Logaritmai kaip atvirkštinės operacijos

Logaritmas įvardija ir nežinomą laipsnio rodiklį

Ankstesnėje pamokoje nustatyta, kad įprasta realioji rodiklinė funkcija bᵗ, kai b > 0 ir b ≠ 1, yra tolydi ir griežtai monotoniška visiems realiesiems t, o jos reikšmių sritis apima visus teigiamus realiuosius skaičius. Todėl kiekvienam teigiamam x egzistuoja vienas ir tik vienas realusis t, kuriam bᵗ = x. Logaritmas suteikia tam laipsnio rodikliui pavadinimą: log_b(x) = t reiškia būtent bᵗ = x. Pagrindas b, teigiamas argumentas x ir gautas laipsnio rodiklis t atlieka skirtingus vaidmenis.

Pavyzdžiui, log₂(16) = 4, nes 2⁴ = 16, o log₂(1/8) = −3, nes 2⁻³ = 1/8. Laipsnio rodiklis nebūtinai turi būti sveikasis skaičius ar žinoma trupmena. Tikslusis reiškinys log₂(5) žymi vienintelį realųjį t, kuriam 2ᵗ = 5. Kadangi 2² < 5 < 2³, o 2ᵗ yra didėjanti funkcija, tai 2 < log₂(5) < 3. Palikdami šią reikšmę užrašytą logaritmu, nurodome tikslų skaičių, o ne neišsamų ar trūkstamą atsakymą.

Atliekame rodiklinei funkcijai atvirkštinę operaciją, o ne dalijame iš jos pagrindo ar skaičiuojame tik sveikąjį daugybos veiksmų skaičių. Trupmeniniai ir neigiami laipsniai jau įtraukti į įprastą rodiklinę funkciją, o iracionalieji laipsnio rodikliai – į jos tolydų tęsinį realiųjų skaičių srityje. Egzistavimas ir vienatinumas galioja kiekvienam teigiamam argumentui, ne vien baigtinės laipsnių lentelės reikšmėms. Vėliau gali praversti apytikslė dešimtainė reikšmė, tačiau ji nėra apibrėžimas ir nepakeičia tikslios tapatybės.

Pagrindui ir argumentui taikomos atskiros sąlygos

Čia naudojamam įprastam realiajam logaritmui būtina, kad b > 0, b ≠ 1 ir x > 0. Kai pagrindas lygus vienetui, 1ᵗ = 1 kiekvienam realiajam t: argumentą 1 atitiktų daug laipsnio rodiklių, o kitų argumentų – nė vienas, todėl vienareikšmės atvirkštinės logaritminės funkcijos nėra. Kai pagrindas lygus nuliui arba neigiamas, negaunama rodiklinė funkcija, kuri įgytų teigiamas reikšmes ir būtų apibrėžta kiekvienam realiajam laipsnio rodikliui. Šie apribojimai taikomi pagrindui net tada, kai konkretų laipsnį su sveikuoju rodikliu galima apskaičiuoti.

Šioje pamokoje nulinis ar neigiamas argumentas neturi realiojo logaritmo, nes realioji rodiklinė funkcija su teigiamu pagrindu niekada neįgyja tokių reikšmių. Neigiama logaritmo reikšmė yra kas kita: log₂(1/8) = −3 yra leistinas reiškinys, kurio argumentas 1/8 teigiamas. Pats reiškinyje esantis kintamasis taip pat nebūtinai turi būti teigiamas. Reiškinyje log₂(x + 4) teigiamas turi būti x + 4, todėl x = −3 yra leistina reikšmė, su kuria logaritmas lygus 0.

Argumentą laikykite skliaustuose. Reiškiniai log₂(x²), (log₂ x)² ir 2 log₂ x turi skirtingas pradines apibrėžimo sritis ir prasmes. Pirmajame logaritmuojamas kvadratas, todėl leidžiama x ≠ 0; kituose dviejuose pirmiausia logaritmuojamas x, todėl būtina x > 0. Skliaustai taip pat atskiria log₂(2x) nuo (log₂ 2)x. Reiškinius pertvarkysime tik patikrinę kiekvieną vidinę reikšmę ir pradinį argumentą. Kompleksiniams logaritmams reikia kitokio teorinio pagrindo, ir jie nepatenka į čia nagrinėjamų realiųjų funkcijų sritį.

