Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai

Įvardykite dydžius ir apibrėžimo sritį

Simbolis gali žymėti fizikinį dydį kartu su jo vienetu. Funkcijoje kiekvieną leistiną argumento reikšmę atitinka lygiai viena funkcijos reikšmė. Leistinų argumento reikšmių aibė yra funkcijos apibrėžimo sritis. Įvardijus įvesties ir išvesties dydžius bei fiksuotus parametrus, matematinę taisyklę lengviau taikyti.

Mūsų originalus hipotetinis modelis aprašo vieno pasirinkto vežimėlio taško judėjimą tiesia trasa. Fiksuotas atskaitos pradžios taškas trasoje apibrėžia padėtį x, o teigiama kryptis yra į dešinę. Laikas t matuojamas nuo pradžios. Nustatome pastovų greitį v = +0.40 m/s ir pradinę padėtį x0 = −0.50 m visame intervale 0 ≤ t ≤ 4 s, įskaitant abu galinius taškus. Taisyklė yra x(t) = x0 + v t. Tai pateiktos tikslios modelio vertės, o ne matavimų rezultatai.

Čia t yra įvesties dydis, x(t) – išvesties dydis, o x0 ir v – fiksuoti parametrai. Žymėjimas x(t) reiškia padėtį laiko momentu t, o ne x, padaugintą iš t. Kai t = 2 s, įstatę gauname x(2 s) = −0.50 m + (+0.40 m/s)(2 s) = +0.30 m. Sekundės sandaugoje susiprastina, todėl lieka ilgis, kurį galima pridėti prie x0.

Pertvarkymas leistinais veiksmais

Abiem lygties pusėms pritaikius tą patį leistiną veiksmą, gaunama ekvivalenti lygtis. Norėdami rasti laiką iš x = x0 + v t, iš abiejų pusių atimkite x0: x − x0 = v t. Jei v ≠ 0, abi puses padalykite iš v: t = (x − x0) / v. Dalyba galima tik tada, kai vardiklis nelygus nuliui.

Pertvarkydami išlaikykite dydžius ir jų vienetus. Skaitiklis x − x0 yra poslinkis, čia matuojamas metrais. Padalijus jį iš greičio, gaunami vienetai m / (m/s) = s. Radę galimą laiko reikšmę, įstatykite ją į pradinę lygtį ir patikrinkite, ar ji priklauso nurodytai apibrėžimo sričiai.

Atskiru pastovios padėties atveju, kai v = 0, taisyklė tampa x(t) = x0. Padėtis, lygi x0, pasiekiama kiekvienu leistinu laiko momentu; kitokia pageidaujama padėtis nepasiekiama nė vienu. Dalyba iš nulio panaikintų šį skirtumą. Funkcija gali kiekvienai argumento reikšmei priskirti vieną funkcijos reikšmę, tačiau ne kiekvieną pageidaujamą funkcijos reikšmę turi atitikti vienintelė argumento reikšmė.

Lentelės ir sužymėto grafiko ryšys

Lentelėje pateiktos penkios tikslios reikšmės, apskaičiuotos pagal mūsų vežimėlio judėjimo taisyklę. Pridedamame grafike horizontalioji ašis žymi laiką t sekundėmis, o vertikalioji – padėtį x metrais. Abiejų ašių skalės tiesinės: vienodus skaitinius intervalus atitinka vienodi atstumai išilgai tos ašies. Grafike pažymėtas taškas, kurio t = 1 s ir x = −0.10 m, rodo vežimėlio taško padėtį tuo laiko momentu.

Pavaizduota tiesės atkarpa atitinka nustatytą pastovaus greičio taisyklę visame intervale 0 ≤ t ≤ 4 s. Tai modelio kreivė, o ne matavimų rinkinys. Vien penkių pateiktų reikšmių nepakaktų vienintelei kreivei tarp jų pagrįsti; šią informaciją suteikia nurodyta taisyklė.

