Trintis, įtempimo jėga, pasipriešinimas, spyruoklės ir kontaktinės jėgos

Pradėkite nuo traukos, kuri nepajudina kūno

2 kg masės kūnas nejuda ant nejudančių horizontalių grindų. Nejudančioje inercinėje atskaitos sistemoje pasirinkite kryptį į dešinę kaip +x, o į viršų – kaip +y. Šiame mokomajame modelyje laikykite, kad g = 10 m/s², todėl kūną veikianti sunkio jėga yra 20 N ir nukreiptas žemyn. Horizontali 6 N traukos jėga į dešinę nebūtinai priverčia kūną slysti: grindys gali jį veikti 6 N rimties trinties jėga į kairę. Tuomet horizontaliosios jėgos atsveria viena kitą.

Šiai grindų ir kūno porai nustatykite sausosios trinties koeficientus μ_s = 0.4 ir μ_k = 0.25. Šie bedimensiai skaičiai yra sutartinai parinkti, o ne gauti matuojant konkrečią medžiagą. Šiuo pirmuoju atveju grindų atramos reakcijos jėga yra 20 N, todėl rimties trinties jėgos riba yra (0.4)(20 N) = 8 N. Reikiama 6 N jėga šios ribos neviršija; tikroji trinties jėga nebūtinai lygi 8 N.

Paskelbta pamoka „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ parengia darbui su dydžių vertėmis ir vienetais. Pamoka „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia aritmetiniams veiksmams su ženklais ir reikšmių įstatymui; čia logaritmų nereikia. Prie pamokos „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ galima pasirinktinai grįžti norint pasikartoti komponenčių žymėjimą. Toliau naudojamos jėgų sumos pristatomos čia pat, todėl nepaskelbta mechanikos pamoka nėra būtina.

Vaizduokite tik pasirinktą kūną veikiančias jėgas

Laisvojo kūno jėgų diagramoje pasirinktas kūnas atskiriamas nuo aplinkos ir vaizduojamos jį veikiančios sąveikos. Nagrinėdami kūną ant grindų, nurodykite jį veikiančią sunkio jėgą, grindų normaliosios reakcijos jėgą, grindų trinties jėgą ir išorinę traukimo jėgą. Sunkio jėga yra gravitacinė; čia nagrinėjamos grindų, siūlo, spyruoklės ir skysčio ar dujų jėgos atsiranda dėl sąlyčio. Jėgos, kuriomis kūnas veikia grindis ar siūlą, turi būti vaizduojamos tų kitų kūnų diagramose.

Jėga yra vektorinis dydis, matuojamas niutonais: 1 N = 1 kg m/s². Pastovios masės materialiojo taško modeliui inercinėje atskaitos sistemoje išorinių jėgų suma tenkina ΣF_x = m a_x ir ΣF_y = m a_y. Apatiniai indeksai žymi dedamąsias su ženklais išilgai pasirinktų statmenų ašių. Kūno greitis nėra papildoma jėga. Kai jėgų suma lygi nuliui, pagreitis lygus nuliui; tuomet greitis gali būti pastovus, taip pat kūnas gali būti rimties būsenos.

Sąlyčio paviršiuje normalioji dedamoji yra statmena paviršiui, o trinties jėga – lygiagreti jam. Ant nagrinėjamų horizontalių grindų normaliosios reakcijos jėga nukreipta aukštyn. Jos neneigiamą modulį žymėkite N, o trinties dedamąją su ženklu – f_x. Tai dvi grindų sąlyčio jėgos dedamosios; jas jau įtraukę, nepridėkite trečios „bendros sąlyčio jėgos“.

Diagramose slenkamajam judėjimui aprašyti taikomas materialiojo taško artinys. Jose nenurodomi jėgų veikimo taškai ir nenustatoma baigtinių matmenų kūno jėgų momentų pusiausvyra, virtimas ar sukimasis. Darome prielaidą, kad sąlytis su horizontalia atrama gali būti išlaikytas tais atvejais, kai ši sąlyga nurodyta.