Prieš skaičiuodami apytiksliai, atpažinkite laipsnį

Logaritmą apibrėžianti rodiklinė tapatybė duoda log_b(1) = 0, log_b(b) = 1 ir log_b(bᵘ) = u kiekvienam realiajam u ir kiekvienam leistinam pagrindui. Pavyzdžiui, log₈(2) = 1/3, nes 8^(1/3) = 2, o log₉(1/3) = −1/2, nes 9^(−1/2) = 1/3. Teigiamas argumentas, išreikštas šaknimi ar atvirkštiniu skaičiumi, gali atitikti trupmeninį ar neigiamą laipsnio rodiklį, ir logaritmas vis tiek yra apibrėžtas.

Tas pats apibrėžimas tinka ir pagrindui, mažesniam už vienetą. Kadangi (1/3)² = 1/9, tai log_(1/3)(1/9) = 2. Kadangi (1/3)⁻² = 9, tai log_(1/3)(9) = −2. Šie ženklai yra priešingi įprastiems ženklams, kai pagrindas didesnis už vienetą. Patikimas būdas pasitikrinti – užrašyti rodiklinę lygybę: palikti nurodytą pagrindą ir paklausti, kokiu laipsniu jį pakėlus gaunamas nurodytas teigiamas argumentas.

Kai kurių tiksliųjų reikšmių negalima supaprastinti iki įprastų trupmenų. Pavyzdžiui, log₂(3) yra vienintelis laipsnio rodiklis, su kuriuo gaunama 3; nelygybė 1 < log₂(3) < 2 išplaukia iš 2 < 3 < 4. Iš tiesų ši reikšmė yra iracionalioji: jei ji būtų nesuprastinama trupmena p/q, kur p ir q yra teigiami sveikieji skaičiai, tuomet būtų 2ᵖ = 3ᑫ, o tai prieštarauja skaidinio pirminiais dauginamaisiais vienatinumui. Šis konkretus įrodymas neteigia, kad kiekvieno neįprasto argumento logaritmas yra iracionalusis. Tikslieji logaritmai, užrašyti logaritmo simboliu, žinomi racionalieji laipsnių rodikliai ir vėliau gaunami skaitiniai artiniai naudojami skirtingais tikslais.

Teigiami argumentai duoda visas realiąsias reikšmes

Funkcijos f(x) = log_b x, nagrinėjamos visoje jos apibrėžimo srityje x > 0, reikšmių sritis yra visi realieji y. Pasirinkę bet kurį realųjį y, imkime x = bʸ. Šis argumentas yra teigiamas ir log_b(bʸ) = y, taigi kiekviena tokia reikšmė yra pasiekiama. Ir atvirkščiai, pagal apibrėžimą kiekvieną leistiną teigiamą argumentą atitinka realusis laipsnio rodiklis. Vienintelis y pirmavaizdis yra bʸ, nes rodiklinė funkcija yra injektyvi.

Jei b > 1, rodiklinė funkcija yra griežtai didėjanti, o jai atvirkštinė logaritminė funkcija taip pat griežtai didėja: iš x₁ < x₂ išplaukia log_b x₁ < log_b x₂. Taigi teigiami argumentai, mažesni už 1, duoda neigiamus logaritmus, argumentas 1 duoda nulį, o argumentai, didesni už 1, duoda teigiamus logaritmus. Jei 0 < b < 1, atvirkštinė funkcija yra griežtai mažėjanti: ta pati argumentų nelygybė duoda priešingą reikšmių nelygybę, o ženklai abipus argumento 1 pasikeičia į priešingus.

Kai b > 1, log_b x neaprėžtai mažėja, kai x artėja prie nulio iš teigiamosios pusės, ir neaprėžtai didėja, kai x neaprėžtai didėja. Kai 0 < b < 1, kryptys pasikeičia į priešingas. Tiesė x = 0 yra bazinės logaritminės funkcijos, nagrinėjamos visoje jos apibrėžimo srityje, vertikalioji asimptotė, o ne argumentas, kuriam priskiriama begalybė kaip realioji reikšmė. Šie teiginiai išplaukia sukeitus rodiklinės funkcijos argumentų ir reikšmių vaidmenis jos ribiniame elgesyje. Papildomas apribojimas, pavyzdžiui, x ≥ 1, pakeičia tikrąją funkcijos reikšmių sritį ir tai, prie kokio ribinio elgesio galima artėti jos apibrėžimo srityje.

Atvirkštinių funkcijų tapatybės išlaiko vidinės funkcijos apibrėžimo sritį

Yra dvi atvirkštinių funkcijų tapatybės su skirtingomis argumentų apibrėžimo sritimis: log_b(bᵗ) = t kiekvienam realiajam t ir b^(log_b x) = x, kai x > 0. Pirmojoje vidinė rodiklinė funkcija visada yra apibrėžta ir teigiama. Antrojoje pirmiausia turi būti apibrėžtas vidinis logaritmas; jo panaikinimas negali suteikti pradiniam reiškiniui reikšmės, kai x = 0 arba x < 0. Atvirkštinė operacija grąžina pradinę reikšmę, kai visa funkcijų kompozicija yra leistina.

