Funkcijos, apibrėžimo ir reikšmių sritys

Funkcija kiekvienam nurodytam argumentui priskiria lygiai vieną reikšmę

Funkcija kiekvienam nurodytos apibrėžimo srities argumentui priskiria lygiai vieną reikšmę. Įsivaizduokite argumentą, nustatytą taisyklę ir pagal ją gaunamą reikšmę. Pagal taisyklę „padvigubinti argumentą ir pridėti 1“, kai argumentas yra 3, gaunama reikšmė 7. Taisyklė turi nustatyti reikšmę kiekvienam joje nurodytam argumentui ir negali tam pačiam argumentui priskirti dviejų skirtingų reikšmių.

Skirtingiems argumentams gali būti priskirta ta pati reikšmė. Kėlimo kvadratu taisyklė ir argumentui −2, ir argumentui 2 priskiria reikšmę 4, tačiau tai vis tiek yra funkcija: kiekvienas argumentas turi vienintelį rezultatą. Argumentai gali būti ne tik skaičiai, bet ir žymos. Fiksuotas sąrašas, kuriame kiekvienam siuntos kodui priskirta viena pristatymo zona, gali apibrėžti funkciją be algebrinės formulės. Prieš tikrindami vienareikšmiškumą, nuspręskite, kas yra argumentas; sukeitus priskyrimo kryptį, atsakymas gali pasikeisti.

f(x) – funkcijos reikšmė, kai argumentas yra x

Užraše y = f(x) f žymi funkciją, x – jos argumentą, o y yra atitinkama funkcijos reikšmė. f(x) skaitykite „f nuo x“. Skliaustai nurodo taisyklės argumentą; f(x) nereiškia f, padauginto iš x. Kai f(x) = 2x + 1, apskaičiuoti f(−3) reiškia visur vietoj x įrašyti −3: 2(−3) + 1 = −5.

Argumentas dažnai vadinamas nepriklausomuoju kintamuoju, o funkcijos reikšmė – priklausomuoju kintamuoju, nes pasirinkus leistiną argumentą taisyklė nustato funkcijos reikšmę. Šie pavadinimai nusako jų vaidmenis; patys savaime jie nepatvirtina priežasties ir pasekmės ryšio realioje situacijoje. Argumentą žyminti raidė yra tik žymuo: užrašas f(t) = 2t + 1 apibūdina tą pačią taisyklę, jei apibrėžimo sritis nepasikeičia. Argumentas gali būti ir reiškinys: f(a + 1) = 2(a + 1) + 1 = 2a + 3, kai a + 1 yra leistinas argumentas.

Atskirkite leistinus argumentus, tikslinę aibę ir faktines reikšmes

Apibrėžimo sritis yra visų leidžiamų argumento reikšmių aibė. Reikšmių sritis yra visų funkcijos reikšmių, faktiškai gaunamų taikant taisyklę šioms argumento reikšmėms, aibė. Aprašant reikšmių sritį, pasikartojančias funkcijos reikšmes reikia nurodyti tik vieną kartą. Lentelės, kurioje argumento reikšmės yra −2, 0 ir 2, o funkcijos reikšmės – 4, 0 ir 4, apibrėžimo sritis yra {−2, 0, 2}, o reikšmių sritis – {0, 4}. Riestiniai skliaustai čia žymi skirtingų reikšmių sąrašą, o ne intervalą tarp jo kraštinių reikšmių.

Apibrėžiant funkciją taip pat galima nurodyti tikslinę aibę, vadinamą kodomenu: aibę, kuriai turi priklausyti visos funkcijos reikšmės. Nebūtina, kad būtų pasiekiamos visos tikslinės aibės reikšmės. Jei tos lentelės tikslinė aibė nurodyta kaip {0, 4, 9}, pagal ją vis tiek gaunamos tik reikšmės 0 ir 4; 9 priklauso tikslinei aibei, bet ne reikšmių sričiai. Panašiai kėlimo kvadratu taisyklės, kurios argumento reikšmės gali būti visi realieji skaičiai, tikslinė aibė gali būti visų realiųjų skaičių aibė, nors jos reikšmių sričiai priklauso tik neneigiami realieji skaičiai. Šioje pamokoje reikšmių sritis visada reiškia faktiškai gaunamų funkcijos reikšmių aibę.