Atskirkite rimties trinties kitimą nuo slydimo

Pagal nurodytą rimties trinties modelį |f_x| ≤ μ_s N. Pirmiausia apskaičiuokite jėgą, reikalingą santykiniam slydimui išvengti, tada patikrinkite šią nelygybę. Kad kūnas išliktų rimties būsenos ant šių nejudančių grindų, kai be trinties vienintelė horizontali jėga yra traukimo jėga P_x, pusiausvyrai būtina f_x = −P_x. Kai P_x = 2 N, trinties jėga yra −2 N. Kai P_x = 8 N, trinties jėga yra −8 N ir pasiekia ribą, kurią lygybė leidžia. Vien lygybė nereikalauja modelyje pereiti prie slydimo.

Jei P_x = 10 N, rimties būsenai išlaikyti reikėtų |f_x| = 10 N, o tai viršija 8 N. Taigi pagal šias prielaidas rimties būsena neįmanoma. Šis patikrinimas neleidžia didžiausios rimties trinties jėgos laikyti tikrąja jau slystantį kūną veikiančia trinties jėga. Pasirinkite jėgos modelį, atitinkantį santykinio judėjimo būseną.

Atskiru atveju, kai kūnas jau slysta į dešinę tų pačių grindų atžvilgiu, taikykite slydimo trinties dėsnį f_x = −μ_k N. Tuomet į dešinę nukreiptai 10 N traukimo jėgai priešinasi −5 N trinties jėga, todėl jėgų suma yra +5 N, o a_x = (5 N)/(2 kg) = +2.5 m/s². Jei kūnas slystų į kairę, trinties kryptis pasikeistų į priešingą. Kai santykinis greitis lygus nuliui, iš naujo įvertinkite būseną; automatiškai nepriskirkite slydimą į dešinę atitinkančio ženklo.

Rimties trintis reiškia, kad sąlyčio vietoje nėra santykinio slydimo, bet nebūtinai tai, kad kūnas yra rimties būsenos kiekvienoje atskaitos sistemoje. Jos kryptį lemia judėjimo apribojimas ir kitos jėgos. Sausosios trinties formulės yra naudingi sąlyčio modelio artiniai, o ne universalūs dėsniai, tinkantys visiems paviršiams, greičiams ar apkrovoms. Abu čia pasirinkti koeficientai yra šio pateikto modelio dalis.

Įvertinkite, kaip įtempimo jėga keičia atramos reakciją

Idealus įtemptas lankstus siūlas traukia kūną išilgai siūlo; jis nestumia kaip standus strypas. Vienoda įtempimo jėga pagrįsta tiesiai bemasei siūlo atkarpai, kurią veikia tik dvi vienoje tiesėje esančios jėgos jos galuose: jų suma turi būti lygi nuliui. Masę turintį siūlą, papildomą jėgą išilgai atkarpos ar skriemulį su trintimi reikia nagrinėti papildomai. Neįtemptas siūlas negali sukurti numatytos nenulinės įtempimo jėgos.

C atveju nurodykite vieną įtempimo jėgos vektorių, kurio T_x = 6 N ir T_y = 8 N. Jo modulis yra √[(6 N)² + (8 N)²] = 10 N. Šios dedamosios aprašo tą pačią jėgą. Nubrėžkite vieną įstrižą įtempimo jėgos rodyklę, o ne šią rodyklę ir dar dvi papildomas dedamųjų jėgų rodykles.

Išlaikant sąlytį su nejudančiomis horizontaliomis grindimis, a_y = 0. Kai vertikalia kryptimi veikia tik atramos reakcijos, įtempimo ir sunkio jėgos, N + T_y − mg = 0, todėl N = 20 N − 8 N = 12 N. Atramos reakcijos jėga priklauso nuo sąlygų; ji nebūtinai lygi sunkio jėgai. Jei kūnas jau slysta į dešinę, trinties jėga yra −(0.25)(12 N) = −3 N, taigi horizontali atstojamoji jėga yra 6 N − 3 N = +3 N, o a_x = +1.5 m/s².

Šios nelipnios grindys gali stumti kūną, bet negali jo traukti žemyn: N turi būti neneigiama. Jei pagal skaičiavimą turėtų būti N < 0, sąlyčio išlaikymo prielaida nebegalioja. Pavyzdžiui, jei šį kūną, kurį veikia 20 N sunkio jėga, trauktų tik aukštyn nukreipta 24 N jėga, turėtų būti N = −4 N. Tačiau kūnas atsiskiria nuo grindų, N tampa lygi nuliui, o jo pagreitį aukštyn reikia apskaičiuoti pagal likusias vertikalias jėgas. Nesant šio sąlyčio, išnyksta ir sausoji trintis.

