Tekstiniai uždaviniai, apribojimai ir sprendinių tikrinimas

Nustatykite, ką reikia rasti ir kas duota

Lygčių taikymas prasideda nuo klausimo apie tam tikrą situaciją. Prieš skaičiuodami, savais žodžiais įvardykite, ką reikia rasti: bilietų skaičių, dviejų kraštinių ilgius ar atlikimo laiką. Atskirkite pateiktus duomenis nuo nežinomųjų. Išsaugokite tokius žodžius kaip „tiksliai“, „bent“, „likę“ ir „kartu“, nes kiekvienas jų keičia reikalavimus, kuriuos turi tenkinti tinkamas atsakymas.

Tarkime, į renginį parduodamas 21 bilietas dviem skirtingomis kainomis ir užfiksuojama bendra už juos gauta suma. Skaičius 21 yra bendras bilietų skaičius, o ne bendra pinigų suma; uždavinyje gali būti klausiama, kiek bilietų parduota kiekviena kaina. Brėžinys su žymėjimais arba nedidelė lentelė gali padėti susisteminti šią informaciją. Nedarykite prielaidos apie papildomą nuolaidą, mokestį ar bilietų rūšį, jei tai nenurodyta uždavinio sąlygoje. Lygtis turi išreikšti aprašytą situaciją ir visas jūsų aiškiai pasirinktas prielaidas.

Apibrėžkite kiekvieną kintamąjį ir jo leistinąsias reikšmes

Prieš vartodami raidę, apibrėžkite, ką ji žymi. Pavyzdžiui, tegul a žymi suaugusiųjų bilietų skaičių, o c – vaikų bilietų skaičių. Ir a, ir c turi būti neneigiami sveikieji skaičiai: vienos rūšies bilietų gali būti nulis, tačiau bilietų skaičius negali būti neigiamas ar trupmeninis. Atskirkite šį apribojimą nuo reikalavimo, kad ilgis ar praėjęs laikas būtų teigiamas – šių dydžių reikšmės nebūtinai turi būti sveikieji skaičiai.

Užrašydami lygtį su skaitinėmis matuojamų dydžių reikšmėmis, nurodykite kiekvienos reikšmės matavimo vienetą. Jei w yra pločio metrais skaitinė reikšmė, o L – ilgio metrais skaitinė reikšmė, tikrieji kraštinių ilgiai yra w m ir L m. Sąlygos yra w > 0 ir L > 0. Jei t yra atlikimo laikas, matuojamas valandomis, užrašykite t > 0. Prieš spręsdami užrašykite šias leistinųjų reikšmių aibes, kad algebrinis atsakymas viso sprendimo metu būtų vertinamas pagal tą patį uždavinį.

Išverskite visą frazę nekeisdami jos tvarkos

Sudarykite lygtį pagal įvardytų dydžių ryšį. Jei ilgis L yra 3 metrais didesnis už plotį w ir abu dydžiai išreikšti metrais, užrašykite L = w + 3. Jei L yra 3 metrais mažesnis už dvigubą plotį w, užrašykite L = 2w − 3. Visa frazė lemia, kuris dydis dvigubinamas ir kuris mažinamas. Žodžiai „mažiau už“ nereiškia, kad galite atimti bet kuria tvarka.

Perskaitykite savo lygtį žodžiais. Lygties L = 2w − 3 atveju pirmiausia padvigubinkite plotį, tada atimkite 3 metrus, kad gautumėte ilgį. Tai skiriasi nuo L = 2(w − 3), kur plotis dvigubinamas iš jo atėmus 3 metrus. Taip pat, užrašant dviejų dydžių skirtumą, būtina nurodyti jų tvarką, o sąlyga „ne mažiau kaip“ užrašoma nelygybe. Pasirinkus veiksmą pagal vieną žodį, pavyzdžiui, „suma“, galima nepastebėti, ar suma yra duota, ar ją reikia rasti.

Kiekvieną nepriklausomą sąryšį išreikškite atskira lygtimi

Jei suaugusiojo bilietas kainuoja 8 €, o vaiko bilietas – 5 €, teiginį, kad parduotas lygiai 21 bilietas, išreiškia lygtis a + c = 21. Lygiai 135 € pajamos išreiškiamos lygtimi 8a + 5c = 135, kurioje pinigų sumos nurodytos eurais. Pirmoji lygtis nusako bilietų skaičių, o antroji sudeda už juos gautas pinigų sumas. Bilietų skaičių padauginus iš vieno bilieto kainos, gaunama pinigų suma, o ne kitas bilietų skaičius.

