Garsas, akustika, muzikos instrumentai ir Doplerio efektas

Pradėkite nuo atviro oro stulpo

Įsivaizduokite idealų vamzdį, kurio abu galai atviri nejudančiai aplinkinei terpei. Jo efektyvusis ilgis yra 0.75 m. Mūsų pateiktame modelyje garsas sklinda 300 m/s greičiu, todėl trikdžiui nukeliauti dvigubą šį ilgį prireikia 0.005 s. Žemiausioji stovinčiosios bangos moda kartojasi 200 Hz dažniu. Vienas hercas (Hz) reiškia vieną visą ciklą per sekundę.

Abiejuose idealiuose atviruose galuose slėgio pokytis lygus nuliui. Tai nereiškia, kad oras ten nejuda: tos pačios modos oro dalelių poslinkio amplitudė galuose yra didžiausia. Įvardijant mazgą būtina nurodyti dydį, kurio pokytis jame išnyksta.

„Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ parengia darbui su dydžių žymėjimu; „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ – su santykiais ir įstatymu į formules. „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ parengia darbui su toliau pristatomais sinusiniais ir kosinusiniais profiliais.

Pradėkite nuo dydžių ir lentelių. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Klasikinė bangos lygtis“ yra paskelbta neprivaloma medžiaga, prie kurios galima grįžti norint patikrinti diferencialines lygtis. Nereikia jokios vėlesnės akustikos pamokos.

Atskirkite slėgį, poslinkį ir greitį

Tegu x yra išilginė koordinatė nesutrikdytoje būsenoje, matuojama metrais ir didėjanti į dešinę, o t – laikas sekundėmis. Pusiausvyros slėgis yra p₀ = 100000 Pa. Slėgio perteklius p′ yra nedidelis nuokrypis nuo p₀; bendras slėgis yra p₀+p′. Poslinkis χ su ženklu, matuojamas metrais, apibūdina vidutinį mažo dujų elemento judėjimą išilgai vamzdžio, o ne atsitiktinį atskiros molekulės judėjimą.

Dujų elemento greičio u vienetai yra m/s; jis yra χ kitimo laiko atžvilgiu sparta: u = ∂χ/∂t. Jis skiriasi nuo nustatyto bangos sklidimo greičio c = 300 m/s. Net jei poslinkio profilis puslapyje braižomas į viršų, jis vis tiek apibūdina išilginį judėjimą išilgai x.

Imkime pusiausvyros tankį ρ₀ = 1.2 kg/m³ ir mažų trikdžių tūrinį tamprumo modulį B = ρ₀c² = 108000 Pa. Vienmačiame tiesiniame modelyje be nuostolių galioja p′ = −B ∂χ/∂x ir ρ₀ ∂u/∂t = −∂p′/∂x. Suspaudimas sukelia teigiamą slėgio perteklių; slėgio gradientas keičia dujų greitį.

Šios lygtys remiasi tolydžiosios terpės aprašymu, mažais trikdžiais ir pastoviais pateiktais terpės parametrais. Šios skaitinės vertės nėra universalūs atmosferos parametrai. Modelyje neatsižvelgiama į šilumos nuostolius, klampą, srautą pro tikrą pūstuką ar spinduliavimą į aplinkinę erdvę.

Pasirinkite leistiną stulpo modą

Kai 0 ≤ x ≤ L = 0.75 m ir t ≥ 0, nustatykite idealias nulinio slėgio pertekliaus kraštines sąlygas p′(0,t) = p′(L,t) = 0. Sinusinis slėgio profilis jas tenkina, kai kL = nπ, kur n yra teigiamas sveikasis skaičius. Čia k yra bangos skaičius, matuojamas rad/m, o kampinis dažnis yra ω = ck, matuojamas rad/s. Įprastinis dažnis yra f = ω/(2π), matuojamas Hz.

Žemiausiajai modai n = 1, k = 4π/3 rad/m, ω = 400π rad/s ir f = 200 Hz. Kai slėgio amplitudė P = 0.3 Pa, pasirinkite poslinkio amplitudę S = P/(Bk) = 1/(480000π) m, apytiksliai 6.63×10⁻⁷ m. Šiuose sąryšiuose radianų dimensija lygi vienetui.