Pilnoje lentelėje patikrinkite aprėptį ir vienareikšmiškumą

Sąryšis nurodo argumento ir rezultato reikšmių poras; norint nustatyti, ar jis yra funkcija, reikia papildomo patikrinimo. Jei nurodyta, kad lentelė pateikia pilną apibrėžimą srityje {−2, 0, 2}, patikrinkite visas tris nurodytas argumento reikšmes. Poros (−2, 4), (0, 0) ir (2, 4) atitinka reikalavimus: kiekvienai nurodytai argumento reikšmei priskirta tiksliai viena rezultato reikšmė, nors 4 priskirta daugiau nei vienai argumento reikšmei. Pakartojus tą pačią porą (2, 4), antros rezultato reikšmės neatsiranda; pridėjus (2, 9), ji atsiranda.

Jei pilnoje lentelėje nėra argumento reikšmės 2, ji neapibrėžia funkcijos nurodytoje apibrėžimo srityje {−2, 0, 2}. Dvi likusios poros gali apibrėžti funkciją mažesnėje srityje {−2, 0}; pakeitus apibrėžimo sritį, pasikeičia ir teiginys. Atskirkite pilną apibrėžimą baigtinėje srityje nuo lentelės, kurioje pateikti tik keli bendresnės taisyklės pavyzdžiai. Trūkstama pavyzdžių lentelės eilutė nerodo, kad bendresnė funkcija toje vietoje neapibrėžta, o kelios reikalavimus atitinkančios pavyzdžių eilutės neįrodo, kad bendresnė taisyklė yra funkcija.

Vienareikšmiškumą tikrinkite vertikaliomis tiesėmis

Funkcijos grafiko taškas (x, y) reiškia, kad argumento reikšmę x atitinka funkcijos reikšmė y. Vertikali tiesė atitinka vieną fiksuotą argumento reikšmę x. Jei joje yra du skirtingi grafiko taškai, tą argumento reikšmę atitinka dvi skirtingos rezultato reikšmės, todėl grafikas negali vaizduoti y kaip x funkcijos. Tai vertikalios tiesės kriterijus. Be to, jei nurodyta apibrėžimo sritis, kiekvieną jos argumento reikšmę turi atitikti grafiko taškas: vien atitiktis vienareikšmiškumo kriterijui neužpildo praleistos argumento reikšmės.

Horizontali tiesė atitinka fiksuotą rezultato, o ne argumento reikšmę. Ji gali kirsti funkcijos grafiką daugiau nei vieną kartą: tiesė y = 4 kerta y = x² grafiką ties x = −2 ir x = 2, nepažeisdama funkcijos taisyklės. Viso grafiko aprėptis horizontalia kryptimi nusako apibrėžimo sritį, o vertikalia kryptimi – reikšmių sritį, įskaitant tai, ar galiniai taškai priklauso šioms sritims, ir visus tarpus. Apkirptame grafiko lange arba pažymėjus tik kelis taškus gali būti matoma tik dalis šių aibių; išsamų atsakymą nustatykite remdamiesi pateiktu apibrėžimu ir algebra.

Formulei leistinų argumentų aibė gali būti platesnė už uždavinio apibrėžimo sritį

Jei siauresnė apibrėžimo sritis nenurodyta, elementarioji formulė paprastai nagrinėjama natūralioje realiojoje apibrėžimo srityje: tai visos realiosios argumento reikšmės, kurioms pradinis reiškinys turi apibrėžtą realiąją reikšmę. Sudėtis, daugyba ir kėlimas kvadratu leidžia naudoti bet kurią realiąją argumento reikšmę, todėl tiek f(x) = x², tiek g(x) = 2x + 1 galima skaičiuoti su visais realiaisiais skaičiais. Čia realieji skaičiai apima neneigiamus sveikuosius skaičius, trupmenas ir iracionaliąsias reikšmes, tokias kaip √2.

