GLOBAL KNOWLEDGE ARK

Matematika · Straipsnis

Eksponentinis augimas ir mažėjimas

Aprašyti pasikartojantį dauginamąjį pokytį, kai daugiklis yra teigiamas, o periodas aiškiai nurodytas. Pristatyti standartinę tolydžiąją realiąją eksponentinę funkciją, atskirti diskrečiąsias ir tolydžiąsias apibrėžimo bei reikšmių sritis, interpretuoti nepasiekiamus ribinius lygius ir poslinkius, apskaičiuoti nurodytas sudėtinių palūkanų normas, nepaverčiant matematinio modelio empirine prognoze.

Naudingas ankstesnis straipsnis: Laipsnių savybės ir laipsninės funkcijos

Grįžti į matematiką

Perskaitę galėsite

  • Atskirti pastovų daugiklį nuo pastovaus pridedamo skirtumo, procentinius pokyčius išreikšti teigiamais daugikliais ir nuosekliai derinti pradinius kiekius, periodus bei laiko vienetus.
  • Remiantis standartinėmis realiosios eksponentinės funkcijos savybėmis pagrįsti monotoniškumą, visas kontekstą atitinkančias reikšmių sritis ir vienintelius leistinus pirmavaizdžius, atskiriant diskrečiuosius etapus, tolydųjį laiką ir matematinius tęsinius.
  • Interpretuoti mažėjimą su poslinkiu ir nepasiekiamus ribinius lygius, tiksliai apskaičiuoti nominaliųjų ir efektyviųjų sudėtinių palūkanų normų pavyzdžius pagal nurodytas taisykles ir paaiškinti aprėžto arba pagal empirinius duomenis priderinto modelio ribotumą.
01

Tas pats daugiklis nėra tas pats pridedamas kiekis

Tarkime, po kiekvieno etapo kiekis dauginamas iš 3/2. Pradėjus nuo 20 litrų, kiekiai atskirais etapais yra 20, 30, 45 ir 135/2 litrų. Kiekvienas naujas kiekis yra pusantro karto didesnis už ankstesnį. Paeiliui pridedami kiekiai yra 10, 15 ir 45/2 litrų, taigi jie nėra pastovūs. Jei vietoj to kiekviename etape pridedama po 10 litrų, kiekiai yra 20, 30, 40 ir 50. Abiejų būdų rezultatai sutampa pradžioje ir po vieno etapo, o vėliau skiriasi.

Kai nurodyta taisyklė numato kartotinį dauginimą iš to paties daugiklio, A(n + 1) = bA(n), todėl po n etapų A(n) = A₀b^n. Skirtumas yra A(n + 1) − A(n) = (b − 1)A(n): jis priklauso nuo esamo kiekio. Kartotinio pridėjimo taisyklė išreiškiama L(n) = A₀ + dn, o skirtumas d yra pastovus. Lygindami šias savybes naudokite vienodus etapų žingsnius; nevienodiems laiko tarpams nereikia nei to paties daugiklio, nei to paties skirtumo.

Keli modelį atitinkantys stebėjimai gali leisti numanyti vieną ar kitą funkcijų šeimą, bet negali įrodyti, kad mechanizmas nekinta. Kai uždavinio sąlygoje nurodytas tas pats daugiklis kiekviename etape, šis teiginys pagrindžia kartotinį dauginimą visoje nurodytoje apibrėžimo srityje. Kai reikšmės yra užregistruoti matavimai, laikykite funkciją galimu modeliu ir tikrinkite jos sąlygas bei vėlesnius duomenis. Eksponentinis nereiškia tiesiog didelis ar spartus: mažas pastovus procentinis padidėjimas taip pat yra dauginamasis pokytis.

02

Teigiamas daugiklis ir jo periodas apibrėžia taisyklę

Teigiamą kiekį užrašykite A(t) = A₀b^(t/τ), kur A₀ > 0 yra pradinis kiekis, b > 0 yra vieno periodo daugiklis, o τ > 0 yra to periodo trukmė. Rodiklis t/τ yra bedimensis, nes t ir τ išreiškiami tuo pačiu laiko vienetu. Jei apibrėžimo sričiai priklauso t = 0, tuomet A(0) = A₀. Jei apibrėžimo sritis apima tik vėlesnius laikus, A₀ vis tiek lieka tęsinio parametru, atitinkančiu nulinį laiką, o ne šioje apribotoje srityje pasiektu pradiniu stebėjimu.

Per visą apibrėžimo srityje leistiną periodą A(t + τ) = bA(t). Daugiklis b > 1 lemia teigiamo kiekio augimą; 0 < b < 1 lemia mažėjimą; kai b = 1, kiekis yra pastovus. Jei per periodą kiekis padidėja dalimi r, tuomet b = 1 + r. Jei per periodą kiekis sumažėja dalimi d, tuomet b = 1 − d; mažėjimui su teigiamu daugikliu turi galioti 0 < d < 1. Taigi 8 % padidėjimas reiškia daugiklį 1.08, o 8 % sumažėjimas – daugiklį 0.92.

Išimtinius atvejus nagrinėkite atskirai. Kai A₀ = 0 ir b > 0, gaunama nulinė taisyklė, o ne teigiamo kiekio augimas ar mažėjimas. Neigiamas A₀ duoda neigiamas reikšmes; didėjant jų moduliams, pačios reikšmės gali mažėti, todėl įprastus kiekio pokyčio pavadinimus reikia vartoti atsargiai. Neigiamas daugiklis gali apibrėžti kintamo ženklo diskrečiąją seką, bet ne eksponentinę funkciją su teigiamu pagrindu, apibrėžtą realiosioms laiko reikšmėms. Etapą, per kurį pašalinama 100% kiekio, galima aprašyti atskira rekurentine priklausomybe; nulinis daugiklis neįtraukiamas į čia naudojamą standartinę eksponentinę funkciją su teigiamu pagrindu.

Daugikliai ir santykiniai pokyčiai taikomi vienam nurodytam laikotarpiui
Nurodytas pokytisDaugiklis bReikšmė teigiamam kiekiui
Padidėjimas 25% per laikotarpį5/4Kiekvienas naujas kiekis sudaro 125% ankstesnio kiekio
Sumažėjimas 25% per laikotarpį3/4Kiekviename naujame kiekyje išlieka 75% ankstesnio kiekio
Pokyčio nėra1Kiekis išlieka pastovus
Padvigubėja per periodą2Kiekvieną periodą padauginama iš dviejų
Sumažėja perpus per periodą1/2Kiekvieną periodą padauginama iš vienos antrosios
03

Tolydžiajam laikui taikomas standartinis racionaliųjų laipsnių tęsinys

Ankstesnėje pamokoje teigiamų pagrindų racionalieji laipsniai buvo apibrėžti naudojant šaknis. Tolydžiojo laiko modeliui taip pat reikia reikšmių su iracionaliaisiais rodikliais. Dabar naudojame standartinę rodiklinę funkciją b^u, kai b > 0: vienintelį tolydųjį tų racionaliųjų laipsnių tęsinį visiems realiesiems u. Jos reikšmės, kai u yra iracionalusis, sutampa su ribinėmis reikšmėmis, gaunamomis racionaliesiems rodikliams artėjant prie u. Taip įvedama rodiklinė funkcija su realiaisiais rodikliais; vien kartotinė daugyba sveikąjį skaičių kartų neaprašo kiekvieno tarpinio laiko momento.