Abi lygtys aprašo tą patį pardavimą ir turi galioti tai pačiai porai (a, c). Vienos lygties sprendinys dar nėra sistemos sprendinys. Vietoj to galite naudoti vieną kintamąjį a ir įstatyti c = 21 − a, taip gaudami 8a + 5(21 − a) = 135. Tuomet pagal pradinius skaičiaus apribojimus a turi būti sveikasis skaičius nuo 0 iki 21. Taip pakeičiama modelio išraiška, bet ne jo sąlygos.

Prieš įstatydami reikšmes pasirinkite suderintus vienetus

Abiejose lygybės pusėse turi būti lyginami tos pačios rūšies dydžiai. Metrus sudėkite su metrais, o pinigų sumas – su pinigų sumomis; ilgio tiesiogiai nepridėkite prie ploto. Stačiakampio, kurio kraštinės yra w m ir (w + 3) m, o plotas – 40 m², skaitinių reikšmių ploto lygtis yra w(w + 3) = 40, nes ilgio reikšmės išreikštos metrais, o ploto reikšmė – kvadratiniais metrais. Jei duotasis kraštinių ilgių skirtumas būtų 300 cm, prieš sudarydami šią lygtį išreikškite jį metrais: 3 m.

Sparta taip pat turi matavimo vienetą. Judant pastoviu 12 km/h greičiu 35 minutes, pirmiausia laiką išreikškite valandomis: 35/60 = 7/12 val. Tuomet atstumas yra 12 × 7/12 = 7 km. Padauginę 12 iš 35, klaidingai laikytumėte minutes valandomis. Vietoj to greitį galite išreikšti kilometrais per minutę; abiem atvejais, nuosekliai derinant vienetus, gaunamas tas pats atstumas. Grįždami prie uždavinio klausimo, patikrinkite ne tik skaičių, bet ir matavimo vienetą.

Pasirinkite metodą pagal supaprastintą modelį

Situacija lemia sąryšius, o jų algebrinė forma padeda pasirinkti jau išmoktą metodą. Vieną tiesinę lygtį galima spręsti atliekant tuos pačius veiksmus abiejose jos pusėse. Dvi tiesines lygtis galima spręsti keitimo arba sudėties būdu. Stačiakampio, kurio plotas teigiamas, o viena kraštinė išreikšta per kitą, modelis gali duoti kvadratinę lygtį, sprendžiamą skaidant dauginamaisiais, išskiriant pilnąjį kvadratą arba taikant kvadratinės lygties sprendinių formulę. Prieš nustatydami lygties tipą, sutraukite panašiuosius narius ir supaprastinkite reiškinius.

Pastovios darbo spartos modelis gali duoti racionaliąją lygtį. Jei du spausdintuvai, kiekvienas dirbdamas atskirai, tą patį dalimis atliekamą darbą užbaigtų per 6 valandas ir 9 valandas, jų darbo spartos yra 1/6 ir 1/9 šio darbo per valandą. Darant prielaidą, kad abu pradeda kartu, išlaiko savo darbo spartą, neatlieka tų pačių darbo dalių, dirba be pertraukų ir neturi bendro darbą ribojančio veiksnio, bendro darbo trukmė t valandų tenkina 1/6 + 1/9 = 1/t, kai t > 0. Sudėkite darbo spartas, o ne darbo užbaigimo trukmes. Jei modelio vardikliuose yra kintamųjų, prieš panaikindami vardiklius išlaikykite sąlygą, kad kiekvienas pradinis vardiklis būtų nelygus nuliui; jei yra kvadratinių šaknų, išlaikykite pradines apibrėžimo realiųjų skaičių aibėje ir ženklo sąlygas.

Patikrinkite kiekvieną galimą sprendinį pradiniame modelyje ir kontekste

Išsprendę lygtis, kiekvieną galimą sprendinį įstatykite į pradines lygtis, o ne tik į pertvarkytą lygtį. Tai ypač svarbu panaikinus vardiklius arba pakėlus kvadratu. Reikšmė, dėl kurios pradinis vardiklis lygus nuliui, lieka neleistina, net jei vėlesniame reiškinyje tas vardiklis susiprastina. Pakėlus kvadratu taip pat gali atsirasti galimas sprendinys, neatitinkantis pradinės ženklo sąlygos. Sėkmingas įstatymas patvirtina, kad ši reikšmė yra sprendinys; sprendimo metodas taip pat turi pagrįsti, kad buvo apsvarstytos visos leistinos galimybės.