Palyginkite tris jėgų diagramas

Numatykite, kuri jėga pasikeičia, kai traukos jėga įgyja aukštyn nukreiptą dedamąją, tada palyginkite B ir C atvejus. Visoms rodyklėms abiem kryptimis ir visais trimis atvejais taikomas tas pats jėgų mastelis. Sunkio jėga išlieka 20 N, o atramos reakcijos jėga sumažėja nuo 20 N iki 12 N. Todėl slystant į dešinę trinties jėgos modulis sumažėja nuo 5 N iki 3 N, tačiau horizontali traukos jėga taip pat sumažėja nuo 10 N iki 6 N. Taigi C atveju horizontalus pagreitis yra mažesnis.

A atvejis yra galima rimties būsena; B ir C yra atskirai pateiktos slydimo į dešinę sąlygos. Tai nėra vieno stebimo judėjimo nuoseklūs laiko momentai. Rodyklių kryptys ir ilgiai vaizduoja jėgas, o ne greitį, nueitą kelią ar kūno dydį. Lentelėje pateiktos dedamosios su ženklais; atstojamoji jėga yra jų suma, o ne papildoma sąveika, kurią reikėtų nubrėžti.

Naudokite spyruoklės deformacijos vertę su ženklu

Atskirame horizontalaus judėjimo modelyje pritvirtinkite spyruoklę prie kūno, esančio ant lygaus takelio, ir teigiama kryptimi pasirinkite kryptį į dešinę. Tegul q yra spyruoklės deformacija nuo nedeformuotos padėties, išreikšta metrais ir turinti ženklą. Duotas tiesinis dėsnis F_s,x = −k q, kur k = 30 N/m, o nurodytas galiojimo intervalas yra −0.15 m ≤ q ≤ 0.15 m. Ženklas rodo, kad jėga nukreipta taip, kad grąžintų spyruoklę į nedeformuotą padėtį.

Kai q = +0.10 m, spyruoklės jėga yra −3 N ir nukreipta į kairę. Kai q = −0.10 m, ji yra +3 N ir nukreipta į dešinę. Ši pritvirtinta spyruoklė gali veikti tiek ištempta, tiek suspausta. Jos jėgos dedamoji x kryptimi gali būti tiek teigiama, tiek neigiama. Idealus įtemptas siūlas traukia išilgai siūlo, o įtempimo jėgos modulis yra neneigiamas. Teigiamas koeficientas k yra standumas, kurio vienetai yra N/m, o ne pati jėga.

Tiesinis spyruoklės elgsenos modelis taikomas tinkamame intervale; tikros spyruoklės reakciją ir jos ribas reikia pagrįsti duomenimis. Už nurodyto intervalo ribų spyruoklės jėgos prognozė čia nepateikiama. Kitokiai tvirtinimo geometrijai, didelėms deformacijoms, spyruoklės masei ar vidiniam slopinimui įvertinti reikėtų papildomos informacijos.

Pasipriešinimą apibrėžkite takiosios terpės atžvilgiu

Tegul v_body ir v_fluid yra kūno ir takiosios terpės greičio komponentės toje pačioje atskaitos sistemoje. Jų santykinis greitis yra u = v_body − v_fluid. Duotas vienmatis tiesinis pasipriešinimo modelis F_d,x = −b u, kur b = 1 kg/s = 1 N s/m, o |u| ≤ 3 m/s. Kai u = −2 m/s, pasipriešinimo jėga yra +2 N. Ji priešinasi kūno judėjimui terpės atžvilgiu; šio santykinio judėjimo kryptis nebūtinai sutampa su kūno judėjimo žemės atžvilgiu kryptimi.

Sujunkite šį pasipriešinimo modelį su atskiru spyruoklės atveju, kai q = +0.10 m. Kai terpė nejuda, o v_body = −2 m/s, spyruoklės jėga yra −3 N, o pasipriešinimo jėga — +2 N. Jų atstojamoji yra −1 N, todėl 2 kg masės kūno pagreitis yra a_x = −0.5 m/s². Šiuo momentu kūnas juda į kairę, o jo pagreitis taip pat nukreiptas į kairę, todėl jo greičio modulis didėja nepaisant priešinga kryptimi veikiančios pasipriešinimo jėgos. Ant šio lygaus horizontalaus takelio sunkio jėga ir normalioji atramos reakcijos jėga vertikalia kryptimi viena kitą atsveria; sausoji trintis ar kita horizontali jėga nenurodyta.