Tačiau apibrėžimo sritis yra funkcijos apibrėžimo dalis. Jei C(n) = 3n + 2 modeliuoja n prekių kainą eurais, kai užsakoma ne daugiau kaip penkios prekės, nurodytas kontekstas gali leisti tik n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Tuomet jos reikšmių sritis yra {2, 5, 8, 11, 14, 17}, o ne visi realieji skaičiai. Formulės reikšmę galima apskaičiuoti, kai n = 1/2 arba n = 8, tačiau šios argumento reikšmės nepriklauso to modelio apibrėžimo sričiai. Tai, kad argumento reikšmė nepriklauso pasirinktai apibrėžimo sričiai, nėra tas pats, kas formulės neapibrėžtumas.

Nustatykite pradinės formulės apribojimus realiųjų skaičių aibėje

Dalybos vardiklis turi būti nelygus nuliui. Taigi r(x) = 1/x natūralioji apibrėžimo sritis realiųjų skaičių aibėje yra x ≠ 0, o p(x) = 1/(x − 3) neapibrėžta, kai x = 3. Patikrinkite kiekvieną pradinės formulės vardiklį, įskaitant apribojimus, kurie išnyktų suprastinus trupmeną. Pradinė formulė (x² − 1)/(x − 1) vis tiek neapibrėžta, kai x = 1, nors jos reikšmė lygi x + 1 esant kiekvienai leistinai argumento reikšmei.

Kad kvadratinė šaknis būtų realioji, jos pošaknis – reiškinys po šaknies ženklu – turi būti neneigiamas. Formulei s(x) = √(x − 1) išspręskite x − 1 ≥ 0 ir gausite x ≥ 1. Po šaknies ženklu gali būti nulis: s(1) = 0. Tačiau formulei 1/√(x − 1) reikia, kad x > 1, nes šaknis taip pat yra vardiklis. Kai atliekami keli veiksmai, atsižvelkite į visus apribojimus kartu. Leistina funkcijos apibrėžimo sritis gali būti siauresnė, nei leidžia šios sąlygos, tačiau ji negali apimti argumento reikšmės, kuriai pradinė formulė realiųjų skaičių aibėje yra neapibrėžta.

Įrodykite nurodytą reikšmių sritį abiem kryptimis

Norėdami nustatyti visą reikšmių sritį, parodykite ir tai, kad kiekviena funkcijos reikšmė tenkina nurodytą apribojimą, ir tai, kad kiekviena šį apribojimą tenkinanti reikšmė iš tikrųjų įgyjama. Funkcijos f(x) = x², apibrėžtos visiems realiesiems argumentams, kiekviena reikšmė yra neneigiama. Ir atvirkščiai: bet kuriam realiajam y ≥ 0 pasirinkite x = √y. Šis argumentas yra leistinas, o x² = y. Todėl tiksli reikšmių sritis yra visi realieji y ≥ 0. Tikrinant vien reikšmes 0, 1 ir 4, būtų praleista, pavyzdžiui, reikšmė 2, įgyjama, kai argumentas yra √2.

Funkcijos q(x) = (x − 2)² + 1, apibrėžtos visiems realiesiems argumentams, reiškinyje kvadratas yra neneigiamas, todėl q(x) ≥ 1, o q(2) = 1. Norėdami gauti bet kurią reikšmę y ≥ 1, pasirinkite x = 2 + √(y − 1). Tuomet (x − 2)² + 1 = y, ir tai įrodo, kad tiksli reikšmių sritis yra y ≥ 1. Šiame įrodyme tiesiogiai naudojamas duotasis reiškinys. Vien tai, kad funkcija įgyja mažiausią reikšmę, neįrodo, jog ji įgyja ir kiekvieną didesnę reikšmę; parinktas argumentas pagrindžia šią antrąją dalį.

Nustatykite šaknies ir atvirkštinio dydžio funkcijų reikšmių sritis pagal leistinus argumentus

Funkcijos s(x) = √(x − 1), kai x ≥ 1, kiekviena reikšmė yra neneigiama, nes √ žymi pagrindinę, neneigiamą šaknį. Bet kuriam y ≥ 0 argumentas x = y² + 1 yra ne mažesnis už 1 ir duoda reikšmę √(y²) = y. Taigi tiksli reikšmių sritis yra y ≥ 0. Siūloma neigiama funkcijos reikšmė, pavyzdžiui, −1, netinka, nors ją pakėlus kvadratu gaunamas algebrinis kandidatas į argumentą: kai x = 2, funkcijos reikšmė yra +1, o ne −1.