Reiškinio 2^(log₂(x − 3)) pradinė apibrėžimo sritis yra x > 3, ir jo reikšmė šioje srityje yra x − 3. Paprastesnė taisyklė x − 3, taikoma visiems realiesiems argumentams, būtų išplėtimas. Panašiai log₂(2^(x²)) = x² yra apibrėžtas visiems realiesiems argumentams, nes jo vidinė rodiklinė funkcija visada yra teigiama. Apibrėžimo sritis priklauso nuo viso pradinio reiškinio, o ne vien nuo galutinio jo pavidalo panaikinus atvirkštines operacijas.

Rodiklinės funkcijos apribojimai taip pat apriboja jai atvirkštinę funkciją. Funkcijos E(t) = 2ᵗ, kai 0 ≤ t ≤ 4, reikšmių sritis yra [1, 16]; jai atvirkštinė funkcija yra log₂ x, kai 1 ≤ x ≤ 16, o jos reikšmių sritis yra [0, 4]. Bazinės logaritminės funkcijos matematinė reikšmė taške x = 32 tebėra 5, tačiau argumentas 32 nepriklauso šios apribotos atvirkštinės funkcijos apibrėžimo sričiai, o jo formaliai gaunama reikšmė 5 nepriklauso jos reikšmių sričiai. Žymėjimas f⁻¹ čia reiškia atvirkštinę funkciją, o ne atvirkštinį dydį 1/f.

Vidinė taisyklė gali pakeisti pirmavaizdžių skaičių

Funkcijos F(x) = log₂(x − 3) argumento sąlyga duoda x > 3. Kiekviena realioji reikšmė y pasiekiama, kai x = 3 + 2ʸ, o ši x reikšmė yra leistina, todėl F reikšmių sritis yra visi realieji skaičiai y, ir kiekvienas jų turi vieną pirmavaizdį. Funkcijai G(x) = 1 + log₂ x, apribotai intervalu 1/2 ≤ x ≤ 4, griežtas didėjimas duoda reikšmes 0 ir 3 intervalo galuose. Ir atvirkščiai, kiekvienas y iš intervalo [0, 3] turi leistiną pirmavaizdį x = 2^(y − 1), todėl įrodoma, kad visa reikšmių sritis yra [0, 3]. Vien pateiktos pasirinktos argumento reikšmės negali įrodyti, kad pasiekiamos ir tarpinės funkcijos reikšmės.

Funkcijai H(x) = log₂(x²) sąlyga x² > 0 duoda x ≠ 0. Kvadratas logaritmo argumente leidžia ir teigiamas, ir neigiamas x reikšmes, o H nėra injektyvi visoje šioje apibrėžimo srityje. Kiekvienam realiajam y lygtis x² = 2ʸ duoda lygiai du leistinus pirmavaizdžius x = ±2^(y/2). Nė vienas jų nėra nulis, ir abiem atvejais H(x) = y. Taigi jos reikšmių sritis yra visi realieji skaičiai y, nors jos atvirkštinė priklausomybė turi dvi šakas; apribojus sritį iki x > 0, būtų pasirinkta teigiamoji šaka.

Funkcijoje J(x) = log₂√x kvadratinė šaknis pirmiausia reikalauja x ≥ 0, o logaritmas tuomet reikalauja √x > 0, tad lieka x > 0. Vienintelis kiekvieno realiojo y pirmavaizdis yra x = 2^(2y), todėl įrodoma, kad reikšmių sritis yra visi realieji skaičiai. Funkcijoje K(x) = log₂((x − 1)/(x − 1)) logaritmo argumente esantis dalmuo pirmiausia atmeta x = 1. Esant bet kuriai kitai realiajai x reikšmei, jis lygus 1, todėl K reikšmių sritis yra {0}, o nulio pirmavaizdis yra visa pradinė apibrėžimo sritis. Suprastinus logaritmo argumente esantį dalmenį, x = 1 niekada netampa leistina reikšme.

Sandaugos ir dalmenys virsta sumomis ir skirtumais bendroje apibrėžimo srityje

Tarkime, b yra leistinas logaritmo pagrindas, U > 0 ir V > 0. Jei p = log_b U ir q = log_b V, tai U = bᵖ ir V = bᑫ. Pagal laipsnių daugybos taisyklę UV = b^(p + q), todėl vienintelis UV logaritmas yra p + q. Panašiai U/V = b^(p − q), taigi log_b(UV) = log_b U + log_b V ir log_b(U/V) = log_b U − log_b V. Kad abu atskiri logaritmai būtų apibrėžti, abu jų argumentai turi būti teigiami.

