Emergencija, efektyviosios teorijos ir jų galiojimo sritys

Pasirinkite lygmenį, leidžiantį atsakyti į klausimą

Fizikinę sistemą galima aprašyti nagrinėjant pavienius jos komponentus arba kolektyvinius dydžius. Tiriant dujų molekulės judėjimą ir dujų slėgį, keliami skirtingi klausimai apie tą pačią sistemą. Statistinė fizika susieja tokius aprašymus.

Pasirinkti aprašymo lygmenį reiškia nuspręsti, kokią informaciją išsaugoti. Detaliame aprašyme gali būti nurodyta kiekvieno komponento būsena. Mažiau detaliame aprašyme informacija sujungiama, pavyzdžiui, į grupių sumas ar vidurkius. Aprašymą vadinsime mažiau detaliu, kai jame išsaugoma mažiau skirtumų tarp detaliai aprašytų būsenų.

Pasirinkimas priklauso nuo klausimo. Visos sistemos bendras kiekis gali padėti atsakyti, kiek ko nors yra, o norint aprašyti, kur tai sutelkta, reikia vietinių dydžių. Toliau pateikti skaitiniai objektų skaičiavimo pavyzdžiai yra išgalvoti ir skirti šiam skirtumui parodyti. Tai nėra fizinės medžiagos matavimai.

Atpažinti kolektyvinį fizikinį dydį

Šioje pamokoje emergencija reiškia kolektyvines savybes ar elgseną, kurias prasminga aprašyti daugelio dalių sistemos lygmeniu. Dujų slėgis yra fizikinis pavyzdys, naudojamas mokant statistinės fizikos. Tai įvadinis šios sąvokos paaiškinimas, o ne teiginys, kad visų kolektyvinių savybių mechanizmas yra toks pat.

Idealiųjų dujų kinetiniame modelyje daugybė judančių molekulių atsitrenkia į indo sieneles. Jų smūgių visuma sukuria vidutinę sienelei statmeną jėgą, tenkančią ploto vienetui, – slėgį. Modelyje daroma prielaida, kad susidūrimai yra tamprūs, o molekulių tarpusavio sąveika tarp susidūrimų yra nereikšminga; dujos yra pusiausvyros būsenos, ir nėra vyraujančios molekulių judėjimo krypties.

Šis ryšys apima daugelio molekulių indėlį ir vidurkinimą. Dujų slėgis nėra vienos molekulės momentinį judėjimą nusakantis žymuo. Suprasti atskirą sudedamąją dalį ir aprašyti kolektyvinę sistemą yra susiję uždaviniai; nė vienas aprašymas savaime neatsako į visus kitame lygmenyje keliamus klausimus.

Suprasti, ką vidurkinimas išsaugo ir praranda

Duotam objektų skaičių sąrašui taikoma formulė mean count per cell = total count / number of cells. Čia langelis tėra pažymėtas skyrelis išgalvotoje skaičiavimo schemoje. Objektų skaičiaus dimensija lygi vienetui; tokios žymos kaip „žetonai langelyje“ padeda nustatyti, kas skaičiuojama.

Vidurkis gali išsaugoti bendrą objektų skaičių, jei žinomas ir langelių skaičius. Paprastai jis nenusako objektų skaičiaus kiekviename langelyje. Skirtingų išdėstymų vidurkis gali būti toks pat, o vidurkis nebūtinai sutampa su kuriuo nors atskiru objektų skaičiumi.

Gretimų vienodo dydžio langelių grupavimas išsaugo dalį informacijos apie vietą, tačiau atmeta skirtumus kiekvienos grupės viduje. Ši operacija yra paprastas aprašymo stambinimo pavyzdys: išsamus aprašymas pakeičiamas mažiau išsamiu. Vien skaičiavimo operacija neparodo fizikinės emergencijos ir nesukuria prognozuojančios teorijos.

