Fizika · Straipsnis

Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos

Aprašyti idealų išsidėstymą plokštumoje naudojant koordinates, stačiojo trikampio kraštinių ilgius ir kampus nusakančius santykius, atskiriant koordinačių pasirinkimą ir geometrinius ryšius nuo fizinio judėjimo.

Ankstesnis straipsnis: Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Nurodyti geometriniame apraše naudojamą plokštumą, koordinačių pradžią, ašių kryptis ir matavimo vienetus.
Apskaičiuoti atstumą tiesia linija naudojant koordinačių skirtumus statmenomis kryptimis.
Atskirti kampą nuo ilgio ir nurodytus laipsnius perskaičiuoti į radianus.
Atpažinti nurodytam smailiajam kampui priešingą statinį, prie jo esantį statinį ir įžambinę.
Naudoti pristatytus sinuso ir kosinuso santykius projekcijoms statmenomis kryptimis rasti.
Paaiškinti, kaip koordinatės gali keistis, nors fiziniai taškai lieka nejudantys.

Apibrėžti geometrinį modelį

Geometrija padeda aprašyti išsidėstymą: kur yra pasirinkti taškai, kokie atstumai juos skiria ir kaip susikerta kryptys. Prieš skaičiuodami įvardykite išsidėstymą ir klausimą. Ilgis atsako į klausimą apie atstumą, o kampas – į klausimą apie kryptis skiriančio kampo dydį ar jų tarpusavio orientaciją.

Mūsų sukurtuose nagrinėjamuose atvejuose naudojama ideali plokščia euklidinė plokštuma – pažįstama tiesių, apskritimų ir stačiųjų trikampių geometrija. Pažymėti taškai yra nejudantys. Neatsižvelgiame į storį ir jokius nukrypimus nuo šios plokštumos geometrijos. Pateiktos koordinatės ir ilgiai yra tikslios hipotetinio modelio reikšmės, o ne stebėjimų duomenys.

Šio išsidėstymo brėžinys nereiškia, kad objektas judėjo nubrėžta linija. Judėjimui aprašyti reikėtų papildomos informacijos, įskaitant tai, kaip padėtys kinta laikui bėgant. Čia abi koordinačių ašys nusako padėtį erdvėje. Tai skiriasi nuo padėties priklausomybės nuo laiko grafiko, kurio horizontalioji ašis nusako laiką.

Apibrėžkite koordinačių sistemą

Stačiakampę koordinačių sistemą sudaro dvi statmenos ašys, susikertančios koordinačių pradžioje. Taškas aprašomas sutvarkyta pora (x, y). Mūsų geometrinės konstrukcijos koordinačių pradžia yra pažymėtas taškas A; teigiama x kryptis plokštumoje yra į dešinę, o teigiama y kryptis – į viršų. Abi koordinatės matuojamos metrais.

Taškas B = (+6 m, +8 m) yra 6 m į dešinę ir 8 m aukščiau už A. Iš jo į x ašį nuleisto statmens pagrindas yra C = (+6 m, 0); į y ašį nuleisto statmens pagrindas yra D = (0, +8 m). Statmens pagrindas yra taškas, kuriame ašiai statmena tiesė kerta tą ašį. Šie taškai apibrėžia pavaizduotą statinę geometrinę konstrukciją.

Koordinačių ženklai nusako taško padėtį apibrėžtos koordinačių pradžios ir krypčių atžvilgiu. Jie nereiškia neigiamų ilgių ir nenurodo judėjimo krypties. Erdvinio brėžinio abiejose ašyse vienodiems fiziniams atstumams turi būti taikomas vienodas mastelis, kad pavaizduota forma ir kampai tiksliai atitiktų šią geometriją.

Tikslios mūsų sukurtos fiksuotos plokštuminės konstrukcijos taškų koordinatės: koordinačių pradžia A, teigiama x kryptis – į dešinę, teigiama y kryptis – į viršų
Taškas	x (m)	y (m)
A	0	0
B	+6	+8
C	+6	0
D	0	+8

Nejudantis statusis trikampis ir jo statmenosios projekcijos

1. Remkitės nurodyta erdvine atskaita
B yra 6 m į dešinę ir 8 m aukštyn nuo A. Koordinačių ženklai nusako fiksuoto taško padėtį nurodytos koordinačių pradžios ir krypčių atžvilgiu.
2. Prieš sudarydami santykius pasirinkite smailųjį kampą
Kai θ yra ties A, kosinusas yra 6/10 = 3/5, o sinusas – 8/10 = 4/5. Pasirinkus kitą kampą, pasikeičia prieš kampą ir prie kampo esančių kraštinių vaidmenys.
3. Skirkite projekcijas nuo tiesioginio atstumo
Projekcijų ilgiai yra AC = 6 m ir AD = 8 m. Jų kvadratų suma duoda AB² = 100 m² ir AB = 10 m; sudėjus pačius ilgius gaunamas kitoks, iš dviejų atkarpų sudaryto maršruto ilgis – 14 m.