Vien teigiama sandauga ar teigiamas dalmuo negarantuoja, kad atskiri logaritmai yra apibrėžti. Pavyzdžiui, log₂((−2)(−4)) = log₂ 8 = 3 yra apibrėžtas, o log₂(−2) + log₂(−4) nėra apibrėžtas realiųjų skaičių srityje. Taip pat log₂((−2)/(−1)) = 1 yra apibrėžtas, tačiau atitinkamas dviejų realiųjų logaritmų skirtumas neapibrėžtas. Išskaidant logaritmą ir neatsižvelgiant į atskiras argumentų teigiamumo sąlygas, galima prarasti ištisą pradinės apibrėžimo srities dalį.

Sujungdami apibrėžtų logaritmų sumą į vieną logaritmą, išlaikykite pradinę sumos apibrėžimo sritį, net jei vienas sandaugos logaritmas apibrėžtas ir kitoms argumentų reikšmėms. Analogiškos taisyklės argumento viduje esančiai sumai nėra: log₂(1 + 1) = 1, o log₂ 1 + log₂ 1 = 0. Sandaugos logaritmo taisyklė taikoma argumentų daugybai, o ne jų sudėčiai. Atimtis argumento viduje taip pat neleidžia atimti atitinkamų logaritmų.

Laipsnio logaritmo taisyklei reikia teigiamo laipsnio pagrindo

Kai U > 0, r yra bet kuris realusis skaičius, o b – leistinas logaritmo pagrindas, pagal įprastą laipsnio su teigiamu pagrindu apibrėžimą gauname log_b(Uʳ) = r log_b U. Norėdami tuo įsitikinti, pažymėkime p = log_b U, taigi U = bᵖ. Iš laipsnių su teigiamu pagrindu tapatybės Uʳ = (bᵖ)ʳ = b^(pr) gauname logaritmą pr. Tai galioja teigiamoms, neigiamoms, nulinėms ir iracionaliosioms r reikšmėms, kai U išlieka griežtai teigiamas; Uʳ taip pat išlieka teigiamas, todėl išorinis logaritmas yra apibrėžtas.

Neigiamo skaičiaus laipsnis su sveikuoju arba racionaliuoju rodikliu gali būti apibrėžtas pagal ankstesnėje pamokoje taikytas realiųjų šaknų taisykles, tačiau dėl to to neigiamo skaičiaus log_b netampa apibrėžtas. Kai x ≠ 0, teisinga visoje apibrėžimo srityje galiojanti tapatybė yra log_b(x²) = 2 log_b|x|, nes |x| > 0 ir x² = |x|². Reiškinys 2 log_b x galioja tik tada, kai x > 0. Kai x = −2, log₂(x²) = 2, o 2 log₂ x yra neapibrėžtas. Modulis čia nurodo reikiamą teigiamą dydį; jis neapibrėžia nulio logaritmo.

Logaritmui su šaknimi argumente galioja log_b√x = (1/2) log_b x, kai x > 0. Nors √0 yra apibrėžta, jos logaritmas neapibrėžtas. Atvirkštinio skaičiaus logaritmo atveju, pavyzdžiui, log_b(U⁻¹) = −log_b U, taip pat išlieka sąlyga U > 0. Sudėtingesniuose reiškiniuose išsaugokite ankstesnius vardiklio, šaknies ir konteksto apribojimus. Formulė, išplečianti supaprastintą reiškinį į papildomas argumentų reikšmes, aprašo kitą funkciją; teisinga lygybė bendroje apibrėžimo srityje tos srities nepanaikina.

Pakeitus pagrindą, keičiasi laipsnio rodiklio vienetas

Tarkime, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1 ir x > 0. Pažymėkime y = log_b x, taigi x = bʸ. Taikydami laipsnio logaritmo taisyklę teigiamam laipsnio pagrindui ir logaritmo pagrindui c, gauname log_c x = y log_c b. Vardiklis log_c b nelygus nuliui: logaritmas su leistinu pagrindu lygus nuliui tik tada, kai jo argumentas yra 1, o b ≠ 1. Todėl log_b x = (log_c x)/(log_c b). Skaitiklyje logaritmuojamas argumentas, o vardiklyje – pradinis pagrindas.

