Darbas, kinetinė ir potencinė energija, galia

Tas pats greitis gali slėpti energijos perdavimą

Įsivaizduokite mažą vežimėlį, slystantį į dešinę horizontaliu takeliu ir tempiantį prie nejudamos atramos pritvirtintą spyruoklę. Vežimėlį laikykite 2 kg masės dalele: skaičiuosime tik jo slenkamąjį judėjimą. Iš pradžių jo padėtis yra x = 0, o greitis – +3 m/s. Šiame mokomajame modelyje pavara stumia į dešinę 15 N jėga, slydimo pasipriešinimo jėga yra nukreipta į kairę ir lygi 3 N, o ideali spyruoklė traukia į kairę jėga, kurios modulis yra (6 N/m)x. Koordinatė x taip pat nusako spyruoklės pailgėjimą, palyginti su jos neištempta būsena.

Nagrinėkite tik judėjimo į dešinę atkarpą nuo x = 0 iki x = 4 m. Atkarpos pabaigoje vežimėlio greitis toks pat – 3 m/s, tačiau ištemptoje spyruoklėje sukaupta 48 J energijos, o pavara suteikė 60 J. Visi šie teiginiai gali galioti kartu. Apskaitysime kiekvienos jėgos darbą ir mechaninės energijos virsmą kitomis energijos formomis, užuot galutinį greitį laikę visa informacija apie energiją. Tai tiksliai nustatytos sąlygos, o ne matavimai ar bandymais patikrintas tampriosios deformacijos diapazonas.

Pradėkite nuo aritmetinių veiksmų su teigiamais ir neigiamais skaičiais, reikšmių įstatymo ir matavimo vienetų, kaip mokoma paskelbtose pamokose „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Jėgos ir energijos dydžiai pristatomi čia. Pamoka „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ suteikia neprivalomą pasirengimą skaliarinės sandaugos pavyzdžiui. Skaitydami pirmą kartą, remkitės tiesiniu jėgos grafiku ir jo sudaromų trikampių plotais; pamokos „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“ suteikia galimybę vėliau grįžti prie teiginių apie spartą ir integralus.

Įvardykite jėgą ir jos veikimo tašką

Pastovios jėgos darbas išilgai vienos fiksuotos ašies yra W = FₓΔx, kur Fₓ yra jėgos komponentė su ženklu, o Δx – jos veikimo taško poslinkis. Į dešinę nukreipta 15 N jėga, kurios veikimo taškas pasislenka 4 m į dešinę, atlieka +60 J darbą. Į kairę nukreipta 3 N jėga per tą patį poslinkį atlieka −12 J darbą. Apvertus koordinačių ašies kryptį, pasikeičia abiejų sandaugos daugiklių ženklai, todėl darbas lieka toks pat.

Keliose dimensijose pastovios jėgos darbas yra skaliarinė sandauga W = F·Δr: sudauginkite atitinkamas komponentes išilgai tarpusavyje statmenų ašių ir sudėkite rezultatus. Kai abu vektoriai nenuliniai, lygiavertė išraiška yra W = |F||Δr|cosθ, kur θ – kampas tarp jėgos ir poslinkio. Jei bent vienas vektorius nulinis, skaliarinė sandauga duoda nulinį darbą ir kampo apibrėžti nereikia. Darbas yra skaliarinis dydis su ženklu, o ne jėga ar vektorius. Jo vienetas yra džaulis: 1 J = 1 N·m = 1 kg·m²/s². Jėga, statmena kiekvienam vietiniam poslinkiui, išilgai to kelio atlieka nulinį darbą.

Jėga gali veikti pasirinktą kūną neatlikdama darbo: jos veikimo taškas gali nejudėti. Šis teiginys nereiškia, kad jėgą palaikantis žmogus nenaudoja biologinės energijos. Kai matmenis turintis kūnas sukasi ar deformuojasi, svarbus jėgos veikimo taškas; jo poslinkio automatiškai nekeiskite viso kūno poslinkiu. Mūsų materialiojo taško artinys sąmoningai neapima šių papildomų judesių.

Sudėkite darbus prieš keisdami greitį

Šioje fiksuotoje inercinėje atskaitos sistemoje pastovios masės materialiojo taško klasikinė kinetinė energija yra K = (1/2)m|v|². Ji neneigiama ir priklauso nuo greičio modulio kvadrato. Mūsų 2 kg masės vežimėlio, judančio 3 m/s greičiu, kinetinė energija yra K = (1/2)(2 kg)(3 m/s)² = 9 J. Padvigubinus greitį ir nekeičiant masės, K padidėja keturis kartus. Pakeitus atskaitos sistemą, gali pasikeisti greitis ir kinetinė energija, todėl visą palyginimą atlikite vienoje atskaitos sistemoje.