Originali tiksli hipotetinė konstrukcija idealioje plokščioje Euklido plokštumoje. Fiksuotas pažymėtas taškas A yra koordinačių pradžia; teigiama x kryptis yra į dešinę, o teigiama y kryptis – į viršų. Abiejose erdvinėse ašyse naudojami metrai, o vieną metrą brėžinyje atitinka toks pat ilgis. A = (0, 0), B = (+6 m, +8 m), C = (+6 m, 0) ir D = (0, +8 m). Ištisinėmis linijomis pavaizduoto trikampio ACB statinių ilgiai yra 6 m ir 8 m, o įžambinės ilgis – 10 m. Tai geometrinio modelio vertės, o ne matavimai ar stebėtas maršrutas.

Apskaičiuokite atstumą tiesia linija

Stačiajame trikampyje ACB statiniai AC ir CB sudaro statųjį kampą. Prieš šį kampą esanti kraštinė AB yra įžambinė. Kai statmenų statinių ilgiai yra a ir b, o įžambinės ilgis – ℓ, Pitagoro teorema nusakoma lygybe ℓ² = a² + b². Ilgiai yra neneigiami; kvadratas reiškia dydžio daugybą iš savęs.

Čia ℓ² = (6 m)² + (8 m)² = 36 m² + 64 m² = 100 m², todėl ℓ = 10 m. Neneigiama kvadratinė šaknis – tai vertė, kurios kvadratas lygus pateiktam rezultatui. Atstumas tiesia linija 10 m skiriasi nuo dviejų atkarpų geometrinio kelio A→C→B ilgio 14 m.

Bet kuriems dviem taškams toje pačioje plokštumos koordinačių sistemoje su statmenomis ašimis ir vienodais jų masteliais naudokite jų koordinačių skirtumus: Δx = x2 − x1, Δy = y2 − y1, tada d² = (Δx)² + (Δy)². Pirmiausia išreikškite ilgius tais pačiais matavimo vienetais. Ši formulė remiasi šiomis geometrinėmis prielaidomis; jos taikymą bet kokioms nestatmenoms ašims ar kitokiai erdvės geometrijai reikėtų pagrįsti.

Įvardykite kampo matavimo vienetus

Kampą nusako dvi viršūnėje susitinkančios kryptys. Jo dydį galime išreikšti laipsniais arba radianais. Pilnas apsisukimas yra 360°, o statusis kampas – 90°. Radianas, kurio simbolis rad, yra plokščiojo kampo SI vienetas. Vienas radianas – tai apskritimo centrinis kampas, kurio atitinkamo lanko ilgis lygus apskritimo spinduliui.

Tarkime, turime apskritimą, kurio spindulys r yra teigiamas, ir neneigiamą centrinį kampą, ne didesnį už pilną apsisukimą. Atitinkamo lanko ilgį pažymėkime s. Šio kampo skaitinė vertė u radianais yra u = s / r, todėl θ = u rad. Išraiškoje u ilgio vienetai susiprastina, tačiau kampas išlieka kitokios rūšies dydis nei ilgis ar įprastas ilgių santykis. Lanko ilgis s ir spindulys r turi būti išreikšti tais pačiais ilgio vienetais.

Tiksli vienetų perskaičiavimo lygybė yra 1° = (π/180) rad. Taigi 180° = π rad ir 90° = (π/2) rad. Konstanta π apytiksliai lygi 3.1416. Aiškiai nurodykite kampo matavimo vienetą: 90° ir 90 rad yra skirtingi kampai. Jei naudojate skaičiuotuvą trigonometrinėms funkcijoms skaičiuoti, jo laipsnių arba radianų režimas turi atitikti įvedamo kampo skaitinės vertės vienetus.