Standartinis tęsinys yra teigiamas ir tolydus kiekvienam realiajam u ir tenkina b^(u + v) = b^u b^v ir b^(−u) = 1/b^u. Jei b > 1, jis yra griežtai didėjantis, artėja prie nulio, kai u neribotai mažėja, ir neribotai didėja, kai u neribotai didėja. Jei 0 < b < 1, jis yra griežtai mažėjantis, neribotai didėja, kai argumentas artėja prie neigiamos begalybės, ir artėja prie nulio, kai argumentas artėja prie teigiamos begalybės. Kai b = 1, jis visur lygus 1. Šios savybės galioja visiems realiesiems rodikliams, ne tik pasirinktoms racionaliosioms kontrolinėms reikšmėms.

Todėl, kai A₀ > 0, τ > 0 ir b ≠ 1, visoje realiojoje laiko ašyje apibrėžtas tęsinys A₀b^(t/τ) yra tolydus, griežtai monotoniškas ir visada teigiamas. Jo reikšmių sritis apima visus teigiamus realiuosius kiekius: bet kuri pasirinkta teigiama reikšmė yra tarp dviejų baigtinių funkcijos reikšmių, nes viename gale funkcija artėja prie nulio, o kitame neribotai didėja. Tolydumas užtikrina, kad yra tarpinis laiko momentas, kuriuo pasiekiama pasirinkta reikšmė, o griežtas monotoniškumas – kad toks momentas yra vienintelis. Fiziniame modelyje praėjęs laikas paprastai apribojamas sąlyga t ≥ 0 arba baigtiniu intervalu; prieš nurodant tikrąją modelio reikšmių sritį, būtina pritaikyti šiuos apribojimus.

04

Pakeitus laikotarpį, pasikeičia daugiklis

Jei kiekis kas dvi valandas dauginamas iš 9/4, nurodytas tolydus eksponentinis modelis yra A(t) = A₀(9/4)^(t/2), kur t yra skaitinė laiko vertė valandomis. Atitinkamas vienos valandos daugiklis yra teigiama kvadratinė šaknis 3/2, todėl ta pati taisyklė užrašoma A₀(3/2)^t. Tai nėra daugiklis 9/8, gaunamas dviejų valandų daugiklį padalijus iš dviejų. Vienas po kito einančių laikotarpių daugikliai dauginami; vienodoms laikotarpio dalims naudojama atitinkama teigiama šaknis.

Nurodyta dvigubėjimo trukmė D tolydžiame modelyje duoda A(t) = A₀2^(t/D), o nurodyta pusėjimo trukmė H duoda A(t) = A₀(1/2)^(t/H). Po trijų pusėjimo trukmių lieka A₀/8, nepriklausomai nuo pradinio teigiamo kiekio. Šios formulės išreiškia pateiktą dvigubėjimo arba pusėjimo trukmę; čia nereikia logaritmu nustatyti nežinomos trukmės. Diskrečiam procesui, kuris kinta tik pasibaigus etapams, prognozės etapo dalims savaime neatsiranda.

Pakeitus laiko vienetą, santykis t/τ lieka nepakitęs. Jei tame pačiame modelyje vietoj laiko t valandomis naudojamas laikas u minutėmis, tuomet t = u/60, o dviejų valandų laikotarpis yra 120 minučių: A(u) = A₀(9/4)^(u/120). Laikotarpio daugiklis nesikeičia, bet pasikeičia laipsnio rodiklio vardiklis. Vieno viso laikotarpio procentinis pokytis yra santykinis to laikotarpio pokytis; tai nėra momentinis kitimo greitis, kurį būtų galima dalyti iš trukmės nepakeitus modelyje taikomo susitarimo.

05

Nuoseklių procentinių pokyčių daugikliai dauginami

Padidėjimas 20%, po kurio eina sumažėjimas 20%, duoda daugiklį (6/5)(4/5) = 24/25. Pradėjus nuo 100 vienetų, gaunamos reikšmės 120 ir 96, todėl antrasis pokytis nepanaikina pirmojo. Kiekvienas procentinis pokytis taikomas esamam kiekiui, o ne kaskart pradiniam kiekiui. Kai daugikliai keičiasi nuo vieno etapo iki kito, dauginkite nurodytus daugiklius; be papildomos prielaidos neteigkite, kad kiekviename etape galioja tas pats nekintantis procentinis pokytis.

Norėdami panaikinti daugiklio b > 0 poveikį, naudokite jam atvirkštinį skaičių 1/b. Padidėjimo 25% daugiklis yra 5/4, o jo poveikį panaikina daugiklis 4/5, atitinkantis sumažėjimą 20%. Ir atvirkščiai, norint atkurti pradinį kiekį po sumažėjimo 20%, reikia padidėjimo 25%. Jei kartojasi tas pats dviejų etapų ciklas, jo daugiklių sandaugą galima laikyti vienu pastoviu ciklo daugikliu, tačiau etapas ir visas ciklas yra skirtingi laikotarpiai.

Algebriniame modelio pratęsime neigiamoms praėjusio laiko reikšmėms taip pat naudojami atvirkštiniai daugikliai. Pavyzdžiui, A(−τ) = A₀/b, kai toks pratęsimas apibrėžtas. Šis skaičiavimas nenustato tikrojo kiekio praeityje, jei modelio kontekstas prasideda ties nuliniu laiko momentu. Taip pat laikotarpio, kuriam nurodytos sąlygos netaikomos, daugiklis yra matematinis pasiūlymas, kurį reikia pagrįsti; laipsnių dėsnis negarantuoja, kad ateityje procesui ir toliau galios tas daugiklis.

06

Diskrečių etapų ir tolydžiojo laiko reikšmių aibės skiriasi

Teigiamame tolydaus augimo modelyje, kai t ≥ 0, pradinis kiekis pasiekiamas, o reikšmės didėja neribotai, todėl reikšmių sritis yra [A₀, ∞). Teigiamo tolydaus mažėjimo atveju toje pačioje apibrėžimo srityje kiekis mažėja artėdamas prie nulio, bet jo nepasiekia, todėl reikšmių sritis yra (0, A₀]. Tai ištisi intervalai, nes dėl tolydumo pasiekiama kiekviena tarpinė reikšmė, o atitinkama elgsena apibrėžimo srities galuose leidžia bet kurią pasirinktą intervalo reikšmę aprėpti iš abiejų pusių. Nė viename iš šių modelių su teigiamu laipsnio pagrindu nulis nėra reikšmė, gaunama per baigtinį laiką.

Aprėžtame tolydžiojo laiko intervale reikšmių srities galai yra baigtiniai. Kai 0 ≤ t ≤ T ir T > 0, augimo reikšmių sritis yra [A₀, A(T)], o mažėjimo – [A(T), A₀]. Jei galutinis laiko momentas T neįtrauktas, jo reikšmė taip pat neįtraukta: atitinkamos reikšmių sritys yra [A₀, A(T)) ir (A(T), A₀]. Griežtas monotoniškumas lemia reikšmių tvarką ir neleidžia neįtrauktos galinės reikšmės pasiekti kitu laiko momentu; tolydumas užtikrina, kad pasiekiama kiekviena reikšmė tarp galinių reikšmių, kurios įtraukiamos arba prie kurių tik artėjama.

Etapų taisyklė leidžia tik sveikąsias n reikšmes. Kai n = 0, 1, …, N, visa jos reikšmių sritis yra baigtinė aibė {A₀b^n : n = 0, 1, …, N}, o ne visas intervalas tarp pirmojo ir paskutinio kiekio. Kai leidžiami visi neneigiami sveikieji etapų numeriai, jos reikšmių sritis yra atitinkama suskaičiuojama aibė. Augimas gali būti neaprėžtas, o mažėjant kiekis per šiuos etapus gali artėti prie nulio, nors daugelis tarpinių reikšmių taip ir nepasiekiamos. Sujungus taškus brėžinyje, suskaičiuojama reikšmių sritis netampa intervalu.