Pavyzdžiui, log₄ 8 = (log₂ 8)/(log₂ 4) = 3/2. Kai pagrindas mažesnis už vienetą, log_(1/4) 8 = 3/(−2) = −3/2. Pasirinkę b = 1/2 ir c = 2, gauname log_(1/2) x = −log₂ x, kai x > 0. Minuso ženklas paaiškina, kodėl mažėjančios ir didėjančios pagrindinės logaritminės funkcijos, kurių pagrindai yra vienas kitam atvirkštiniai skaičiai, įgyja priešingas reikšmes; jis nekeičia jų bendros apibrėžimo srities, kurioje argumentas yra teigiamas.

Dešimtainis logaritmas yra logaritmas, kurio pagrindas 10, ir jis dažnai žymimas log x; kitoje dalykinėje srityje ar programinėje priemonėje log be nurodyto pagrindo gali reikšti ką kita, todėl šioje pamokoje pagrindai nurodomi. Natūralusis logaritmas žymimas ln x ir reiškia log_e x, kur e yra įprasta didesnė už vienetą konstanta, naudojama natūraliosiose rodiklinėse funkcijose. Jos konstravimas ir ypatingas vaidmuo nagrinėjant tolydžius kitimo greičius bei diferencialinį ir integralinį skaičiavimą bus aptarti vėliau. Tikslioms tapatybėms log_b x = ln x/ln b ir log_b x = log₁₀ x/log₁₀ b taikomos tos pačios apibrėžimo sąlygos. Skaičiuotuvo pateikta dešimtainė reikšmė yra tikslaus santykio artinys; pagal suapvalintą reikšmę negalima spręsti apie tikslią apibrėžimo sritį ar lygybę.

Logaritminė santykių skalė daugiklį paverčia pridedamu žingsniu

Matematinę skalę galima apibrėžti kaip S(A) = log_b(A/Aref), kai A > 0, o fiksuotas Aref > 0 matuojamas tais pačiais vienetais. Santykis A/Aref yra bedimensis; logaritmas nurodo laipsnio rodiklį, kuriuo pakėlus pagrindą gaunamas šis santykis. Atskaitos vertė duoda S(Aref) = 0. Tokia skalė nebūtinai teigia naują fizikos dėsnį: tai apibrėžtas būdas teigiamiems dydžiams vaizduoti nurodytos atskaitos vertės atžvilgiu.

Dviem leistiniems dydžiams A₁ ir A₂ dalmens logaritmo taisyklė duoda S(A₂) − S(A₁) = log_b(A₂/A₁). Padauginus dydį iš teigiamo daugiklio k, prie skalės vertės pridedamas log_b k, kai abu pradiniai dydžiai yra leistini. Kai pagrindas yra 2, padvigubinus pridedamas vienetas, o sumažinus perpus vienetas atimamas. Tačiau padidinus 20%, pridedama tiksli vertė log₂(6/5), o ne 0.2; procentinis pokytis keičia dydį dauginant, o ne pridedant skalės žingsnį.

Keičiant atskaitos vertę ar matavimo vienetus reikia atidumo. Perskaičiavus ir A, ir Aref iš litrų į mililitrus, santykis nepasikeičia, todėl nepasikeičia ir S. Pakeitus tik atskaitos vertę, pasikeičia skalės nulis, o skalės vertės pasislenka pridėjus pastovų dydį. Nustatydami tikrąją reikšmių sritį ar pirmavaizdį, išlaikykite leistinų dydžių apribojimus. Nusistovėjusios mokslinės logaritminės skalės gali turėti savus koeficientus ir susitarimus; čia apibrėžta išgalvota skalė nesuteikia pagrindo teiginiams apie žemės drebėjimų energiją, klausą, chemiją ar matuojamus mechanizmus.

Pasirinktą argumentą ir siūlomą reikšmę tikrinkite atskirai

Tyrinėjimo įrankis naudoja septynias pradines taisykles iš apibrėžimo sričių ir pirmavaizdžių lentelės. Atskirai pasirinkite argumentą ir siūlomą reikšmę. Tikrinant argumentą pirmiausia apskaičiuojamas vidinis reiškinys ir patikrinama logaritmo argumento teigiamumo sąlyga. Tada pateikiamas žinomas tikslus logaritmas arba tikslus logaritmu užrašytas dydis kartu su jį apibrėžiančia lygybe su laipsniu. Neapibrėžtas logaritmo argumentas, dėl vardiklio neleistinas funkcijos argumentas ir konteksto nulemtas apribojimas yra skirtingos priežastys, kurios turi likti aiškiai matomos.

