Fazinis greitis, grupinis greitis ir dispersija

Pradėkite nuo dviejų judančių žymų

Kai t = 0 s, dvi pasirinktos žymos mūsų pateiktame bangų modelyje yra ties x = 0 m. Po 0.2 s viena yra ties x = 0.406 m, o kita – ties x = 0.802 m. Abi juda į dešinę, tačiau seka skirtingus požymius. Šioje pamokoje paaiškinsime, kodėl jų greičiai skiriasi.

Apskritimas seka vieną fiksuotą sparčiai svyruojančio daugiklio fazę ir yra ant tikrosios poslinkio kreivės. Kvadratas seka vieną platesnės moduliacijos maksimumą ir yra ant jos teigiamosios gaubtinės kreivės. Kvadrato aukštis paprastai nėra poslinkis toje vietoje. Nė viena žyma nežymi judančios medžiagos dalelės.

„Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia reikšmių įstatymui ir santykių skaičiavimui. „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ parengia kosinuso ir fazės nagrinėjimui; reikalinga tapatybė pateikiama toliau. „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ – paskelbtas kelias grįžti prie dydžių žymėjimo.

Pradėkite nuo dviejų žymų ir jų lentelės. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ – neprivalomas paskelbtas grįžimo kelias, skirtas vėlesniam išvestinės ir siauros spektro juostos aptarimui. Nereikia jokios nepaskelbtos pamokos apie bangas.

Apibrėžkite bangas ir jų dispersijos sąryšį

Tegu x yra padėtis metrais, kurios teigiama kryptis – į dešinę; t yra laikas sekundėmis, kai t ≥ 0. Poslinkis y su ženklu matuojamas metrais. Sinusoidės k yra kampinis bangos skaičius, matuojamas rad/m, o ω – kampinis dažnis, matuojamas rad/s. Jos fazė yra kx − ωt. Dispersijos sąryšis nusako, kuris ω atitinka kiekvieną k.

Naudokime nustatytą sąryšį ω(k) = ck + βk³, galiojantį teigiamam k, kur c = 1 m/s ir β = 0.01 m³/s. SI sistemoje radianų dimensija yra lygi vienetui, todėl abu nariai turi kampinio dažnio matavimo vienetus. Šis tikslus matematinis dėsnis nėra matavimais nustatyta medžiagos charakteristika.

Pasirinkime dvi dedamąsias, kurių amplitudės vienodos: A = 1 mm, bangos skaičiai k₁ = 9 rad/m ir k₂ = 11 rad/m, o pradinės fazės lygios nuliui. Įstatę gauname ω₁ = 16.29 rad/s ir ω₂ = 24.31 rad/s. Apibrėžkime y_j(x,t) = A cos(k_j x − ω_j t) ir tarkime, kad galioja tiesinė superpozicija y = y₁ + y₂.

Bangos apibrėžtos visiems realiesiems x ir visiems t ≥ 0. Šios dvi neribotai besitęsiančios sinusoidės nėra lokalizuotas impulsas ar baigtinės trukmės signalas. Jas naudojame tiksliai apibrėžtiems elementams palyginti.

Dviejų judančių elementų palyginimas

Tapatybė cos a + cos b = 2 cos((a−b)/2) cos((a+b)/2) išskaido sumą į dviejų daugiklių sandaugą. Tegu k̄ = (k₁+k₂)/2 = 10 rad/m, ω̄ = (ω₁+ω₂)/2 = 20.3 rad/s, Δk = k₂−k₁ = 2 rad/m ir Δω = ω₂−ω₁ = 8.02 rad/s.

Apibrėžkime nešlio fazę Φ = k̄x − ω̄t ir moduliacijos fazę Ψ = (Δk x − Δω t)/2. Tuomet y = B cos Φ, kur B = 2A cos Ψ. B yra dydis su ženklu. Jo neneigiamas modulis yra M = |B|, todėl poslinkis visada yra tarp −M ir +M. Kai B pakeičia ženklą, kreivės +B ir −B susikeičia vietomis: viršutinė tampa apatine, o apatinė – viršutine.