Pastoviojo modelio reikšmių sritį bet kurioje nurodytoje netuščioje apibrėžimo srityje sudaro vienintelis pastovus kiekis, o kiekviena argumento reikšmė iš apibrėžimo srities yra šio kiekio pirmavaizdis. Išraiškų su ženklu ar poslinkiu atveju funkcijos reikšmių tvarką nustatykite atskirai. Lentelėje pateikti teiginiai apie augimo ir mažėjimo intervalus remiasi prielaidomis, kad A₀ > 0, periodas teigiamas ir naudojamas nurodytas teigiamas daugiklis; pakeitus kontekstą ar koeficientą, atsakymas gali pasikeisti.

Visos reikšmių sritys pagal kontekstą, kai pradinis kiekis ir periodas teigiami
Taisyklė ir apibrėžimo sritisVisa reikšmių sritisIntervalo galo aiškinimas
Augimas b > 1, t ≥ 0[A₀, ∞)Pradinis kiekis pasiekiamas; viršutinio intervalo galo nėra
Mažėjimas 0 < b < 1, t ≥ 0(0, A₀]Pradinis kiekis pasiekiamas; nulis nepasiekiamas
Augimas, 0 ≤ t ≤ T[A₀, A(T)]Įtraukti abu leistini kraštiniai laiko momentai
Mažėjimas, 0 ≤ t < T(A(T), A₀]Galutinio laiko momento reikšmė neįtraukta
Etapai, kurių numeriai yra sveikieji skaičiai: n = 0, …, N{A₀b^n : n = 0, …, N}Tik nurodytų etapų reikšmės
b = 1, kai apibrėžimo sritis netuščia{A₀}Kiekvienai apibrėžimo srities argumento reikšmei gaunamas tas pats kiekis
07

Funkcijos reikšmė gali atitikti vienintelį laiką, net jei ji nėra įprastas laipsnis

Tolydžiosios priklausomybės 2^t, kai 0 ≤ t ≤ 4, visa reikšmių sritis yra [1, 16]. Reikšmė 3 pasiekiama vieninteliu laiko momentu, esančiu griežtai tarp 1 ir 2: intervalo galuose reikšmės yra 2 ir 4, tolydumas užtikrina tarpinę reikšmę 3, o griežtas didėjimas neleidžia jos pasiekti antrą kartą. Tikslų pirmavaizdį galime nusakyti neišreikštiniu būdu kaip vienintelį leistiną t, tenkinantį 2^t = 3. Tai, kad dar neturime logaritminės formulės šiam t apskaičiuoti, nereiškia, kad pirmavaizdžio nėra.

Priklausomybės 2^n sveikaisiais etapais n = 0, 1, 2, 3, 4 reikšmių aibė yra {1, 2, 4, 8, 16}, o 3 joje nėra. Palyginimas su sveikųjų etapų reikšmėmis parodo, kad ši reikšmė yra tarp dviejų gretimų leistinų etapų reikšmių, bet nesukuria trupmeninio etapo. Abiejuose modeliuose žinomų tikslių reikšmių pasiekimo laikai gali būti nurodyti tiesiogiai, pavyzdžiui, reikšmė 8 gaunama, kai argumento reikšmė yra 3. Kiekvieną algebriškai gautą pirmavaizdį patikrinkite pagal pradinę apibrėžimo sritį: reikšmei 1/2 reikėtų argumento −1 išplėstame modelyje, tačiau čia tai nėra leistinas neneigiamas praėjęs laikas.

Tikrindami siūlomą reikšmę, pirmiausia nustatykite, ar ji priklauso visai reikšmių sričiai pagal duotą kontekstą. Griežtai monotoniniame tolydžiajame modelyje reikšmių sričiai priklausanti reikšmė turi vieną leistiną pirmavaizdį; diskrečiosios priklausomybės atveju patikrinkite, ar ji priklauso tikrajai etapų reikšmių aibei. Pastoviosios priklausomybės vienintelės reikšmės pirmavaizdis yra kiekvienas leistinas laiko momentas. Baigtinis kontrolinis sąrašas gali parodyti pasirinktus tikslius laiko momentus, tačiau visos reikšmių srities ir vienatinumo įrodymas turi apimti ir į šį sąrašą nepatenkančias realiąsias argumento reikšmes. Kitoje pamokoje logaritmai suteiks žymėjimą ir metodus atvirkštiniams eksponentiniams skaičiavimams.

08

Ribinis lygis gali likti nepasiektas

Kai A₀ > 0 ir 0 < b < 1, o neneigiamas laikas neribotas, A₀b^(t/τ) artėja prie nulio, bet išlieka teigiamas. Horizontalioji tiesė y = 0 yra šio išplėsto modelio asimptotė, nes reikšmės skirtumas nuo nulio artėja prie nulio. Maža rodoma reikšmė arba iki nulio suapvalinta reikšmė nereiškia, kad tiksli eksponentinė priklausomybė pasiekia nulį. Modelio, kuris baigiasi baigtiniu laiko momentu, apibrėžimo sritis neapima neribotos ateities; tuomet bet kuris teiginys apie asimptotę laiko ašies gale yra susijęs su modelio išplėtimu.

Modelis su poslinkiu F(t) = L + Cb^(t/τ), kai 0 < b < 1, artėja prie L, kai t neribotai didėja. Daugiklis b taikomas skirtumui F(t) − L, o ne, bendruoju atveju, visai reikšmei F(t). Jei C > 0, prie L artėjama iš viršaus; jei C < 0, artėjama iš apačios. Kai C ≠ 0, jokiu baigtiniu laiko momentu negaunama L, nes b^(t/τ) visada teigiamas. Jei C = 0, priklausomybė yra pastovi, lygi L, ir šis lygis pasiekiamas visoje jos apibrėžimo srityje.

Sutartame idealiame vėsimo modelyje tai galima taikyti temperatūros skirtumui nuo nekintančios aplinkos temperatūros. Aplinkos temperatūra nusako L, o C yra pradinis skirtumas, todėl net temperatūros vienetus ir pasirinktą jų nulį reikia interpretuoti atidžiai. Nei modelis su poslinkiu, nei grynoji eksponentinė priklausomybė neįrodo, kad fizinės sąlygos išliks nekintančios neribotą laiką. Įrodykite matematinę reikšmių sritį nurodytoje apibrėžimo srityje ir atskirkite ją nuo teiginio apie tikrus būsimus stebėjimus.

09

Nominaliajai normai reikia palūkanų kapitalizavimo tvarkos

Nagrinėkime idealią apskaitos schemą, kurioje pradinė suma yra P, nominalioji metinė palūkanų norma, išreikšta vieneto dalimi, yra r, o per metus yra m vienodų palūkanų kapitalizavimo laikotarpių. Pagal nurodytą tvarką kiekvieną kartą prie esamo likučio pridedama jo dalis r/m, todėl kiekvieno palūkanų įskaitymo daugiklis yra 1 + r/m, o po sveikojo skaičiaus n įskaitymų likutis yra B(n) = P(1 + r/m)^n. Laiką išreiškus metais t = n/m, leistinais įskaitymo momentais tai yra B(t) = P(1 + r/m)^(mt). Daugiklis turi būti teigiamas; čia pateiktuose teigiamos palūkanų normos pavyzdžiuose jis didesnis už vienetą.

Pagal šią tvarką efektyvusis metinis santykinis prieaugis yra R = (1 + r/m)^m − 1. Tai vienų metų pokytis, gaunamas atlikus visas m daugybas, o r yra nominalusis parametras, kuriuo nustatoma kiekvieno palūkanų įskaitymo norma. Jei vietoj jo pateikiamas efektyvusis metinis prieaugis R ir numatomi vienodi daugikliai, kiekvieno įskaitymo daugiklis yra (1 + R)^(1/m), o ne savaime 1 + R/m. Prieš skaičiuodami nustatykite, kokia tvarka iš tikrųjų nurodyta užduotyje.