Pridėti elgseną aprašančius ar prognozuojančius ryšius

Apibendrintas būsenos aprašymas pats savaime neprognozuoja, kas nutiks toliau. Modeliui taip pat reikia ryšių ar taisyklių, siejančių jame išlaikytus dydžius su dominančia elgsena. Patikrinkite, ar išlaikytos informacijos pakanka esant siūlomoms prielaidoms.

Efektyvioji teorija pateikia pasirinktų kintamųjų ryšius, skirtus elgsenai aprašyti ar prognozuoti nurodytomis sąlygomis ir masteliais. Fluidų dinamika, dar vadinama hidrodinamika, yra fizikinis pavyzdys: ji aprašo daugiadalelių sistemų kolektyvinę elgseną didelių atstumų ir ilgų laiko tarpsnių masteliais. Kiekvienam konkrečiam taikymui vis tiek reikia nurodyti aktualius mastelius ir sąlygas.

Aprašymo pavadinimas efektyviuoju nepatvirtina jo tikslumo. Nurodykite aktualius mastelius ir sąlygas, pagrįskite prielaidas ir patikrinkite gautas prognozes. Jei dvi išsamiai aprašytos būsenos, kurias atitinka tas pats apibendrintas aprašymas, vėliau gali lemti skirtingus apibendrintus aprašymus, tiksliai prognozei vien iš šio apibendrinto aprašymo reikia papildomos informacijos arba leistinų būsenų apribojimo.

Nurodykite galiojimo sritį

Galiojimo sritis – tai sritis, kurioje aprašymą galima naudoti nurodytam tikslui reikiamu tikslumu. Modeliai gali perteikti kai kuriuos fizikinės sistemos aspektus, bet negebėti aprašyti kitų. Todėl naudingame galiojimo srities apibrėžime nurodoma, ką siekiama prognozuoti, o ne vien įvardijama medžiaga.

Atlikdami fizikinį tyrimą, užrašykite, kokie ilgio ir laiko masteliai išskiriami, kokios yra sistemos sąlygos ir kokio tikslumo reikia. Aprašymo patikrinimas pagal visos sistemos vidurkį savaime nepatvirtina jo tikslumo kiekvienoje vietoje ar kiekvienu laiko momentu. Toliau pateikti supaprastinti pavyzdžiai tiksliai parodo šį skirtumą, remiantis pateiktais palyginimui naudojamais objektų skaičiais.

Idealiųjų dujų aprašymas parodo sąlygų svarbą. Realiųjų dujų elgsena artėja prie idealiųjų dujų elgsenos esant pakankamai žemam slėgiui ir aukštai temperatūrai, toli nuo suskystėjimo ar kietėjimo sąlygų; idealiosios dujos išlieka idealizacija. Šios kokybinės gairės nenustato nei universalios skaitinės ribos, nei garantuotos paklaidos visoms dujoms. Konkretų atvejį vis tiek reikia patikrinti.

Patikrinkite prognozes numatytu lygmeniu

Fizikinio modelio prognozes būtina tikrinti pagal stebėjimų ir eksperimentų rezultatus. Pasirinkite palyginimus, atitinkančius deklaruojamus dydžius, sąlygas ir skiriamąją gebą. Kai išsamesnis modelis naudojamas kaip atskaitos modelis, toks palyginimas patikrina suderinamumą su juo; paties atskaitos modelio fizikinį pagrįstumą vis tiek reikia pagrįsti duomenimis.

Lygindami su tikrų matavimų rezultatais, atsižvelkite ir į matavimo neapibrėžtį, ir į modelio bei stebėjimų neatitikimus. Skirtumas savaime nėra įrodymas, kad fizikinis modelis netinka: gali reikėti išnagrinėti ir įvesties duomenis, matavimo metodus ar skaičiavimą. Naudinga patikra aiškiai įvardija šias galimybes.