Padėties priklausomybės nuo laiko grafikas turi vieną laiko ašį ir vieną padėties ašį. Jo linija nėra trajektorijos dviem erdvinėmis kryptimis brėžinys. Grafiko aukštį skaitykite kaip padėtį, o horizontaliąją koordinatę – kaip laiką. Padėtis ir jos pokyčiai apibrėžiami pasirinktos atskaitos sistemos ir teigiamos krypties atžvilgiu.

Nustatykite pokyčius ir sankirtas su ašimis

Dviem skirtingiems laiko momentams t1 ir t2, kai t2 > t1, apibrėžiame Δx = x2 − x1 ir Δt = t2 − t1. Graikiška raidė Δ reiškia pokytį. Grafike pavaizduotas padėties pokytis, padalytas iš laiko pokyčio, Δx / Δt, yra vidutinis greitis per tą laiko intervalą. Mūsų pastovaus greičio modelyje šis santykis yra +0.40 m/s kiekviename tokiame intervale, priklausančiame apibrėžimo sričiai.

Sankirtos su vertikaliąja ašimi koordinatė yra x0 = −0.50 m, kai t = 0. Grafikas kerta horizontaliąją ašį, kai x = 0: 0 − (−0.50 m) = (+0.40 m/s)t, taigi t = 1.25 s. Tai skirtingi dydžiai: pradinė padėtis ir ašies kirtimo laiko momentas. Neigiama grafiko ordinatė reiškia padėtį į kairę nuo koordinačių pradžios; vien ji nereiškia judėjimo į kairę.

Nuolydį apskaičiuokite pagal pažymėtas skalės padalas ir vienetus. Ištempus brėžinį horizontaliai arba vertikaliai, pasikeičia matomas tiesės kampas, bet ne pažymėtas Δx / Δt. Taigi grafiko aukštis, skaitinė nuolydžio vertė ir matomas kampas yra skirtinga informacija.

Laikykitės nurodytų modelio ribų

Vežimėlio padėties formulė leidžia nustatyti padėtis tarp išvardytų laiko momentų, nes visame intervale buvo numatytas pastovus greitis. Pavyzdžiui, leidžiama apskaičiuoti jos reikšmę, kai laikas yra 2.5 s. Tai nenustato interpoliavimo taisyklės nei bet kokiems išmatuotiems taškams, nei kiekvienam fizikiniam procesui.

To paties algebrinio reiškinio reikšmę galima apskaičiuoti, kai laikas yra 5 s, ir gauti +1.50 m. Tačiau 5 s nepatenka į mūsų nurodytą modelio apibrėžimo sritį. Šis skaičiavimas nesuteikia jokios prognozės apie tikrąjį vežimėlį po 4 s. Norint išplėsti leistiną intervalą, reikėtų papildomos fizikinės informacijos.

Skirkite tikslų skaičiavimą pagal pateiktą modelį nuo realybės aprašymo tikslumo. Grafikas ar sėkmingas reiškinio pertvarkymas nepatvirtina, kad tikras vežimėlis juda pagal šią formulę. Taikant modelį praktiškai, taip pat reikia tinkamų stebėjimų, prielaidų ir tikslumo patikrų. Mūsų numatytos dešimtainės vertės neparodo realių matavimų preciziškumo.

Logaritmą supraskite kaip laipsnio rodiklį

Dešimties laipsniai nusako daugybinius žingsnius: 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1 ir 10⁻¹ = 1/10 = 0.1. Logaritmas, kurio pagrindas yra 10, nurodo, kokiu laipsniu reikia pakelti pagrindą, kad gautume teigiamą argumentą r. Rašykite log10(r) = y, kai 10^y = r. Taigi log10(100) = 2 ir log10(0.1) = −1. Dešimtainio logaritmo pagrindas yra 10.