Likučio modelis, apimantis tik palūkanų įskaitymo momentus, savaime neapibrėžia tikrojo likučio kiekvienu tarpiniu realiuoju laiko momentu. Tolydžioji eksponentinė interpoliacija yra papildomas matematinis modelis, atskiras nuo palūkanų įskaitymo grafiko. Nurodykite visas prielaidas apie nekintančias palūkanų normas, paliekamas palūkanas, mokesčius, įmokas, išėmimus ir apvalinimą. Mūsų pavyzdžiuose numatyti tikslūs tarpiniai skaičiavimai ir apvalinamas tik pateikiamas galutinis rezultatas; tai skaičiavimai pagal šias prielaidas, o ne tikros sąskaitos prognozės ar grąžos pažadai.

10

Net teisingas skaičiavimas gali peržengti tai, ką pagrindžia modelio duomenys

Iš apibrėžto proceso išvesta kartotinio dauginimo iš pastovaus daugiklio taisyklė yra tiksli pagal tą idealizuotą aprašymą. Užfiksuotų reikšmių santykiai vienodais žingsniais, jei jie yra lygūs arba beveik lygūs, gali pagrįsti eksponentinio modelio pasirinkimą, tačiau baigtinis įrašų skaičius nepatvirtina viso jo tęsinio. Stebėtas reikšmes atskirkite nuo prognozių. Jas lyginant, liekana vis tiek yra stebėta reikšmė minus prognozuota reikšmė ir turi tuos pačius matavimo vienetus kaip reikšmė; maža liekana nepatvirtina, kad mechanizmas ar priežastis nepakito.

Interpoliuokite arba ekstrapoliuokite pagal tai, kur pasirinktas argumentas yra užfiksuotų argumentų intervalo atžvilgiu, o leistinumą tikrinkite atskirai. Tarpinis trupmeninis etapas gali būti neleistinas net ir tame intervale, o laikas, viršijantis modelyje nurodytą didžiausią laiką, priklauso modelio tęsiniui, o ne leistinai prognozei nagrinėjamame kontekste. Procentinis gyventojų skaičiaus modelis gali pateikti nesveikuosius įverčius, kurie nereiškia tikrų žmonių dalių; suapvalinus šiuos įverčius, sveikiesiems žmonių skaičiams taip pat nebeišlaikomas tikslus rekurentinis sąryšis su pastoviu daugikliu.

Eksponentiniame augimo modelyje nėra numatytos talpos ribos. Eksponentiškai mažėjantis teigiamas kiekis per baigtinį laiką niekada nepasiekia tiksliai nulio. Tikras procesas gali keistis dėl talpos, išteklių, matavimo slenksčių ar pasikeitusių sąlygų, todėl užrašykite, kur numatoma taikyti jo modelį. Pasirinktas grafiko rodymo langas gali sudaryti įspūdį, kad eksponentinė kreivė yra horizontali, arba paslėpti jos skirtumą nuo asimptotės. Matematinius teiginius pagrįskite nurodyta apibrėžimo sritimi ir tiksliomis savybėmis, o empirinį modelį vertinkite remdamiesi papildomais duomenimis.

11

Palyginkite visą taisyklę su pasirinktu argumentu ar reikšme

Tyrinėjimo įrankis palygina septynias taisykles: tolydųjį augimą 2·2^t, tolydųjį mažėjimą 8·2^(−t), baigtinį etapų skaičių 100·(3/2)^n, kai n = 0, …, 4, neribotą sveikąjį etapų skaičių 2^n, mažėjimą su poslinkiu 3 + 5·2^(−t), pastovios reikšmės taisyklę 7·1^t ir palyginimui skirtą adityviąją taisyklę 2 + 2t. Tolydžiosiose taisyklėse naudojamas praėjęs laikas valandomis t ≥ 0; abiejose etapų taisyklėse naudojamas sveikasis etapų skaičius, o ne trupmeninės valandos. Reikšmės išreiškiamos abstrakčiais kiekio vienetais. Prieš skaičiuodami formalios išraiškos reikšmę su neleistinu argumentu, perskaitykite tikrąją apibrėžimo sritį ir nustatytą prasmę.

Pradinį argumentą ir siūlomą reikšmę pasirinkite nepriklausomai vieną nuo kito. Prognozę nagrinėjamame kontekste tikrinkite atskirai nuo matematinio tęsinio su neigiamais argumentais, trupmeniniais etapais ar nustatytą ribą viršijančiais argumentais. Tikrinant reikšmę naudojamas visas intervalas arba etapų aibė, o ne vien valdiklių reikšmės. Tolydžiosioms taisyklėms pirmavaizdį galima vienareikšmiškai nusakyti lygtimi ir egzistavimo pagrindimu; pastovios reikšmės 7 visas pirmavaizdis yra visa neneigiamo laiko apibrėžimo sritis.

Palyginkite augimą su adityviąja taisykle laiko momentais 0, 1 ir 2: abiejų pradinė reikšmė yra 2, ir abi laiko momentu 1 duoda 4, tačiau laiko momentu 2 jos duoda 8 ir 6. Poslinkio atveju kiekio perviršis virš 3 kas valandą sumažėja perpus, o visas kiekis – ne, ir reikšmė 3 niekada nepasiekiama. Baigtinio etapų skaičiaus ir sveikojo etapų skaičiaus taisyklėse tarpai išlieka net tada, kai egzistuoja jų tolydieji tęsiniai. Kitoje pamokoje pristatomi logaritmai kaip atvirkštinės operacijos, suteikiančios būdą įvardyti ir apskaičiuoti eksponentinių funkcijų pirmavaizdžius neapsiribojant pažįstamais laipsniais.

Atskirkite pasikartojančius daugiklius, laiko sritis ir galimus kiekius

Nepriklausomai vieną nuo kito pasirinkite nurodytą idealųjį modelį, įvesties reikšmę ir siūlomą kiekį. Patikrinkite, ar modelis leidžia pasirinktą įvesties reikšmę, tada palyginkite pagal kontekstą numatomą reikšmę su formaliojo reiškinio reikšme. Tolydus laiko intervalas, sveikųjų etapų aibė ir baigtinis etapų sąrašas gali duoti skirtingas reikšmių aibes, net jei jų formulės atrodo panašios.

Pasirinkite augimo, mažėjimo arba palyginimo modelį
Pasirinkite tikslią įvesties reikšmę
Pasirinkite tikslų siūlomą kiekį

A(t) = 2·2^t

Įvesties matavimo vienetas: valandos. Išvesties vienetas: kiekio vienetai.

Pradinė įvesties apibrėžimo sritis pagal kontekstą: t ∈ ℝ; t ≥ 0. Visa reikšmių sritis pagal kontekstą: y ∈ ℝ; y ≥ 2.