Tikrinant reikšmę naudojama visa reikšmių sritis ir visi leistini pirmavaizdžiai, o ne klausiama, ar šiuo metu pasirinktas argumentas duoda tą reikšmę. Taisyklė su argumento kvadratu kiekvienai realiajai reikšmei turi du pirmavaizdžius; taisyklės su susiprastinančiu vidiniu reiškiniu nulinės reikšmės pirmavaizdis yra visa pradinė apibrėžimo sritis, o kitoms reikšmėms pirmavaizdžių nėra. Apribotos taisyklės pradinis reiškinys yra apibrėžtas ir už jos kontekstinio intervalo ribų, tačiau ten kontekstinės prognozės nėra. Tikslūs pirmavaizdžiai, išreikšti šaknimis ar laipsniais su teigiamu pagrindu, gali egzistuoti net ir tada, kai jų nėra tarp valdymo mygtukų parinkčių.

Šiuos rezultatus tikrinkite remdamiesi logaritmo apibrėžimu ir jo taisyklėmis, paisydami jų taikymo sąlygų ir išlaikydami kiekvieną pradinę apibrėžimo sritį. Kitoje pamokoje bus plėtojami rodiklinių ir logaritminių lygčių sprendimo metodai, įskaitant galimų sprendinių tikrinimą pagal pradines išraiškas. Čia pagrindą sudaro vienareikšmė atvirkštinės operacijos prasmė, samprotavimas apie visą reikšmių sritį ir pirmavaizdžius bei lygybė tik pagrįstoje bendroje apibrėžimo srityje. Suprastinimas, apytikslis įvertinimas ar grafike pavaizduota taškų imtis negali suteikti vertės, kuri pradiniame reiškinyje buvo neapibrėžta.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Apskaičiuokite tikslias log₅(1/125), log_(1/5)(25), log₄(2) ir log₉(27) reikšmes. Nurodykite, ar log₂(−1), log₂(0), log₁(1) ir log_(−2)(8) yra apibrėžti realiųjų skaičių aibėje. Ar neigiama logaritmo reikšmė reiškia, kad argumentas neleistinas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Keturios reikšmės yra −3, −2, 1/2 ir 3/2. Paskutiniai keturi reiškiniai čia nėra apibrėžti kaip įprasti realieji logaritmai. Neigiamą logaritmo reikšmę gali atitikti leistinas teigiamas argumentas.

   Naudokite lygybes 5⁻³ = 1/125, (1/5)⁻² = 25, 4^(1/2) = 2 ir 9^(3/2) = 27. Rodiklinė funkcija su teigiamu pagrindu niekada neduoda neigiamo argumento ar nulio. Pagrindas 1 neleidžia vienareikšmiškai nustatyti laipsnio rodiklio pagal laipsnio reikšmę, o neigiamas pagrindas neapibrėžia įprastos rodiklinės funkcijos visoje realiųjų skaičių aibėje. Pirmuose dviejuose leistinuose pavyzdžiuose neigiami yra laipsnių rodikliai, o ne argumentai.

2. Nurodykite pradines funkcijų P(t) = log₂(2ᵗ), Q(x) = 2^(log₂ x), H(x) = log₂(x²) ir J(x) = 2 log₂ x apibrėžimo sritis realiųjų skaičių aibėje ir supaprastintas formules. Palyginkite H ir J, kai x = −4, ir paaiškinkite, ar jų iš pažiūros susijusios formulės apibrėžia tą pačią funkciją visoje jos apibrėžimo srityje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P(t) = t visiems realiesiems t. Q(x) = x, kai x > 0. H(x) = 2 log₂|x|, kai x ≠ 0, o J(x) = 2 log₂ x, kai x > 0. H(−4) = 4, o J(−4) neapibrėžta. H ir J sutampa, kai x > 0, tačiau jų pradinės apibrėžimo sritys skiriasi.

   Vidinė rodiklinė išraiška funkcijoje P visada yra teigiama, o vidinis logaritmas funkcijoje Q pirmiausia atmeta neteigiamas x reikšmes. Kvadratas funkcijoje H yra teigiamas kiekvienam nenuliniam x, įskaitant neigiamus. Argumento x modulis |x| leidžia užrašyti apibrėžtą atskirą logaritmą. Funkcijoje J logaritmuojamas pats x, todėl atmetamos visos neigiamos argumento reikšmės. Nei atvirkštinių funkcijų panaikinimas, nei perrašymas pagal laipsnio logaritmo taisyklę neišplečia pradinės apibrėžimo srities.

3. Funkcijai F(x) = log_(1/2)(5 − x), apribotai sritimi 1 ≤ x < 5, įrodykite, kokia yra visa reikšmių sritis, raskite F(3) ir nurodykite vienintelį leistiną kiekvienos reikšmių srities reikšmės pirmavaizdį. Paaiškinkite, kodėl reikšmė −3 neįgyjama.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visa reikšmių sritis yra [−2, ∞), F(3) = −1, o kiekviena y reikšmė, tenkinanti y ≥ −2, turi vienintelį leistiną pirmavaizdį x = 5 − 2^(−y). Reikšmei −3 reikėtų x = −3, o ši reikšmė nepriklauso nurodytai apibrėžimo sričiai.