Tada patikrinkite visus konteksto apribojimus, įskaitant tuos, kurių nebuvo jūsų spręstose lygtyse. Anksčiau pateiktos bilietų lygtys turi vienintelę realiųjų skaičių porą a = 10 ir c = 11. Abu patikrinimai, 10 + 11 = 21 ir 8 × 10 + 5 × 11 = 135, yra sėkmingi, ir abu bilietų skaičiai yra leistini. Jei uždavinyje dar būtų reikalaujama bent 12 suaugusiųjų bilietų, ta pati pora šio papildomo apribojimo neatitiktų. Kadangi pradinės lygtys neturi kitos realiųjų skaičių poros, visas uždavinys su šiuo apribojimu tuomet neturėtų sprendinio. Vien lygčių tenkinimas nepatvirtina, kad sprendinys įmanomas uždavinio kontekste.

Apvalinimas nepataiso neįmanomo tikslaus skaičiaus

Pakeiskite pajamas už bilietus į lygiai €136; bendras bilietų skaičius turi likti 21, o abi kainos – nepakitusios. Įstatę c = 21 − a, gauname 8a + 5(21 − a) = 136, taigi 3a = 31. Vienintelė realiųjų skaičių pora yra a = 31/3 ir c = 32/3. Ji tenkina abi skaitines lygtis, tačiau nė viena reikšmė nėra sveikasis skaičius. Todėl tikslus bilietų uždavinys neturi sprendinio leistinųjų reikšmių aibėje.

Suapvalinus šiuos skaičius iki 10 ir 11, bendras bilietų skaičius išlieka toks pats, tačiau pajamos yra 8 × 10 + 5 × 11 = 135, o ne 136. Matavimo rezultato ar pateikiamos trukmės apvalinimas gali būti tinkamas, kai prašoma apytikslės reikšmės; tačiau jis negali padaryti taip, kad neleistinas trupmeninis kiekis tenkintų tikslias sąlygas. Trupmenas ir šaknis palikite tikslias, kol baigsite patikrinimus, tada pateikite prašomą apytikslę reikšmę ir jos tikslumą. Nepakeiskite tikslių duotųjų duomenų artimomis reikšmėmis to nenurodę.

Nustatykite, ar duomenys lemia vienintelį atsakymą

Kai stačiakampio perimetras yra 24 m, teigiamoms kraštinių reikšmėms x ir y, išreikštoms metrais, gauname 2x + 2y = 24, arba x + y = 12. Vien ši informacija nenusako vienintelio stačiakampio. Abi poros (5, 7) ir (4, 8) tenkina sąlygą; bendruoju atveju kiekviena realioji x reikšmė, tenkinanti 0 < x < 12, duoda leistiną kitos kraštinės reikšmę y = 12 − x. Papildoma nepriklausoma sąlyga, pavyzdžiui, plotas ar kraštinių sąryšis, gali susiaurinti galimybes.

Kitaip suformuluotas uždavinys gali pateikti ne per mažai sąlygų, o nesuderinamas sąlygas. Jei tie patys du bilietų skaičiai turi tenkinti ir a + c = 21, ir a + c = 22, atėmę lygtis gauname 0 = 1. Jokia pora netenkina abiejų lygčių, net ir realiųjų skaičių aibėje. Pakartojus a + c = 21 kaip 2a + 2c = 42, papildomo apribojimo neatsiranda. Nustatykite, ar tikrieji sąryšiai yra nepriklausomi ir suderinami; vien užrašytų lygčių skaičius negarantuoja vienintelio atsakymo.

Pateikite atsakymą, jo prasmę ir prielaidas

Baigdami atsakykite į uždavinio klausimą, nurodydami matavimo vienetą ir visus leistinus variantus. Stačiakampio modelyje w(w + 3) = 40 algebriškai gauname w = 5 arba w = −8. Teigiamų ilgių sritis leidžia tik w = 5, todėl kraštinių ilgiai yra 5 m ir 8 m. Atmesta reikšmė tenkina skaitinę lygtį: (−8)(−5) = 40. Ji netinka todėl, kad tie skaičiai negali reikšti nurodytų teigiamų kraštinių ilgių, o ne todėl, kad neigiamos algebrinės šaknys visada yra netinkamos.

Matematiškai patikrintas modelis leidžia padaryti išvadą, kuri priklauso nuo jo duomenų ir prielaidų. Darbo uždavinyje būtina nurodyti pastovius, nepriklausomus darbo našumus ir galimybę darbą dalyti į bet kokio dydžio dalis; tikri spausdintuvai gali sustoti, susidurti su bendru našumą ribojančiu veiksniu arba jiems gali reikėti paruošimo laiko. Tuomet stebėtas darbo užbaigimo laikas gali skirtis, nors nurodyto modelio algebriniai skaičiavimai nesikeičia. Atskirkite pateiktus tikslius duomenis, išmatuotus ar suapvalintus duomenis ir pasirinktas prielaidas. Jei rezultatas neįmanomas arba duomenys neleidžia nustatyti vienintelio atsakymo, taip ir pasakykite, užuot išgalvoję papildomą sąlygą.

