Atspindys, praėjimas, lūžis ir impedansas

Pradėkite nuo slėgio ties riba

Slėgio banga pasiekia plokščią ribą tarp dviejų takiųjų terpių. Dalis bangos grįžta į pirmąją terpę, o dalis sklinda toliau į antrąją. Ties riba jų slėgio pokyčiai turi derėti tarpusavyje. Perėjusios bangos slėgio amplitudė gali viršyti krintančios bangos amplitudę nesukuriant papildomos energijos.

Pradėkite nuo pateiktų idealizuotų verčių: terpės 1 tankis yra ρ₁ = 2 kg/m³, o garso greitis c₁ = 3 m/s; terpės 2 tankis yra ρ₂ = 3 kg/m³, o garso greitis c₂ = 4 m/s. Didžiausias krintančios bangos slėgio pokytis yra A = 0.02 Pa, o jos kampinis dažnis yra ω = 6 rad/s. Tai mokymui parinkti dirbtiniai parametrai, o ne realios takiųjų terpių poros matavimų rezultatai.

Abi takiosios terpės yra vienalytės, izotropinės, neklampios ir nejudančios. Maži tiesiniai trikdžiai pasiekia nejudančią, masės neturinčią skiriamąją ribą be paviršiaus įtempimo, papildomo sluoksnio ar išorinio šaltinio. Pusiausvyros slėgiai sutampa. Šiame modelyje taikome slėgio ir dalelių greičio normaliosios dedamosios tolydumo sąlygas.

„Matavimo vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ ir „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia darbui su dydžiais ir dviejų lygčių sistema. „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ yra paskelbta medžiaga, prie kurios galima grįžti nagrinėjant įstrižo kritimo atvejį. Reikiami apibrėžimai pateikiami čia; pirmiausia sekite slėgio kitimą statmeno kritimo atveju.

Apibrėžkite slėgį, greitį ir impedansą

Tarkime, kad x didėja statmenai terpių ribai iš terpės 1 į terpę 2, o riba yra ties x = 0. Terpė 1 užima sritį x < 0, o terpė 2 – sritį x > 0. Koordinatė z eina išilgai terpių ribos; t ≥ 0 s yra laikas. Skaliaras p yra akustinio slėgio pokytis pusiausvyros atžvilgiu, turintis ženklą, o ne aplinkos slėgis. Dalelių greičio normalinė komponentė u_x yra teigiama terpės 2 kryptimi.

Vienai plokščiajai slėgio bangai, sklindančiai teigiama normalės kryptimi, p/u_x = Z, kur savitasis akustinis impedansas yra Z = ρc. Bangai, sklindančiai neigiama kryptimi, u_x = −p/Z. Ženklas nusako greičio kryptį slėgio trikdžio, turinčio ženklą, atžvilgiu; dėl jo teigiamas medžiagos parametras Z netampa neigiamas.

Čia Z₁ = 6 Pa·s/m ir Z₂ = 12 Pa·s/m. Tankio ir greičio sandaugos vienetai yra kg/(m²·s), kurie lygūs Pa·s/m. Tai savitasis impedansas – slėgio ir greičio santykis, o ne slėgio ir tūrinio debito santykis.

Duoti tūrinio tamprumo moduliai K = ρc² yra 18 Pa ir 48 Pa. Krintančiosios bangos amplitudės santykis su K₁ yra 1/900. Toliau išvesta praėjusiosios bangos vertė sudaro 1/1800 K₂. Šie maži santykiai atitinka numatytą tiesinį modelį; jie nenustato eksperimentinio tikslumo realiai terpių ribai.

Išspręskite dviejų ribinių sąlygų sistemą

Kai banga krinta statmenai, užrašykime p_i = A cos(k₁x − ωt), p_r = P_r cos(−k₁x − ωt) ir p_t = P_t cos(k₂x − ωt). Indeksai žymi krintančiąją, atsispindėjusiąją ir praėjusiąją bangas. Pagal šią kosinuso išraiškos konvenciją P_r yra koeficientas, turintis ženklą; neigiama vertė reiškia, kad atsispindėjusiosios bangos slėgio fazė yra priešinga. Bangos skaičiai k_j = ω/c_j yra 2 rad/m ir 3/2 rad/m.

Ties x = 0 visi trys kosinuso daugikliai sutampa. Iš slėgio tolydumo gauname A + P_r = P_t. Iš greičio normalinės komponentės tolydumo gauname (A − P_r)/Z₁ = P_t/Z₂. Minuso ženklas prie atsispindėjusiosios bangos greičio yra būtinas. Šios tapatybės galioja visais laiko momentais, įskaitant tuos, kai kosinusas lygus nuliui; dalyti iš šio nuo laiko priklausančio daugiklio nereikia.

