad A = 2 ir B = −8. Arba, kai x = 0, gauname B = −8, o kai x = 1, gauname A + B = −6; šios dvi sąlygos nustato konstantas, o išskleidus patikrinama, kad lygybė galioja kiekvienam x.

7. Palyginkite x(x + 1) = x² + x ir x(x + 1) = x² + 1. Kuri lygybė yra tapatybė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmoji yra tapatybė kiekvienam realiajam x; antroji nėra tapatybė.

   Pirmoji lygybė įrodoma taikant skirstomumo dėsnį. Antroji galioja, kai x = 1, tačiau kai x = 0, jos pusės lygios 0 ir 1. Lygtį tenkinanti reikšmė nepaverčia jos tapatybe.

Ką verta įsidėmėti

• Tapatybė išsaugo reiškinio reikšmę kiekvienai leistinai įvesties reikšmei; sprendžiant lygtį ieškoma, kurios įvesties reikšmės tenkina papildomą lygybę.
• Taikykite skirstomumo dėsnį kiekvienam nariui ir išlaikykite ženklus; keliant skliaustuose esantį reiškinį kvadratu, gaunamos dvi mišriosios sandaugos.
• Iškeliant bendruosius daugiklius ir grupuojant, skirstomumo dėsnis taikomas atvirkščiai ir neatmetami kintamieji daugikliai, kurių reikšmė lygi nuliui.
• Skaidydami dauginamaisiais nurodykite, kokie koeficientai leidžiami, ir siūlomą sandaugą patikrinkite visiškai atskleisdami skliaustus.
• Simboliniais samprotavimais pagrįskite tapatybės galiojimą kiekvienai leistinai įvesties reikšmei; skaitinis kontrpavyzdys paneigia teiginį, kad lygybė yra tapatybė, o vienas lygybę tenkinantis pavyzdys tapatybės neįrodo.
• Plotų interpretacijų, kuriose ilgiai yra teigiami, apibrėžimo sritys yra siauresnės nei atitinkamų realiųjų skaičių algebrinių tapatybių.