Kinetinės energijos teorema teigia, kad Wnet = Kfinal − Kinitial. Čia Wnet yra visų materialųjį tašką veikiančių jėgų darbų suma, o ne vien varomosios jėgos darbas. Teigiama darbų suma didina K, o neigiama – mažina. Nulinis bendras darbas per visą intervalą reiškia, kad kinetinės energijos intervalo pradžioje ir pabaigoje yra lygios, tačiau nereiškia, kad greitis tarp šių momentų buvo pastovus.

Kai jėga kinta išilgai vienmačio kelio, darbas gaunamas sumuojant jos indėlius su ženklu per poslinkį: W = ∫Fₓ dx. Tai plotas su ženklu po jėgos priklausomybės nuo padėties grafiku. Tai nėra plotas po jėgos priklausomybės nuo laiko grafiku. Integralas yra glaustas būdas sumuoti vis mažesnius jėgos ir poslinkio sandaugų indėlius; mūsų atveju, kai grafikas yra tiesė, darbą galima tiksliai apskaičiuoti pagal trikampio plotą.

Sukaupta energija priklauso sąveikai

Konservatyviosios jėgos darbą, taikant nurodytą jos modelį, lemia pradinė ir galutinė konfigūracijos. Šią sąveiką aprašykite potencine energija U taip, kad jos darbas būtų −ΔU. Potencinės energijos nulis yra pasirinktas atskaitos lygis: visur pridėjus tą pačią konstantą, nepasikeičia nei ΔU, nei jėga. Vienoje dimensijoje jėga lygi −dU/dx, kai ši išvestinė egzistuoja.

Idealios tiesinės spyruoklės atveju Fspring = −kx ir U = (1/2)kx², o neištemptos spyruoklės būsenoje U = 0. Standumo k vienetai yra N/m. Mūsų modelyje k = 6 N/m, todėl spyruoklės darbas, kai x kinta nuo 0 iki 4 m, yra −48 J, o jos potencinė energija padidėja +48 J. Spyruoklė laikoma neturinčia masės, o jos tvirtinimo taškas nejuda. Ši U aprašo vežimėlio ir spyruoklės konfigūraciją; tai nėra papildoma izoliuoto vežimėlio kinetinė energija.

Atskirame sunkio modelyje arti Žemės paviršiaus, kai žemyn nukreipto pagreičio modulis g yra pastovus, aukščiui padidėjus Δh, sunkio potencinė energija pasikeičia dydžiu mgΔh. Tai kūno ir Žemės sąveikos energija. Pastovus g yra artinys, taikomas pakankamai ribotame aukščių intervale, o ne formulė, tinkanti bet kokiam atstumui nuo Žemės. Slydimo pasipriešinimui paprastai reikia atskiro energijos perdavimo ar virsmo nario, o ne vienos tik nuo padėties priklausančios potencinės energijos, galiojančios visiems keliams ir kryptims.

Palyginkite jėgos grafiko plotą su energijos grafiko aukščiu

Tegu q = x/(1 m) yra bedimensė pailgėjimo metrais skaitinė vertė. Sudėję tris horizontaliąsias jėgas, gauname Fnet = (12 − 6q) N. Šios jėgos grafiko tiesė prasideda ties +12 N, kerta nulį ties x = 2 m ir baigiasi ties −12 N. Viršutinio grafiko teigiamojo trikampio indėlis yra +(1/2)(2 m)(12 N) = +12 J; neigiamojo trikampio indėlis yra −12 J. Jų suma lygi nuliui, taigi atstojamosios jėgos darbas nuo 0 iki 4 m yra nulinis.

Darbas nuo pradinės padėties iki padėties x yra (12q − 3q²) J, todėl K = (9 + 12q − 3q²) J. Spyruoklės potencinė energija yra U = 3q² J. Jas sudėję, gauname mechaninę energiją Emech = K + U = (9 + 12q) J. Apatiniame grafike šios trys energijos vaizduojamos pagal bendrą skalę džauliais. Vertikali padėtis rodo energiją, o horizontalioji ašis – padėtį. Jėgos ir energijos grafikuose vertikaliosiose ašyse vaizduojami skirtingi dydžiai ir naudojamos skirtingos skalės.

Ties x = 2 m kinetinė energija K pasiekia 21 J, o atstojamoji jėga lygi nuliui. Vežimėlis juda √21 m/s greičiu, todėl nulinė jėga tuo momentu nereiškia rimties. Užrašę K kaip [21 − 3(q − 2)²] J, matome, kad 0–4 m intervale ji išlieka tarp 9 J ir 21 J. Taigi pasirinktoje judėjimo į dešinę šakoje vežimėlis juda visame šiame intervale. Šias kreives apibrėžia pateiktos funkcijos, o ne vien pavieniai grafikuose pažymėti taškai.