Lygiaverčiai kampo dydžiai; išraiškos su π yra tikslios, o ne dešimtainės aproksimacijos
Kampas	Laipsniai	Radianai
Statusis kampas	90°	(π/2) rad
Pusė apsisukimo	180°	π rad
Visas apsisukimas	360°	2π rad

Susipažinkime su stačiojo trikampio kraštinių santykiais

Pasirinkite smailųjį kampą θ ties viršūne A tarp atkarpos AC, nukreiptos teigiama x ašies kryptimi, ir atkarpos AB. Smailusis kampas yra didesnis už 0° ir mažesnis už 90°. Šio pasirinkto kampo atžvilgiu CB yra priešpriešinis statinis, AC – priglaustinis statinis, o AB – įžambinė. Pasirinkus kitą smailųjį kampą, pasikeičia ir tai, kuris statinis yra priešpriešinis, o kuris – priglaustinis.

Sinusą, kosinusą ir tangentą apibrėžiantys santykiai yra sin θ = opposite / hypotenuse, cos θ = adjacent / hypotenuse ir tan θ = opposite / adjacent. Mūsų konstrukcijoje sin θ = 8 m / 10 m = 4/5, cos θ = 6 m / 10 m = 3/5 ir tan θ = 8 m / 6 m = 4/3. Vienodi ilgio vienetai susiprastina; šie santykiai neturi ilgio vieneto.

Žymėjimas sin θ reiškia pasirinkto kampo sinusą, o ne sin, padaugintą iš θ. Mūsų apibrėžimuose, grindžiamuose stačiuoju trikampiu, naudojamas smailusis kampas, o statinių ir įžambinės ilgiai nelygūs nuliui. Kitiems kampams ir trigonometrinių funkcijų reikšmėms su ženklu reikia platesnio apibrėžimo; čia pateiktiems pavyzdžiams tokio išplėtimo nereikia.

Susipažinkime su statmenosiomis projekcijomis

Statmenoji projekcija į ašį nurodo iš taško į tą ašį nuleisto statmens pagrindą. Mūsų konstrukcijoje taškas B projektuojamas į tašką C x ašyje ir į tašką D y ašyje. Atkarpos AB horizontaliosios projekcijos ilgis yra AC = 6 m; vertikaliosios projekcijos ilgis yra AD = CB = 8 m. Tai geometrinio aprašymo dalys, o ne du stebimo judėjimo etapai.

Remdamiesi kosinuso ir sinuso apibrėžimais, padauginkite iš teigiamo įžambinės ilgio ℓ: horizontal projection = ℓ cos θ ir vertical projection = ℓ sin θ. Čia pagal šias formules gaunami neneigiami ilgiai, nes atkarpa yra pirmajame koordinačių ketvirtyje, o θ yra smailusis kampas. Nurodytas kampas matuojamas nuo teigiamos x ašies krypties prieš laikrodžio rodyklę link AB.

Kai ℓ = 10 m, pagal pateiktus santykius horizontalioji projekcija yra (10 m)(3/5) = 6 m, o vertikalioji projekcija – (10 m)(4/5) = 8 m. Jų suma 14 m nėra įžambinės ilgis. Nustatant atstumą tiesia linija, statmenos dedamosios sujungiamos taikant stačiojo trikampio kraštinių ilgių sąryšį.

Keiskite koordinates nejudindami taškų

Palikite A ir B fiziškai nejudančius, bet pasirinkite naują koordinačių pradžią, kurios senosios koordinatės yra (+2 m, +3 m). Ašių kryptis, statmenumą ir metrinį mastelį palikite nepakeistus. Naujosios taško koordinatės yra x′ = x − 2 m ir y′ = y − 3 m. Tai padėčių žymėjimo pakeitimas, o ne fizinis pažymėtų taškų poslinkis.

Dabar A koordinatės yra (−2 m, −3 m), o B – (+4 m, +5 m). Atimkite naująsias koordinates: Δx′ = 4 m − (−2 m) = 6 m ir Δy′ = 5 m − (−3 m) = 8 m. Atstumas tarp šių taškų tiesia linija tebėra 10 m. Atstumai nuo naujai pasirinktos koordinačių pradžios ir atstumas tarp tų pačių dviejų pažymėtų taškų yra skirtingi klausimai.

Pakeitus teigiamąją ašies kryptį, pasikeistų ir koordinačių ženklai. Prieš lygindami aprašymus, nurodykite šį susitarimą. Skirtingos koordinatės gali aprašyti tą patį nekintantį taškų išsidėstymą; vien koordinatės, be nuo laiko priklausančio aprašymo ir nurodytos atskaitos sistemos, neleidžia nustatyti fizinio judėjimo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Atskirkite atkarpos ilgį nuo galimo kelio ilgio

Nurodytoje plokštumos konstrukcijoje A = (0, 0), C = (+6 m, 0) ir B = (+6 m, +8 m). Raskite AB ir bendrą kelio A→C→B ilgį. Ar šie galiniai taškai leidžia nustatyti, kuriuo keliu judėjo objektas?