Tolydus dvigubėjimas: A(t) = 2·2^tStandartinė rodiklinė funkcija 2^t su teigiamu pagrindu yra tolydi ir griežtai didėjanti. Kai t ≥ 0, ji prasideda nuo 1 ir didėja neribotai. Taigi 2·2^t įgyja kiekvieną realųjį kiekį y ≥ 2 lygiai vieną kartą ir neįgyja jokio mažesnio kiekio. Kiekvienam tokiam y lygtis 2^t = y/2 turi lygiai vieną leistiną laiko reikšmę. Šios išvados apima visas realiąsias laiko reikšmes ir visus realiuosius kiekius, o ne tik mygtukais pasirenkamas racionaliąsias reikšmes. Penkios eilutės apima visą baigtinio etapų skaičiaus modelio apibrėžimo sritį. Tolydiesiems modeliams ir modeliams su neaprėžta apibrėžimo sritimi tai yra pavyzdinės įvestys; išvados apie visą apibrėžimo sritį išplaukia iš nurodyto modelio ir pirmiau pateiktų įrodymų. Kelių reikšmių sutapimas neleidžia nustatyti nežinomo fizikinio augimo dėsnio.0816243201234tAA(t) = 2·2^t
Įvesties matavimo vienetas: valandos. Išvesties vienetas: kiekio vienetai.

Dauginamasis koeficientas vienam įvesties vienetui: 2. Santykinis pokytis vienam įvesties vienetui: +100%.

Skaitinė laiko reikšmė yra pirmiau nurodytas valandų arba etapų skaičius. Eksponentinės išraiškos laipsnio rodiklis yra bedimensis: laikas dalijamas iš vienos valandos trukmės arba laipsnio rodiklis nusako užbaigtų etapų skaičių. Teigiamas daugiklis yra bedimensis; pradinis kiekis ir bet koks poslinkis turi kiekio vienetus.

Patikrinkite pasirinktą įvesties reikšmę: t = 1/2

  • t ≥ 0: Atitinka.

Įvesties reikšmė patenka į konteksto nustatytą apibrėžimo sritį. Formalioji išraiška čia turi apibrėžtą realiąją reikšmę.

Formalioji reiškinio reikšmė: 2√2. Kontekstinė prognozė: 2√2.

Standartinis eksponentinis tęsinys su teigiamu pagrindu apibrėžia šiuos reiškinius kiekvienai realiajai laiko reikšmei, o afininė formulė taip pat apibrėžta visoms realiosioms argumento reikšmėms. Formalioji reikšmė neigiamu laiku, trupmeniniame etape ar etape už baigtinės viršutinės ribos neįtraukia šios argumento reikšmės į pradinį modelį.

Patikrinkite pasirinktą siūlomą kiekį: y = 8

Ekvivalenti lygtis pasirinktam kiekiui, išlaikant pradinę apibrėžimo sritį: 2^t = 4; t ≥ 0.

Šis kiekis pasiekiamas pradinėje apibrėžimo srityje. Visa šio kiekio pirmavaizdžių aibė: {2}.

Išvestos tikslios argumento reikšmės, patikrintos pradiniame modelyje
Išvesta argumento reikšmėAr argumento reikšmė leistina?Formaliosios išraiškos reikšmėPrognozė pagal kontekstąAr prognozė pagal kontekstą lygi siūlomam kiekiui?
2Taip88Taip

Kodėl visa kontekstinė reikšmių sritis ir pirmavaizdžiai yra tokio pavidalo

Standartinė rodiklinė funkcija 2^t su teigiamu pagrindu yra tolydi ir griežtai didėjanti. Kai t ≥ 0, ji prasideda nuo 1 ir didėja neribotai. Taigi 2·2^t įgyja kiekvieną realųjį kiekį y ≥ 2 lygiai vieną kartą ir neįgyja jokio mažesnio kiekio. Kiekvienam tokiam y lygtis 2^t = y/2 turi lygiai vieną leistiną laiko reikšmę. Šios išvados apima visas realiąsias laiko reikšmes ir visus realiuosius kiekius, o ne tik mygtukais pasirenkamas racionaliąsias reikšmes.

Elgsena nurodytos apibrėžimo srities pabaigoje: A(t) → +∞; t → +∞.

Ribinis kiekis nebūtinai pasiekiamas. Tolydžiojo pusėjimo atveju kiekis visada yra griežtai didesnis už 0, o modelyje su poslinkiu – griežtai didesnis už 3. Jų rodomi ribiniai lygiai nusako ilgalaikę elgseną idealiose neaprėžtose apibrėžimo srityse, o ne baigtinį laiką, kuriuo kiekis tampa lygus tam lygiui.

Tikslios prognozės pagal kontekstą įvestims nuo 0 iki 4
ĮvestisKiekis pagal kontekstą
02
14
28
316
432

Penkios eilutės apima visą baigtinio etapų skaičiaus modelio apibrėžimo sritį. Tolydiesiems modeliams ir modeliams su neaprėžta apibrėžimo sritimi tai yra pavyzdinės įvestys; išvados apie visą apibrėžimo sritį išplaukia iš nurodyto modelio ir pirmiau pateiktų įrodymų. Kelių reikšmių sutapimas neleidžia nustatyti nežinomo fizikinio augimo dėsnio.

Tas pats pradinis kiekis gali kisti skirtingai

Ir tolydus dvigubėjimas, ir pridėjimo taisyklė duoda 2 laiko momentu 0 ir 4 laiko momentu 1. Laiko momentu 2 dvigubėjimas duoda 8, o pridėjimas – 6. Per vienodus vienos valandos intervalus dvigubėjant dauginama iš 2, o pridedant pridedama 2. Vienodais laiko žingsniais gautų reikšmių santykius ir skirtumus reikia lyginti esant leistinoms įvesties reikšmėms; vien dvi sutampančios reikšmės neleidžia nustatyti kitimo mechanizmo.

Tas pats pradinis kiekis gali kisti skirtingaiIr tolydus dvigubėjimas, ir pridėjimo taisyklė duoda 2 laiko momentu 0 ir 4 laiko momentu 1. Laiko momentu 2 dvigubėjimas duoda 8, o pridėjimas – 6. Per vienodus vienos valandos intervalus dvigubėjant dauginama iš 2, o pridedant pridedama 2. Vienodais laiko žingsniais gautų reikšmių santykius ir skirtumus reikia lyginti esant leistinoms įvesties reikšmėms; vien dvi sutampančios reikšmės neleidžia nustatyti kitimo mechanizmo.0816243201234tA(2, 8)(2, 6)A(t) = 2·2^tA(t) = 2 + 2t
Tolydus dvigubėjimas: A(t) = 2·2^t; Adityvusis palyginimas: A(t) = 2 + 2t. Įvesties matavimo vienetas: valandos. Išvesties vienetas: kiekio vienetai.
Tikslios prognozės pagal kontekstą įvestims nuo 0 iki 4
t2·2^t2 + 2t
022
144
286
3168
43210

Daugikliui reikia laikotarpio ir apibrėžimo srities

Kai pradinis kiekis teigiamas, teigiamas daugiklis b nusako santykinį kitimo tempą b − 1 per kiekvieną nurodytą laikotarpį. Augimui taikoma b > 1; mažėjimui su teigiamu daugikliu – 0 < b < 1; kai b = 1, kiekis nekinta. Pagal šio modelio susitarimą santykinis sumažėjimas lygiai 100 % duotų daugiklį 0 ir nepatektų į eksponentinio modelio su teigiamu pagrindu tęsinio sritį. Sudėtiniai pokyčiai kaskart įskaitant taikomi atnaujintam kiekiui. Nurodytas kitimo tempas be jo laikotarpio, pokyčių įskaitymo grafiko ir taikomo susitarimo neapibrėžia formulės.

Tolydžioji taisyklė naudoja standartinį tęsinį su teigiamu pagrindu kiekvienam leistinam realiajam laiko momentui; kai praeina sveikasis laikotarpių skaičius, šis tęsinys atitinka kartotinę daugybą, o kai praeina trupmeninis laikotarpių skaičius – racionaliuosius laipsnius. Šio tęsinio taikymas tarp diskrečiųjų stebėjimų yra aiškiai įvardyta idealiojo modeliavimo prielaida. Konteksto apibrėžta sritis išlieka taisyklės dalimi, o taikymas tikrovėje priklauso nuo to, ar prielaidos ir toliau galioja.