Palyginkite lygčių sprendinius su konteksto apribojimais

Modelyje pateikti šeši atvejai: bilietų pardavimas už €135, pardavimas už €136, kai algebriškai gauti bilietų skaičiai yra trupmeniniai, stačiakampis, kurio plotas 40 m², du pastoviu našumu dirbantys spausdintuvai, stačiakampis, kurio vienintelė pateikta sąlyga yra 24 m perimetras, ir bilietų pardavimas už €135 su papildomu reikalavimu parduoti bent 12 suaugusiųjų bilietų. Pasirinkite galimą sprendinį nepriklausomai nuo atvejo, tada palyginkite jo patikrinimo pradinėse lygtyse rezultatus su leistinųjų reikšmių sritimi ir papildomais apribojimais.

Baigtinis galimų sprendinių sąrašas padeda nagrinėti patikrinimo rezultatus, bet neaprašo visų leistinų realiųjų reikšmių. Stačiakampis, kurio nurodytas tik perimetras, turi be galo daug teigiamų realiųjų kraštinių ilgių porų, nors valdikliuose galima pateikti tik kelias. Neigiamų stačiakampio kraštinių ilgių pora tenkina skaitinę lygtį, bet nepriklauso leistinų ilgių sričiai; nesveikųjų bilietų skaičių pora tenkina abi lygtis, bet nepriklauso leistinų skaičių sričiai. Prieš aiškindami, ką rodo pasirinktas galimas sprendinys, pažįstamu algebriniu metodu ir remdamiesi nurodyta leistinųjų reikšmių sritimi nustatykite visą leistinų sprendinių aibę.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Juostelė yra 4 cm trumpesnė už dvigubą virvelės ilgį. Virvelės ilgis yra 9 cm. Tegul r ir c žymi jų ilgių skaitines vertes centimetrais. Užrašykite sąryšį ir raskite r. Ar r = 2(c − 4) išreikštų tą patį teiginį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   r = 2c − 4, todėl r = 14: juostelės ilgis yra 14 cm. 2(c − 4) yra kitoks sąryšis.

   Dvigubas virvelės ilgis yra 18 cm; atimkite 4 cm ir gausite 14 cm. Reiškinyje su skliaustais pirmiausia atimama 4, o tada rezultatas padvigubinamas – gaunama 10 cm. Perskaičius visą reiškinį žodžiais, išryškėja skirtumas.

2. Konvejeris juda pastoviu 18 metrų per minutę greičiu 40 sek. Kokį atstumą jis nuvažiuoja? Nurodykite praėjusio laiko matavimo vienetą ir patikrinkite rezultatą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   12 metrų.

   Tegul t yra praėjęs laikas minutėmis: t = 40/60 = 2/3. Tuomet atstumas yra 18 × 2/3 = 12 m. Kitas greičio užrašymas suderintais vienetais yra 18/60 = 3/10 m/s; taip gaunama 3/10 × 40 = 12 m. Naudojant 18 × 40 be vienetų perskaičiavimo, sekundės būtų laikomos minutėmis.

3. Parduotas lygiai 21 bilietas: suaugusiesiems po 8 €, vaikams po 5 €, be jokių kitų sumų. Ar bendros pajamos gali būti lygiai 136 €? Raskite algebrinį sprendinį – realiųjų skaičių porą, tada paaiškinkite, ar suapvalinus gaunamas tinkamas sprendinys.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Realiųjų skaičių pora yra a = 31/3, c = 32/3; leistino sprendinio su sveikaisiais bilietų skaičiais nėra, o apvalinimas šios problemos neišsprendžia.

   Remdamiesi a + c = 21 ir 8a + 5c = 136, atimkite pirmąją lygtį, padaugintą iš penkių: 3a = 31. Abi realiosios reikšmės nėra sveikieji skaičiai. Suapvalinus iki (10, 11), gaunama 135 €, todėl tiksli pinigų sumos lygtis netenkinama, nors bilietų skaičius lieka 21.

4. Naudokite bilietų lygtis a + c = 21 ir 8a + 5c = 135, kai bilietų skaičiai yra neneigiami sveikieji skaičiai. Jei dar reikalaujama bent 12 suaugusiųjų bilietų, ar uždavinys su visomis sąlygomis turi sprendinį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Vienintelis lygčių sprendinys yra a = 10, c = 11, ir jis netenkina sąlygos a ≥ 12.