Skirkite kinetinės ir mechaninės energijos balansus

Vežimėliui, laikomam materialiuoju tašku, 0–4 m atkarpoje pavara atlieka +60 J darbą, slydimo pasipriešinimo jėga – −12 J darbą, o spyruoklė – −48 J darbą. Šių darbų suma yra 0 J, todėl galutinė K vertė lygi pradinei 9 J vertei. Neįtraukus spyruoklės darbo arba skaičiuojant tik teigiamą darbą, galutinis greitis būtų apskaičiuotas neteisingai.

Vežimėlio ir spyruoklės mechaninės energijos balanse konservatyviosios spyruoklės jėgos perduodama energija įtraukiama kaip U. Dabar Δ(K + U) = Wdrive + Wresistance = 60 J − 12 J = 48 J. Bendra mechaninė energija padidėja nuo 9 J iki 57 J. Šiuo atveju, kai veikia varančioji ir pasipriešinimo jėgos, ji neišlieka pastovi. Į kairę lygties pusę įtraukę spyruoklės potencinės energijos pokytį +48 J, dešinėje pusėje dar kartą neįskaičiuokite jos darbo −48 J.

Supaprastintame energijos balanse 12 J varančiosios jėgos suteiktos energijos priskiriama mechaninės energijos virsmui kitomis energijos formomis. Išsamesnis vežimėlio ir paviršiaus modelis leidžia sekti šiluminę ir vidinę energiją, tačiau šis skaičiavimas nenustato, kaip ta energija pasiskirsto tarp medžiagų, ir neparodo jų temperatūrų. Mechaninės energijos kitimas neprieštarauja energijos tvermei, jei sistema apima visus reikalingus elementus. Prieš taikydami energijos tvermę, pasirinkite sistemos ribą ir įtraukite energijos perdavimus per ją.

Energijos perdavimas ir jo sparta atsako į skirtingus klausimus

Vidutinė galia per nenulinį laiko intervalą Δt yra pasirinktas darbas arba perduota energija, padalyta iš šio intervalo trukmės. Momentinė galia yra vietinė šio darbo atlikimo arba energijos perdavimo sparta. Mūsų dalelę veikiančios jėgos galia P = F·v; išilgai šios ašies ji lygi Fₓv. Vienas vatas yra vienas džaulis per sekundę. Raidė W formulėje gali žymėti darbą, o matavimo vieneto simbolis W žymi vatą; juos atskirti padeda dydžio kontekstas ir matavimo vienetai.

Vežimėlio judėjimo pradžioje varančiosios jėgos galia yra (15 N)(3 m/s) = 45 W, pasipriešinimo jėgos galia yra −9 W, o neištemptos spyruoklės jėgos galia yra 0 W. Atstojamosios jėgos galia yra 36 W — tai vietinė K didėjimo sparta. Kai x = 2 m, atstojamoji jėga ir jos galia lygios nuliui, nors vežimėlis vis dar juda, o varančioji jėga vis dar perduoda energiją. Atskirų jėgų galios nebūtinai lygios nuliui, kai jų suma lygi nuliui.

Atstojamosios jėgos darbas nuo 0 iki 4 m lygus nuliui, tačiau varančiosios jėgos darbas yra 60 J. Jos vidutinei galiai apskaičiuoti taip pat reikėtų kelionės trukmės. Vien tik vienodi greičio moduliai galiniuose taškuose arba bendras darbas šios trukmės nenusako. Pagal šį modelį energija nustato greičio modulį; krypčiai ir judėjimo laikui nustatyti reikia papildomos informacijos apie judėjimą.

Patikrinkite, ką aprašo šis balansas

Mūsų formulės aprašo pastovios masės dalelę vienoje fiksuotoje inercinėje atskaitos sistemoje, darant prielaidą apie idealią spyruoklę ir pastovią pasipriešinimo jėgą slystant į dešinę. Kadangi takas horizontalus, sunkio ir atramos reakcijos jėgos yra statmenos dalelės poslinkiui, todėl čia jų darbas lygus nuliui. Tai nereiškia, kad kuri nors iš šių jėgų apskritai negali atlikti darbo. Judant atramai, vykstant sukimuisi ar deformacijai arba judant kitu keliu, reikia atskirai įvertinti jėgų veikimo taškus ir energijos balansą.

Modelį taikykite tik 0–4 m intervale. Norint jį taikyti už šio intervalo ribų, pakeisti judėjimo kryptį arba teigti, kad realios spyruoklės elgsena išlieka tiesinė, reikėtų naujų prielaidų ir jas pagrindžiančių duomenų. Klasikinė išraiška (1/2)m|v|² taip pat taikoma tik nereliatyvistinėje mechanikoje. Kinetinės energijos teorema nusako kinetinės energijos pokytį; pati savaime ji nepatvirtina kiekvieno jėgos modelio, kiekvienos energijos formos ar visos trajektorijos.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagrindiniame vežimėlio modelyje, kai x = 1 m, raskite atstojamąją jėgą, kinetinę energiją, spyruoklės potencinę energiją ir mechaninę energiją.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Fnet = +6 N, K = 18 J, U = 3 J, o K + U = 21 J.