Pateiktą stovinčiosios bangos modą aprašo p′(x,t) = P sin(kx) cos(ωt) ir χ(x,t) = S cos(kx) cos(ωt). Diferencijuojant gaunama u(x,t) = −Sω cos(kx) sin(ωt). Įstatę patikriname, kad tenkinamos abi tiesinės lygtys ir nulinio slėgio pertekliaus sąlygos abiejuose galuose.

Tam pačiam idealiam stulpui su abiem atvirais galais leistini dažniai yra fₙ = nc/(2L). Jei kairysis galas uždaras ir neleidžia dujoms judėti, o dešiniajame gale slėgio perteklius lygus nuliui, žemiausias leistinas dažnis yra c/(4L), ir šiame idealiame modelyje galimi tik nelyginiai teigiami jo kartotiniai.

Šios kraštinės sąlygos padeda paaiškinti, kaip rezonansinis oro stulpas gali būti įtrauktas į muzikos instrumento modelį. Jos nevisiškai apibrėžia grojamą natą: tikroji geometrija, žadinimas, galų pataisos ir nuostoliai gali pakeisti efektyvųjį atsaką. L čia yra jau nustatytas efektyvusis ilgis, o ne išmatuotas vidinio kanalo ilgis.

Palyginkite du dydžius tuo pačiu momentu

Kai t = 0, slėgio profilis kyla nuo nulio abiejuose galuose iki P centre. Poslinkio profilis kinta nuo +S kairiajame gale per nulį centre iki −S dešiniajame gale. Abi normuotos ordinatės p′/P ir χ/S yra bedimensės; vienodas grafikų aukštis nereiškia vienodų fizikinių dydžių.

Atskiruose mėlyname ir violetiniame grafikuose naudojamas tas pats fizinės x koordinatės mastelis. Taškinės horizontalios pagalbinės linijos žymi tikrąją normuotųjų dydžių nulinę vertę; apatiniai rėmelių kraštai neatitinka nulio. Neužpildyti apskritimai žymi pasirinktas slėgio vertes, o neužpildyti kvadratai – pasirinktas poslinkio vertes.

Šiuo momentu u visur lygus nuliui. Po ketvirčio periodo, kai t = 0.00125 s, p′ ir χ visur lygūs nuliui, tačiau u paprastai nėra lygus nuliui, o didžiausias jo modulis yra Sω = 1/1200 m/s. Momentinis vaizdas, kuriame poslinkis lygus nuliui, nėra rimties įrodymas.

Skaičiuokite fazes terpės atskaitos sistemoje

Dabar nagrinėkite atskirą pavyzdį: periodinis šaltinis ir imtuvas juda nejudančioje, vienalytėje, nedispersinėje terpėje, kurioje c = 300 m/s. Šaltinis kas 1/f_S sekundžių sukuria į dešinę sklindančią lygiavertę fazę, o f_S = 200 Hz. Šis spinduliavimo dažnis nurodytas atskirai nuo pirmiau aptarto nejudančio stulpo rezonanso.

Matuokite šaltinio ir imtuvo greičius su ženklu v_S ir v_R terpės atskaitos sistemoje, teigiama kryptimi laikydami kryptį į dešinę. Pasirinktu stebėjimo laikotarpiu imtuvas yra šaltinio priekyje. Tarkite, kad greičiai pastovūs, |v_S| < c ir |v_R| < c, ir kiekvieną fazę sekite tik po jos išspinduliavimo.

Per vieną spinduliavimo periodą anksčiau išspinduliuotas fazės frontas pasislenka c/f_S metrų, o šaltinis – v_S/f_S metrų. Todėl į dešinę sklindančių frontų tarpas yra λ₊ = (c−v_S)/f_S. Imtuvas šiuos frontus pasitinka santykiniu greičiu c−v_R, taigi Δa = (c−v_S)/(f_S(c−v_R)) ir f_R = f_S(c−v_R)/(c−v_S).

Šaltinio judėjimas keičia atstumą tarp frontų terpėje. Imtuvo judėjimas keičia tai, kaip greitai jis pasitinka šiuos frontus. Reikia atsižvelgti į abu poveikius; pakeitus juos šaltinio ir imtuvo artėjimo greičiu be papildomų sąlygų, šis skirtumas prarandamas.

Šaltinio ir imtuvo judėjimo palyginimas

Pirmiausia laikykime spinduliuotuvą nejudantį, o imtuvą – artėjantį greičiu v_R = −60 m/s. Atstumas tarp fazės frontų lieka 1.5 m, tačiau imtuvo ir frontų santykinis greitis yra 360 m/s. Priimamo garso dažnis yra 240 Hz.