Kitas duotas modelis galėtų būti kvadratinis: F_d,x = −c u |u|, kur c = 0.5 kg/m = 0.5 N s²/m², taikomas tame pačiame nurodytame intervale |u| ≤ 3 m/s. Kai u = −2 m/s, pagal jį taip pat gaunama +2 N, tačiau kai u = +1 m/s, gaunama −0.5 N, o pagal tiesinį modelį — −1 N. Rezultatų sutapimas esant vienam greičiui neleidžia nustatyti jėgos dėsnio. Koeficientų vienetai skiriasi, todėl tos pačios skaitinės koeficiento vertės negalima tiesiog perkelti iš vieno dėsnio į kitą.

Tai užduotims atlikti duoti jėgų sąryšiai, o ne teiginys, kad kuris nors iš šių dėsnių tinka visoms takiosioms terpėms ar visiems greičiams. Norint pasirinkti tikrą pasipriešinimą aprašantį modelį, reikia informacijos apie kūną, terpę ir judėjimo režimą. Vien momentinės jėgos skaičiavimas nenusako visos trajektorijos ar ribinio greičio.

Prieš taikydami jėgos dėsnį, patikrinkite būseną

Kiekvieną skaičiavimą pradėkite įvardydami pasirinktą kūną, atskaitos sistemą, kryptis, sąlyčio būseną ir sąveikas. Tada išskaidykite jėgas į komponentes, pritaikykite nurodytą slenkamojo judėjimo jėgų balanso lygtį ir patikrinkite modelio sąlygas. Reikalinga rimties trinties jėga, viršijanti savo ribą, neigiama normalioji reakcijos jėga nesant sukibimo arba neįtemptas siūlas su nenuline įtempimo jėga rodo prieštaringą prielaidą.

Atskirkite šias dvi užduotis: jėgų balansas parodo, kokios jėgos reikia numatytai būsenai, o jėgos modelis parodo, ar tokia jėga gali veikti. Pasikeitus būsenai, iš naujo įvertinkite atitinkamą dėsnį. Slydimo trinties formulė nenusako rimties trinties, o pasirinktas tiesinis spyruoklės ar pasipriešinimo dėsnis savaime nenustato savo fizinio galiojimo intervalo.

Darbas, energija ir galia susies jėgą su poslinkiu ir perdavimu. Čia pateiktos diagramos parodo, kokios sąveikos veikia vieną kūną ir kokį momentinį pagreitį leidžia nurodyti modeliai; jos neapskaičiuoja darbo ir neįrodo eksperimentinio jėgos dėsnio.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. A atveju ant nejudančių grindų horizontaliąją traukos jėgą pakeiskite +2 N jėga ir reikalaukite, kad kūnas išliktų rimties būsenos. Raskite trinties jėgą su ženklu ir palyginkite ją su 8 N ribine verte.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Rimties trinties jėga yra −2 N, o jos modulis 2 N yra mažesnis už 8 N ribinę vertę.

   Horizontaliųjų jėgų pusiausvyra duoda +2 N + f_x = 0. Ribinė vertė leidžia tokią reikšmę; ji nereikalauja, kad trinties jėgos modulis būtų didžiausias galimas.

2. Esant tai pačiai geometrijai, kai traukiama tik horizontaliai, patikrinkite, ar rimtis galima veikiant +8 N ir +8.1 N traukos jėgoms. Ar vien lygybė reiškia, kad kūnas būtinai slys?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Veikiant +8 N traukos jėgai, rimtis galima, kai trinties jėga lygi −8 N, tačiau veikiant +8.1 N traukos jėgai rimtis negalima. Vien lygybė nereiškia, kad kūnas būtinai slys.

   Reikalingi jėgos moduliai yra 8 N ir 8.1 N, o μ_s N išlieka 8 N. Rimties trinties nelygybė apima ir lygybės atvejį. Antrajai siūlomai būsenai reikia didesnės jėgos, nei leidžia šis modelis.

3. Tiesią masės neturinčio siūlo atkarpą veikia tik dvi jos galuose veikiančios jėgos: +9 N ir −6 N išilgai x ašies. Ar tai gali būti aprašyta ideali siūlo atkarpa, kurios įtempimo jėga visur vienoda?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Galuose veikiančių jėgų suma yra +3 N, o ne nulis.