Išsprendę gauname r_p = P_r/A = (Z₂ − Z₁)/(Z₂ + Z₁) ir t_p = P_t/A = 2Z₂/(Z₂ + Z₁). Naudojant duotus impedansus, r_p = 1/3 ir t_p = 4/3. Taigi P_r = 1/150 Pa ir P_t = 2/75 Pa. Abu yra slėgio koeficientai, o ne galios dalys.

Bendras greičio ties terpių riba koeficientas yra (A − P_r)/Z₁ = P_t/Z₂ = 1/450 m/s. Tikroji greičio vertė lygi šio koeficiento ir cos(ωt) sandaugai. Tai takiosios terpės dalelių greitis, o fazių pasiskirstymas sklinda per terpę. Nei vienas, nei kitas nėra medžiagos dalelių trajektorija, kurią vaizduotų vėliau pateiktos spindulių rodyklės.

Išnagrinėkite momentinį slėgio vaizdą

Kai t = 0 s, kairėje krintančiosios ir atsispindėjusiosios bangų slėgiai susideda. Jų suma yra (80/3 mPa) cos((2 rad/m)x); dešinėje praėjusiosios bangos laukas yra (80/3 mPa) cos((3/2 rad/m)x). Abiejose pusėse ties x = 0 gaunama 80/3 mPa vertė, nors erdviniai bangos skaičiai skiriasi.

Lentelėje pateiktos tos pačios fiksuotos erdvinės koordinatės. Krintančiosios ir atsispindėjusiosios bangų komponentės apibrėžtos tik terpėje 1; terpės 2 įrašai pažymėti kaip netaikomi. Suminio lauko stulpelyje naudojama kairėje esančių laukų suma arba dešinėje esantis praėjusiosios bangos laukas, o bendra vertė ties terpių riba įrašyta vieną kartą.

Bangos ilgis yra λ_j = 2π/k_j: λ₁ = π m ir λ₂ = 4π/3 m. Bendras periodas yra 2π/ω = π/3 s. Tai ištisi monochromatiniai puserdvių laukai. Baigtinis vaizdavimo langas nepaverčia jų baigtinės energijos impulsu ar išmatuotu pluoštu.

Amplitudės ir galios palyginimas

Vienos bėgančiosios plokščiosios bangos, kurios didžiausioji slėgio amplitudė yra P, laikinis intensyvumo vidurkis sklidimo kryptimi yra I = P²/(2Z). Daugiklis 1/2 gaunamas apskaičiuojant cos² vidurkį per visą periodą. Naudojant efektinę amplitudę, pasikeistų amplitudės apibrėžimo susitarimas; mūsų pateiktos amplitudės yra didžiausiosios vertės.

Statmenojo kritimo atveju krintančiosios, atsispindėjusios ir perėjusios bangų intensyvumų moduliai yra I_i = 1/30000 W/m², I_r = 1/270000 W/m² ir I_t = 1/33750 W/m². Atsispindėjusi banga neša srautą atgal į terpę 1. Galios santykiai yra R = I_r/I_i = 1/9 ir T = I_t/I_i = 8/9, taigi R + T = 1.

Pralaidumo koeficientas t_p = 4/3 dera su T = 8/9, nes galia priklauso ir nuo akustinės varžos. Statmenojo kritimo atveju R = r_p² ir T = (Z₁/Z₂)t_p². Pakėlus kvadratu vien amplitudę, nebūtų atsižvelgta į varžos pokytį.

Neįrašykite kairėje pusėje esančio suminio slėgio į vienos bėgančiosios bangos formulę. Momentinis normalusis srautas ten yra p_left u_left = (p_i² − p_r²)/Z₁; kryžminiai nariai panaikina vienas kitą, nes atsispindėjusios bangos greičio ženklas yra priešingas. Šio srauto vidurkis yra I_i − I_r ir lygus I_t.

Fazių suderinimas išilgai terpių ribos

Dabar nagrinėkite atskirą įstrižojo kritimo atvejį su tomis pačiomis terpėmis ir ta pačia krintančiosios bangos amplitude. Kiekvienas kampas matuojamas nuo terpių ribos normalės, o ne nuo ribos plokštumos. Tarkime, kad sin(θ₁) = 3/10. Atsispindėjęs ir perėjęs spinduliai rodo bangos vektorių kryptis, o ne takiosios terpės dalelių trajektorijas.