Išgalvotuose skaičiavimo etalonuose atskaitos skaičiai pateikiami tiksliai. Todėl galime tiesiogiai apskaičiuoti absoliučiuosius nuokrypius ir taikyti nustatytą priimtinumo taisyklę. Sėkmingai atliktos patikros patvirtina atitiktį tais atvejais ir pagal tą taisyklę; jos nesuteikia jokio empirinio pagrindimo teiginiams apie tikras dujas ar fluidus.

Pagal rezultatą nuspręskite, ką išlaikyti

Jei aprašymas neperteikia reikiamos elgsenos, apsvarstykite galimybę išlaikyti daugiau vietinės informacijos, įtraukti svarbią sąveiką arba pakeisti leistinas sąlygas. Daugiau detalių naudinga tuomet, kai jos padeda pašalinti neatitikimą arba atsakyti į keliamą klausimą; jų naudingumą vis tiek reikia patikrinti.

Jei paprastesnis aprašymas sėkmingai įveikia atitinkamas patikras, kartu su rezultatu nurodykite jo taikymo sąlygas ir tikslumą. Atitiktis patikrintais atvejais pagrindžia tokį jo taikymą. Ji neįrodo, kad aprašymas bus tinkamas bet kokiu masteliu ar bet kaip pasikeitus sąlygoms.

Tikslas – susieti aiškų klausimą, pasirinktą aprašymo lygmenį ir patikrintą fizikinį sąryšį. Toliau pateiktuose pavyzdžiuose vaizdavimas, prognozavimas ir priimtinumo kriterijai nagrinėjami taikant išgalvotas taisykles. Juose neteigiama, ar visus aukštesnio lygmens reiškinius galiausiai galima redukuoti į vienos rūšies teoriją.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Keturiuose vienoduose pažymėtuose langeliuose yra nustatyti žetonų skaičiai 2, 4, 6, 8. Apskaičiuokite bendrą žetonų skaičių ir vidutinį jų skaičių langelyje. Ar šis vidurkis leidžia sužinoti žetonų skaičių langelyje 1 neturint pradinio sąrašo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bendras žetonų skaičius yra 20, o vidurkis – 5 žetonai viename langelyje. Vien vidurkis neleidžia nustatyti žetonų skaičiaus langelyje 1.

   Sudėkite 2 + 4 + 6 + 8 = 20, tada padalykite iš keturių. Kito leistino sąrašo, 5, 5, 5, 5, suma ir vidurkis yra tokie patys, tačiau pirmasis žetonų skaičius skiriasi.

2. Išgalvotame atskaitos sąraše nurodyti žetonų skaičiai keturiuose langeliuose: 3, 5, 3, 5. Kiekvieną skaičių pakeiskite vidurkiu. Ar pakeitimas atitinka vietinę taisyklę, pagal kurią absoliutusis skirtumas kiekviename langelyje gali būti ne didesnis kaip 1 žetono, įskaitant ribinę vertę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taip, visiems keturiems pateiktiems langeliams.

   Bendras žetonų skaičius yra 16, o vidurkis – 4 žetonai viename langelyje. Kiekvienas pakaitinis žetonų skaičius nuo atskaitinio skaičiaus skiriasi lygiai 1 žetonu, ir nurodyta taisyklė tokį skirtumą leidžia. Šis rezultatas taikomas šiam pateiktam sąrašui ir vietinei taisyklei.

3. Taikykite tą pačią vieno žingsnio taisyklę iš paskutinio pavyzdžio: perkelkite vieną žetoną iš langelio 2 į langelį 3, jei langelis 2 nėra tuščias; jokių kitų perkėlimų neatlikite. Palyginkite A = 4, 0, 0, 4 ir B = 0, 4, 4, 0. Nurodykite pradines žetonų skaičiaus sumas porose ir sumas po vieno žingsnio. Ar pradinių sumų porose pakanka?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiem atvejais pradinės sumos porose yra (4, 4). A atveju jos lieka (4, 4); B atveju jos tampa (3, 5). Pradinių sumų porose nepakanka.