   Į nurodytas jėgos ir energijos funkcijas įstatykite q = 1. Energijų suma apima konservatyviąją sąveiką su spyruokle; ji skiriasi nuo atstojamosios jėgos ir nuo vien kinetinės energijos.

2. Pagrindinį vežimėlį veikianti atstojamoji jėga lygi nuliui, kai x = 2 m. Ar ten jis yra rimties būsenos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jo K yra 21 J, o greitis į dešinę yra +√21 m/s.

   Kai m = 2 kg, tuo momentu greičio modulis yra √(2K/m) = √21 m/s. Buvo pasirinkta teigiama šaka, ir vežimėlis toliau juda. Nulinė atstojamoji jėga reiškia, kad tuo momentu pagreitis, o ne greitis, lygus nuliui.

3. Atskira 2 kg masės dalelė toje pačioje atskaitos sistemoje juda 6 m/s greičiu. Kokia jos kinetinė energija, palyginti su pagrindinio vežimėlio pradine 9 J kinetine energija?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jos K yra 36 J, t. y. keturis kartus daugiau nei 9 J.

   K = (1/2)(2 kg)(6 m/s)² = 36 J. Greičio modulis padvigubėjo, o masė nepakito, todėl dėl greičio modulio kvadrato energija padidėjo keturis kartus.

4. Kiekvieną spyruoklės potencinės energijos vertę U pakeiskite į U + 5 J. Koks yra šios energijos prieaugis nuo 0 iki 4 m ir ar pasikeičia spyruoklės jėga?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Prieaugis lieka 48 J, o spyruoklės jėga nepasikeičia.

   Pakeistos vertės intervalo galuose yra 5 J ir 53 J, o jų skirtumas yra 48 J. Pastovaus priedo išvestinė lygi nuliui, todėl −dU/dx nepakinta. Absoliučiosios mechaninės energijos vertės taip pat pasikeičia, tačiau jų pokyčiai lieka tokie patys.

5. Kai x = 4 m, pagrindinis vežimėlis vis dar juda į dešinę 3 m/s greičiu. Raskite varančiosios, pasipriešinimo ir spyruoklės jėgų momentines galias bei jų sumą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Varančiosios jėgos galia yra +45 W, pasipriešinimo jėgos – −9 W, o spyruoklės jėgos – −72 W; bendra galia yra −36 W.

   Jėgos yra +15 N, −3 N ir −24 N. Kiekvieną padauginkite iš +3 m/s. Tai, kad galutiniu momentu K mažėja, neprieštarauja tam, kad viso ankstesnio intervalo pradinė ir galutinė K vertės yra lygios.

6. Pakartokite atskirą idealų kėlimą, kuriam reikia 12 J, per 2 s vietoj 4 s, išlaikydami tas pačias pradinių bei galutinių būsenų ir nuostolių nebuvimo sąlygas. Kaip pasikeičia kėlimo darbas ir vidutinė tiekiamoji galia?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Darbas lieka +12 J; vidutinė tiekiamoji galia padidėja nuo 3 W iki 6 W.

   Tam pačiam gravitacinės potencinės energijos pokyčiui ir vienodiems pradiniam bei galutiniam greičio moduliams reikia tiek pat tiekiamos energijos. Padalijus šią energiją iš perpus trumpesnės trukmės, vidutinė galia padvigubėja. Tai nereiškia, kad abiem atvejais momentinės galios kitimas laikui bėgant yra žinomas arba vienodas.

Ką verta įsidėmėti

• Darbas apskaičiuojamas pagal pasirinktą jėgą ir jos veikimo taško poslinkį; nuosekliai pakeitus ašies kryptį į priešingą, darbo ženklas nepakinta.
• Nurodytai klasikinės mechanikos pastovios masės dalelei atstojamosios jėgos darbas lygus kinetinės energijos pokyčiui.
• Potencinė energija apibūdina konservatyviąją sąveiką, o jos nulinis atskaitos lygis yra fiksuotas, bet pasirinktas laisvai.
• Mechaninės energijos tvermei reikia, kad būtų tenkinamos pasirinktos sistemos energijos perdavimo sąlygos; kintanti bendra mechaninė energija nėra įrodymas, kad energija išnyko.
• Plotas jėgos priklausomybės nuo padėties grafike nusako darbą, energijos grafiko aukštis – energiją, o galia apibūdina energijos perdavimo spartą.