Kad formulės būtų glaustos, tegu ξ = x/(1 m) ir τ = t/(1 s). Tiksli suma yra y = (2 mm) cos(ξ − 4.01τ) cos(10ξ − 20.3τ). Apskritimą pasirinkime pagal Φ = 0, o kvadratą – pagal Ψ = 0. Jų padėtis gauname išsprendę šias lygio lygtis, o ne tardami, kad matoma ketera turi judėti vienu universaliu bangos greičiu.

Pasirinktas apskritimas juda greičiu v_C = ω̄/k̄ = 2.03 m/s. Pasirinktas kvadratas juda greičiu v_M = Δω/Δk = 4.01 m/s. Kai t = 0.2 s, apskritimo poslinkis yra maždaug 1.845 mm, o kvadratas yra ties teigiama 2 mm riba. Taip pat yra kitų periodiškai pasikartojančių šių elementų kopijų.

Sekite vienos dedamosios fazę

Vienos dedamosios fazę laikykite pastovia: kx − ωt = konstanta. Kadangi k nelygus nuliui, x kinta greičiu v_phase(k) = ω(k)/k. Tai fazinis greitis: pastovios šios sinusoidės fazės judėjimo greitis, o ne vietinis skersinio poslinkio kitimo greitis.

Pagal pateiktą dėsnį, v_phase(k) = c + βk². Dedamosios, kurios bangos skaičius yra 9 rad/m, fazinis greitis yra 1.81 m/s, o dedamosios, kurios bangos skaičius yra 11 rad/m, – 2.21 m/s. Skirtingi jų faziniai greičiai šiame pavyzdyje reiškia dispersiją.

Nešlio daugiklis sujungia abi dedamąsias. Jo greitis 2.03 m/s nesutampa su nė vienos dedamosios greičiu. Taikant dėsnį, kai k = 10 rad/m, gaunama ω(10) = 20 rad/s ir fazinis greitis 2 m/s. Tokios hipotetinės pavienės dedamosios nagrinėjimas skiriasi nuo tikrojo vidutinio dažnio ω̄ = 20.3 rad/s naudojimo.

Atskirkite baigtinius santykius nuo išvestinių

Baigtinis moduliacijos santykis apskaičiuojamas naudojant du skirtingus bangos skaičius. Išvestinei naudojamas ribinis nuolydis ties vienu bangos skaičiumi. Apibrėžkime v_g(k₀) = dω/dk at k₀, vadinamą grupiniu greičiu. Diferencijuodami pateiktą daugianarį gauname v_g(k₀) = c + 3βk₀². Kai k₀ = 10 rad/m, šis greitis yra 4 m/s, o ne baigtinio santykio vertė 4.01 m/s.

Kad pamatytume ribą neprarasdami skirtumo, pasirinkime k₁ = k₀−h ir k₂ = k₀+h, kur h > 0 rad/m ir k₀ > h. Išskleidę kubinę išraišką, gauname v_C = c + β(k₀² + 3h²) ir v_M = c + β(3k₀² + h²). Papildomi nariai yra atitinkamai 3βh² ir βh².

Kai h artėja prie nulio, nešančiosios bangos greitis, apskaičiuotas esant baigtiniam skirtumui tarp bangos skaičių, artėja prie ω(k₀)/k₀, o moduliacijos greitis, apskaičiuotas esant tokiam skirtumui, artėja prie dω/dk taške k₀. Kai skirtumas baigtinis, naudokite baigtinio skirtumo formules. Toliau pateiktoje lentelėje nurodytos vietinės vienos bangos santykio ir išvestinės vertės ties kiekvienu k, o ne dviejų pasirinktų bangos požymių greičiai.

Lokalaus paketo artinio kontrolė

Lokalizuotam bangų paketui reikėtų daugiau nei mūsų dviejų erdvėje ištęstų sinusoidžių. Vėliau nagrinėjamai superpozicijai, sutelktai ties k₀, pirmosios eilės ω Teiloro artinys lemia, kad lėtai kintantis daugiklis slenka greičiu v_g(k₀). Kad taip slenkant išliktų jo forma, atmesta aukštesniųjų eilių fazė turi likti maža per nurodytą laiko intervalą.