Kai r(x) = 1/x ir x ≠ 0, funkcijos reikšmė negali būti lygi nuliui: padauginus 1/x = 0 iš leistino nenulinio x, būtų gaunama 1 = 0. Ir atvirkščiai, bet kuris realusis y ≠ 0 gaunamas pasirinkus x = 1/y, kuris yra nenulinis ir duoda 1/(1/y) = y. Tiksli reikšmių sritis yra visi realieji y, išskyrus nulį. Nei didelis grafiko langas, nei daugybė nenulinių reikšmių pavyzdžių savaime neįrodo viso šio teiginio.

Apriboję apibrėžimo sritį, iš naujo patikrinkite reikšmių sritį

Apribokite kėlimo kvadratu taisyklę uždaruoju intervalu −2 ≤ x ≤ 3. Uždarasis intervalas apima abu galus ir visus tarp jų esančius realiuosius skaičius. Visoje šioje apibrėžimo srityje |x| ≤ 3, todėl 0 ≤ x² ≤ 9. Apatinė reikšmė 0 pasiekiama, kai x = 0, o viršutinė reikšmė 9 – kai x = 3. Norėdami įrodyti, kad tarp jų nėra praleistų reikšmių, paimkite bet kurį y, tenkinantį 0 ≤ y ≤ 9, ir pasirinkite x = √y. Tuomet 0 ≤ x ≤ 3, taigi šis argumentas priklauso nurodytai apibrėžimo sričiai ir duoda y. Tiksli reikšmių sritis yra 0 ≤ y ≤ 9.

Jei apibrėžimo sritis yra 1 ≤ x < 3, kiekviena pakėlus kvadratu gauta reikšmė tenkina 1 ≤ y < 9. Kiekvienas šio intervalo y gaunamas, kai x = √y, o toks x tenkina 1 ≤ x < 3. Todėl reikšmių sritis yra 1 ≤ y < 9: 1 įtraukiamas, o 9 neįtraukiamas. Visame įrodyme atsižvelkite į intervalo galų sąlygas. Jei apibrėžimo sritį sudarytų tik trys argumentai −2, 0 ir 3, reikšmių sritis būtų baigtinė aibė {0, 4, 9}; ji neapimtų visų tarpinių reikšmių.

Atskirai pasirinktą argumentą ir reikšmę palyginkite su visu apibrėžimu

Tyrinėjimo priemonėje pateikiami septyni atvejai: visa baigtinė lentelė su poromis (−2, 4), (0, 0), (2, 4); ši lentelė su papildoma pora (2, 9); ši lentelė be argumento 2; kėlimo kvadratu taisyklė visiems realiesiems argumentams; kėlimo kvadratu taisyklė, kai −2 ≤ x ≤ 3; √(x − 1), kai x ≥ 1; ir 1/x, kai x ≠ 0. Kiekvienu baigtiniu atveju nurodyta argumentų aibė {−2, 0, 2} ir tikslinė aibė {0, 4, 9}. Prieš laikydami baigtinį atvejį funkcija nurodytoje apibrėžimo srityje, atskirai patikrinkite, ar kiekvienas argumentas turi reikšmę ir ar ta reikšmė yra vienintelė.

Nepriklausomai vieną nuo kito pasirinkite argumentą ir siūlomą reikšmę. Tikrinant argumentą nustatoma, ar jis leistinas ir kokią reikšmę duoda; tikrinant reikšmę nustatoma, ar ją duoda bent vienas leistinas argumentas. Siūloma reikšmė nebūtinai turi sutapti su funkcijos reikšme ties pasirinktu argumentu. Baigtinis valdiklių sąrašas leidžia patikrinti konkrečius pavyzdžius, bet negali atspindėti visų realiųjų skaičių galimybių. Baigtiniam sąryšiui naudokite visą lentelę, o realiųjų skaičių formulėms – algebrinius reikšmių srities įrodymus; atskirkite argumentą, kuriam formulė neapibrėžta, argumentą, neįtrauktą į pasirinktą apibrėžimo sritį, ir reikšmę, kuri niekada nepasiekiama.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tegu f(x) = 3x − 2 visoms realiosioms argumento reikšmėms. Raskite f(−2) ir f(a + 1). Paaiškinkite, ką reiškia skliaustai.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f(−2) = −8 ir f(a + 1) = 3a + 1. Skliaustuose nurodoma funkcijos argumento reikšmė.