AC ilgis yra 6 m, o CB – 8 m; šios atkarpos susikerta taške C nurodytu stačiuoju kampu.
Apskaičiuokite AB² = (6 m)² + (8 m)² = 100 m². Neneigiamas ilgis AB yra 10 m.
Dviejų atkarpų geometrinio kelio ilgis yra 6 m + 8 m = 14 m.
Nepateikta nei duomenų apie judėjimą laike, nei stebėto kelio. Abu nubraižyti keliai yra geometrinės galimybės, todėl galiniai taškai neleidžia nustatyti, kaip iš tikrųjų judėta.

Atstumas AB tiesia linija yra 10 m; dviejų atkarpų kelio ilgis yra 14 m. Pateikta galinių taškų geometrija neleidžia nustatyti tikrojo objekto kelio ar judėjimo.

Patikrinkite koordinačių pradžios poslinkio poveikį

Pažymėtus taškus A ir B palikite tose pačiose vietose. Pasirinkite naują koordinačių pradžią taške, kurio senosios koordinatės yra (+2 m, +3 m), nekeisdami ašių krypčių ir mastelio. Raskite naująsias taškų koordinates ir patikrinkite atstumą tarp jų.

Iš kiekvieno taško koordinačių atimkite naujosios koordinačių pradžios senąsias koordinates. Naujosios A koordinatės yra (0 − 2, 0 − 3) m = (−2 m, −3 m).
Naujosios B koordinatės yra (6 − 2, 8 − 3) m = (+4 m, +5 m).
Koordinačių skirtumai yra +4 m − (−2 m) = +6 m ir +5 m − (−3 m) = +8 m.
Atlikus tą patį skaičiavimą stačiajam trikampiui, gaunama d² = 36 m² + 64 m² = 100 m², todėl d = 10 m.

Naujosios A koordinatės yra (−2 m, −3 m), o B – (+4 m, +5 m). Atstumas tarp jų lieka 10 m. Pasikeitusios koordinatės atspindi naują atskaitos pasirinkimą, nors nė vienas taškas nepajudėjo.

Palyginkite lankus su tuo pačiu centriniu kampu

Dviejų idealių apskritimų spinduliai yra tiksliai nurodyti: 2 m ir 6 m. Kiekviename pasirinkite neneigiamą 90° centrinį kampą ir jį atitinkantį ketvirčio apskritimo lanką. Raskite abiejų lankų ilgius ir patikrinkite, kad kampo dydis yra toks pats.

Išreikškite nurodytą kampą radianais: 90° = (π/2) rad, taigi jo skaitinė vertė radianais yra u = π/2.
Pertvarkykite u = s/r į s = r u. Kai spindulys yra 2 m, s = (2 m)(π/2) = π m.
Kai spindulys yra 6 m, s = (6 m)(π/2) = 3π m.
Padalykite kiekvieno lanko ilgį iš jo spindulio: π m / 2 m = π/2 ir 3π m / 6 m = π/2. Abiem atvejais gaunama ta pati skaitinė kampo vertė radianais.

Lankų ilgiai yra π m ir 3π m, o abu centriniai kampai yra 90° = (π/2) rad. Kai spinduliai skiriasi, vienodi kampai nebūtinai atitinka vienodus lankų ilgius. Nepateikta nei duomenų apie objekto judėjimą, nei realių matavimų.