   A atveju langelis 2 yra tuščias, todėl niekas neperkeliama. B tampa 0, 3, 5, 0. Abiem atvejais visos sistemos bendras žetonų skaičius išlieka 8. Skirtingos sumos porose po vieno žingsnio parodo, kokio skirtumo pradinė suvestinė neatspindėjo.

4. Ar pagal nurodytą idealiųjų dujų kinetinį modelį dujų slėgis inde apibūdina vienos molekulės judėjimą konkrečiu momentu, ar bendrą daugelio smūgių į indo sieneles poveikį? Kokio aprašymo reikėtų vienai konkrečiai molekulei sekti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Slėgis apibūdina bendrą poveikį. Norint sekti konkrečią molekulę, reikia informacijos apie jos judėjimą.

   Modelis sieja vidutinę sieneles veikiančią jėgą ploto vienetui su sukauptu molekulių smūgių poveikiu. Kolektyvinis dydis nenusako pasirinktos molekulės trajektorijos. Šis atsakymas remiasi tik nurodytomis idealių susidūrimų ir pusiausvyros prielaidomis.

5. Siūlomas hidrodinaminis aprašymas skirtas kolektyvinei elgsenai apibūdinti nurodytais dideliais atstumų ir laiko masteliais. Dabar tyrėjas klausia apie tikslią vienos molekulės trajektoriją. Ar pradinis taikymo srities apibrėžimas leidžia teigti, kad šis aprašymas gali atsakyti į naują klausimą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Naujam klausimui reikia kitokios informacijos.

   Nurodytas fluidų aprašymas skirtas kolektyvinei elgsenai. Jo taikymo srities apibrėžimas ir patikros turi apimti numatytus dydžius ir mastelius. Jie nenustato tikslios molekulės trajektorijos.

6. Fizikinio modelio rezultatai sutampa su patikrintais visos sistemos vidurkiais esant tam tikroms sąlygoms. Vėliau jis naudojamas vietinėms vertėms prognozuoti iš esmės pasikeitusiomis sąlygomis. Ar ankstesnis sutapimas pagrindžia naujas prognozes? Ką reikėtų patikrinti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ankstesnis atitikimas nepatvirtina naujų prognozių. Patikrinkite vietinius dydžius, svarbius mastelius, pasikeitusias prielaidas, reikiamą tikslumą ir tinkamus nepriklausomus stebėjimus.

   Sėkminga patikra pagrindžia būtent tą taikymą, kuris buvo patikrintas. Atlikdami realų palyginimą, įvertinkite įvesties ir matavimo neapibrėžtį bei modelio neatitiktį. Jei reikia, pakoreguokite aprašą arba susiaurinkite jo taikymo sritį, tada patikrinkite pakoreguotą taikymą.

Ką verta įsidėmėti

• Aprašymo lygmenį rinkitės pagal dominantį dydį ir klausimą.
• Kolektyvinis dujų slėgis susieja daugybę molekulių smūgių su vidutine jėga ploto vienetui, remiantis nurodytomis modelio prielaidomis.
• Bendros sumos ir vidurkiai išsaugo pasirinktą informaciją, o kitus skirtumus praleidžia.
• Prognozuoti leidžiančiam efektyviajam aprašui reikia ne tik pasirinktų kintamųjų, bet ir ryšių tarp jų.
• Nurodydami galiojimo sritį, įvardykite nagrinėjamus dydžius, mastelius, sąlygas ir reikiamą tikslumą.
• Nurodyto taikymo tinkamumą tikrinkite pagal tinkamus empirinius duomenis; tikslūs supaprastinto pavyzdžio aritmetiniai skaičiavimai ir sėkmė pasirinktais atvejais nepatvirtina visuotinio fizikinio galiojimo.