Nejudanti riba išsaugo bendrą dažnį. Kad fazės sutaptų kiekviename ribos plokštumos taške, turi galioti k₁ sin(θ₁) = k₁ sin(θ_r) = k₂ sin(θ₂). Pasirinktiems realiesiems kampams 0 ≤ θ₁, θ_r, θ₂ < π/2 iš čia gauname θ_r = θ₁ ir sin(θ₂) = (c₂/c₁)sin(θ₁) = 2/5.

Perėjusios bangos kampas yra didesnis už kritimo kampą, nes šiame pavyzdyje c₂ > c₁. Visų trijų bangų bangos skaičiaus komponentė, lygiagreti terpių ribai, yra 3/5 rad/m. Jų dažniai sutampa, o perėjusios bangos greitis ir bangos ilgis skiriasi.

Normalioji dalelių greičio komponentė yra greitis išilgai spindulio, padaugintas iš jo kampo kosinuso. Apibrėžkime vienos bėgančiosios bangos normaliąją varžą Q_j = Z_j/cos(θ_j). Slėgio ir normaliosios greičio komponentės tolydumo sąlygos įgauna pavidalą A + P_r = P_t ir (A − P_r)/Q₁ = P_t/Q₂. Suminio krintančiosios ir atsispindėjusios bangų lauko slėgio ir normaliosios greičio komponentės santykis paprastai skiriasi nuo šios vienos bangos varžos Q₁.

Galios palyginimas krintant statmenai ir įstrižai

Šiuo atveju Q₁ = 60/√91 Pa·s/m ir Q₂ = 60/√21 Pa·s/m. Išsprendus tas pačias dvi lygtis, dabar gaunama r_p = (√91 − √21)/(√91 + √21) ir t_p = 2√91/(√91 + √21). Vienodas normalinės greičio dedamosios koeficientas yra √91√21/[1500(√91 + √21)] m/s.

Galiai, kertančiai tą patį sąsajos plotą, apskaičiuoti naudojama statmenoji intensyvumo dedamoji J = P² cos(θ)/(2Z), o ne vien intensyvumas išilgai spindulio. Todėl R = r_p² ir T = [Z₁ cos(θ₂)/(Z₂ cos(θ₁))]t_p². Šios formulės su teigiamais kosinusais taikomos čia naudojamoms realiosioms sklindančioms šakoms, kai kritimas nėra slystamasis.

Įstrižo kritimo atveju santykiai yra apytiksliai R = 0.12320128 ir T = 0.87679872. Tiksli jų suma yra 1, nes (a − b)² + 4ab = (a + b)², kai a = √91 ir b = √21. Statmeno ir įstrižo kritimo atvejais naudojami skirtingi projekcijos daugikliai net ir toms pačioms dviem terpėms.

Palyginkite momentinius profilius ir kryptis

Viršutiniame skydelyje parodytas momentinis slėgio profilis statmenojo kritimo atveju, sudarytas pagal tikslių erdvinių duomenų lentelę. Apatiniame skydelyje parodytas atskiras įstrižojo kritimo atvejis iš krypčių lentelės. Nors terpės abiem atvejais tos pačios, tai nėra tas pats kritimo atvejis. Ištisinės ir brūkšninės kreivės žymi skirtingas slėgio dedamąsias, o rodyklės apatiniame skydelyje – skirtingas sklidimo kryptis.

Slėgio skydelyje horizontalusis mastelis yra 240 px/m, o vertikalusis – 4 px/mPa. Spindulių skydelyje x ir z kryptimis naudojamas tas pats 160 px/m mastelis, todėl krypčių kampai išlieka nepakitę. 1.7 m spindulio ilgis pasirinktas braižymui; tai nėra bangos ilgis, sklidimo trukmės matas ar pluošto plotis.

Sklidimo kampo sąlyga tiesiogiai išplaukia iš sin(θ₂) = (4/3)sin(θ₁). Kad praėjusios bangos kampo kosinusas būtų teigiamas ir realusis, šioms terpėms turi galioti sin(θ₁) < 3/4. Ties ribine verte praėjęs spindulys sklinda išilgai sandūros, todėl mūsų formulės, kuriose kosinusas turi būti teigiamas, šio atvejo neapima. Kai sin(θ₁) = 4/5, reikiama sinuso vertė yra 16/15, todėl realiojo praėjusio spindulio nėra.

Tai, kad nėra sklindančio spindulio, neįrodo, jog praėjęs laukas lygus nuliui. Evanescentiniam laukui nagrinėti reikia papildomos kompleksinės bangų analizės; čia nepateikiamas skaitinis evanescentinio lauko aprašas. Šioje pamokoje, remiantis nurodytu takiųjų terpių sandūros modeliu, palyginti slėgis, atsižvelgiant į jo ženklą, dalelių greitis, fazės sklidimo kryptis ir normalioji galia.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Naudodami Z = ρc ir vienos statmenai sklindančios bangos santykį p/u_x, patikrinkite savitosios akustinės varžos vienetus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiem atvejais gaunama Pa·s/m = kg/(m²·s). Pagrindiniame atvejyje varžos yra 6 Pa·s/m ir 12 Pa·s/m.