   Iš pinigų sumos lygties atimkite bilietų skaičiaus lygtį, padaugintą iš penkių, ir gausite 3a = 30, taigi (10, 11). Ši pora atitinka pradines bendro bilietų skaičiaus bei pinigų sumos sąlygas ir bilietų skaičiams taikomus apribojimus, bet ne papildomą mažiausio skaičiaus sąlygą. Kadangi abi lygtis tenkina vienintelė realiųjų skaičių pora, nėra kitos poros, kuri galėtų tenkinti visas sąlygas.

5. Stačiakampio plotas yra 24 m², o ilgis yra 2 m didesnis už plotį. Raskite visas skaitinės ploto lygties realiąsias šaknis, tada nurodykite leistinus kraštinių ilgius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Realiosios šaknys, nusakančios plotį, yra 4 ir −6. Leistinas plotis yra 4 m, o ilgis – 6 m.

   Kai plotis yra w m, w(w + 2) = 24 virsta (w − 4)(w + 6) = 0. Neigiama šaknis duoda neigiamus kraštinių ilgius, todėl atmetama dėl leistinų reikšmių srities. Leistina pora tenkina abi sąlygas: 4 × 6 = 24 kvadratinių metrų plotą ir 6 − 4 = 2 metrų ilgio skirtumą.

6. Viena mašina laisvai dalijamą darbą atlieka per 4 valandas, o kita – per 12 valandų. Kai kiekvienos mašinos našumas yra pastovus ir nepriklausomas, jos pradeda dirbti vienu metu, dirba be pertraukų ir nėra bendro našumą ribojančio veiksnio, užrašykite racionaliąją lygtį jų bendro darbo laikui rasti, ją išspręskite ir patikrinkite sprendinį pradinėje lygtyje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai t > 0, o t matuojamas valandomis, 1/4 + 1/12 = 1/t; darbas atliekamas tiksliai per 3 valandas.

   Kairioji pusė lygi 1/3 darbo per valandą, todėl 1/t = 1/3 ir t = 3. Pradinės lygties vardiklis nelygus nuliui. Per 3 valandas mašinos atlieka 3/4 ir 1/4 darbo, iš viso – visą darbą. Sudėjus laikus, per kuriuos kiekviena mašina darbą atlieka atskirai, nebūtų modeliuojamas jų darbas vienu metu.

7. Teigiami realieji kraštinių ilgiai x m ir y m tenkina x + y = 12. Ar pridėjus sąlygą 2x + 2y = 24 nustatoma vienintelė pora? O jei vietoj jos pridedama sąlyga x + y = 13?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pridėjus pirmąją sąlygą, vis dar leistina be galo daug porų: 0 < x < 12, y = 12 − x. Antroji papildoma sąlyga prieštarauja pradinei, todėl nėra nė vienos leistinos poros.

   Pirmoji pridėta lygtis pakartoja pradinį sąryšį, padaugintą iš 2; abi poros (5, 7) ir (4, 8) tenkina šias lygtis. Tačiau iš x + y = 13 atėmus x + y = 12, gaunama 0 = 1, todėl tos dvi sąlygos negali būti tenkinamos kartu.

Ką verta įsidėmėti

• Perskaitykite visą uždavinio sąlygą; atskirkite duomenis, nežinomuosius ir kiekvieną lygybe ar nelygybe išreikštą apribojimą.
• Prieš užrašydami lygtis, nurodykite kiekvieno kintamojo reikšmę, matavimo vienetą ir leistinų reikšmių sritį.
• Užrašykite visus sąryšius matematiškai ir, iš naujo išreikšdami juos žodžiais, patikrinkite veiksmų tvarką ir tai, kam taikomas kiekvienas veiksmas.
• Naudokite suderintus matavimo vienetus ir žinomus algebros metodus, išlaikydami pradinius apribojimus, susijusius su vardikliais ir kvadratinėmis šaknimis.
• Patikrinkite kiekvieną galimą sprendinį pagal visas pradines lygtis ir visus uždavinio konteksto apribojimus; pagrįskite, kad buvo išnagrinėta visa leistinų reikšmių aibė.
• Tikrindami išlaikykite tikslias reikšmes: apvalinimas negali paversti trupmeninio objektų skaičiaus uždavinio, kuriame reikalaujama tikslaus sveiko objektų skaičiaus, sprendiniu.
• Pateikite prasmingą atsakymą su matavimo vienetais ir prielaidomis, taip pat nurodykite, jei duomenų nepakanka arba nėra leistino sprendinio.