Kubinio dėsnio atveju užrašykime k = k₀+δ. Tikslus skleidinys yra ω(k₀+δ) = ω(k₀) + (c+3βk₀²)δ + 3βk₀δ² + βδ³. Paskutiniai du nariai yra pirmosios eilės artinyje atmesta liekana.

Imkime k₀ = 10 rad/m ir tarkime, kad vėliau nagrinėjamo paketo spektro atrama yra srityje |δ| ≤ Δ, kur 0 < Δ ≤ 2 rad/m. Per intervalą 0 ≤ t ≤ T atmesta fazė neviršija Tβ(3k₀Δ² + Δ³). Taigi, pasirinkus bedimensę leistinąją fazės paklaidą ε, ši riba turi neviršyti ε. Platesnė juosta arba ilgesnis laikas gali padaryti artinį nebetinkamą.

Tai sąlyginė fazės paklaidos patikra, o ne sukonstruotas paketas ar garantija spektro uodegoms už nurodytos juostos ribų. Čia nepateiktas nei paketo juostos plotis, nei leistinoji paklaida, nei stebėjimo laikotarpis skaitiniam paketo pavyzdžiui. Ši patikra nenustato energijos, informacijos ar bangos fronto greičio.

Palyginkite nedispersinį dėsnį

Atskirai palyginkite atvejį, kai c = 2 m/s ir β = 0, palikdami k₁ = 9 rad/m ir k₂ = 11 rad/m. Dabar dėsnis yra ω = ck. Abu kampiniai dažniai yra 18 rad/s ir 22 rad/s, o kiekvienos dedamosios fazinis greitis yra 2 m/s.

Vidurkių santykis yra 20/10 = 2 m/s; skirtumų santykis yra 4/2 = 2 m/s; išvestinė taip pat lygi 2 m/s. Kiekviena dedamoji priklauso nuo x − ct, todėl šiame tiksliame palyginime jų suma išlaiko tą pačią erdvinę formą, tik pasislinkusią.

Šis sutapimas kyla iš tiesinio sąryšio, o ne iš žodžio „banga“. Grįžus prie pradinio kubinio dėsnio, vėl išryškėja skirtumai tarp atskirų fazinių greičių, baigtinių požymių greičių ir vietinės išvestinės.

Nurodykite, kokį požymį apibūdina greitis

Prieš pateikdami greitį, įvardykite požymį ir jo apibrėžimą: vienos dedamosios fazę, nešančiosios bangos lygį Φ = 0, moduliacijos lygį Ψ = 0 arba išvestinę ties nurodytu k₀. Žyma ant ribinės kreivės atsako į kitą klausimą nei žyma ant poslinkio kreivės.

Diagramoje pateikti du matematinio modelio erdviniai vaizdai skirtingais laiko momentais. Tikslių reikšmių lentelėje pateiktos tarpinės požymių koordinatės; jokia jungiamoji linija nepaverčia nė vienos žymos materialiojo taško trajektorija. Grafike rodomas intervalas taip pat nepaverčia šių visoje tiesėje apibrėžtų sinusoidžių lokalizuotu paketu.

Šioje pamokoje nepateikiama universali fazinio, grupinio, energijos ir fronto greičių dydžių tvarka. Mūsų pasirinkto dėsnio išvestinė yra teigiama ir didesnė už vienos bangos fazinį santykį, tačiau tai lemia šie koeficientai. Klausimams apie energijos pernašą ar naujai pasiųstą signalą reikia tinkamo fizikinio modelio ir papildomų sąlygų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kokie turi būti c ir β vienetai priklausomybėje ω(k) = ck + βk³, jei k matuojamas rad/m, ω – rad/s, o radianų dimensija lygi vienetui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   c vienetai yra m/s; β vienetai yra m³/s.