Dabar laikykime šaltinį artėjantį greičiu v_S = +60 m/s, o imtuvą – nejudantį. Atstumas tarp frontų sumažėja iki 1.2 m; imtuvo ir frontų santykinis greitis yra 300 m/s, todėl priimamo garso dažnis yra 250 Hz. Šiais atvejais artėjimo greitis yra toks pat – 60 m/s, tačiau priimamo garso dažniai skiriasi.

Pagrindiniu atveju, kai juda ir šaltinis, ir imtuvas, v_S = +60 m/s, o v_R = −30 m/s. Atstumas tarp fazės frontų yra 1.2 m, o imtuvo ir frontų santykinis greitis – 330 m/s, todėl frontų atėjimo intervalas yra 1/275 s, o priimamo garso dažnis – 275 Hz.

Profilių ir fazių atvykimo analizė

Viršutinėse diagramos dalyse lyginami jau apibrėžti nejudančio stulpo dydžiai. Apatinėje dalyje pateikta kitokia padėties ir laiko diagrama jungtinio Doplerio efekto atvejui. Laikas didėja aukštyn nuo 0 iki 40 ms; padėtis didėja į dešinę. Pasvirusi žalia linija vaizduoja išspinduliuotos fazės, o ne judančio dujų elemento judėjimą.

Apatinėje diagramos dalyje x_S(t) = (60 m/s)t ir x_R(t) = 4.8 m−(30 m/s)t. Fazė n išspinduliuojama laiko momentu eₙ = n/(200 Hz) iš padėties x_S(eₙ), kai n = 0,…,5. Kai t ≥ eₙ, jos padėtis yra xₙ(t) = x_S(eₙ)+c(t−eₙ).

Išsprendus lygtį xₙ(aₙ) = x_R(aₙ), gaunama aₙ = ((n+4)/275) s. Kiekviena fazė atvyksta po jos išspinduliavimo; laiko tarpai tarp gretimų atvykimų yra lygiai 1/275 s. Užpildyti apskritimai ties šaltiniu žymi išspinduliavimą, o tuščiaviduriai rombai ties imtuvu – atvykimą.

Pavaizduotas intervalas yra 0 ≤ t ≤ 0.04 s. Imtuvas išlieka priekyje: šiame intervale x_R−x_S = 4.8 m−(90 m/s)t yra ne mažesnis kaip 1.2 m. Visos šešios pavaizduotos fazės atvyksta per šį intervalą. Žalios atkarpos prasideda kiekvienos fazės išspinduliavimo momentu; pratęsus jas atgal, būtų sukurti neegzistuojantys įvykiai iki išspinduliavimo.

Tai tikslūs matematiniai fazių įvykiai ir momentiniai vaizdai, gauti pagal pateiktus modelius, o ne išmatuoti atvykimai ar molekulių trajektorijos. Lentelėse pateikiami tie patys dydžiai, todėl grafikas nebūtinas.

Paisykite akustinių modelių taikymo ribų

Slėgis, dujų poslinkis ir dujų greitis yra skirtingi dydžiai, net kai jų kitimo dažnis sutampa. Šiame dujų stulpe slėgio amplitudės santykis su pusiausvyros slėgiu yra 3×10⁻⁶, o didžiausias poslinkio gradientas ir didžiausias santykis |u|/c abu lygūs 1/360000. Šios mažos pateiktos vertės dera su tiesine aproksimacija; jos nėra matavimais patvirtintos tikslumo garantijos.

Pirmiau pateikta Doplerio formulė galioja tik nurodytam vienmačiam atvejui, kai terpė nejuda, o judėjimo greičiai yra mažesni už garso greitį. Šaltinis, kurio v_S = c, nepatenka į jos taikymo sritį. Nulinis vardiklis nėra leistina begalinio stebimo dažnio prognozė; sklidimą garso greičiu ar viršgarsiniu greičiu reikia nagrinėti kitaip.