Pabandykite patys

Pradinėje statmenų koordinačių sistemoje, kurioje koordinatės išreikštos metrais, atskiro nejudančio taško E koordinatės yra (−9 m, +12 m). Nustatykite jo padėtį koordinačių pradžios atžvilgiu ir apskaičiuokite atstumą tiesia linija nuo šios pradžios.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
E yra 9 m į kairę ir 12 m į viršų nuo koordinačių pradžios. Jo atstumas nuo koordinačių pradžios yra 15 m.
Ženklai nurodo E padėtį; jie nepaverčia ilgio neigiamu. Pakėlę kvadratu gauname d² = (−9 m)² + (12 m)² = 81 m² + 144 m² = 225 m², o šio dydžio neneigiama kvadratinė šaknis yra 15 m.
Pateikti du koordinačių skirtumai išilgai ašių, kurios sudaro ne 90° kampą. Ar šioje pamokoje nustatyta, kad atstumą tiesia linija galima rasti tiesiog sudėjus šių skirtumų kvadratus?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Pamokoje pateikta kvadratų sumos formulė galioja tik statmenoms ašims nurodytoje plokštumos geometrijoje.
Formulė išvedama naudojant statųjį trikampį. Kai ašių geometrija kitokia, tas pats skaičiavimas nėra pagrįstas be tinkamo sąryšio ir aiškiai apibrėžto koordinačių nustatymo susitarimo.
Tiksliai nurodytą kampą 60° išreikškite radianais. Ar į skaičiuotuvą, veikiantį radianų režimu, įvestas skaičius 60 atitinka tą patį kampą?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
60° = (π/3) rad. Įvedus 60 radianų režimu, gaunamas 60 rad kampas, t. y. kitas kampas.
Naudokite 60 × (π/180) = π/3. Kampo skaitinės vertės laipsniais ir radianais skiriasi, todėl pasirinktas kampo matavimo vienetas turi atitikti įvedamą vertę.
Atskiros pirmajame koordinačių ketvirtyje esančios atkarpos tikslus ilgis yra 26 m, o jos nurodyto smailiojo kampo su teigiama x ašies kryptimi kosinusas ir sinusas yra cos θ = 5/13 ir sin θ = 12/13. Raskite horizontaliosios ir vertikaliosios projekcijų ilgius ir patikrinkite įžambinės ilgį.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Projekcijų ilgiai yra 10 m horizontaliai ir 24 m vertikaliai; pagal jų kvadratų sumą gaunamas nurodytas 26 m ilgis.
Padauginkite ilgį iš kiekvieno pateikto santykio: 26 m × 5/13 = 10 m ir 26 m × 12/13 = 24 m. Tada 100 m² + 576 m² = 676 m² = (26 m)². Tai pateiktos tikslios geometrinės vertės, o ne išmatuota kryptis ar trajektorija.
Palikite tašką E fiziškai nejudantį; jo senosios koordinatės yra (−9 m, +12 m). Palikite tą pačią koordinačių pradžią ir teigiamąją y ašies kryptį, bet teigiamąją x ašies kryptį pakeiskite iš dešinės į kairę. Kokios yra naujosios E koordinatės ir ar E pajudėjo?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Naujosios koordinatės yra (+9 m, +12 m). E nepajudėjo.
Pasikeičia tik x ženklo susitarimas, todėl senoji neigiama x koordinatė tampa teigiama. Koordinačių žymėjimas pasikeičia, o koordinačių pradžia, y kryptis ir pažymėtas fizinis taškas lieka nepakitę.
Idealaus apskritimo tikslus nustatytas spindulys yra 4 m. Raskite ketvirčio apskritimo lanko ilgį, kai neneigiamas centrinis kampas yra (π/2) rad. Pateikite tikslią išraišką ir apytikslę dešimtainę vertę, naudodami π ≈ 3.1416.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Modelyje lanko ilgis yra tiksliai 2π m, o naudojant pateiktą apytikslę π vertę – maždaug 6.2832 m.
Kampo skaitinė vertė radianais yra u = π/2, todėl s = r u = (4 m)(π/2) = 2π m. Naudojant nurodytą apytikslę konstantą gaunama 2 × 3.1416 m = 6.2832 m. Šie skaitmenys po kablelio gaunami iš matematinio artinio ir tiksliai nustatyto spindulio, o ne iš matavimo preciziškumo.

Ką verta įsidėmėti

Prieš interpretuodami koordinates, nurodykite geometriją, koordinačių pradžią, ašių kryptis ir vienetus.
Koordinačių ženklai nusako taškų padėtį; geometriniai ilgiai yra neneigiami.
Atstumo formulėje, pagrįstoje kvadratų suma, naudojamos statmenos, kalibruotos ašys nurodytoje plokštuminėje geometrijoje.
Kampas ir lanko ilgis yra skirtingi dydžiai: nurodykite laipsnius arba radianus ir atskirkite kampo skaitinę vertę radianais nuo lanko ilgio.
Prieš įvardydami priešpriešinį ir priglaustinį statinius ar naudodami stačiojo trikampio projekcijų santykius, nurodykite smailųjį kampą.
Pakeitus susitarimus dėl koordinačių, žymėjimai gali pasikeisti, nors fiziniai taškai nepajuda; vien galinių taškų geometrija neleidžia nustatyti įveikto maršruto.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.