Tolydus dvigubėjimas. t = 1/2: Įvesties reikšmė patenka į konteksto nustatytą apibrėžimo sritį; Formalioji reiškinio reikšmė: 2√2; Kontekstinė prognozė: 2√2. y = 8: Šis kiekis pasiekiamas pradinėje apibrėžimo srityje; Visa šio kiekio pirmavaizdžių aibė: {2}.

Reiškinių reikšmėms racionaliaisiais laiko momentais naudojamos tikslios trupmenos ir simbolinės teigiamos šaknys. Apibrėžimo srities patikroms, baigtinių etapų palyginimams ir priklausymo 2 laipsnių aibei patikroms naudojama tiksli sveikųjų skaičių aritmetika. Neišreikštiniu būdu nusakyti realieji laiko momentai aprašomi tiksliomis juos apibrėžiančiomis lygtimis ir egzistavimo įrodymais; suapvalinti logaritmai ar atrinktais taškais pavaizduotos kreivės nenulemia išvadų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Keturis kartus pridėjus pusę esamo kiekio, gaunama baigtinė etapų reikšmių aibė

Aprašytas procesas talpykloje prasideda nuo 36 litrų. Per kiekvieną iš keturių etapų pridedama pusė tuo metu talpykloje esančio kiekio. Sumodeliuokite kiekį iškart po n etapų, pradinę būseną laikydami n = 0. Raskite visus leistinus kiekius ir nustatykite, ar pagal šią etapų taisyklę pasiekiamas 100 litrų kiekis.

  1. Pridėjus pusę esamo kiekio, jis padauginamas iš 1 + 1/2 = 3/2, taigi per etapą padidėja 50%. Užbaigtų etapų skaičius yra sveikasis skaičius n iš aibės {0, 1, 2, 3, 4}; trupmeniniai ar vėlesni etapai neįtraukiami.
  2. Kiekis yra A(n) = 36(3/2)^n litrų. Po pirmųjų dviejų etapų talpykloje yra atitinkamai 54 litrai ir 81 litras; po kitų etapų – 243/2 ir 729/4 litrų. Pradinis kiekis yra 36 litrų.
  3. Dabar reikšmės apskaičiuotos su visais penkiais leistinais argumentais, todėl visa reikšmių sritis yra {36, 54, 81, 243/2, 729/4} litrų. Reikšmės 121.5 ir 182.25 yra tikslios paskutinių dviejų kiekių dešimtainės išraiškos.
  4. Siūlomas kiekis 100 yra tarp 81 ir 121.5, bet nėra viena iš penkių leistinų etapų reikšmių. Pagal šią taisyklę jis nepasiekiamas. Tolydžios interpoliacijos 36(3/2)^t, kai 0 ≤ t ≤ 4, reikšmių sritis būtų intervalas, ir būtų vienintelis laiko momentas tarp 2 ir 3, kuriuo būtų pasiekta 100, tačiau tai yra papildomas modelis, o ne užbaigtų etapų skaičius.
  5. Proceso aprašymas pagrindžia pastovų daugiklį keturiuose nurodytuose etapuose. Jis nepagrindžia neribotai didėjančio kiekio, neigiamų etapų ar prognozės, kai skystis dar pilamas. Bet kokiam teiginiui apie talpą ar tūrį pilant reikėtų papildomų sąlygų.

A(n) = 36(3/2)^n litrų, kai n = 0, 1, 2, 3, 4. Visa reikšmių sritis yra {36, 54, 81, 243/2, 729/4} litrų. Šimtas litrų nepriklauso šiai baigtinei etapų reikšmių sričiai, nors yra tarp dviejų etapų reikšmių.

Mažėjimo daugiklis taikomas skirtumui nuo pastovios temperatūros

Duotas idealus temperatūros modelis: T(t) = 18 + 64·2^(−t/3) °C, kai 0 ≤ t ≤ 12 minučių. Raskite pradinę temperatūrą, temperatūros ir 18 skirtumo daugiklį per tris minutes, temperatūros reikšmę po 6 minučių ir visą reikšmių sritį pagal uždavinio sąlygas. Paaiškinkite reikšmių sritį ir ribinę temperatūrą, jei formulė pratęsiama visiems t ≥ 0.

  1. Kai t = 0, eksponentinis daugiklis yra 1, todėl T(0) = 82 °C. Skirtumas nuo pastovios 18 °C aplinkos temperatūros yra T(t) − 18 = 64(1/2)^(t/3) Celsijaus laipsnių; t ir trijų minučių laikotarpis išreiškiami tuo pačiu vienetu.
  2. Praėjus trims minutėms, šis skirtumas padauginamas iš 1/2. Temperatūra po 0, 3, 6, 9 ir 12 minučių yra atitinkamai 82, 50, 34, 26 ir 22 °C. Pati temperatūra nesumažėja perpus: pastovusis dėmuo 18 išlieka.
  3. Įprasta realioji eksponentinė funkcija šiame intervale yra tolydi ir griežtai mažėjanti, todėl visos reikšmės yra nuo 22 iki 82 imtinai ir pasiekiama kiekviena tarpinė reikšmė. Kiekvienai siūlomai temperatūrai y iš [22, 82] tolydumas užtikrina laiko momento egzistavimą intervale [0, 12], o griežtas mažėjimas – jo vienatinumą. Tai vienintelis leistinas t, tenkinantis 2^(−t/3) = (y − 18)/64.
  4. Taigi tikroji reikšmių sritis pagal uždavinio sąlygas yra uždarasis intervalas [22, 82] °C. Tiksliai patikrinus tarpinę reikšmę, kai t = 3/2 minučių, temperatūra yra 18 + 32√2 °C, laipsnį 2^(−1/2) interpretuojant pagal teigiamąją šaknį. Realiųjų reikšmių intervalas nustatomas ne vien iš penkių reikšmių, apskaičiuotų po sveikojo skaičiaus laikotarpių.
  5. Pratęsus modelį visiems t ≥ 0, teigiamas skirtumas artėja prie nulio, bet per baigtinį laiką niekada jam neprilygsta. Visa reikšmių sritis tampa (18, 82] °C, o ribinė tiesė y = 18 nepasiekiama. Pradinė dvylikos minučių apibrėžimo sritis nėra neribotai tęsiama į ateitį; jos reikšmių sritis baigiasi pasiekta 22 °C temperatūra. Prielaida, kad idealios sąlygos išlieka ir vėliau, būtų papildomas teiginys apie procesą.

Pradinė temperatūra yra 82 °C; temperatūros ir 18 skirtumas sumažėja perpus kas tris minutes. T(6) = 34 °C. Visa nurodyto modelio reikšmių sritis yra [22, 82] °C. Pratęsus modelį neneigiamoms laiko reikšmėms, jo reikšmių sritis yra (18, 82]: temperatūra artėja prie 18, bet per baigtinį laiką šios reikšmės niekada nepasiekia.

Nominaliosios ir efektyviosios metinės procentinės normos – skirtingi susitarimai

Išgalvotame apskaitos modelyje pradinis likutis yra 2,000 (du tūkstančiai) eurų, o nustatyta nominalioji metinė palūkanų norma – 8%, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį vienus metus. Kiekvieno ketvirčio pabaigoje įskaitoma lygiai 2% tuometinio likučio, visos palūkanos paliekamos sąskaitoje, nėra įmokų, išėmimų, mokesčių ar tarpinio apvalinimo. Užrašykite likučio formulę leistiniems palūkanų įskaitymo momentams, raskite tikslią sumą metų pabaigoje ir efektyvųjį metinį procentinį prieaugį. Palyginkite su 8% efektyviuoju metiniu prieaugiu.