Bendruoju atveju log_b(r) = y reiškia b^y = r, kai pagrindas b yra teigiamas, b ≠ 1, o argumentas r yra teigiamas. Pagrindą būtina nurodyti, nes jį pakeitus pasikeičia logaritmo reikšmė. Pavyzdžiui, tam pačiam argumentui 16 gauname log_2(16) = 4, nes 2⁴ = 16, o log_4(16) = 2, nes 4² = 16.

Čia naudojame realiuosius logaritmus. Jų argumentas turi būti didesnis už nulį. Logaritmo reikšmė gali būti neigiama: ji gali nusakyti teigiamą santykį, mažesnį už vienetą. Tai nereiškia, kad logaritmo argumentas buvo neigiamas. Šiomis sąlygomis nulis ir neigiami argumentai neturi realiojo logaritmo.

Prieš logaritmuodami sudarykite fizikinių dydžių santykį

Fizikinių dydžių atveju logaritmo argumentas turi būti bedimensis. Tos pačios rūšies dydžius lyginkite padalydami teigiamą dydį iš teigiamos atskaitos vertės, išreikštos suderinamais vienetais. Nurodykite ir dydį, ir jo atskaitos vertę; oficialiose metrologijos gairėse šis reikalavimas taip pat aiškiai taikomas jose įvardytiems logaritminiams santykio dydžiams.

Mūsų atskirame, čia sukurtame palyginime Q yra numatytas teigiamas perduodamos energijos dydis, o Qref = 0.020 J yra jo fiksuota teigiama atskaitos vertė. Apibrėžkime mūsų palyginimo indeksą taip: L = log10(Q / Qref). Tai šiai pamokai apibrėžtas bedimensis indeksas. Lentelė rodo, kaip dešimteriopi Q pokyčiai atitinka L pokyčius vienetu. Čia nepateikiama nei kitimo laikui bėgant, nei fizikinio atsako, nei išmatuotos energijos duomenų rinkinio.

Keisdami vienetus, perskaičiuokite abi energijas kartu. Kadangi 1 mJ = 0.001 J, Q = 2 J ir Qref = 0.020 J taip pat galima užrašyti kaip 2000 mJ ir 20 mJ. Abiem atvejais gaunamas tas pats bematis santykis 100 ir indeksas L = 2. Indeksas nusako palyginimą su atskaitos verte; jis nėra 2 J energija. Skaičiuojant log10(2 J), argumentas liktų matmeninis ir toks palyginimas nebūtų apibrėžtas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Naudodamiesi pateikta vežimėlio judėjimo taisykle, raskite x, kai t = 1.5 s. Patikrinkite vienetus ir apibrėžimo sritį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x(1.5 s) = +0.10 m, kai laikas priklauso leistinam intervalui.

   Sandauga (+0.40 m/s)(1.5 s) = +0.60 m turi ilgio vienetus. Pridėję x0 = −0.50 m, gausite +0.10 m. Laikas 1.5 s priklauso intervalui nuo 0 iki 4 s, įskaitant abu intervalo galus.

2. Atskirame pastovios padėties modelyje x0 = −0.50 m, o v = 0 visame tame pačiame leistiname intervale 0 ≤ t ≤ 4 s. Kuriomis laiko reikšmėmis x = −0.50 m? Kuriomis x = +0.50 m? Ar į šiuos klausimus galima atsakyti dalijant iš v?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kiekvieną leistiną laiko reikšmę atitinka −0.50 m; nė vienos neatitinka +0.50 m. Dalyba iš v negalima, nes v = 0.

   Taisyklė supaprastėja iki x(t) = −0.50 m kiekvienai leistinai argumento reikšmei. Vieną funkcijos reikšmę gali atitikti daug argumento reikšmių. Išnagrinėjus šią taisyklę, į klausimus galima atsakyti nedalijant iš nulio.