   Logaritmo argumentas įgyja visas intervalo (0, 4] reikšmes, todėl jis visada teigiamas. Mažėjantis logaritmas, kurio pagrindas mažesnis už vienetą, ties didžiausiu argumentu 4 įgyja reikšmę −2, o argumentui artėjant prie nulio iš teigiamos pusės neribotai didėja. Išreiškę logaritmo argumentą, gauname 5 − x = (1/2)ʸ = 2^(−y). Kai y ≥ −2, šis teigiamas argumentas yra ne didesnis už 4, todėl x priklauso intervalui [1, 5); taip gaunama nurodyta funkcijos reikšmė ir įrodoma visa nurodyta reikšmių sritis. Kai x = 3, argumentas yra 2 = (1/2)⁻¹. Kai y = −3, argumentas būtų 8, o x = −3.

4. Palyginkite P(x) = log₂((x + 2)(x − 2)) ir Q(x) = log₂(x + 2) + log₂(x − 2). Raskite kiekvienos funkcijos pradinę realiąją apibrėžimo sritį, patikrinkite x = −3 ir pateikite išskaidymą į logaritmus, išsaugantį visą pradinę P apibrėžimo sritį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P apibrėžimo sritis yra x < −2 arba x > 2; Q apibrėžimo sritis yra x > 2. Kai x = −3, P = log₂ 5, o Q neapibrėžta. Visoje P apibrėžimo srityje P(x) = log₂|x + 2| + log₂|x − 2|.

   Sandauga funkcijoje P yra x² − 4, teigiama už intervalo [−2, 2] ribų. Funkcijoje Q abu atskiri argumentai turi būti teigiami, o šių sąlygų sankirta yra x > 2. Kai x = −3, abu daugikliai yra −1 ir −5, o jų teigiama sandauga yra 5. Abiejose leistinose apibrėžimo srities dalyse daugikliai yra vienodo ženklo, todėl |x + 2||x − 2| = (x + 2)(x − 2), o abu moduliai yra teigiami. Tuomet sandaugos logaritmo taisyklė, taikoma laikantis jos sąlygų, duoda nurodytą išskaidymą neprarandant apibrėžimo srities dalies su neigiamomis x reikšmėmis.

5. Funkcijai T(x, z) = log₂(√x/z²) nustatykite pradinę realiąją apibrėžimo sritį, išskaidykite į atskirus logaritmus neprarasdami leistinų neigiamų z reikšmių ir apskaičiuokite T(64, −2). Ar tai, kad √0 yra apibrėžta, leidžia čia imti x = 0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis yra x > 0 ir z ≠ 0. Šioje srityje T(x, z) = (1/2) log₂ x − 2 log₂|z|. T(64, −2) = 1. Reikšmė x = 0 ir toliau neleistina.

   Kad kvadratinė šaknis būtų apibrėžta, reikia x ≥ 0, o kad būtų apibrėžtas dalmuo, reikia z ≠ 0; logaritmui būtina, kad šis dalmuo būtų teigiamas, todėl x iš tikrųjų turi būti teigiamas. Šioje apibrėžimo srityje ir √x, ir z² yra teigiami, todėl galima taikyti dalmens logaritmo taisyklę. Pagal laipsnio logaritmo taisyklę šaknies logaritmas lygus pusei x logaritmo, o iš z² = |z|² gauname dvigubą teigiamo modulio logaritmą. Taške (64, −2) gauname √64/z² = 8/4 = 2. Kai x lygus nuliui, dalmuo būtų nulis, kurio realusis logaritmas neapibrėžtas.

6. Naudodami pagrindą 2, tiksliai apskaičiuokite log_(1/4)(8) ir log₄(1/8). Išreikškite log₃(5) natūraliaisiais logaritmais, nurodykite visas logaritmo pagrindo keitimo formulei būtinas sąlygas ir paaiškinkite, kodėl vardiklis nelygus nuliui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abi tikslios reikšmės yra −3/2. Tiksli išraiška log₃(5) yra ln 5/ln 3. Apskritai formulėje log_b x = log_c x/log_c b būtinos sąlygos x > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0 ir c ≠ 1; jos vardiklis nelygus nuliui, nes b ≠ 1.