  1. Per metus atliekami keturi vienodi palūkanų įskaitymai. Pagal pateiktą nominaliosios normos skaičiavimo tvarką r = 0.08 ir m = 4, todėl po kiekvieno įskaitymo likutis padauginamas iš 1 + r/m = 1.02 = 51/50.
  2. Kai sveikasis įskaitymų skaičius n = 0, 1, 2, 3, 4, likutis yra B(n) = 2000(51/50)^n eurų. Atitinkamais laiko momentais t = n/4 metų jį taip pat galima užrašyti kaip B(t) = 2000(1.02)^(4t). Nurodytame modelyje leidžiamos tik šios penkios laiko argumento reikšmės, atitinkančios palūkanų įskaitymo momentus.
  3. Tikslūs likučiai yra 2000, 2040, 2080.8, 2122.416 ir 2164.86432 eurų. Šis baigtinis sąrašas yra visa palūkanų įskaitymo momentų modelio reikšmių sritis. Metų pabaigoje, kai n = 4, tikslus daugiklis yra 1.02⁴ = 1.08243216.
  4. Efektyvusis metinis santykinis prieaugis yra 1.08243216 − 1 = 0.08243216, taigi 8.243216%. Galutinį likutį pateikus centų tikslumu, gaunama maždaug 2164.86 eurų; toks pateikimas nekeičia tikslių sumų, naudojamų nustatytame modelyje.
  5. Esant 8% efektyviajam metiniam prieaugiui, pradinis likutis būtų dauginamas iš 1.08, o po vienų metų būtų gauta 2160 eurų. Pateikto efektyviojo metinio procentinio prieaugio dalijimas iš keturių reikštų kitokią skaičiavimo tvarką, o ne nurodytą nominaliosios normos taisyklę. Nė vienas skaičiavimas neteigia, kokia bus tikros sąskaitos palūkanų norma, ir nenustato jos likučio tarp palūkanų įskaitymų.

B(n) = 2000(51/50)^n eurų, kai n = 0, 1, 2, 3, 4, arba laiko momentais t = n/4 metų. Tiksli suma metų pabaigoje yra 2164.86432 eurų, pateikiama kaip maždaug 2164.86 eurų. Efektyvusis metinis prieaugis yra 8.243216%; esant nustatytam 8% efektyviajam metiniam prieaugiui, būtų gauta 2160 eurų.

Pabandykite patys

  1. Dviejuose nustatytuose etapiniuose modeliuose pradinis kiekis yra 24 litrai. Viename modelyje kiekvienu etapu pridedami 6 litrai, kitame kiekis padidėja 25% tuometinio kiekio. Sveikiesiems etapų numeriams n = 0, 1, 2, 3 užrašykite abi formules ir išvardykite visas jų reikšmių sritis. Ar sutapimas po pirmojo etapo įrodo, kad taisyklė yra ta pati?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    L(n) = 24 + 6n reikšmių sritis yra {24, 30, 36, 42} litrų. A(n) = 24(5/4)^n reikšmių sritis yra {24, 30, 75/2, 375/8} litrų. Jų reikšmės sutampa 0 ir 1 etapuose, tačiau taisyklės skiriasi.

    Pagal sudėties schemą išlaikomas 6 litrų skirtumas, o pagal procentinio didėjimo schemą – daugiklis 5/4. Pastarosios schemos kiekiai 2 ir 3 etapuose yra 37.5 ir 46.875 litrų. Apskaičiuotos visų leistinų etapų reikšmės, taigi įrodytos abi baigtinės reikšmių sritys. Vienoda pradinė reikšmė ir vienodas pirmasis pokytis nereiškia, kad kartotinė sudėtis yra tas pats, kas kartotinė daugyba.

  2. Nustatytame tolydžiajame kiekio modelyje pradinis kiekis yra 400 vienetų ir per kiekvieną dviejų valandų laikotarpį sumažėja 15%. Modelis taikomas, kai 0 ≤ t ≤ 6 valandų. Užrašykite formulę, kurioje t yra skaitinė laiko reikšmė valandomis, raskite tikslų kiekį po 6 valandų ir pateikite visą reikšmių sritį. Koks yra teigiamas vienos valandos daugiklis pagal tą patį tolydųjį modelį?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    A(t) = 400(17/20)^(t/2) vienetų. A(6) = 4913/20 = 245.65 vienetų; visa reikšmių sritis yra [245.65, 400] vienetų. Vienos valandos daugiklis yra √(17/20).

    Kai lieka 85%, kas dvi valandas taikomas daugiklis 17/20, o t/2 nusako šių laikotarpių skaičių. Po trijų laikotarpių gauname 400(17/20)³ = 4913/20. Dėl tolydumo ir griežto mažėjimo pasiekiamas kiekvienas kiekis tarp reikšmių intervalo galuose, įskaitant pačius galus. Dalijant laikotarpį į dvi lygias dalis, pusės laikotarpio daugiklis turi būti teigiama pradinio daugiklio kvadratinė šaknis; negalima tiesiog laikyti, kad jis atitinka pusę nurodyto dviejų valandų procento.

  3. Duotame tolydžiajame modelyje pradinis kiekis yra 5 vienetai, o per tris valandas jis padauginamas iš 4; modelis apibrėžtas, kai 0 ≤ t ≤ 3 valandų. Užrašykite modelį, kai laikas t matuojamas valandomis ir kai laikas u matuojamas minutėmis, nurodykite abi apibrėžimo sritis ir raskite kiekį po 90 minučių. Įrodykite, kokia yra visa reikšmių sritis.

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    A(t) = 5·4^(t/3), kai 0 ≤ t ≤ 3 valandų; A(u) = 5·4^(u/180), kai 0 ≤ u ≤ 180 minučių. Po 90 minučių kiekis yra 10 vienetų. Visa reikšmių sritis yra [5, 20] vienetų.

    Trys valandos yra 180 minučių, todėl abu laipsnio rodikliai nusako tų pačių laikotarpių skaičių. Praėjus pusei laikotarpio, 4^(1/2) = 2, todėl gauname 10. Tolydžioji eksponentinė funkcija griežtai didėja nuo 5 iki 20, o dėl tolydumo pasiekiamas kiekvienas tarpinis kiekis; abu laiko intervalo galai priklauso apibrėžimo sričiai. Pakeitus laiko vienetus, nei kiekis, nei viso laikotarpio daugiklis nesikeičia.

  4. Palyginkite D(n) = 2^n, kai n yra sveikasis skaičius ir n = 0, 1, 2, 3, 4, su C(t) = 2^t, kai t tolydžiai kinta intervale 0 ≤ t ≤ 4. Nurodykite abi visas reikšmių sritis ir nustatykite, ar pasiekiama reikšmė 3. Jei ji pasiekiama, tiksliai nurodykite jos pirmavaizdį, nebūtinai vartodami logaritmo žymėjimą. Ar reikšmė 1/2 galima kuriame nors iš šių modelių?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    D reikšmių sritis yra {1, 2, 4, 8, 16}; C reikšmių sritis yra [1, 16]. Reikšmė 3 nepriklauso D reikšmių sričiai, tačiau turi vienintelį pirmavaizdį modelyje C: tai leistina t reikšmė intervale (1, 2), tenkinanti 2^t = 3. Reikšmė 1/2 nepriklauso nė vieno modelio reikšmių sričiai.