Šioje pamokoje neskaičiuojamas garsumas, suvokiamo tono aukščio slenksčiai, sferinis spinduliavimas, tikro instrumento derinimas ar reliatyvistiniai Doplerio poslinkiai. Grįžkite prie pasirenkamųjų diferencialinių lygčių pamokų, kad patikrintumėte laukų sąryšius, arba, prieš išplėsdami išvados taikymą, palyginkite kitą aiškiai apibrėžtą kraštinių sąlygų ar greičių atvejį.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pateiktame atvirame stulpe raskite p′ ir χ, kai x = 0 ir t = 0. Ar galas yra slėgio, ar poslinkio mazgas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   p′ = 0 Pa ir χ = +S = 1/(480000π) m. Tai slėgio mazgas ir poslinkio pūpsnis.

   sin(0) = 0, o cos(0) = 1. Slėgio kraštinė sąlyga nereiškia, kad poslinkis lygus nuliui.

2. Palikite c = 300 m/s ir du idealius galus su nuliniu slėgio pokyčiu, bet pakeiskite efektyvųjį ilgį į 1.5 m. Koks yra pagrindinis dažnis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   100 Hz.

   Žemiausiojo dažnio modos bangos ilgis yra 2L = 3 m. Padalijus 300 m/s iš 3 m, gaunama 100 Hz; ankstesnis 200 Hz dažnis priklausė nuo pradinio efektyviojo ilgio.

3. Atskiram idealiam stulpui be nuostolių, kurio ilgis yra 0.75 m, o c = 300 m/s, nustatykite kraštines sąlygas: u(0,t) = 0 uždarame gale ir p′(L,t) = 0 atvirame gale. Raskite jo pagrindinį dažnį ir leistinus teigiamus harmonikų numerius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pagrindinis dažnis yra 100 Hz; harmonikų numeriai yra 1, 3, 5,… .

   Kai slėgio pasiskirstymas proporcingas cos(kx), dujų greitis ties x = 0 yra lygus nuliui. Sąlyga cos(kL) = 0 reikalauja, kad kL = (2j+1)π/2, kur j yra sveikasis skaičius ir j ≥ 0, todėl f = (2j+1)c/(4L).

4. Palikite nejudantį 200 Hz šaltinį nejudančioje terpėje, kurioje c = 300 m/s. Priekyje esantis imtuvas juda į dešinę +30 m/s greičiu. Raskite jo priimamą dažnį ir laiko tarpą tarp fazių atėjimų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f_R = 180 Hz ir Δa = 1/180 s.

   Atstumas išlieka 1.5 m. Fazės pro imtuvą slenka 300−30 = 270 m/s greičiu, todėl laiko intervalas yra 1.5/270 s. Tolstant fazės atkeliauja rečiau.

5. Toje pačioje terpėje šaltinis ir priešais jį esantis imtuvas juda +30 m/s greičiu, o f_S = 200 Hz. Raskite λ₊, Δa ir f_R.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   λ₊ = 27/20 m, Δa = 1/200 s ir f_R = 200 Hz.

   Šaltinis sukuria (300−30)/200 = 27/20 m atstumą tarp fazių; jos pro imtuvą slenka 270 m/s greičiu. Šio atstumo ir greičio santykis lygus spinduliavimo periodui. Abu kūnai juda terpės atžvilgiu.

6. Ar galima į šį modelį įrašyti v_S = 300 m/s ir v_R = 0 ir teigti, kad priimamo garso dažnis yra begalinis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. v_S = c pažeidžia griežtą prielaidą, kad šaltinio greitis mažesnis už garso greitį.

   Atstumo tarp fazių išvedimas ir taikoma formulė reikalauja, kad |v_S| < c. Nulinis vardiklis rodo, kad šis atvejis nepatenka į modelio taikymo sritį; jis nepatvirtina, kad išmatuotas dažnis būtų begalinis.

Ką verta įsidėmėti

• Įvardykite akustinį dydį: slėgį, matuojamą Pa, dujų poslinkį, matuojamą m, dujų greitį, matuojamą m/s, arba bangos sklidimo greitį, matuojamą m/s.
• Slėgio mazgas gali sutapti su dujų poslinkio pūpsniu; idealiosios ribinės sąlygos lemia leidžiamąsias dujų stulpo modas.
• Dėl Doplerio efekto pakitęs garso dažnis nustatomas pagal atstumą tarp fazių terpės atskaitos sistemoje ir jų slinkimo pro imtuvą greitį.
• Pateiktai idealiosios modos ar fazių atėjimo formulei būtinos jos ribinių sąlygų, terpės, amplitudės ir greičio prielaidos.