   Pirmasis santykis yra log₂ 8/log₂(1/4) = 3/(−2); antrasis yra log₂(1/8)/log₂ 4 = (−3)/2. Skaitiklio ir vardiklio logaritmų pagrindas turi būti tas pats leistinas c. Pradinis teigiamas pagrindas b pats yra leistinas log_c argumentas; jo logaritmas lygus nuliui tik tada, kai b = 1, o formulės sąlygos šį atvejį atmeta. Natūraliojo logaritmo pagrindas yra leistinas standartinis pagrindas e, o tiksliam santykiui nereikia suapvalintos dešimtainės išraiškos.

7. Išgalvota skalė apibrėžiama formule S(A) = log₂(A/50), kur A yra skaitinė kiekio litrais reikšmė, fiksuotas atskaitos kiekis yra 50 litrų, o leistini kiekiai yra 25 ≤ A ≤ 200 litrų. Įrodykite, kokia yra visa jos reikšmių sritis, raskite skalės reikšmės −1/2 pirmavaizdį ir patikrinkite reikšmę 3. Pradinis 100 litrų kiekis pagal sąlygą padidinamas 20 %, o paskui sumažinamas 20 %; taip gaunama iš pradžių 120, o paskui 96 litrų. Koks yra tikslus bendras S pokytis ir ar jis lygus nuliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visa reikšmių sritis yra [−1, 2]. Reikšmė −1/2 turi vienintelį leistiną pirmavaizdį 50/√2 = 25√2 litrų. Reikšmei 3 reikėtų 400 litrų, todėl ji neleistina. Bendras skalės pokytis, kiekiui pasikeitus nuo 100 iki 96 litrų, yra log₂(24/25) – griežtai neigiama reikšmė, o ne nulis.

   Argumento intervalas yra [1/2, 4], o kiekviena y reikšmė iš [−1, 2] turi leistiną pirmavaizdį A = 50·2ʸ litrų; dėl griežto didėjimo kitų reikšmių nėra. Kadangi 1 < √2 < 2, kiekis 25√2 yra tarp 25 ir 50 litrų. Dviejų procentinių pokyčių daugiklių sandauga yra (6/5)(4/5) = 24/25, o abu tarpiniai kiekiai yra leistini. Pagal dalmens logaritmo taisyklę S(96) − S(100) = log₂(96/100) = log₂(24/25). Šio logaritmo teigiamas argumentas yra mažesnis už 1, todėl logaritmas pagrindu 2 yra neigiamas. Priešingi procentiniai pokyčiai vienas kito nepanaikina.

Ką verta įsidėmėti

• Kai b > 0, b ≠ 1 ir x > 0, log_b x yra vienintelis realusis laipsnio rodiklis y, tenkinantis bʸ = x. Tiksli logaritmu užrašyta reikšmė gali būti išsamus atsakymas, net jei jos negalima išreikšti įprasta trupmena.
• Standartinio realiojo logaritmo argumentai yra teigiami, o jo reikšmių sritis apima visus realiuosius skaičius. Nuliniai ar neigiami argumentai čia neleistini; neigiamos logaritmo reikšmės gali būti leistinos, taip pat leistini pagrindai tarp nulio ir vieneto.
• Pagrindinė logaritminė funkcija didėja, kai b > 1, ir mažėja, kai 0 < b < 1. Visą reikšmių sritį įrodykite patikrindami reikšmių apribojimus ir pateikdami kiekvienos leistinos reikšmės pirmavaizdį, įskaitant uždavinio kontekste nustatytus intervalo galus.
• Tapatybių log_b(bᵗ) = t ir b^(log_b x) = x pradinės apibrėžimo sritys skiriasi. Vidinėms šaknims, vardikliams ir uždavinio kontekstui taikomi apribojimai lieka galioti ir po suprastinimo ar supaprastinimo.
• Sandaugos ir dalmens logaritmų taisyklėms reikia atskirų teigiamų argumentų bendroje pradinėje apibrėžimo srityje. Teigiama neigiamų skaičių sandauga ar dalmuo nereiškia, kad egzistuoja atskiri jų realieji logaritmai, o argumento viduje logaritmo sudėties taisyklė negalioja.
• Kai U > 0, o r yra realusis skaičius, log_b(Uʳ) = r log_b U. Kai x ≠ 0, log_b(x²) = 2 log_b|x|; pakeitus šią išraišką į 2 log_b x, būtų prarasta šaka, atitinkanti neigiamas x reikšmes. Pagrindo keitimui reikia dviejų leistinų pagrindų ir nelygaus nuliui pradinio pagrindo logaritmo.
• Pagal sąlygą apibrėžta logaritminė santykio skalė naudoja teigiamus bedimensius argumentus ir fiksuotą teigiamą atskaitos dydį. Vienodi dauginamieji daugikliai tampa vienodais pridedamais skalės žingsniais tik tada, kai abi lyginamos pradinės reikšmės yra leistinos.