    Apskaičiavę reikšmę kiekviename sveikuoju skaičiumi nusakytame etape, įrodome, kokia yra D reikšmių sritis. Modelyje C tolydumas ir griežtas didėjimas užtikrina, kad kiekviena reikšmė tarp reikšmių intervalo galuose pasiekiama vienintelį kartą, įskaitant 3, esančią tarp 2 ir 4. Šia lygtimi ir intervalu pirmavaizdį galima tiksliai nusakyti dar prieš įvedant logaritmus. Išplėtus modelį, reikšmė 1/2 būtų pasiekiama, kai argumento reikšmė yra −1, tačiau ji nepriklauso nė vienai iš nurodytų apibrėžimo sričių.

  5. Duotame tolydžiajame temperatūros modelyje T(t) = 10 + 24(1/2)^(t/2) Celsijaus laipsnių, kai t ≥ 0 valandų, raskite T(0), T(4), visą reikšmių sritį ir ribinę tiesę. Ar pati temperatūra kas dvi valandas sumažėja perpus? Ar ji pasiekia ribinę temperatūrą per baigtinį laiką?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    T(0) = 34 ir T(4) = 16 Celsijaus laipsnių. Visa reikšmių sritis yra (10, 34] Celsijaus laipsnių, o ribinė tiesė yra y = 10. Kas dvi valandas perpus sumažėja tik skirtumas tarp temperatūros ir 10; ribinė temperatūra niekada nepasiekiama per baigtinį laiką.

    Teigiamas eksponentinis skirtumas iš pradžių yra 24 ir artėja prie nulio jo nepasiekdamas, todėl apatinis intervalo galas nepriklauso reikšmių sričiai. Dėl tolydumo ir griežto mažėjimo kiekviena temperatūra, didesnė už 10 ir ne didesnė už 34, pasiekiama lygiai vieną kartą. Per keturias valandas skirtumas du kartus sumažėja perpus ir tampa 6, todėl pati temperatūra yra 16. Pastovusis dėmuo išlieka, todėl pačiai temperatūrai pusėjimo daugiklis netaikomas.

  6. Idealiajame modelyje, kuriame suma keičiasi tik įskaitant palūkanas, pradinė suma yra 800 eurų, nominalioji metinė palūkanų norma yra 10%, palūkanos kapitalizuojamos du kartus per metus, visos įskaitytos palūkanos paliekamos, o tarpiniai skaičiavimai atliekami tiksliai. Apskaičiuokite abiejų per metus atliekamų palūkanų įskaitymų rezultatus ir efektyvųjį metinį prieaugį. Palyginkite metų pabaigos sumą su suma, kuri būtų gauta taikant duotą 10% efektyvųjį metinį prieaugį.

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Kiekvieno palūkanų įskaitymo daugiklis yra 1.05. Po pirmojo ir antrojo įskaitymų likučiai yra atitinkamai 840 ir 882 eurai, o efektyvusis metinis prieaugis yra 10.25%. Vietoj to taikant duotą 10% efektyvųjį metinį prieaugį, metų pabaigoje gaunama 880 eurų.

    Pagal nominaliosios palūkanų normos susitarimą kiekvieną pusmetį priskaičiuojama 0.10/2 = 0.05. Du daugikliai duoda 1.05² = 1.1025, todėl efektyvusis santykinis prieaugis yra 0.1025, o metų pabaigos likutis yra 800·1.1025 = 882. Taikant efektyvųjį metinį daugiklį 1.10, gaunama 880. Skirtingi metiniai procentai nusako skirtingus susitarimus, o įskaitymo taisyklė neapibrėžia likučių tarpiniais laiko momentais.

  7. Pagal nustatytą dviejų etapų ciklą kiekis padidinamas 20%, o tada naujasis kiekis sumažinamas 20%. Pradėdami nuo 100 vienetų, raskite kiekį po vieno ciklo ir po dviejų vienodų ciklų. Kokiu procentu reikėtų sumažinti kiekį, kad būtų tiksliai panaikintas vien pirmasis 20% padidėjimas?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Po vieno ciklo gaunami 96 vienetai, o po dviejų ciklų – 92.16 vienetų. Norint panaikinti 20% padidėjimą, reikia daugiklio 5/6, taigi kiekį reikia sumažinti 1/6 naujojo kiekio dalimi, arba 16 2/3%.

    Ciklo daugiklis yra (6/5)(4/5) = 24/25, todėl kiekiai yra 100·24/25 = 96 ir 100·(24/25)² = 92.16. Pirmojo daugiklio 6/5 atvirkštinis skaičius yra 5/6; atitinkamas santykinis sumažėjimas yra 1 − 5/6 = 1/6. Čia ciklo daugiklis yra pastovus, tačiau dviejų atskirų etapų daugikliai skiriasi, taigi nėra nustatyta, kad kiekviename atskirame etape būtų taikomas tas pats procentas.

Ką verta įsidėmėti

  • Eksponentinio kitimo atveju per vienodus laikotarpius išlieka tas pats daugiklis; adityviojo kitimo atveju išlieka tas pats reikšmių skirtumas. Sutapimas baigtiniame taškų rinkinyje nepatvirtina, kad mechanizmas nekinta.
  • Teigiamam kiekiui A₀b^(t/τ) nurodykite pradinę reikšmę, teigiamą laikotarpį ir teigiamą daugiklį. Augimo atveju b > 1, mažėjimo atveju 0 < b < 1, o pastovias reikšmes arba reikšmes su ženklu nusakančias taisykles reikia interpretuoti atskirai.
  • Tolydžiam laikui naudojamas standartinis tolydusis teigiamo pagrindo racionaliųjų laipsnių tęsinys. Jo teigiamumas, tolydumas, monotoniškumas ir elgsena ties srities kraštais leidžia pagrįsti visą reikšmių aibę, kai laikas įgyja realiąsias vertes, neapsiribojant patikromis atskirais laiko momentais.
  • Apibrėžimo sritys lemia, kurie kiekiai pasiekiami: tolydžiuose intervaluose galima pasiekti kiekvieną tarpinį aukštį, o sveikaisiais skaičiais numeruojamuose etapuose išlieka baigtinės arba skaičios reikšmių aibės ir jų tarpai. Išlaikykite atvirus arba uždarus intervalų galus.
  • Teigiamas eksponentiškai mažėjantis kiekis artėja prie nulio, bet jo nepasiekia per baigtinį laiką. Eksponentinis mažėjimas su poslinkiu veikia skirtumą nuo ribinio lygio; šiame modelyje nenulinis skirtumas niekada netampa tiksliai lygus nuliui.
  • Nuoseklių procentinių pokyčių daugikliai dauginami, o daugiklio poveikiui panaikinti naudojamas jo atvirkštinis skaičius. Nominaliosios sudėtinių palūkanų normos, efektyvieji metiniai pokyčiai ir įskaitymo tvarkaraščiai yra skirtingi susitarimai, kuriuos būtina nurodyti.
  • Aiškiai nurodykite vienetus, leistinus laiko momentus, apvalinimą ir galiojimo ribas. Matematinis tęsinys, vietinis pritaikymas duomenims ar mažas liekamasis nuokrypis negarantuoja, kad tikras procesas neribotą laiką vyks pagal tą taisyklę.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

  1. OpenStax, Rice University2 šaltiniai
    1. College Algebra 2eOpenStax, Rice UniversityVadovėlio skyriusOpenStax · College Algebra 2e · 6.1 Exponential FunctionsOpenStax · College Algebra 2e · 6.7 Exponential and Logarithmic Modelsopenstax.org
    2. OpenStax · Precalculus 2e · 2.4 Fitting Linear Models to DataOpenStax, Rice UniversityVadovėlio skyriusopenstax.orgSkaityti šaltinį
  2. NCERT · Class XI Mathematics · Chapter 8 Sequences and Series · §§8.4–8.4.1NCERTVadovėlio skyrius · PDFncert.nic.inSkaityti šaltinį