   Masės neturinčią atkarpą, kurios neveikia jokios kitos jėgos, veikiančių jėgų suma turi būti lygi nuliui; vienodo modulio priešingų krypčių jėgos jos galuose reikštų, kad įtempimo jėga visur vienoda. Pateiktos nevienodos vertės prieštarauja šiai idealizacijai. Tai nėra trečiojo Niutono dėsnio jėgų pora, veikianti du skirtingus kūnus: abi jėgos čia veikia pasirinktą atkarpą.

4. C atveju, kai traukos jėga yra (+6, +8) N, patikrinkite siūlomą rimties sąlygą, taikydami rimties, o ne slydimo trintį. Kodėl neteisinga lyginti 6 N su ankstesne A atvejo 8 N riba?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dabar normalioji reakcijos jėga yra 12 N, o rimties trinties jėgos riba – 4.8 N. Rimčiai reikėtų −6 N trinties jėgos, todėl rimtis negalima.

   Į viršų nukreipta traukos jėga sumažina normaliąją reakcijos jėgą nuo 20 N iki 12 N. Prieš lygindami su reikalingu 6 N jėgos moduliu, iš naujo apskaičiuokite μ_s N = (0.4)(12 N). A atvejo riba atitinka kitokią vertikaliųjų jėgų pusiausvyrą.

5. Tas pats 2 kg masės kūnas, iš pradžių esantis rimties būsenos ant nelimpančių grindų, traukiamas tik į viršų 24 N jėga. Jei, be sunkio jėgos ir galimos grindų sąlyčio jėgos, nėra jokių kitų jėgų, koks rezultatas pakeičia neteisingą rezultatą N = −4 N, gautą tariant, kad sąlytis išlieka?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kūnas atsiskiria nuo grindų: N = 0 N, grindų trinties jėga lygi nuliui, o a_y = +2 m/s².

   Šios grindys negali traukti kūno žemyn. Kai sąlyčio nebėra, vertikaliųjų jėgų suma yra 24 N − 20 N = +4 N; padaliję iš 2 kg, gauname +2 m/s². Nepalikite neigiamos normaliosios reakcijos jėgos ir nenaudokite jos sausosios trinties formulėje.

6. Taikant tik tiesinio pasipriešinimo modelį, toje pačioje atskaitos sistemoje v_body = +1 m/s, o v_fluid = +3 m/s. Raskite u ir pasipriešinimo jėgą, kai b = 1 kg/s. Ar ši jėga būtinai nukreipta prieš kūno judėjimo žemės atžvilgiu kryptį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   u = −2 m/s, o pasipriešinimo jėga yra +2 N. Ji nukreipta į dešinę – šiuo atveju ta pačia kryptimi kaip ir kūno judėjimas žemės atžvilgiu.

   Iš kūno greičio atimkite takiosios terpės greitį: +1 m/s − 3 m/s = −2 m/s. Ši vertė patenka į nurodytą intervalą. Tuomet −b u = +2 N. Jėga nukreipta prieš kūno judėjimą takiosios terpės atžvilgiu; vien judėjimo žemės atžvilgiu krypties nepakanka.

Ką verta įsidėmėti

• Laisvojo kūno jėgų diagramoje vaizduojamos vieną pasirinktą kūną veikiančios sąveikos; pats judėjimas papildomos jėgos nesukuria.
• Rimties trinties jėga prisitaiko taip, kad kūnas neslystų, tačiau neviršija ribinės vertės; didžiausia galima jėga nebūtinai yra tikroji jėga.
• Pateiktame modelyje slydimo trinties jėga nukreipta prieš santykinį slydimą, o jos modulis yra μ_k N.
• Atramos reakcijos jėgą lemia jėgų balansas statmena paviršiui kryptimi ir sąlyčio sąlygos; jei kūnas su grindimis nesukimba, turi būti N ≥ 0.
• Įtempimo jėga traukia išilgai įtempto idealaus siūlo, o jos skaidymas į komponentes papildomų jėgų nesukuria.
• Spyruoklės jėga apskaičiuojama pagal deformaciją su ženklu, o pasipriešinimo jėga – pagal greitį takiosios terpės atžvilgiu. Abiem dėsniams reikia nurodyti galiojimo sritis ir koeficientų vienetus.