3. Pradinėje vežimėlio judėjimo taisyklėje, kai v = +0.40 m/s, pertvarkius lygtį su x = +1.50 m, gaunama t = 5 s. Ar tai patvirtina, kad vežimėlis pasiekia tą padėtį, kai laikas yra 5 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Gauta galima laiko reikšmė nepatenka į nurodytą modelio apibrėžimo sritį 0–4 s.

   Aritmetinis skaičiavimas yra (1.50 m − (−0.50 m)) / (0.40 m/s) = 5 s. Juo apskaičiuojama algebrinio reiškinio tęsinio reikšmė. Nurodytas fizikinis modelis neaprašo judėjimo po 4 s, todėl šis skaičiavimas nepatvirtina vėlesnės vežimėlio padėties.

4. Vežimėlio judėjimo grafike, kai t = 1 s, x = −0.10 m. Ar vežimėlis juda į kairę? Pagrįskite judėjimo kryptį naudodamiesi taškais, atitinkančiais 1 s ir 2 s.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pagal nurodytą pastovaus greičio modelį jis juda į dešinę. Neigiama padėties koordinatė tik rodo, kad jis yra į kairę nuo koordinačių pradžios.

   Padėties koordinatė per 1 s pasikeičia nuo −0.10 m iki +0.30 m: Δx / Δt = (+0.30 m − (−0.10 m)) / (2 s − 1 s) = +0.40 m/s. Šis teigiamas greitis rodo judėjimą nurodyta teigiama kryptimi.

5. Kai Qref = 0.020 J, raskite pamokoje apibrėžtą indeksą teigiamai dydžio vertei Q = 0.002 J, kuri užduotyje laikoma tikslia. Ar pagal tą patį realiojo logaritmo apibrėžimą būtų leistina Q = 0 su šia atskaitos verte?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai Q = 0.002 J, L = −1. Kai Q = 0, šis realusis logaritmas neapibrėžtas.

   Teigiamas bedimensis dalmuo yra 0.002 J / 0.020 J = 0.1. Kadangi 10⁻¹ = 0.1, log10(0.1) = −1. Kai Q lygus nuliui, dalmuo būtų nulis ir nepriklausytų realiojo logaritmo apibrėžimo sričiai, kurią sudaro teigiamos argumento vertės. Neigiama logaritmo vertė nereiškia, kad jo argumentas turi būti neigiamas.

6. Teigiamas bedimensis santykis yra 16. Palyginkite log_2(16) su log_4(16). Ar abu pagrindai leistini realiesiems logaritmams?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   log_2(16) = 4, o log_4(16) = 2. Abu pagrindai yra teigiami ir nelygūs vienetui, todėl abu leistini.

   2⁴ = 16, o 4² = 16. Taigi to paties santykio logaritmo vertės gali skirtis, kai aiškiai pasirenkami skirtingi pagrindai. Argumentas yra teigiamas ir bedimensis.

Ką verta įsidėmėti

• Nurodykite modelio dydžių ir kintamųjų prasmę, matavimo vienetus ir leistiną apibrėžimo sritį.
• Pertvarkykite taikydami leistinus veiksmus, tada patikrinkite galimą rezultatą pradinėje lygtyje ir nurodytoje apibrėžimo srityje.
• Prieš interpretuodami grafiko aukštį, pokyčius ar sankirtas su ašimis, perskaitykite grafiko žymas ir skalės padalas.
• Modelio kreivei būtina nurodyta taisyklė ir sąlygos; išvardyti taškai ir tikslūs algebriniai skaičiavimai nenustato tikrosios elgsenos už modelio taikymo ribų.
• Logaritmas nurodo laipsnio rodiklį, kai aiškiai pasirinktas teigiamas, vienetui nelygus pagrindas, o argumentas yra teigiamas realusis skaičius.
• Atlikdami logaritminius fizikinių dydžių palyginimus, padalykite suderinamus dydžius, kad gautumėte bedimensį santykį, ir įvardykite atskaitos dydį.