   Tiek ck, tiek βk³ turi turėti kampinio dažnio vienetus. Padauginus nurodytus jų vienetus atitinkamai iš m⁻¹ ir m⁻³, gaunama s⁻¹.

2. Pagal pagrindinį dėsnį, kai k = 9 rad/m, raskite ω ir šios vienos dedamosios pastovios fazės sklidimo greitį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ω = 16.29 rad/s, o v_phase = 1.81 m/s.

   Įstačius gaunama 9 + 0.01(9³) = 16.29 rad/s. Dalykite iš 9 rad/m, o ne iš bangos skaičių skirtumo.

3. Pagal pagrindinį dėsnį apskaičiuokite v_g, kai k = 10 rad/m. Ar jis tiksliai lygus pagrindinės poros baigtiniam moduliacijos greičiui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   v_g = 4 m/s. Jis skiriasi nuo pagrindinės poros greičio 4.01 m/s.

   Išvestinei apskaičiuoti naudokite c + 3βk². Bangų porai, kurios bangos skaičiai skiriasi, naudojami nenuliniai dažnių ir bangos skaičių skirtumai.

4. Palikite pagrindines c ir β vertes, bet naudokite k₁ = 8 rad/m ir k₂ = 12 rad/m. Apskaičiuokite ω₁, ω₂, v_C ir v_M; palyginkite su vietiniu faziniu greičiu ir v_g, kai bangos skaičius yra 10 rad/m.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ω₁ = 13.12 rad/s; ω₂ = 29.28 rad/s; v_C = 2.12 m/s; v_M = 4.04 m/s. Vietinės vertės, kai bangos skaičius yra 10 rad/m, išlieka atitinkamai 2 ir 4 m/s.

   Vidutinis dažnis yra 21.2 rad/s, o vidutinis bangos skaičius – 10 rad/m. Skirtumai yra 16.16 rad/s ir 4 rad/m. Didesnis baigtinis bangos skaičių skirtumas pakeičia santykius, bet nekeičia išvestinės tame pačiame atskaitos taške.

5. Kai taikomas atskiras dėsnis, kuriame c = 2 m/s ir β = 0, kodėl dedamųjų, nešančiosios bangos, moduliacijos ir pagal išvestinę apskaičiuotas greitis porai, kurios bangos skaičiai yra 9 ir 11 rad/m, visi lygūs 2 m/s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nes ω yra tiksliai proporcingas k, o proporcingumo koeficientas yra tas pats – 2 m/s.

   Atskirų verčių santykiai, vidurkių santykis, skirtumų santykis ir išvestinė duoda tą patį koeficientą. Kiekviena nurodyta dedamoji slenka kaip x−ct funkcija.

6. Kai t = 0.2 s, kvadratas yra ties x = 0.802 m ant teigiamosios ribos. Ar tai nurodo tikrąjį poslinkį toje vietoje, medžiagos dalelės trajektoriją arba tikslų lokalizuoto bangų paketo ar energijos sklidimo greitį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Tai nurodo pasirinktą moduliacijos požymį Ψ = 0 ant ribos, judantį baigtinių skirtumų santykiu apskaičiuotu 4.01 m/s greičiu.

   Tikrasis poslinkis toje vietoje yra kitoks. Modelį sudaro dvi erdvėje išplitusios sinusoidės, o medžiagos dalelės trajektorija, lokalizuotas bangų paketas ar energijos pernašos modelis nepateikti.

Ką verta įsidėmėti

• Greitis turi būti siejamas su įvardytu požymiu ir nurodyta fazės arba moduliacijos sąlyga.
• Vienos komponentės, kurios k nelygus nuliui, fazinis greitis yra ω/k; grupinis greitis taške yra dω/dk.
• Baigtiniai dviejų komponenčių santykiai sutampa su lokaliaisiais santykiais ir išvestinėmis tik esant atitinkamai ribai arba specialiam sąryšiui.
• Siaurajuosčio bangų paketo interpretacijai reikia kontroliuoti aukštesniųjų eilių fazės paklaidą per nurodytą laikotarpį.