   Slėgio ir dalelių greičio santykis skiriasi nuo slėgio ir tūrinio srauto santykio. Atspindėtos bangos santykis p/u_x, atsižvelgiant į ženklą, yra −Z, nes ji sklinda priešinga kryptimi.

2. Pagrindiniame statmeno kritimo atvejyje palyginkite t_p su T. Kodėl slėgio amplitudžių santykis gali viršyti 1?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   t_p = 4/3, o T = (Z₁/Z₂)t_p² = 8/9. Didesnė terpės 2 varža leidžia pasiekti didesnį didžiausią slėgį, nors perduodama ne visa krintančios bangos galia.

   Slėgio amplitudes sieja tiesiniai ryšiai. Galia priklauso nuo amplitudės kvadrato ir impedanso, abiejose pusėse taikant tą patį didžiausiosios amplitudės apibrėžimą.

3. Palikite ρ₁ = 2 kg/m³, c₁ = 3 m/s ir A = 0.02 Pa, bet nustatykite ρ₂ = 1 kg/m³ ir c₂ = 3 m/s. Raskite r_p, t_p, R ir T statmeno kritimo atveju.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Z₂ = 3 Pa·s/m, todėl r_p = −1/3, o t_p = 2/3. R = 1/9, o T = (6/3)(2/3)² = 8/9.

   Neigiamas slėgio atspindžio koeficientas apverčia fazę pagal nustatytą kosinuso susitarimą. Tai nereiškia neigiamos atspindėtos galios; į R įeina šio koeficiento kvadratas.

4. Palikite terpę 1 ir krintančią bangą, bet nustatykite ρ₂ = 3/2 kg/m³ ir c₂ = 4 m/s. Ar statmeno kritimo atveju yra slėgio bangos atspindys ir ar abiejų bangų ilgiai vienodi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiejų terpių akustinės varžos yra 6 Pa·s/m, todėl statmeno kritimo atveju r_p = 0, t_p = 1, R = 0 ir T = 1. Dėl skirtingų greičių bangų ilgiai, esant tam pačiam ω, vis tiek yra π m ir 4π/3 m.

   Vienodos ρc vertės šiame modelyje panaikina atspindį statmeno kritimo atveju. Tai nereiškia, kad garso greičiai yra vienodi ar kad suderinimas galioja visiems įstrižo kritimo kampams.

5. Pagrindiniame įstrižo kritimo atvejyje palyginkite krintančios ir perėjusios bangų kampus, dažnį ir bangos ilgį. Kampus matuokite nuo normalės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   sin(θ₁) = 3/10 ir sin(θ₂) = 2/5, todėl nurodytose šakose θ₂ > θ₁. Abiejų bangų ω = 6 rad/s, o λ₁ = π m ir λ₂ = 4π/3 m.

   Nejudanti terpių riba išsaugo dažnį; fazių suderinimas išilgai ribos, esant tam pačiam dažniui ir skirtingiems greičiams, lemia bangos ilgio ir krypties pokyčius.

6. Pagrindinėse terpėse nustatykite sin(θ₁) = 4/5. Ar egzistuoja realus perėjęs spindulys, nesklindantis lygiagrečiai terpių ribai, ir ar atsakymas įrodo, kad perėjęs laukas yra nulinis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Fazių suderinimui reikėtų sin(θ₂) = 16/15, todėl realus perėjęs spindulys neegzistuoja. Tai neįrodo, kad perėjęs laukas yra nulinis.

   Realiųjų spindulių formulės, taikomos, kai kampų kosinusai teigiami, šiems pradiniams duomenims netinka. Evanescentinis laukas nepatenka į pateikto skaičiavimo sritį; jo negalima pakeisti nepagrįstu teiginiu, kad laukas yra nulinis.

Ką verta įsidėmėti

• Slėgis ties terpių riba ir dalelių greičio normalinė dedamoji lemia slėgio koeficientų vertes ir ženklus; atspindėtos bangos greičio ženklas dėl sklidimo krypties yra priešingas.
• Slėgio amplitudžių santykiai skiriasi nuo normalinės galios santykių. Į galios balansą įeina akustinė varža ir, įstrižo kritimo atveju, projekcija su kosinuso daugikliu.
• Nejudanti plokščia terpių riba išsaugo dažnį ir fazę išilgai ribos. Lūžio formulės galioja tik nurodytoje realiųjų sklidimo kampų srityje.