   Vietoj kiekvieno x įrašykite nurodytą argumento reikšmę: 3(−2) − 2 = −8 ir 3(a + 1) − 2 = 3a + 1. f yra funkcijos pavadinimas; f(x) yra jos reikšmė, o ne f ir x sandauga.

2. Kiekvienam visiškai aprašytam sąryšiui nurodyta apibrėžimo sritis {0, 1, 2}. A sudaro poros (0, 7), (1, 7), (2, 8); B sudaro (0, 7), (1, 7); C sudaro (0, 7), (1, 7), (1, 8), (2, 8). Kurie sąryšiai apibrėžia funkcijas šioje apibrėžimo srityje? Paaiškinkite kiekvieną atvejį, kai sąryšis neapibrėžia funkcijos.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tik A. B neapima nurodytos argumento reikšmės 2; C argumento reikšmei 1 priskiria dvi skirtingas funkcijos reikšmes.

   A apima visas argumento reikšmes, o argumento reikšmėms 0 ir 1 galima priskirti tą pačią funkcijos reikšmę 7. B yra funkcija, jei jo apibrėžimo sritis pakeičiama į {0, 1}, tačiau jis neatitinka pateikto išsamaus funkcijos apibrėžimo aibėje {0, 1, 2}. C neatitinka funkcijos reikšmės vienatinumo sąlygos, nors jame yra visos nurodytos argumento reikšmės.

3. Funkcijai nurodytos argumento reikšmės {−3, 0, 3}, tikslinė aibė {0, 9, 16} ir taisyklė f(x) = x² šioms argumento reikšmėms. Nurodykite jos apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį. Ar 16 yra šios funkcijos reikšmė? Ar f(4) yra šio apibrėžimo dalis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis {−3, 0, 3}; reikšmių sritis {0, 9}. Funkcija neįgyja reikšmės 16, o f(4) nepatenka į šios funkcijos apibrėžimą.

   Leistini argumentai duoda reikšmes 9, 0 ir 9. Tai, kad reikšmė priklauso nurodytai tikslinei aibei, nereiškia, kad funkcija ją įgyja. Reiškinį 4² galima apskaičiuoti, tačiau argumentas 4 nepriklauso pasirinktai apibrėžimo sričiai; dėl to formulė netampa neapibrėžta.

4. Grafikui y = x² priklauso taškai (−2, 4) ir (2, 4). Ar dėl šių taškų jis negali būti x funkcijos grafikas? O jei sąryšiui priklauso taškai (2, 4) ir (2, 5)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kvadratinės funkcijos grafikas vis tiek vaizduoja funkciją. Antrasis sąryšis negali apibrėžti y kaip x funkcijos.

   Pirmųjų dviejų taškų argumentai skirtingi, o funkcijos reikšmė ta pati — tai leidžiama; per abu taškus eina horizontali tiesė. Antrojoje poroje tam pačiam argumentui 2 priskiriamos dvi skirtingos reikšmės, todėl vertikali tiesė eina per abu taškus ir vienareikšmiškumo kriterijus netenkinamas.

5. Raskite natūraliąsias p(x) = 1/(x − 4), s(x) = √(2 − x) ir h(x) = 1/√(2 − x) apibrėžimo sritis realiųjų skaičių aibėje. Paaiškinkite, ar x = 2 yra leistinas argumentas kiekvienai formulei su šaknimi.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   p: x ≠ 4; s: x ≤ 2; h: x < 2. Argumentas 2 yra leistinas funkcijai s, bet neleistinas funkcijai h.

   Dėl trupmenos vardiklio argumentas 4 neleistinas. Funkcijai s sąlyga 2 − x ≥ 0 leidžia x ≤ 2, o s(2) = 0. Funkcijai h reali šaknies reikšmė taip pat turi būti nelygi nuliui, todėl būtina sąlyga 2 − x > 0; argumentas 2 lemtų dalybą iš nulio.

6. Funkcijos f(x) = x² lentelėje pateikti argumentai −2, −1, 0, 1, 2 ir reikšmės 4, 1, 0, 1, 4. Jei nurodyta apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai, ar funkcijos reikšmių sritis yra {0, 1, 4}? Įrodykite, kokia yra visa reikšmių sritis, ir pateikite argumentą, kuriam funkcija įgyja reikšmę 2.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Visa reikšmių sritis yra visi realieji y ≥ 0; argumentui √2 funkcijos reikšmė yra 2.

   Kiekvieno kvadrato reikšmė yra neneigiama. Ir atvirkščiai: kiekvienam realiajam y ≥ 0 leistinas argumentas x = √y duoda reikšmę y. Lentelėje pateikti tik keli begalinės apibrėžimo srities pavyzdžiai, todėl kelios joje esančios skirtingos reikšmės nesudaro visos reikšmių srities.

7. Įrodykite, kokia yra tiksli funkcijos f(x) = x² reikšmių sritis, kai nurodyta apibrėžimo sritis yra −2 ≤ x ≤ 3. Tada įrodykite, kokia yra reikšmių sritis, kai apibrėžimo sritis yra 1 ≤ x < 3. Nesiremkite vien intervalo galų patikrinimu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai −2 ≤ x ≤ 3, reikšmių sritis yra 0 ≤ y ≤ 9. Kai 1 ≤ x < 3, ji yra 1 ≤ y < 9.

   Pirmojoje apibrėžimo srityje iš |x| ≤ 3 gauname 0 ≤ x² ≤ 9, o kiekviena y reikšmė iš [0, 9] pasiekiama, kai x = √y priklauso [0, 3]. Antrojoje iš 1 ≤ x < 3 gauname 1 ≤ x² < 9, o kiekviena y reikšmė iš [1, 9) pasiekiama, kai x = √y priklauso [1, 3). Parinkti argumentai įrodo, kad tarpų nėra, ir išlaiko intervalų galų įtraukimo sąlygas.

Ką verta įsidėmėti

• Funkcija kiekvienam deklaruotam argumentui priskiria lygiai vieną reikšmę. Skirtingi argumentai gali turėti tą pačią reikšmę; jei kuriam nors deklaruotam argumentui reikšmė nepriskirta arba vienam argumentui priskirtos dvi skirtingos reikšmės, pažeidžiamos skirtingos apibrėžimo dalys.
• f(x) žymi funkcijos reikšmę, kai argumentas yra x. Apskaičiuokite ją visur taisyklėje įstatydami visą argumento išraišką.
• Apibrėžimo sritį sudaro leistini argumentai, tikslinė aibė (kodomenas) yra nurodyta funkcijos reikšmėms skirta aibė, o reikšmių sritį sudaro tik faktiškai pasiekiamos reikšmės.
• Uždavinyje pasirinkta apibrėžimo sritis gali būti siauresnė už natūraliąją formulės apibrėžimo sritį realiųjų skaičių aibėje. Atskirkite argumentą, su kuriuo formulė apibrėžta, bet kuris neįtrauktas į pasirinktą sritį, nuo argumento, su kuriuo pradinė formulė neapibrėžta.
• Pradinėje formulėje vardikliai turi būti nelygūs nuliui, o realiųjų kvadratinių šaknų pošakniniai reiškiniai turi būti neneigiami. Jei visą vardiklį sudaro kvadratinė šaknis, jos pošakninis reiškinys turi būti griežtai teigiamas.
• Vertikaliosios tiesės leidžia patikrinti, ar vienas argumentas turi kelias reikšmes. Tai, kad horizontaliosios tiesės kerta grafiką daugiau nei vieną kartą, savaime nereiškia, kad jis nėra funkcijos grafikas.
• Įrodykite visą reikšmių sritį abiem kryptimis: apribokite visas galimas reikšmes, tada kiekvienai nurodytai reikšmei parinkite leistiną argumentą. Pasikeitus apibrėžimo sričiai ar jos galų įtraukimo sąlygoms, patikrinkite šį įrodymą iš naujo.